高中数学总复习资料汇总(必修1-5-)

高中数学总复习资料汇总（必修1-5 ）
高考数学复习必修1
第一章、集合
一、基础知识（理解去记）
定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。

集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。

规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。

如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。

便于理解：B A ⊆包含两个意思：①A 与B 相等 、②A 是B 的真子集
定义3 交集，
}.{B x A x x B A ∈∈=且 定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或
定义5 补集，若
},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。

定义6 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合
},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞
定义7 空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

补充知识点 对集合中元素三大性质的理解
（1）确定性
集合中的元素，必须是确定的．对于集合A 和元素a ，要么a A ∈，要么a A ∉，二者必居其一．比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合．
（2）互异性
对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在
同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由a ，2
a 组成一个集合，则a 的取值不能是0或1．
（3）无序性 集合中的元素的次序无先后之分．如：由1
23，，组成一个集合，也可以写成132，，组成一个集合，它们都表示同一个集合．
帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题
（1）注意a 与{}a 的区别．a 是集合{}a 的一个元素，而{}a 是含有一个元素a 的集合，二者的关系是{}a a ∈．
（2）注意∅与{}0的区别．∅是不含任何元素的集合，而{}0是含有元素0的集
合．
（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或{}R 来表示实数集R 这
一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思．
用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如：
集合{()x y y =，中的元素是()x y ，，这个集合表示二元方程y =的解
集，或者理解为曲线y =
集合{x y =中的元素是x ，这个集合表示函数y =x 的取值
范围；
集合{y y =中的元素是y ，这个集合表示函数y =y 的取值
范围；
集合{y =中的元素只有一个（方程y =，它是用列举法表示的单元
素集合．
（4）常见题型方法：当集合中有n 个元素时，有2n 个子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集。

二、基础例题（必会） 例1 已知{}243A y y x x x ==-+∈R ，，{}222B y y x x x ==--+∈R ，，求A B ．
正解：
2243(2)11y x x x =-+=---∵≥，
2222(1)33y x x x =--+=-++≤，
{}1A y y =-∴≥，{}3B y y =≤， {}
13A B y y =-∴≤≤． 解析：这道题要注意研究的元素（看竖线前的元素），均是y ，所以要求出两个集合中y 的范围再求交集，A 中的y 范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个函数值域的集合．
例2 若{}322427A a a a =--+，，，
223211122(38)372B a a a a a a a a ⎧⎫=+-+---+++⎨⎬⎩⎭，，，，，且{}25A B =，，试求实数
a ．
正解：∵A ∩B=｛2，5｝，∴由32275a a a --+=，
解得 2a =或1a =±．
当a=1时，2221a a -+=与元素的互异性矛盾，故舍去1a =；
当1a =-时，{}10524B =，，，，，此时{}245A B =，，，这与{}25A B =，矛盾，故又舍去1a =-；
当2a =时，{}245A =，，，{}132525B =，，，，，此时{}25A B =，满足题意，故2a =为所求．
解析：此题紧紧抓住集合的三大性质：①确定性 ②互异性 ③无序性
三、趋近高考（必懂）
1.（2010年江苏高考1）设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A ∩B={3}，则实数a=______________
方法：将集合B 两个表达式都等于3，且抓住集合三大性质。

