必修第一册(基础解析版)

必修第一册
本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合305x A x x ⎧⎫
-=≤⎨⎬-⎩⎭
，集合{}46B x x =<<，则A B =（）
A ．()3,6
B ．[)
3,6C ．(]
4,5D ．()
4,5【答案】D 【解析】因为
3
05x x -≤-，所以()()35050x x x ⎧--≤⎨-≠⎩
，所以35x ≤<，所以[)
3,5A =又因为()4,6B =，所以()4,5A B ⋂=，故选：D.
2．“()2log 231x -<”是“48x >”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】要使()2log 231x -<，则0232x <-<，解得35
,4822
x x <，即2322x >，解得3
,2
x >
∴“()2log 231x -<”是“48x >”的充分不必要条件，故选A.3．命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是
A ．()3
,0,0
x x x ∀∈-∞+<B ．()3
,0,0x x x ∀∈-∞+≥C ．[)3
0000,,0
x x x ∃∈+∞+<D ．[)3
0000,,0
x x x ∃∈+∞+≥【答案】C
【解析】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“[)3
0,,0x x x ∀∈+∞+≥”的
否定是[)3
0000,,0x x x ∃∈+∞+<，选C.
4．设x y >,且0,xy ≠则下列不等式中一定成立的是（
）
A ．
11x y
>B ．ln ln x y >C ．22x y --<D ．22
x y >【答案】C
【解析】对A ，若0x y >>，则
11
x y
<，错误；对B ，当x y >时，取x 1,y 2==-，根据对数函数的单调性可知，ln ln x y <，错误；对C ，因为x y >，所以x y -<-，根据指数函数的单调性可知，22x y --<，正确；对D ，当x y >时，取x 1,y 2==-，22x y <，错误．故选：C ．
5．已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<,0α>,则不等式20cx bx a ++>的解集是
A ．11,βα⎛⎫ ⎪
⎝⎭
B ．11,,βα⎛⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝
⎭C ．(),αβD ．(]
()
,,αβ-∞+∞【答案】A 不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<所以20ax bx c ++=的两个根分别为12,x x αβ==因为0α>,所以0β>,所以0a <由韦达定理可知120b x x a αβ+=+=->,120c
x x a
αβ⋅=⋅=>由0a <,可知0,0
b c ><因为0c <,所以可设20cx bx a ++>的解集为(),m n .由于m n <,所以
11
n m
<则,b a
m n m n c c
+=-⋅=
因为
b c αβαβ+=-⋅,c a αβ⋅=所以111m n m n m n αβαβαβαβ+⎧
+==+⎪⋅⎪
⎪
⋅=⎨⋅⎪
⎪<⎪⎩
解方程组可得11
m n βα⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
所以不等式20cx bx a ++>的解集为11,βα⎛⎫ ⎪⎝⎭故选:A
6．已知()()()512,1
0,1log ,1a
a x a x f x a a x x ⎧-+≤=>≠⎨
>⎩是减函数，则a 的取值范围是（）
A ．10,7⎛⎤
⎥
⎝⎦
B ．10,5⎛⎫ ⎪
⎝⎭C ．1,17⎡⎫⎪
⎢⎣⎭D ．11,75⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
【答案】D
【解析】因函数()()()512,10,1log ,1a a x a x f x a a x x ⎧-+≤=>≠⎨
>⎩是定义在R 上的减函数，则有51001(51)2log 1
a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩
，解得1175a ≤<，
所以a 的取值范围是11,75⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.故选：D
7．已知角α满足π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭，则πsin 26α⎛
⎫- ⎪⎝⎭＝（
）
A ．79
-
B ．
79
C
．9
-
D
．
9
【答案】A
【解析】∵π1cos 33α⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭，
∴πππsin 2sin
2632αα⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦2ππ27cos 22cos 113399αα⎛⎫⎛
⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故选：A.
