高考数学理科 复习 第四章三角函数 §4.3三角函数的图象及性质

典例1 (1)(2014浙江,4,5分)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函
数y= 2 cos 3x的图象 ( )
A.向右平移 个单位
4
B.向左平移 个单位
4
C.向右平移 个单位
12
D.向左平移 个单位
12
(2)(2013四川,5,5分)函数f(x)=2sin(ωx+φ) ω
3.将函数y=sin 2x的图象向左平移 个单位,再向上平移1个单位,所得图象
4
的函数解析式是 ( )
A.y=cos 2x
B.y=2cos2x
C.y=1+sin
2x
4
D.y=2sin2x
答案
B
y=sin
2x的图象向左平移
4
个单位得到y=sin
2
x
4
=sin
2x
2
=cos
2x的图象,再向上平移1个单位得到y=cos
2
12 3 2
12
5.f(x)=cos
ωx
6
的最小正周期为
5
,其中ω>0,则ω=
.
答案 10
解析
∵T=
2 ω
=5
,∴ω=10.
6.已知函数y=sin(ωx+φ)
ω
0,
φ
2
,
2
的最小正周期为π,且其图象关于
直线x=
12
对称.下面四个结论:①图象关于点
4
,0
对称;②图象关于点
3
2-1 已知函数f(x)= (sin x cos x)sin 2x .
sin x
(1)求f(x)的定义域及最小正周期;
(2)求f(x)的单调递增区间.
解析 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z), 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.
因为f(x)= (sin x cos x)sin 2x =2cos x(sin x-cos x)
0,
2
φ
2
的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是 ( )
答案 (1)C (2)A
解析
(1)因为y=sin 3x+cos 3x=
2
cos
3x
4
,所以要得到函数y=
2 cos
3x
4
的图象,可以将函数y=
2 cos 3x的图象向右平移 个单位,故选C.
12
(2)由题中图象可知
3 4
T= 5
12
2x+1=2cos2x的图象.
故选B.
4.下列四个函数中,最小正周期为π,且图象关于直线x= 对称的是 ( )
12
A.y=sin
x 2
3
B.y=sin
x 2
3
C.y=sin
2x
3
D.y=sin
2x
3
答案 C 对于选项A,B,函数的最小正周期都是4π,排除A,B.对于C选项,
最小正周期为T= 2 =π,2× + = ,函数图象关于直线x= 对称,故选C.
8
, k
和
k
, k
3
8
(k∈Z).
2-2
已知函数f(x)=2
3
sin2
4
x
+2cos2x-
3.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)求函数f(x)在区间 0,
2
上的值域.
解析
(1)f(x)=
3
1
cos
2
2x
+1+cos
2x-
3 =-
3
cos
2
2x
+cos
2x+1
sin x
=sin 2x-cos 2x-1=
2
sin
2x
4
-1,
所以f(x)的最小正周期T= 2 =π.
2
(2)函数y=sin
x的单调递增区间为 2k
2
,
2k
2
(k∈Z).
由2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z),
2
4
2
得kπ- ≤x≤kπ+ 3 ,x≠kπ(k∈Z).
8
8
所以f(x)的单调递增区间为k
3
的图象
y=3sin
2x
3
的图象.
三角函数的性质及其应用
典例2
(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cos
x·sin
x
3
-
3
3 cos2x+ 4 ,x∈
R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在闭区间
4
,
4
上的最大值和最小值.
解析 (1)由已知,有
f(x)=cos
1
x· 2
1-2
作出函数y=3sin
2x
3
,x∈R的简图,并说明它与y=sin
x的图象的关
系.
解析
按“五点法”,当2x+
3
分别取0,
2
,π,
3 2
,2π时,相应的x取-
6
,12
,
3
,
7 , 5 .
12 6
列表:
x
-π
π
π
7π
5π
6
12
3
12
6
2x+ π
0
3
π
3sin
2x
π 3
0
23
π
3π
2π
2
0
ω
ω
4.作y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象主要有以下两种方法:
(1)用“五点法”作图
用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由
z取 0 ,
2 , π,
3
2,
2π 来求出相应的x,通过
列表、计算得出五点坐标,描点连线后得出图象. (2)由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要 途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 方法一:先平移后伸缩
ω
换和周期变换都是对变量x而言的.因此在用这样的变换法作图时一定要注 意平移的先后顺序.
1-1 如图是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象,由图中条件写出该 函数的解析式.
解析 由题图知A=5, 由T = 5 -π= 3 ,得T=3π,
22 2
∴ω= 2
T
=2
3
.此时y=5sin
4
,
12
上是减函数,在区间
12
,
4
上是增函数,
f
4
=-
1 4
,
f
12
=-
1 2
,
f
4
=
1 4
,
所以函数f(x)在闭区间
4
,
4
上的最大值为
1 4
,最小值为-
1 2
.
1.周期性:求三角函数的最小正周期时,一般地,经过恒等变形把三角函数化 为“y=Asin(ωx+φ)”或“y=Acos(ωx+φ)”或“y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利 用周期公式即可. 2.奇偶性:判断函数的奇偶性,应先判断函数定义域的对称性,注意偶函数的 和、差、积、商仍是偶函数;复合函数在复合过程中,对每个函数(为奇函 数或偶函数)而言,只要有一个是偶函数,则复合函数就是偶函数,若都是奇 函数,则复合函数为奇函数.
2 3
x
φ
,得
5sin
6
φ
=5,
∴ +φ=2kπ+ (k∈Z),∴φ=2kπ+ (k∈Ζ).
