2023-2024学年陕西省西安市高三上学期9月月考数学(文)模拟试题(含解析)
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(3)求 a 与 b 的夹角的余弦值.
(4)借助向量和单位圆求证： cos coscos sinsin
21．已知 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 2 cos C a cos B b cos A c .
(1)求 C ；
(2)若 c 7 ， ABC 的面积为 3 3 ，求 ABC 的周长. 2
【详解】利用诱导公式可得 sin 6 A sin A sin A 1 ，
3 故选：B.
10．D
【分析】根据向量加法、数量积、数乘运算的运算法则判断．
【详解】选项 A 是向量加法的结合律，正确；
选项 B 是向量数量积运算对加法的分配律，正确；
选项 C 是数乘运算对向量加法的分配律，正确；
选项 D．根据数量积和数乘定义，等式左边是与 c 共线的向量，右边是与 a 共线的向量，两
19． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 (sin B sin C)2 sin2 A sin B sin C ．
（1）求 A；
（2）若 2a b 2c ，求 sinC．
四､解答题（共 52 分）
20．已知向量.
a
2,
3,
b
1,
3
(1)求 a 与 b 的模长.
(2)求 a 与 b 的数量积.
三､计算题（共 30 分）
17．解不等式： (1) x2 4x 5 0 ； (2) x2 2ax a2 1；
(3)
x 2
1 x
3.
18．证明题：
(1)借助向量证明余弦定理（余弦定理有三种书写形式，只证明其中一种即可）；
(2)借助完全平方公式证明均值不等式：aFra bibliotek 2b
ab （ a 和 b 均为正数）.
17．(1)x∣1 x 5 (2)x∣a 1 x a 1
(3) x
5 4
x
2
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解； （2）根据一元二次不等式的解法求解； （3）根据分式不等式的解法求解.
【详解】（1） x2 4x 5 0 可化为 x2 4x 5 0 ，即 x 1 x 5 0 ，解得 1 x 5 ， ∴原不等式的解集为x∣1 x 5 .
者一般不可能相等，也即向量的数量积运算没有结合律存在．D 错．
故选：D．
11．B
【分析】根据给定条件，直接写出圆的标准方程作答. 【详解】因为以 (a , b ) 为圆心， r 为半径的圆的标准方程为 (x a)2 ( y b)2 r2，
所以以点 ( 2, 2) 为圆心，以 3 为半径长的圆的标准方程是 (x 2)2 ( y 2)2 3 ，
【详解】由
x2
4
0
，可得
2
x
2 ，即
A
{x
|
2
x
2} ，而
B
x
x
a 2
，
∵ A B x | 2 x 1 ，
∴ a 1，可得 a 2 . 2
故选：B. 3．A
x 3
【详解】
lgx lgy
a
,
lg
x y
a,
lg
x 2
3
lg
y 3 2
lg[
2 y
3
]
lg
x 3
C．15°
D．105°或 15°
8．若 sin 1 ，则 cos 的值为（ ）
2
A． 1 2
B．
1 2
C． 3 2
D． 3 2
9．若 sinA 1 ，则 sin 6 A 的值为（ ）
3
A． 1
B． 1
C． 2 2
D． 2 2
3
3
3
3
10．若 a ， b ， c 均为任意向量， m R ，则下列等式不一定成立的是（ ）
A． 5 3
B．
2 3
C． 1 3
D． 5 9
6．设函数
f
(x)
cos( x
π) 6
在 [π,π] 的图像大致如下图，则
f(x)的最小正周期为（
）
A． 10π 9
C． 4π 3
B． 7π 6
D． 3π 2
7．在 ABC 中，已知 a＝5 2 ，c＝10，A＝30°，则 B 等于（ ）
A．105°
B．60°
（1）求 {an } 的公比；
（2）若 a1 1，求数列{nan}的前 n 项和．
25．已知 a 1 .
(1)求证 y loga x的单调性；
(2)求证 y ax 的单调性.
7x 5y 23 0
26．已知
x､y
满足条件：
x
7
y
11
0
，
4x y 10 0
(1)求 4x 3y 的最大值和最小值；
∴B＝105°或 15°.
故选：D
8．D
【分析】先化简已知得 sin = 1 ，再求 cos 的值. 2
【详解】由 sin 1 得 sin = 1 ，
2
2
所以 在第一、二象限，
所以 cos =
1
1 2
2
3. 2
故选：D.