8．已知定义在R 的函数满足()(4)f x f x =-，(2)()4f x f x ++-=，则下列结论正确的是（
）
A ．()f x 不是周期函数
B ．()f x 是奇函数
C ．对任意n ∈Z ，恒有(41)f n +为定值
D ．对任意*n ∈N ，有(1)(3)(5)(21)f f f f n n
++++-=【答案】C
【解析】()(4)f x f x =-，∴(2)(2)
f x f x +=-(2)()4f x f x ++-=，∴(2)()4
f x f x -+-=∴(2)()4f x f x ++=，∴(2)(4)4
f x f x +++=
∴(4)()f x f x +=，∴()f x 是周期为4的函数∴()(4)()f x f x f x =-=-，∴()f x 为偶函数
在(2)()4f x f x ++-=中，令1x =-，有(1)(1)4(1)2f f f +=∴=故(41)(1)2f n f +==是定值当1n =时，(1)(3)(5)(21)f f f f n n ++++-=即为(1)1f =，故D 不正确
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列四组函数中为同一函数的组是（）
A ．y x =与y =
B ．()1f x =与()0
f x x =
C ．1y x =+与y =
D ．2log y x =与2
4log y x
=【答案】AC
【解析】对于A ，函数y x =定义域为R ，函数y x =定义域为R ，定义域与对应关系相同，所以为同一函数，故A 正确；
对于B ，函数()1f x =定义域为R ，函数()0
f x x =定义域为{}|0x x ≠，定义域不同，所以不
为同一函数，故B 错误；
对于C ，函数1y x =+定义域为R ，函数1y x ==+定义域为R ，定义
域与对应关系相同，所以为同一函数，故C 正确；
对于D ，函数2log y x =定义域为()0,∞+，函数2
4log y x =定义域为{}|0x x ≠，定义域不同，
所以不为同一函数，故D 错误；故选：AC
10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，0,0,2A πωϕ⎛
⎫>>< ⎪⎝
⎭部分图象如图所示，下列说法不正
确的是（
）
A ．()f x 的图象关于直线23
x π
=
对称B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称
C ．将函数2cos 2y x x =-的图象向左平移
2
π
个单位得到函数()f x 的图象
D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(
2,-【答案】ABC
【解析】:由函数的图象可得2A =，由124312
πππ
ω⋅=-，求得2ω=．再根据五点法作图可得223
k π
ϕππ⨯
+=+，又2
π
ϕ<
，求得3
π
ϕ=
，∴函数()2sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
当23x π=
时，()52sin 2sin 3
3f x π
π⎛⎫
==-=- ⎪⎝⎭
A 不成立；
当512x π
=-
时，()2sin 22
f x π=-=-，不等于零，故B 不成立；
将函数2cos 22sin 26y x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位得到函数
5sin 2sin 2266y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
的图象，故C 不成立；
当,02x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦π时，22,333x πππ⎡⎤+∈-
⎢⎥⎣
⎦，
∵2sin sin 3
3π
π⎛⎫⎛⎫
-
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
sin 12π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，
故方程()f x m =在,02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上有两个不相等的实数根时，则m 的取值范围是(
2,-，故D 成立．故选:ABC.
11．已知函数()()0,1x x
f x a a a a -=->≠，则下列结论正确的是（
）
A ．函数()f x 的图象关于原点对称
B ．函数()f x 在R 上不具有单调性
C ．函数()f x 的图象关于y 轴对称
D ．当a ＞1时，函数()f x 的最大值是0【答案】AC
【解析】∵()()R,x x
x f x a a f x -∈-=-=-，∴()f x 为奇函数，()f x 的图象关于原点对称，
A 正确；当a ＞1时，()f x 在R 上为增函数，当0＜a ＜1时，()f x 在R 上为减函数，
B 错
误;()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，C 正确；
当a ＞1时，(),00,0,0x x x
x
x x a a x f x a a
x a a x ---⎧-<⎪
=-==⎨⎪->⎩
,故()f x 在(],0-∞上为减函数，在[)0,∞+上为增函数，∴当0x =时，()f x 取得最小值0，D 错误．故选：AC ．
12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-.当(0,2)x ∈时，2
1
()f x x x
=+
，则下列结论正确的是（）
A ．()f x 的图象关于y 轴对称
B ．19
()24
-=-
f C ．()(+4)f x f x =D ．()2
2021=-f 【答案】BD
【解析】：因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，()f x 的图象关于原点对称，又函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，所以()(4)f x f x -=，则()(4)f x f x -=--，即()(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x +=，所以函数()f x 的周期8T =，故AC 错误；
又当(0,2)x ∈时，2
1()f x x x =+
，所以1119((22244⎛⎫
-=-=-+=- ⎪⎝⎭
f f ，故B 正确
所以()()()()()()20212528+553312=⨯==-=-=-=-f f f f f f .故D 正确故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知(0,π)α∈，tan 2α=-，则cos α=_____.
【答案】5
-
【解析】：方法1tan 2α=-，sin 2sin 2cos cos α
ααα
∴
=-=-，即，
又22sin cos 1cos 5
ααα+=⇒=±
，(0,π)α∈Q 且tan 20α=-<，
α\为第二象限角，cos 0α∴<
，os c α∴=.
方法2tan 2α=-，构造直角三角形Rt ABC 如下图，
在直角三角形中，15
cos 55
BC AC α=
=，(0,π)α∈Q 且tan 20
α=-<α\为第二象限角，
cos 0
α∴<5 cos α∴=故答案为：5
14．若函数()27
43
kx f x kx kx +=++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________.