【答案】1.
2.（2010.湖北卷2.）设集合A=22
{(,)|1}416x y x y +=，B=
{(,)|3}x x y y =,则A ∩B 的子集的个数是（ ）
A. 4
B.3
C.2
D.1
方法：注意研究元素，是点的形式存在，A 是椭圆，B 是指数函数，有数形结合方法，交于两个点，说明集合中有两个元素，还要注意，题目求子集个数，所以是22=4【答案】A
集合穿针 转化引线（最新）
一、集合与常用逻辑用语
3.若2:3840:(1)(2)0p x x q x x -+>+->，，则p ⌝是q ⌝的（ ）．
（A ）充分条件
（B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件
解析：∵2:3840p x x -+>，即2
3x <或2x >，
∴2:23p x ⌝≤≤．
∵:(1)(2)0q x x +->，即1x <-或2x >，
∴:12q x ⌝-≤≤．
由集合关系知：p q ⌝⌝⇒，而q p ⌝⌝¿．
∴p ⌝是q ⌝的充分条件，但不是必要条件．故选（Ａ）．
4. 若k ∈R ，则“3k >”是“方程22
133x y k k -=-+表示双曲线”的（ ）．
（A ）充分条件
（B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件
解析：方程22
133x y k k -=-+表示双曲线
(3)(3)0k k k ⇔-+
>⇔>或3k <-．故选（A ）． 二、集合与函数
5.已知集合2{2}{2}P y y x x Q x y x x ==-+∈==-+∈R R ，，，，那么P Q 等于（ ）．
（A ）（0，2），（1，1） （B ）｛（0，2），（1，1）｝
（C ）｛1，2｝ （D ）{2}y y ≤
解析：由代表元素可知两集合均为数集，又P 集合是函数
22y x =-+中的y 的取值范围，故P 集合的实质是函数
22y x =-+的值域．而Q 集合则为函数2y x =-+的定义域，从而易知{2}P Q y y =≤，选（D ）．
评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性，本题易因误看代表元素而错选（Ｂ）或（Ｃ）．
三、集合与方程
6.已知2{(2)10}{0}A x x p x x B x x =+++=∈=>R ，，，且A B =∅，求实数p 的取值范围．
解析：集合A 是方程2(2)10x p x +++=的解集，
则由A B =∅，可得两种情况：
①A =∅，则由
2(2)40p ∆=+-<，得 40p -<<； ②方程2(2)10x p x +++=无正实根，因为1210x x =>，
则有0(2)0p ∆⎧⎨-+<⎩，，≥于是0p ≥．
综上，实数p 的取值范围为
{4}p p >-． 四、集合与不等式
7. 已
知集合
222{412}A a a
x x =+---恒成立，≥， 若A B ≠∅，求实数m 的取值范围．
解析：由不等式22412ax x x a +---≥恒成立，
可得 2(2)4(1)0a x x a +++-≥， （※）
（1）当20a +=，即2a =-时，（※）式可化为3
4x ≥，显然不符合题意．
（2）当20a +≠时，欲使（※）式对任意x 均成立，必需满足200a +>⎧⎨∆⎩，，≤
即2244(2)(1)0a a a >-⎧⎨-+-⎩，，≤
解得 {2}A a a =≥．
集合B 是不等式2(21)(1)0x m x m m -+++<的解集，
可求得{1}B x m x m =<<+，
结合数轴，只要12m +>即可，解得 1m >．
五、集合与解析几何
例6 已知集合2{()20}A x y x mx y =+-+=，和{()1002}
B x y x y x =-+=，，≤≤， 如果A B ≠∅，求实数m 的取值范围．
解析：从代表元素()x y ，看，这两个集合均为点集，又220x mx y +-+=及
10x y -+=是两个曲线方程，故A B ≠∅的实质为两个曲线有交点的问题，我
们将其译成数学语言即为：“抛物线
220x mx y +-+=与线段10(02x y x -+=≤≤有公共点，求实数m 的取值范围．”
由22010(02)x mx y x y x ⎧+-+=⎨
-+=⎩，，≤≤，得
2(1)10(02)x m x x +-+=≤≤， ①
∵A B ≠∅，
∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解．
首先，由
2(1)40m ∆=--≥，得3m ≥或1m -≤． 当m ≥3时，由
12(1)0x x m +=--<及121x x =知，方程①只有负根，不符合
要求； 当1m -≤时，由12(1)0x x m +=-->及1210x x =>知，方程①有两个互为倒
数的正根，故必有一根在区间(01]，
内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内．
综上，所求m 的取值范围是(1]-∞-，
． 第二章、函数
一、基础知识（理解去记）
定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A →B 为一个映射。