9．B
【分析】本题考查诱导公式的基础运用，套用公式即可.
A． (a b) c a (b c)
B． (a b) c a c b c
C． m(a b) ma mb
D． (a b)c a(b c)
11．以点 ( 2, 2) 为圆心， 3 为半径长的圆的标准方程是（ ）．
A． (x 2)2 ( y 2)2 3
2023-2024 学年陕西省西安市高三上学期 9 月月考数学（文）
模拟试题
一､选择题（每小题 4 分，共 48 分）
1．将来要学到虚数单位 i ，已知 i2 1，则 i5 （ ）
A．1
B． 1
C． i
D． i
2．设集合 A x∣x 2 4 0 ,B x∣2x a 0 ，且 A B x∣ 2 x 1 ，则 a （ ）
二､填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3， 则此球的表面积为_____．
14．在空间直角坐标系 O xyz 中，点 A2, 4,3 关于坐标平面 yOz 对称的点是__________.
15．命题“ x R ， 2x2 3ax 9 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是________． 16．命题 p :存在实数 m ，使方程 x2 mx 1 0 有实数根，则“ p ”形式的命题是 ________________
y
3 lg
x y
3
a
,
2
故选 A.
4．B
【分析】根据幂函数的定义判断即可.
【详解】一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 是自变量， 为常数，
故
y
1 x3
x3 ，
y
4
x5
5
x4 为幂函数，
y
2x 1，
y
x3
x 均不为幂函数.
故选：B
5．A 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 cos 的一元二次方程，求解得出 cos ，
再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】 3cos 2 8cos 5 ，得 6cos2 8cos 8 0 ，
即 3cos2
4 cos
4
0 ，解得 cos
2 3
或 cos
2 （舍去），
又 (0, ),sin 1 cos 2 5 . 3
故选：A.
本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求
22．已知函数： y x 2 x
(1)当 x 0 时，求函数中 y 的最小值，并求此时 x 的取值；
(2)求直线 y 7x 3 与上述函数的交点的中点坐标. 23．设数列{an}满足 a1=3， an1 3an 4n ． （1）计算 a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前 n 项和 Sn． 24．设{an}是公比不为 1 的等比数列， a1 为 a2 ， a3 的等差中项．
,
0
，
将它代入函数
f
x
可得：
cos
4 9
6
0
又
4 9
,
0
是函数
f
x 图象与
x
轴负半轴的第一个交点，
所以 4 ，解得： 3
9
62
2
所以函数
f
x 的最小正周期为T
2
2 3
4 3
2
故选：C
本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
7．D
B． (x 2)2 ( y 2)2 3
C． (x 2)2 ( y 2)2 3
D． (x 2)2 ( y 2)2 3
12．下列说法正确的是（ ） A．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行 B．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行 C．如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行 D．如果两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行
A． 4
B． 2
C．2
D．4
3．若
lg
x
lg
y
a ,则 lg
x 2
3
lg
y 2
3
A． 3a
B．
3 2
a
C． a
D．
a 2
4．下列函数中，
y
1 x3
，
y
2x 1，
y
x3
x，
y
4
x5
是幂函数的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．已知 (0, π) ，且 3cos2 8cos 5 ，则 sin （ ）
解能力，属于基础题.
6．C
【分析】由图可得：函数图象过点
4 9
, 0
，即可得到
cos
4 9
6
0，结合
4 9
,
0
是函数 f x 图象与 x 轴负半轴的第一个交点即可得到 4 ，即可求得 3 ，
9
62
2
再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点
4 9
故选：C 13．14π 【详解】试题分析：球的直径为长方体的对角线，即 2R 1 22 32 14 ,因此球的表面 积为 4 R2 14 . 考点：球的表面积 14． (2, 4, 3) 【分析】根据点关于平面 yOz 对称的点坐标的特点可直接得到结果.
【详解】 点 a,b,c 关于平面 yOz 对称的点为 a,b, c ，
(2)求 x2 y2 的最大值和最小值.
(3)类比二元一次不等式所表示的平面区域，试画出 x2 y2 9 表示的的平面区域（注：第（3）
问和（1）（2）问无关）
1．D 【分析】根据复数的乘方计算可得.
【详解】 i5 i2 i2 i 11i i .