【答案】30,4⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
【解析】因为函数()27
43
kx f x kx kx +=
++的定义域为R ，
所以，对任意的x ∈R ，2430kx kx ++≠恒成立.①当0k =时，则有30≠，合乎题意；
②当0k ≠时，由题意可得216120k k ∆=-<，解得3
04
k <<.综上所述，实数k 的取值范围是30,4⎡⎫
⎪⎢⎣⎭.
故答案为：30,4⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.
15．若函数()()2
2log 3f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______．
【答案】(]
4,4-【解析】由题设，令23t x ax a =-+，而2log y t =为增函数，∴要使()f x 在[)2,+∞上是增函数，即t 在[)2,+∞上为增函数，∴222120a a a ⎧
≤⎪⎨⎪∆=-<⎩或2
2212040a a a a ⎧≤⎪⎪⎪∆=-≥⎨⎪+>⎪
⎪⎩
，可得04a <≤或40a -<£，∴a 的取值范围是(]4,4-.故答案为：(]
4,4-
16．已知sin α＋sin β＝12
，cos α＋cos β＝1
3，则tan(α＋β)＝________，cos(α－β)＝________.
【答案】
12
5
-
## 2.4-59
72
-【解析】sin sin sin sin 2222αβαβ
αββααβ+-+-⎛⎫⎛⎫
+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
22222
2
2
2
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
βα
αβ
βα
+-+-+-+-=+++1sin cos sin cos 22222
αβαβαββα+-+-=+=，
即1
2sin
cos
2
2
2
αβ
αβ
+-=
①，cos cos cos cos 2222αβαβαββααβ+-+-⎛⎫⎛⎫
+=+++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
22222
2
2
2
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
βα
αβ
βα
+-+-+-+-=-+-1cos cos cos cos 22223
αβαβαββα+-+-=+=，
即1
2cos
cos
2
2
3
αβ
αβ
+-=
②，①②两式相除得3tan
22αβ+=，则23
2tan
21222tan()951tan 124
αβ
αβαβ+⨯
+==-+--；()
2
221
sin sin sin sin 2sin sin 4αβαβαβ+=++=，
()
2
221cos cos cos cos 2cos cos 9
αβαβαβ+=++=
，两式相加可得()1322cos 36αβ+-=，()59
cos cos cos sin sin 72
αβαβαβ-=+=-.故答案为：①12
5
-
；②5972-.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设集合{}2
|40A x x x =+=，B ＝{x |2x +2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}.
(1)若－1∈B ，求a 的值；
(2)设条件p ：x ∈A ，条件q ：x ∈B ，若q 是p 的充分条件，求a 的取值范围.【答案】
(1)1a =(]{},11-∞-⋃【解析】
(1)因为－1∈B ，所以()()2
212110a a --++-=，
解得1a =(2){}{}2
|404,0A x x x =+==-，
由题意可得B A ⊆，当B =∅时，()()
2
2
4141880a a a ∆=+--=+<，解得1a <-，
当B ≠∅时，{}4B =-或{}0或{}4,0-，
当{}4B =-时，()2
Δ0168110a a =⎧⎨-++-=⎩
，此时无解；当{}0B =时，2Δ0
10a =⎧⎨-=⎩，解得1a =-；当{}4,0B =-，()
()2
4021401a a ⎧-+=-+⎪⎨-⨯=-⎪⎩
，解得1a =，综上所述，a 的取值范围为(]{},11-∞-⋃.18．
（12分）若不等式2(1)460a x x --+>的解集是{31}x x -<<．(1)解不等式22(2)0x a x a +-->；
(2)b 为何值时，230ax bx ++≥的解集为R ．【答案】(1){1x x <-或}3
2
x >
(2)[]
6,6-【解析】(1)由题意得3-和1是方程2
(1)460a x x --+=的两个根，则有43116311a a ⎧
-+=⎪⎪-⎨⎪-⨯=
⎪-⎩
，解得
3a =，所以不等式22(2)0x a x a +-->化为2230x x -->，(1)(23)0x x +->，
解得1x <-或32x >
，所以不等式的解集为{1x x <-或}
3
2
x >(2)由（1）可知2330x bx ++≥的解集为R ，
所以24330b ∆=-⨯⨯≤，解得66b -≤≤，所以b 的取值范围为[]6,6-19．（12分）已知函数()331
x x m
f x -=+为奇函数
(1)求实数m 的值及函数()f x 的值域；
(2)若不等式()()20a f x f x ⋅->对任意0x >都成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1m =，值域为()
1,1-(2)2
a ≥【解析】（1）函数()f x 为奇函数，定义域为(),-∞+∞，则()00f =，所以1m =，经检验知符合题意；()3131221313131x x x x x
f x -+-===-+++因为()13,1x
∈++∞，则()20,231x ∈+所以函数()f x 的值域为()1,1-.