定义2 函数，映射f: A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。

A 称为它的定义域，若x ∈A, y ∈B ，且f(x)=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。

集合{f(x)|x ∈A}叫函数的值域。

通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3x -1的
定义域为{x|x ≥0,x ∈R}.
定义3 反函数，若函数f: A →B （通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x 得x=f-1(y)，然后将x, y 互换得y=f-1(x)，最后指
出反函数的定义域即原函数的值域。

例如：函数y=x -11
的反函数是y=1-x 1
(x ≠0).
补充知识点：
定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x 对称。

定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。

定义4 函数的性质。

（1）单调性：设函数f(x)在区间I 上满足对任意的x1, x2∈I 并且x1< x2，总有f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2))，则称f(x)在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间。

（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D ，且D 是关于原点对称的数集，若对于任意的x ∈D ，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x ∈D ，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。

（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。

定义5 如果实数a<b ，则数集{x|a<x<b, x ∈R}叫做开区间，记作（a,b ），集合{x|a ≤x ≤b,x ∈R}记作闭区间[a,b]，集合{x|a<x ≤b}记作半开半闭区间（a,b]，集合{x|a ≤x<b}记作半闭半开区间[a, b)，集合{x|x>a}记作开区间（a, +∞），集合{x|x ≤a}记作半开半闭区间（-∞,a].
定义6 函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x), x ∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D 为f(x)的定义域。

通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)；
（1）向右平移a 个单位得到y=f(x-a)的图象；
（2）向左平移a 个单位得到y=f(x+a)的图象；
（3）向下平移b 个单位得到y=f(x)-b 的图象；
（4）与函数y=f(-x)的图象关于y 轴对称；
（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；
（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x 对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x 轴对称。

定理3 复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。

例如y=x -21
,
u=2-x 在（-∞,2）上是减函数，y=u 1
在（0，+∞）上是减函数，所以y=x -21在
（-∞,2）上是增函数。

注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。

这里不做严格论证，求导之后是显然的。

一、基础知识（初中知识 必会）
1．二次函数：当≠a 0时，y=ax2+bx+c 或f(x)=ax2+bx+c 称为关于x 的二次函
数，其对称轴为直线x=-a b 2，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-a b
2，下同。

2．二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。

当a<0时，情况相反。

3．当a>0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac ）。

1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1<x2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x1或x>x2}和{x|x1<x<x2}，二次函数f(x)图象与x 轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2).
2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0=a b
2-
,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x
a b
2-≠}和空集∅，f(x)的图象与x 轴有唯一公共点。

3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f(x)图象与x 轴无公共点。

当a<0时，请读者自己分析。

4．二次函数的最值：若a>0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=a b ac 442
-,若a<0，
则当x=x0=a b 2-时，f(x)取最大值f(x0)=a b ac 442-.对于给定区间[m,n]上的二
次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当x0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(x0); 当x0<m 时。

f(x)在[m, n]上的最小值为f(m)；当x0>n 时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。

定义1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。

不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。

一定注意： “p 或q ”复合命题只有当p ，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且q ”复合命题只有当p ，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非p ”即“p ”恰好一真一假。

定义2 原命题：若p 则q （p 为条件，q 为结论）；逆命题：若q 则p ；否命题：
若非p 则q ；逆否命题：若非q 则非p 。

一定注意： 原命题与其逆否命题同真假。

一个命题的逆命题和否命题同真假。

一定注意： 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。

定义3 如果命题“若p 则q ”为真，则记为p ⇒q 否则记作p ≠q.在命题“若p 则q ”中，如果已知p ⇒q,则p 是q 的充分条件；如果q ⇒p ，则称p 是q 的必要条件；如果p ⇒q 但q 不⇒p ，则称p 是q 的充分非必要条件；如果p 不⇒q 但p ⇒q ，则p 称为q 的必要非充分条件；若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件。