故选：D
2．B
【分析】解一元二次不等式、一元一次不等式求集合 A、B，根据交集的结果求参数 a 即可.
故选：B 12．C 【分析】根据线面关系，结合平面的基本性质判断面面关系. 【详解】A：如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，则这两个平面平行、重合、相 交，错误； B：如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，则这两个平面平行、重合、相交，错 误； C：如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行，正确； D：如果两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行、重合、相交，错误；
（2） x2 2ax a2 1 0 x a 1 x a 1 0 a 1 x a 1，
∴原不等式的解集为x∣a 1 x a 1.
（3）
x 1 2x
3
x 1 2x
3
0
4x 5 2x
0
4x 5 x2
0
4x 5
x
2
0
x
2
0
x
5 4
A2, 4,3 关于平面 yOz 对称的点的坐标为 2, 4,3 .
故答案为. 2, 4,3
15． 2 2, 2 2 【分析】由原命题为假可知其否定为真，结合二次函数性质知 0 ，解不等式求得结果. 【详解】若原命题为假命题，则其否定“ x R ， 2x2 3ax 9 0 ”为真命题 9a2 72 0 ，解得： 2 2 a 2 2 a 的取值范围为 2 2, 2 2 故 2 2, 2 2 本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够利用原命题与其否定之 间的真假关系将问题转化为恒成立的问题. 16．对任意实数 m ，方程 x2 mx 1 0 没有实数根 【分析】存在性命题的否定是全称量词命题，将 ，否定原结论即可. 【详解】原命题为：m R ，使方程 x2 mx 1 0 有实数根，其对应的否命题为：m R ， 方程 x2 mx 1 0 没有实数根， 故对任意实数 m ，方程 x2 mx 1 0 没有实数根 本题考查了特称命题的否定，所得命题为 并否定原结论，属于简单题.
【分析】利用正弦定理求出 C＝45°或 135°，即得解.
【详解】由正弦定理 a ＝ c 可得 5 2 ＝ 10 ，
sinA sinC
sin30 sinC
∴sin C＝ 2 ， 2
∴C＝45°或 135°.都满足题意.
当 C＝45°时，B＝180°－(A＋C)＝105°；
当 C＝135°时，B＝180°－(A＋C)＝15°，
(4)借助向量和单位圆求证： cos coscos sinsin
21．已知 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 2 cos C a cos B b cos A c .
(1)求 C ；
(2)若 c 7 ， ABC 的面积为 3 3 ，求 ABC 的周长. 2
【详解】利用诱导公式可得 sin 6 A sin A sin A 1 ，
3 故选：B.
10．D
【分析】根据向量加法、数量积、数乘运算的运算法则判断．
【详解】选项 A 是向量加法的结合律，正确；
选项 B 是向量数量积运算对加法的分配律，正确；
选项 C 是数乘运算对向量加法的分配律，正确；
选项 D．根据数量积和数乘定义，等式左边是与 c 共线的向量，右边是与 a 共线的向量，两
19． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 (sin B sin C)2 sin2 A sin B sin C ．
（1）求 A；
（2）若 2a b 2c ，求 sinC．
四､解答题（共 52 分）
20．已知向量.
a
2,
3,
b
1,
3
(1)求 a 与 b 的模长.
(2)求 a 与 b 的数量积.
三､计算题（共 30 分）
17．解不等式： (1) x2 4x 5 0 ； (2) x2 2ax a2 1；
(3)
x 2
1 x
3.
18．证明题：
(1)借助向量证明余弦定理（余弦定理有三种书写形式，只证明其中一种即可）；
(2)借助完全平方公式证明均值不等式：aFra bibliotek 2b
ab （ a 和 b 均为正数）.
17．(1)x∣1 x 5 (2)x∣a 1 x a 1
(3) x
5 4
x
2
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解； （2）根据一元二次不等式的解法求解； （3）根据分式不等式的解法求解.
【详解】（1） x2 4x 5 0 可化为 x2 4x 5 0 ，即 x 1 x 5 0 ，解得 1 x 5 ， ∴原不等式的解集为x∣1 x 5 .
