江苏省青阳高级中学2020届高三数学综合练习(四)

江苏省青阳高级中学2020届高三数学综合练习（四）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置. 1. 在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据除以100后进行分析， 得出新样本方差为3，则估计总体的标准差为 ．
2. 箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，先摸出1只球，记下颜色后放回箱子，然后再摸出1只球，则摸到两只不同颜色的球的概率为_____
3. 设P 为曲线2
:1C y x x =-+上一点,曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[1,3]-, 则点P 纵坐标的取值范围是____ __
4. 若方程ln 62x x =-的解为0x ，则满足0k x ≤的最大整数k = ．
5. 已知抛物线2
2y px =的准线与双曲线2
2
2x y -=的左准线重合，
则抛物线的焦点坐标为 .
6. A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦， 它的长度大于等于半径长度的概率为
7. 对一切实数x ，不等式01||2
≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是 8. 如果圆22()()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为1， 则实数a 的取值范围是_________
9. 已知双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，
且12PF PF ⊥，124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率是
10. 在约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4
200x y s y x y x 下,当53≤≤s 时,目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围
是
11. 已知平面上的向量PA u u u r 、PB u u u r
满足224PA PB +=u u u r u u u r ,2AB =u u u r ，
设向量2PC PA PB =+u u u r u u u r u u u r ，则PC u u u r
的最小值是 .
12. 已知函数()()()56(4)462
x a x f x a
x x -⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩, 数列{}n a 满足()()
+
∈=N n n f a n ，
E
A B
C
D A 1
B 1
C 1
D 1
且数列{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是____ ___． 13. 设函数x x x f +=3
)(，若02
π
θ<≤
时，(cos )(1)0f m f m θ+->恒成立，
则实数m 的取值范围是
14. 对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数”。

在实数轴（箭头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x 。

这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。

那么]243[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 33333+++++Λ= ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本题满分14分)
已知向量),cos 2,1(),cos ,22sin 3(x x x =+=设函数.)(n m x f ⋅= （I ）求)(x f 的最小正周期与单调递减区间；
（II ）在△ABC 中，c b a ,,分别是角A 、B 、C 的对边，若,1,4)(==b A f △ABC 的面积为2
3，求a 的值.
16. (本题满分14分)
在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为CC 1的中点．
求证：（1）AC 1∥平面BDE ；（2）A 1E ⊥平面BDE ．
17.(本题满分14分)
某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD
的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工
厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x(km)，将y 表示成x 的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短
18．(本题满分16分)
已知数列{ n a }、{ n b }满足：112
1
,1,41n n n n n b a a b b a +=
+==-. (1)求1,234,,b b b b ; (2)求数列{ n b }的通项公式；
(3)设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立
B
19. (本题满分16分)椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率e = 2
2
，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-2
2
, 直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP ＝PB λu u r u u r ． （1）求椭圆方程；（2）若OA ＋OB ＝ 4OP λu u r u u r u u r ，求m 的取值范围．
20. (本题满分16分)已知函数x a x x f ln )(2
+=(a 为实常数). (1)若2-=a ，求证：函数)(x f 在(1，+．∞)上是增函数； (2)求函数)(x f 在[1，e]上的最小值及相应的x 值；
(3)若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围.
数 学 试 题及参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置. 1. 在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据除以100后进行分析，得出新样本方差为3，则估计总体的标准差为 ． 【答案】3100
2. 箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，先摸出1只球，记下颜色后放回箱子，然后再摸出1只球，则摸到两只不同颜色的球的概率为_____ 【答案】
1225
3. 设P 为曲线2
:1C y x x =-+上一点,曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[1,3]-,则点P 纵坐标的取值范围是____ __ 【答案】]3,4
3[
4. 若方程ln 62x x =-的解为0x ，则满足0k x ≤的最大整数k = ． 【答案】2
5. 已知抛物线2
2y px =的准线与双曲线2
2
2x y -=的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为 .【答案】()1,0
6. A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为 【答案】 2
3
7. 对一切实数x ，不等式01||2
≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是 【答案】[)+∞-,2
8. 如果圆22()()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为1， 则实数a 的取值范围是_________
【答案】(⋃ 9. 已知双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，
且12PF PF ⊥，124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率是
10. 在约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4
200x y s y x y x 下,当53≤≤s 时,目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围
是 【答案】[]8,7
11. 已知平面上的向量PA u u u r 、PB u u u r
满足224PA PB +=u u u r u u u r ,2AB =u u u r ，设向量
2PC PA PB =+u u u r u u u r u u u r ，则PC u u u r
的最小值是 .
【答案】2
12. 已知函数()()()56(4)462
x a x f x a
x x -⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩, 数列{}n a 满足()()
+
∈=N n n f a n ，且数列{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是____ ___． 【答案】()4,8
13. 设函数x x x f +=3
)(，若02
π
θ<≤
时，(cos )(1)0f m f m θ+->恒成立，
则实数m 的取值范围是
【答案】(－∞，1)
14. 对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数”。