二、基础例题（必懂）
1．数形结合法。

例1（09.江西） 求方程|x-1|=x 1
的正根的个数.
【解】 分别画出y=|x-1|和y=x 1
的图象，由图象可知两者有唯一
交点，所以方程有一个正根。

例2 （2010.广西模拟） 求函数f(x)=
113632424+--+--x x x x x 的最大值。

【解】 f(x)=2
22222)0()1()3()2(-+---+-x x x x ，记点P(x, x-2)，A （3，
2），B （0，1），则f(x)表示动点P 到点A 和B 距离的差。

因为|PA|-|PA|≤|AB|=
10)12(322=-+,当且仅当P 为AB 延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。

所以f(x)max=.10
2.函数性质的应用。

例3 （10、全国） 设x, y ∈R ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-1)1(1997)1(1)1(1997)1(32y y x x ，求
x+y.
【解】 设f(t)=t3+1997t ，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。

事实上，若a<b ，则f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0，所以f(t)递增。

由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y ，所以x+y=2.
例4 （10、全国） 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a 的取值范围。

【解】 因为f(x) 是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)<f(a2-1)。

又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-1<1-a<a2-1<1，解得0<a<1。

例5 （10、全国） 设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k ∈Z, 用Ik 表示区间(2k-1, 2k+1]，已知当x ∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik 上的解析式。

【解】 设x ∈Ik ，则2k-1<x ≤2k+1，
所以f(x-2k)=(x-2k)2.
又因为f(x)是以2为周期的函数，
所以当x ∈Ik 时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.
例 6 （10·全国） 解方程：(3x-1)(15692++-x x )+(2x-3)(
131242+-x x +1)=0. 【解】 令m=3x-1, n=2x-3，方程化为 m(42+m +1)+n(42+n +1)=0. ①
若m=0，则由①得n=0，但m, n 不同时为0，所以m ≠0, n ≠0.
ⅰ)若m>0，则由①得n<0，设f(t)=t(
42+t +1),则f(t)在（0，+∞）上是增函数。

又f(m)=f(-n)，所以m=-n ，所以3x-1+2x-3=0，所以x=.54
ⅱ)若m<0，且n>0。

同理有m+n=0,x=54
,但与m<0矛盾。

综上，方程有唯一实数解x=.54
3.配方法。

例7 （经典例题） 求函数y=x+12+x 的值域。

【解】 y=x+12+x =21[2x+1+212+x +1]-1 =21(12+x +1)-1≥21-1=-21
.
当x=-21时，y 取最小值-21，所以函数值域是[-21
，+∞）。

4．换元法。

例8 （经典例题） 求函数y=(x +1+x -1+2)(2
1x -+1),x ∈[0,1]的值域。

【解】令x +1+x -1=u ，因为x ∈[0,1]，所以2≤u2=2+22
1x -≤4,所以2
≤u ≤2,所以222+≤22+u ≤2，1≤22u ≤2，所以y=22
+u ,u2∈[2+2，8]。

所以该函数值域为[2+2，8]。

5．判别式法。

例9 求函数y=43432
2+++-x x x x 的值域。

【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当y ≠1时，①式是关于x 的方程有实根。

所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得71
≤y ≤1. 又当y=1时，存在x=0使解析式成立，
所以函数值域为[71
，7]。

6．关于反函数。

例10 （10年宁夏）若函数y=f(x)定义域、值域均为R ，且存在反函数。

若f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。

【证明】设x1<x2, 且y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，则x1=f(y1), x2=f(y2)，若y1≥y2，则因为f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，所以x1≥x2与假设矛盾，所以y1<y2。

即y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)递增。

例11 （经典例题）设函数f(x)=4
231
4++x x ，解方程：f(x)=f-1(x).
【解】 首先f(x)定义域为（-∞，-32）∪[-41
，+∞）；其次，设x1, x2是定
义域内变量，且x1<x2<-32;231422++x x 231
411++-x x =)23)(23()(51212++-x x x x >0, 所以f(x)在（-∞，-32）上递增，同理f(x)在[-41
，+∞）上递增。