者一般不可能相等，也即向量的数量积运算没有结合律存在．D 错．
故选：D．
11．B
【分析】根据给定条件，直接写出圆的标准方程作答. 【详解】因为以 (a , b ) 为圆心， r 为半径的圆的标准方程为 (x a)2 ( y b)2 r2，
所以以点 ( 2, 2) 为圆心，以 3 为半径长的圆的标准方程是 (x 2)2 ( y 2)2 3 ，
【详解】由
x2
4
0
，可得
2
x
2 ，即
A
{x
|
2
x
2} ，而
B
x
x
a 2
，
∵ A B x | 2 x 1 ，
∴ a 1，可得 a 2 . 2
故选：B. 3．A
x 3
【详解】
lgx lgy
a
,
lg
x y
a,
lg
x 2
3
lg
y 3 2
lg[
2 y
3
]
lg
x 3
C．15°
D．105°或 15°
8．若 sin 1 ，则 cos 的值为（ ）
2
A． 1 2
B．
1 2
C． 3 2
D． 3 2
9．若 sinA 1 ，则 sin 6 A 的值为（ ）
3
A． 1
B． 1
C． 2 2
D． 2 2
3
3
3
3
10．若 a ， b ， c 均为任意向量， m R ，则下列等式不一定成立的是（ ）
A． 5 3
B．
2 3
C． 1 3
D． 5 9
6．设函数
f
(x)
cos( x
π) 6
在 [π,π] 的图像大致如下图，则
f(x)的最小正周期为（
）
A． 10π 9
C． 4π 3
B． 7π 6
D． 3π 2
7．在 ABC 中，已知 a＝5 2 ，c＝10，A＝30°，则 B 等于（ ）
A．105°
B．60°
（1）求 {an } 的公比；
（2）若 a1 1，求数列{nan}的前 n 项和．
25．已知 a 1 .
(1)求证 y loga x的单调性；
(2)求证 y ax 的单调性.
7x 5y 23 0
26．已知
x､y
满足条件：
x
7
y
11
0
，
4x y 10 0
(1)求 4x 3y 的最大值和最小值；
∴B＝105°或 15°.
故选：D
8．D
【分析】先化简已知得 sin = 1 ，再求 cos 的值. 2
【详解】由 sin 1 得 sin = 1 ，
2
2
所以 在第一、二象限，
所以 cos =
1
1 2
2
3. 2
故选：D.
9．B
【分析】本题考查诱导公式的基础运用，套用公式即可.
A． (a b) c a (b c)
B． (a b) c a c b c
C． m(a b) ma mb
D． (a b)c a(b c)
11．以点 ( 2, 2) 为圆心， 3 为半径长的圆的标准方程是（ ）．
A． (x 2)2 ( y 2)2 3
2023-2024 学年陕西省西安市高三上学期 9 月月考数学（文）
模拟试题
一､选择题（每小题 4 分，共 48 分）
1．将来要学到虚数单位 i ，已知 i2 1，则 i5 （ ）
A．1
B． 1
C． i
D． i
2．设集合 A x∣x 2 4 0 ,B x∣2x a 0 ，且 A B x∣ 2 x 1 ，则 a （ ）
二､填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3， 则此球的表面积为_____．
14．在空间直角坐标系 O xyz 中，点 A2, 4,3 关于坐标平面 yOz 对称的点是__________.
15．命题“ x R ， 2x2 3ax 9 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是________． 16．命题 p :存在实数 m ，使方程 x2 mx 1 0 有实数根，则“ p ”形式的命题是 ________________
y
3 lg
x y
3
a
,
2
故选 A.
4．B
【分析】根据幂函数的定义判断即可.
【详解】一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 是自变量， 为常数，
故
y
1 x3
x3 ，
y
4
x5
5
x4 为幂函数，
y
2x 1，
y
x3
x 均不为幂函数.
故选：B
5．A 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 cos 的一元二次方程，求解得出 cos ，
再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】 3cos 2 8cos 5 ，得 6cos2 8cos 8 0 ，
即 3cos2
4 cos
4
0 ，解得 cos
2 3
或 cos
2 （舍去），
又 (0, ),sin 1 cos 2 5 . 3
故选：A.