在实数轴R （箭头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x 。

这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。

那么]243[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 33333+++++Λ= ．
【答案】857
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本题满分14分)
已知向量),cos 2,1(),cos ,22sin 3(x x x =+=设函数.)(x f ⋅= （I ）求)(x f 的最小正周期与单调递减区间；
（II ）在△ABC 中，c b a ,,分别是角A 、B 、C 的对边，若,1,4)(==b A f △ABC 的面积为2
3
，求a 的值.
解：（I ）),cos 2,1(),cos ,22sin 3(x x x =+=Θ
2()222cos 2cos 23
f x m n
x x x x ∴=⋅=++=++u r r
3)62sin(2++=π
x
…………4分 ππ==∴2
2T
…………5分
)(3
2
6)(2
326
22
2Z k k x k Z k k x k ∈+≤≤+
∴∈+
≤+
≤+πππ
ππ
ππ
π
π令
)](3
2
,6[)(Z k k k x f ∈++
∴πππ
π的单调减区间为 …………7分
（II ）由4)(=A f 得
2
1
)6
2sin(4
3)6
2sin(2)(=
+
∴=++=π
π
A A A f
的内角为又ABC A ∆Θ
65626
7626
πππ
π
π
=
+∴<
+
<∴
A A
3
π
=
∴A …………10分
23sin 211,3
3
=∴==
∆A bc b S ABC Θ
2=∴c
…………12分
32
1
12214cos 2222=⨯
⨯⨯-+=-+=∴A bc c b a
E
A B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1 3=∴a
…………14分
16. (本题满分14分)
在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为CC 1的中点．
求证：（1）AC 1∥平面BDE ；（2）A 1E ⊥平面BDE ．
（1）证明：连接AC ，设AC ∩BD ＝O ．由条件得ABCD 为正方形， 故O 为AC 中点．因为E 为CC 1中点，所以OE ∥AC 1． 因为OE ⊂平面BDE ，AC 1⊂/平面BDE ．所以AC 1∥平面BDE ．
（2）连接B 1E ．设AB ＝a ，则在△BB 1E 中，BE ＝B 1E ＝2a ，BB 1＝2a ．所以BE 2
＋B 1E 2＝BB 12
．
所以B 1E ⊥BE ．由正四棱柱得，A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1B 1⊥BE ．
所以BE ⊥平面A 1B 1E ．所以A 1E ⊥BE ．同理A 1E ⊥DE ．所以A 1E ⊥平面BDE ． 17.(本题满分14分)
某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD
的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工
厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x(km)，将y 表示成x 的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短
【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10
cos cos AQ OA θθ
=
=
, 故 10
cos OB θ
=
，又OP ＝1010tan θ-， 所以1010
1010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，
所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=
+04πθ⎛
⎫≤≤ ⎪⎝
⎭
②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以
=
所求函数关系式为)010y x x =+≤≤ （Ⅱ）选择函数模型①，()()()
'
2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ
-----=
=g
B
令'
y =0 得sin 12θ=，因为04
π
θ<<，所以θ=6π，
当0,
6πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，'
0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=
6
π
时，min 10y =+。