在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y ，则y ≥0，又由f-1(x)=y 得f(y)=x ，
所以x ≥0,所以x,y ∈[-41
，+∞）.
若x ≠y ，设x<y ，则f(x)=y<f(y)=x ，矛盾。

同理若x>y 也可得出矛盾。

所以x=y. 即f(x)=x ，化简得3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,
因为x ≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所以x=1. 7．待定系数法。

例1 （经典例题） 设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).
【解】 设f(x)=ax2+bx+c(a ≠0),
则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0， 因为方程x2-x+1=0中△≠0，
所以α≠β，所以(α+β)a+b+1=0. 又α+β=1,所以a+b+1=0. 又因为f(1)=a+b+c=1， 所以c-1=1，所以c=2.
又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由f(α)=β得a α2-(a+1)α+2=β,
所以a α2-a α+2=α+β=1，所以a α2-a α+1=0. 即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0， 所以a=1,
所以f(x)=x2-2x+2. 8．方程的思想
例2 （10.全国） 已知f(x)=ax2-c 满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。

【解】 因为-4≤f(1)=a-c ≤-1, 所以1≤-f(1)=c-a ≤4.
又-1≤f(2)=4a-c ≤5, f(3)=38f(2)-35
f(1), 所以38×(-1)+35≤f(3)≤38×5+35
×4,
所以-1≤f(3)≤20.
9．利用二次函数的性质。

例3 （经典例题） 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c ∈R, a ≠0)，若方程f(x)=x 无实根，求证：方程f(f(x))=x 也无实根。

【证明】若a>0，因为f(x)=x 无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x 图象与x 轴无公共点且开口向上，所以对任意的x ∈R,f(x)-x>0即f(x)>x ，从而f(f(x))>f(x)。

所以f(f(x))>x ，所以方程f(f(x))=x 无实根。

注：请读者思考例3的逆命题是否正确。

10．利用二次函数表达式解题。

例4 （经典例题）设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x 的两根x1, x2
满足0<x1<x2<a 1,
（Ⅰ）当x ∈(0, x1)时，求证：x<f(x)<x1；
（Ⅱ）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0<.
21
x
【证明】 因为x1, x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)， 即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.
（Ⅰ）当x ∈(0, x1)时，x-x1<0, x-x2<0, a>0，所以f(x)>x.
其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+a 1
]<0，所以f(x)<x1. 综上，x<f(x)<x1.
（Ⅱ）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,
所以x0=
a x x a x x a 21
221)(2121-
+=-+, 所以
012121222210<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-
a x a x x x ，
所以
.21
0x x <
11．构造二次函数解题。

例5 （经典例题） 已知关于x 的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。

【证明】 方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,
f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0， 所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。

即方程的正根比1小，负根比-1大。

12．定义在区间上的二次函数的最值。

例6 （经典例题）当x 取何值时，函数y=2224)1(5+++x x x 取最小值？求出这个最小值。

【解】 y=1-222)1(511+++x x ,令=+112x u,则0<u ≤1。

y=5u2-u+1=5201920191012
≥+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-u , 且当101=
u 即x=±3时，ymin=2019
.
例7 设变量x 满足x2+bx ≤-x(b<-1)，并且x2+bx 的最小值是21
-
，求b 的值。

【解】 由x2+bx ≤-x(b<-1)，得0≤x ≤-(b+1).
ⅰ)-2b
≤-(b+1)，即b ≤-2时，x2+bx 的最小值为-214,4
22-=-b b ，所以b2=2，所以2±=b （舍去）。

ⅱ) -2b
>-(b+1)，即b>-2时，x2+bx 在[0，-(b+1)]上是减函数， 所以x2+bx 的最小值为b+1,b+1=-21,b=-23
. 综上，b=-23
.
13.一元二次不等式问题的解法。