本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求
22．已知函数： y x 2 x
(1)当 x 0 时，求函数中 y 的最小值，并求此时 x 的取值；
(2)求直线 y 7x 3 与上述函数的交点的中点坐标. 23．设数列{an}满足 a1=3， an1 3an 4n ． （1）计算 a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前 n 项和 Sn． 24．设{an}是公比不为 1 的等比数列， a1 为 a2 ， a3 的等差中项．
,
0
，
将它代入函数
f
x
可得：
cos
4 9
6
0
又
4 9
,
0
是函数
f
x 图象与
x
轴负半轴的第一个交点，
所以 4 ，解得： 3
9
62
2
所以函数
f
x 的最小正周期为T
2
2 3
4 3
2
故选：C
本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
7．D
B． (x 2)2 ( y 2)2 3
C． (x 2)2 ( y 2)2 3
D． (x 2)2 ( y 2)2 3
12．下列说法正确的是（ ） A．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行 B．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行 C．如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行 D．如果两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行
A． 4
B． 2
C．2
D．4
3．若
lg
x
lg
y
a ,则 lg
x 2
3
lg
y 2
3
A． 3a
B．
3 2
a
C． a
D．
a 2
4．下列函数中，
y
1 x3
，
y
2x 1，
y
x3
x，
y
4
x5
是幂函数的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．已知 (0, π) ，且 3cos2 8cos 5 ，则 sin （ ）
解能力，属于基础题.
6．C
【分析】由图可得：函数图象过点
4 9
, 0
，即可得到
cos
4 9
6
0，结合
4 9
,
0
是函数 f x 图象与 x 轴负半轴的第一个交点即可得到 4 ，即可求得 3 ，
9
62
2
再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点
4 9
故选：C 13．14π 【详解】试题分析：球的直径为长方体的对角线，即 2R 1 22 32 14 ,因此球的表面 积为 4 R2 14 . 考点：球的表面积 14． (2, 4, 3) 【分析】根据点关于平面 yOz 对称的点坐标的特点可直接得到结果.
【详解】 点 a,b,c 关于平面 yOz 对称的点为 a,b, c ，
(2)求 x2 y2 的最大值和最小值.
(3)类比二元一次不等式所表示的平面区域，试画出 x2 y2 9 表示的的平面区域（注：第（3）
问和（1）（2）问无关）
1．D 【分析】根据复数的乘方计算可得.
【详解】 i5 i2 i2 i 11i i .
故选：D
2．B
【分析】解一元二次不等式、一元一次不等式求集合 A、B，根据交集的结果求参数 a 即可.
故选：B 12．C 【分析】根据线面关系，结合平面的基本性质判断面面关系. 【详解】A：如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，则这两个平面平行、重合、相 交，错误； B：如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，则这两个平面平行、重合、相交，错 误； C：如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行，正确； D：如果两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行、重合、相交，错误；
（2） x2 2ax a2 1 0 x a 1 x a 1 0 a 1 x a 1，
∴原不等式的解集为x∣a 1 x a 1.
（3）
x 1 2x
3
x 1 2x
3
0
4x 5 2x
0
4x 5 x2
0
4x 5
x
2
0
x
2
0
x
5 4
A2, 4,3 关于平面 yOz 对称的点的坐标为 2, 4,3 .
故答案为. 2, 4,3
15． 2 2, 2 2 【分析】由原命题为假可知其否定为真，结合二次函数性质知 0 ，解不等式求得结果. 【详解】若原命题为假命题，则其否定“ x R ， 2x2 3ax 9 0 ”为真命题 9a2 72 0 ，解得： 2 2 a 2 2 a 的取值范围为 2 2, 2 2 故 2 2, 2 2 本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够利用原命题与其否定之 间的真假关系将问题转化为恒成立的问题. 16．对任意实数 m ，方程 x2 mx 1 0 没有实数根 【分析】存在性命题的否定是全称量词命题，将 ，否定原结论即可. 【详解】原命题为：m R ，使方程 x2 mx 1 0 有实数根，其对应的否命题为：m R ， 方程 x2 mx 1 0 没有实数根， 故对任意实数 m ，方程 x2 mx 1 0 没有实数根 本题考查了特称命题的否定，所得命题为 并否定原结论，属于简单题.
【分析】利用正弦定理求出 C＝45°或 135°，即得解.
【详解】由正弦定理 a ＝ c 可得 5 2 ＝ 10 ，
sinA sinC
sin30 sinC
∴sin C＝ 2 ， 2
∴C＝45°或 135°.都满足题意.
当 C＝45°时，B＝180°－(A＋C)＝105°；
当 C＝135°时，B＝180°－(A＋C)＝15°，