这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB
km 处。

18．(本题满分16分)
已知数列{ n a }、{ n b }满足：1121
,1,41n n n n n
b a a b b a +=
+==-. (1)求1,234,,b b b b ; (2)求数列{ n b }的通项公式；
(3)设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立 解：（1) 11(1)(1)(2)2n n n n n n n n
b b b a a b b b +=
==---＋
∵1113,44a b =
= ∴234456
,,567
b b b === ……………4分 （2）∵11112n n
b b +-=
-- ∴1211
1111n n n n b b b b +-==-+---
∴数列{
1
1
n b -}是以－4为首项，－1为公差的等差数列 ……………6分 ∴
14(1)31n n n b =---=--- ∴12
133
n n b n n +=-=++ ……………8分 (3)1
13
n n a b n =-=
+
∴12231111114556(3)(4)444(4)
n n n n S a a a a a a n n n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅=-=
⨯⨯++++ ∴22(1)(36)8
443(3)(4)
n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=++++ ……………10分 由条件可知2(1)(36)80a n a n -+--<恒成立即可满足条件设2()(1)3(2)8f n a n a n =-+--
a ＝1时，()380f n n =--<恒成立, a>1时，由二次函数的性质知不可能成立 a<l 时，对称轴3231
(1)02121
a a a --=--<--g
……………13分
f(n)在(,1]-∞为单调递减函数．
2
(1)(1)(36)8(1)(36)84150f a n a n a a a =-+--=-+--=-< ∴15
4
a <
∴a<1时4n aS b <恒成立 ……………15分 综上知：a ≤1时，4n aS b <恒成立 ……………16分 19. (本题满分16分)
椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率e =
2
2
，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-2
2
, 直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP ＝PB λu u r u u r
．
（1）求椭圆方程；
（2）若OA ＋OB ＝ 4OP λu u r u u r u u r
，求m 的取值范围．
（1）设C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0），设c >0，c 2＝a 2－b 2
，由条件知a-c ＝22，c a ＝22
，
∴a ＝1，b ＝c ＝22
，故C 的方程为：y 2
＋x 21
2
＝1 5′
（2）由AP → ＝λPB →
，OA ＋OB ＝ 4OP λu u r u u r u u r
∴λ＋1＝4，λ＝3 或O 点与P 点重合OP → =0→
7′
当O 点与P 点重合OP → =0→
时，m=0
当λ＝3时，直线l 与y 轴相交，则斜率存在。

设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m 2x 2＋y 2＝1
得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2
＋2）>0 （*）
x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1
k 2＋2
11′
∵AP ＝3PB →
∴－x 1＝3x 2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝－2x 2x 1x 2＝－3x 2
2
消去x 2，得3（x 1＋x 2）2
＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2
－1k 2＋2
＝0
整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2
－2＝0 13′
m 2＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2
＝2－2m 2
4m 2－1
，
因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2＝2－2m 2
4m 2－1>0，∴－1<m <－12 或 12
<m <1 容易验证k 2>2m 2－2成立，所以（*）成立
即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（12，1）∪｛0｝ 16′ 20. (本题满分16分)
已知函数x a x x f ln )(2
+=(a 为实常数).
(1)若2-=a ，求证：函数)(x f 在(1，+．∞)上是增函数；
(2)求函数)(x f 在[1，e]上的最小值及相应的x 值；
(3)若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围. （1）当2-=a 时，x x x f ln 2)(2
-=，当),1(+∞∈x ，0)1(2)(2>-='x
x x f ， 故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．…………………………………………………4分 （2）)0(2)(2>+='x x
a x x f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+． 若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，x=1时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时=min )]([x f 1)1(=f ． ………………………………………………6分
若222-<<-a e ，当2a x -=时，0)(='x f ；当2
1a x -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数； 当e x a ≤<-2时，0)(>'x f ，此时)(x f 是增函数．故=min )]([x f )2(a f - 2
)2ln(2a a a --=． 若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x=e 时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是减函数，此时==)()]([min e f x f 2e a +．……………………………………8分
综上可知，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1；当222-<<-a e 时，)(x f
的最小值为2
)2ln(2a a a --，相应的x 值为2a -；当22e a -≤时，)(x f 的最小值为2e a +， 相应的x 值为e ．……………………………………………………………………10分
（3）不等式x a x f )2()(+≤， 可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．
∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ， 因而x
x x x a ln 22--≥（],1[e x ∈）………………………………………………12分 令x x x x x g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），又2
)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='，…………………14分 当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，
从而0)(≥'x g （仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数，
故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-． ………………………16分。