例8 （经典例题） 已知不等式组⎩⎨
⎧>+<-+-12022a x a a x x ①②的整数解恰好有两个，求a 的取值范围。

【解】 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a, 若a ≤0，则x1<x2.①的解集为a<x<1-a ，由②得x>1-2a. 因为1-2a ≥1-a ，所以a ≤0,所以不等式组无解。

若a>0，ⅰ）当0<a<21
时，x1<x2,①的解集为a<x<1-a. 因为0<a<x<1-a<1，所以不等式组无整数解。

ⅱ）当a=21
时，a=1-a ，①无解。

ⅲ）当a>21
时，a>1-a ，由②得x>1-2a ， 所以不等式组的解集为1-a<x<a.
又不等式组的整数解恰有2个， 所以a-(1-a)>1且a-(1-a)≤3，
所以1<a ≤2，并且当1<a ≤2时，不等式组恰有两个整数解0，1。

综上，a 的取值范围是1<a ≤2. 14．充分性与必要性。

例9 （经典例题） 设定数A ，B ，C 使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ①
对一切实数x,y,z 都成立，问A ，B ，C 应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A ，B ，C 的等式或不等式表示条件） 【解】 充要条件为A ，B ，C ≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA).
先证必要性，①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0 ②
若A=0，则由②对一切x,y,z ∈R 成立，则只有B=C ，再由①知B=C=0，若A ≠0，则因为②恒成立，所以A>0，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC ≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA) 同理有B ≥0，C ≥0，所以必要性成立。

再证充分性，若A ≥0，B ≥0，C ≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)，
1）若A=0，则由B2+C2≤2BC 得(B-C)2≤0，所以B=C ，所以△=0，所以②成立，①成立。

2）若A>0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。

综上，充分性得证。

15．常用结论。

定理1 若a, b ∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.——绝对值不等式 【证明】 因为-|a|≤a ≤|a|,-|b|≤b ≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b ≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m>0，则-m ≤x ≤m 等价于|x|≤m ）. 又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,
即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理1得证。

定理2 若a,b ∈R, 则a2+b2≥2ab ；若x,y ∈R+,则x+y ≥.2xy
注 定理2可以推广到n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。

第三章、基本初等函数 一、基础知识（必会）
1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a ≠1)的函数叫做指数函数，其定义域为R ，值域为（0，+∞），当0<a<1时，y=ax 是减函数，当a>1时，y=ax 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。

2．分数指数幂：
n
m n m
n n
n m n
m n n a a a
a a a a a 1
,1,,1
====--。

3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a ≠1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R ，图象过定点（1，0）。

当0<a<1，y=logax 为减函数，当a>1时，y=logax 为增函数。

4．对数的性质（M>0, N>0）； 1）ax=M ⇔x=logaM(a>0, a ≠1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N ；
3）loga （N M
）= loga M- loga N ；4）loga Mn=n loga M （万能恒等式）
5）loga n
M =n 1
loga M ；6）aloga M=M; 7) loga b=a b c c log log (a,b,c>0, a, c ≠1). 5. 函数y=x+x a
（a>0）的单调递增区间是(]a -∞-,和
[
)
+∞,a ，单调递减区间
为[)0,a -和(]
a ,0。

（请同学自己用定义证明）
6．连续函数的性质：若a<b, f(x)在[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)=0在（a,b ）上至少有一个实根。

二、基础例题（必懂） 1．构造函数解题。

例1 已知a, b, c ∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1>0.
【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x ∈(-1, 1))，则f(x)是关于x 的一次函数。

所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-1<a<1）. 因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0， 所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.
例2 （06） （柯西不等式）若a1, a2,…,an 是不全为0的实数，b1, b2,…,bn
∈R ，则（
∑=n
i i
a
1
2
）·（
∑=n
i i
b
1
2
）≥(
∑=n
i i
i b
a 1
)2，等号当且仅当存在∈μR ，使ai=
i
b μ,
i=1, 2, …, n 时成立。