6
2
3
又|φ|<π,∴φ= .
3
解法三(起始点法):
函数y=Asin(ωx+φ)的图象一般由“五点法”作出,而起始点的横坐标x0正是 由ωx0+φ=0解得的.故只要找出起始点横坐标x0,就可以迅速求得φ.由图象易
sin
x
3 2
cos
x
-
3
3 cos2x+ 4
1
3
3
= 2 sin x·cos x- 2 cos2x+ 4
= 1 sin 2x- 3 (1+cos 2x)+ 3
4
4
4
= 1 sin 2x- 3 cos 2x
4
4
=
1 2
sin
2x
3
.
所以f(x)的最小正周期T= 2 =π.
2
(2)因为f(x)在区间
-
3
⇒
3T=
4
3 4
2.∵图象过
点
5
12
,
2
,
则f
5
12
=2⇒2sin
5
6
φ=2⇒sin
5
6
φ=1.
1.由图象求解析式y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一般步骤: (1)由函数的最值确定A的值; (2)由函数的周期来确定ω的值; (3)由函数图象最高点(或最低点)的坐标得到关于φ的方程,再由φ的范围得 φ的值.也可以由起始点的横坐标得φ的值. 2.“五点法”作形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象时,利用“整体”的思
单调增区间:
单调增区间:
单调增区间:
[2kπ-π,2kπ](k
2kπ- 2 ,2kπ+ ∈Z) ;
2 (k∈Z) ;
单调减区间:
单调减区间: [2kπ,2kπ+π](k
∈Z)
kπ- 2 ,kπ+ 2
(k∈Z)
2kπ+ 2 ,2kπ+
3 2
奇 函数
偶 函数
奇 函数
3.一般地,对于函数f(x),如果存在一个不为0的常数T,使得当x取定义域内
的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T
叫做这个函数的周期,把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正周期
(函数的周期一般指最小正周期).函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(ω>0
且为常数)的周期T= 2 ,函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0且为常数)的周期T= .
,
0
对称;③在 0,
6
上是增函数;④在
6
,
0
上是增函数,其中所有正确
结论的编号为
.
答案 ②④
解析 ∵T=π,∴ω=2.
∴由题意知2× +φ=kπ+ (k∈Z),∴φ=kπ+ (k∈Z).
12
2
3
∵φ∈
2
,
2
,∴φ=
3
,∴y=sin
2x
3
,可知仅②④正确.
典例题组
三角函数的图象及其变换
-3
0
描点,连线,得y=3sin
2x
3
在一个周期内的图象如图所示.
利用函数的周期性,可以把上述简图向左、右扩展,就得到y=3sin
2x
3
(x
∈R)的简图.
由图象可以看出,y=3sin
2x
3
的图象是用下面方法得到的.
y=sin x的图象
y=sin 2x的图象
y=sin
2
x
6
=sin 2x
2 3
x
φ
.
下面求初相φ.
解法一(单调性法):
∵点(π,0)在下降的那段曲线上,
∴
2 3
+φ∈
2k
2
,
2k
3 2
(k∈Ζ).
由sin
2
3
φ =0得
2 3
+φ=2kπ+π(k∈Z),
∴φ=2kπ+ (k∈Ζ).
3
∵|φ|<π,∴φ= .
3
解法二(最值点法):
将最高点坐标
4
,
5
代入y=5sin
想,将ωx+φ取五个值:0, ,π, 3 π,2π.进一步计算出相应的x的五个值,然后列
22
表,描点,连线即可. 3.用“五点法”作图时,横、纵坐标的刻度选取要合理,图象才美观.
4.用“变换法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象时,“先平移,后伸
缩”,平移|φ|个单位,“先伸缩,后平移”,应平移 φ 个单位,原因在于相位变
间
2
,
上是增函数;选项C中,T=4π;选项D中,T=π,在区间
2
,
上是减函
数.故选D.
2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则ω等于 ( )
A. 1
3
答案
B. 2 C.1 D.2
3
B
∵
T 2
15 =8
3 -8
=
3 2
,∴T=3π=
2 ω
,∴ω=
2 3
,故选B.
课标版 理数 § 4.3 三角函数的图象及性质
知识梳理
1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象形状时,
起关键作用的五个点是①
(0,0)
、②
2
,1
、③ (π,0) 、④
3 2
,
1
、⑤
(2π,0)
.
2.三角函数的图象和性质
函数 性质
定义域
y=sin x ⑥R
y=cos x
y=sin x
y=sin(x+φ)
y=sin(ωx+φ)
方法二:先伸缩后平移
y=Asin(ωx+φ) .
y=sin x
y=sin ωx
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ) .
5.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时,A叫做
,T=
2 ω
叫做
周期
,
f=
1 T
=
ω 2
叫做
频率 ,ωx+φ叫做
,x=0时的相位φ称为 初相 .
振幅 相位
1.下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间
2
,
上为减函数的是
()
A.y=sin 2x B.y=2|cos x|
C.y=cos x
2
答案 D
D.y=tan(-x)
选项A中,T=π,在区间
2
,
上不是减函数;选项B中,T=π,在区
y=tan x
⑦R
⑧ x x≠kπ+ 2 ,k∈Z
图象
值域
⑨ [-1,1]
⑩ [-1,1]
R
对称性
对称轴: x=kπ+ 对称轴: x=kπ(k 对称中心:
2 (k∈Z) ;