（2）由题知：当()2231310,,03131x x x x x a ∞--∈+⋅->++恒成立；
则()
2
23131
x x a +>+；令()3,1,x
t t ∞=∈+，
所以222(1)2211111t t a t t t t +>=+=++++
；又21121t t +≤++，当且仅当1t =时等号成立，而1t >，所以2
2(1)21
t t +<+，则2a ≥.
20．
（12分）已知函数()πsin()0,0,2f x A x B A ωϕωϕ⎛
⎫=++>>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示
.(1)求()f x 的解析式及对称中心坐标：(2)先把()f x 的图象向左平移
π
6
个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，若当ππ,46x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，关于x 的方程()210g x a +-=有实数根，求实数a 的取值范围.【答案】(1)π()2sin 213f x x ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭，ππ,126k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()k ∈Z (2)11,22⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦
【解析】(1)由题意可得：1
3A B A B +=⎧⎨-+=-⎩
，可得21A B =⎧⎨=-⎩，所以()2sin()1f x x ωϕ=+-，
因为
7πππ212122
T =-=，所以2π
πT ω==，可得2ω=，
所以()2sin(2)1f x x ϕ=+-，由()ππ22πZ 122k k ϕ⨯
+=+∈可得()π
2πZ 3
k k ϕ=+∈，因为π2ϕ<，所以0k =，π3ϕ=，所以()π2sin 213f x x ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭.
令()π2π3x k k +
=∈Z 可得()ππZ 26k x k =-∈，所以对称中心为()ππ,1Z 26k k ⎛⎫
--∈ ⎪⎝⎭
.
(2)由题意可得：()ππ2π2sin 2112sin 2633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=++-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
当ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2ππ2,π36x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，[]2πsin 20,13x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()[]0,2g x ∈若关于x 的方程()210g x a +-=有实数根，则()12a g x -=有实根，所以0122a ≤-≤，可得：1122
a -≤≤.所以实数a 的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
21．（12分）已知函数()()
2cos sin f x x x x =-+（1）求()f x 的最小正周期和()f x 的单调递减区间；
（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的最小值及取得最小值时x 的值.【答案】（1）π；()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎣⎦；（2）当1112π=x 时，函数()y f x =取得最小值，最小值为2-．
【解析】（1）
()
21cos 22sin cos sin 22
x f x x x x x +=-=-
sin 222sin 23x x x π⎛⎫==- ⎪⎝
⎭，所以，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ=
=.由()23x k k Z π
π-=∈，可得()26
k x k Z ππ=+∈，函数()y f x =的对称中心为(),026k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
；解不等式()3222232
k x k k Z π
π
πππ+≤-≤+∈，解得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈.因此，函数()y f x =的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
；（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，252333x πππ≤-≤，当3232x π
π-=时，即当1112
π=x 时，函数()y f x =取得最小值，最小值为2-．22．（12分）已知定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x 满足：①对任意x ，(,0)(0,)y ∈-∞⋃+∞，()()()f x y f x f y ⋅=+；②当1x >时，()0f x >，且(2)1f =．
（1）试判断函数()f x 的奇偶性．
（2）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性．
（3）求函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上的最大值．
（4）求不等式(32)()4f x f x -+ 的解集．
【答案】（1）偶函数；（2）增函数；（3）2；（4）{2x x -∣ 或83x ⎫⎬⎭
．【解析】（1）令1x y ==，则；，得(1)0f =；再令1x y ==-，则[(1)(1)](1)(1)f f f -⋅-=-+-，得(1)0f -=．
由()()()f x y f x f y ⋅=+，令1y =-，
则()()(1)f x f x f -=+-，
∴()()f x f x -=．
又函数()f x 的定义域关于原点对称，
∴函数()f x 为偶函数．
（2）任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，则有
21
1x x >．又∵当1x >时，()0f x >，∴210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
．而()()()22211111x x f x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()21f x f x >，
∴函数()f x 在(0,)+∞上是增函数．
（3）∵(4)(22)(2)(2)f f f f =⨯=+，且(2)1f =，∴(4)2f =．又由（1）（2）知函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上是偶函数且在(0,4]上是增函数，∴函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上的最大值为(4)(4)2f f =-=．（4）∵(32)()[(32)]f x f x f x x -+=-，422(4)(4)(16)f f f =+=+=，∴原不等式等价于[(32)](16)f x x f - ，
又函数()f x 为偶函数，且函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，∴原不等式又等价于|(32)|16x x - ，
即(32)16x x - 或(32)16x x -≤-，
得232160x x --≥或232160x x -+≤，
得2x -≤或83
x ≥，∴不等式(32)()4f x f x -+ 的解集为{2x x -∣ 或83x ⎫⎬⎭ ．。