【证明】 令f(x)= （∑=n
i i
a
1
2）x2-2(∑=n
i i
i
b
a 1
)x+
∑=n
i i b 1
2=∑=-n
i i i
b x a
1
2
)(,
因为
∑=n
i i
a
1
2>0，且对任意x ∈R, f(x)≥0，
所以△=4(
∑=n
i i
i b
a 1)-4（
∑=n
i i
a
1
2）(
∑=n
i i
b
12)≤0.
展开得（
∑=n
i i
a
1
2）(
∑=n
i i
b
1
2)≥(∑=n
i i
i
b
a 1
)2。

等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在μ，使ai=
i
b μ, i=1, 2, …, n 。

***注释：根据许多省市的2011年高考大纲，柯西不等式已经淡化，同学只需大致了解就即可，不需深入做题。

例3（10.全国卷） 设x, y ∈R+, x+y=c, c 为常数且c ∈(0, 2]，求
u=
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+y y x x 11的最小值。

【解】u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+y y x x 11=xy+xy x y y x 1++≥xy+xy 1+2·
x y y x ⋅ =xy+xy 1
+2.
令xy=t ，则0<t=xy ≤44)(22c y x =+,设f(t)=t+t 1
,0<t ≤.42c
因为0<c ≤2，所以0<42
c ≤1，所以f(t)在⎥
⎦⎤ ⎝
⎛4,02
c 上单调递减。

所以f(t)min=f(42c )=42c +24c ，所以u ≥42c +2
4
c +2. 当x=y=2c
时，等号成立. 所以u 的最小值为42c +2
4c +2.
2．指数和对数的运算技巧。

例4 （经典例题） 设p, q ∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求p q
的值。

【解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t ，则p=9 t , q=12 t , p+q=16t ，
所以9 t +12 t =16 t ，即1+.
34342t
t ⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 记x=t
t t p q ⎪⎭⎫ ⎝⎛==34912，则1+x=x2，解得.251±=x
又p q >0，所以p q =.
25
1±
例 5 （经典例题）对于正整数a, b, c(a ≤b ≤c)和实数x, y, z, w ，若
ax=by=cz=70w ，且
w z y x 1111=++，求证：a+b=c. 【证明】 由ax=by=cz=70w 取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
所以w 1lga=x 1lg70, w 1lgb=y 1lg70, w 1lgc=z 1
lg70，
相加得w 1(lga+lgb+lgc)=⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛++z y x 111lg70，由题设w z y x 1111=++， 所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.
所以abc=70=2×5×7.
若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1.
又a ≤b ≤c ，且a, b, c 为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7. 所以a+b=c.
例6 （经典例题） 已知x ≠1, ac ≠1, a ≠1, c ≠1. 且logax+logcx=2logbx ，求证c2=(ac)logab.
【证明】 由题设logax+logcx=2logbx ，化为以a 为底的对数，得
b x
c x x a a a a a log log 2log log log =+
，
因为ac>0, ac ≠1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.
注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。

3．指数与对数方程的解法。

解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。

值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。

例7 （经典例题）解方程：3x+4 x +5 x =6 x.
【解】 方程可化为x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛653221=1。

设f(x)= x
x x ⎪
⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛653221, 则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.
例8 （经典例题） 解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==++312x y y x y x y x （其中x, y ∈R+）.
【解】 两边取对数，则原方程组可化为.3lg )(lg 12lg )(⎩⎨
⎧=+=+glx y y x y
x y x ①② 把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx ，所以[(x+y)2-36]lgx=0.
由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y ∈R+)得x+y=6， 代入①得lgx=2lgy ，即x=y2，所以y2+y-6=0. 又y>0，所以y=2, x=4.
所以方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==24
;11221
1y x y x .
例9 已知a>0, a ≠1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k 的取值范围。

【解】由对数性质知，原方程的解x 应满足⎪⎩⎪
⎨⎧>->--=-0
0)(22222a x ak x a x ak x .①②③ 若①、②同时成立，则③必成立，
故只需解⎩⎨
⎧>--=-0)(2
22ak x a x ak x . 由①可得2kx=a(1+k2)， ④
当k=0时，④无解；当k ≠0时，④的解是x=k k a 2)1(2+，代入②得k k 212+>k.
若k<0，则k2>1，所以k<-1；若k>0，则k2<1，所以0<k<1. 综上，当k ∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时，原方程有解。

高考数学总复习系列》——高中数学必修二
立体几何初步
一、基础知识（理解去记） （一）空间几何体的结构特征
（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。

旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱
1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①
⎧⎪⎧−−−−−
→⎨⎪−−−−−→⎨⎪
⎪⎩
⎩底面是正多形
棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱
②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体
底面为矩形
长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体 1.3棱柱的性质：
①侧棱都相等，侧面是平行四边形；
②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

补充知识点 长方体的性质：
①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】
2222
11
AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线
1
AC 与过顶点A 的三
条棱所成的角分别是αβγ，，，那么
222
c o s c o s
c o s 1αβγ+
+=，
222
sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线
1
AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是
αβγ，，，则222cos cos
cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.
1.4侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和
侧棱长为邻边的矩形.
1.5面积、体积公式：2S c h
S c h S S h
=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周
长，h 为棱柱的高）
注意:大多数省市在高考试卷会给出面积体积公式，因此考生可以不用刻意地去记 2.圆柱
2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几
何体叫圆柱.
2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截
面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的
矩形.
2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面
侧面母线
周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式：
S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2
r h π（其中r 为底面半
径，h 为圆柱高） 3.棱锥
3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各
面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

正棱锥——如果有一个棱锥的底面是
正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3.2棱锥的性质： ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。

）（如上图：,,,SOB SOH SBH OBH 为直角三角形）
3.3侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是有n 个全等的等腰三角形组成的。

3.4面积、体积公式：S 正棱锥侧=12ch '，S 正棱锥全=12ch S '+底，V 棱锥=13S h ⋅底.
（其中c 为底面周长，h '侧面斜高，h 棱锥的高）
4.圆锥
4.1圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

4.2圆锥的性质：
①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
②轴截面是等腰三角形；如右图：SAB
③如右图：222l h r =+.
4.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆
心，以母线长为半径的扇形。

4.4面积、体积公式：
S 圆锥侧=rl π，S 圆锥全=()r r l π+，V 圆锥=2
13r h
π（其中
r 为底面半径，h 为圆锥的高，l 为母线长）
B
B
5.棱台
5.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们
把截面与底面之间的部分称为棱台.
5.2正棱台的性质：
①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边
形；
③如右图：四边形`,``
O MNO O B BO都是直角梯形
④棱台经常补成棱锥研究.如右图：`
SO M与SO N,S`O`B`与SO B相似，注意考虑相似比.
5.3棱台的表面积、体积公式：
S S S
全上底下底
＝S＋＋
侧，
1
S`)
3
V S h
棱台
＝（
，（其中,`
S S是上，下底面面积，h
为棱台的高）
6.圆台
6.1圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与
截面之间的部分叫做圆台.
6.2圆台的性质：
①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；
②圆台的轴截面是等腰梯形；
③圆台经常补成圆锥来研究。

如右图：
`
SO A SOB
与相似，注意相似比的应用.
6.3圆台的侧面展开图是一个扇环；
6.4圆台的表面积、体积公式：
22()
S r R R r l
πππ
+++
全
＝，
V
圆台
22
11
S`))
33
S h r rR R h
πππ
+++
＝（＝（
，（其中r，R为上下底面半径，h 为高）
7.球
7.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.
或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；
7.2球的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
②r=d、球
的半径为R、截面的半径为r）。