求齐次线性方程组基础解系的初等变换法

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齐次线性方程组的基础解系(PPT)_1

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------齐次线性方程组的基础解系(PPT)齐次线性方程组的基础解系(PPT) 齐次线性方程组的基础解系对于齐次线性方程组a11x1a12x2a1nxn0,a12x1a22x2a2nxn0,ax ax ax0. m22mnn m11 令a11a12 a21a22 , 1 2 am1 am2 a1n a2n ,,n amn 则上述方程组即为 x1 1 x2 2xn n 0 (*) （其中 0 为零向量）。

将（*）的解视为 n 维向量，则所有解向量构成 K 中的一个向量组，记为 S。

n 命题 S 中的元素（解向量）的线性组合仍属于 S（仍是解）。

证明只需要证明 S 关于加法与数乘封闭。

设(k1,k2,,kn),(l1,l2,,ln)S，则k11k2 2kn n 0 l1 1 l2 2 ln n 0 于是 (k1 l1) 1 (k2 l2) 2 (kn ln) n 0 故 (k1 l1,k2 l2, ,kn ln) S；又因为k K kk1 1 kk2 2 kkn n 0 所以(kk1,kk2, ,kkn) S。

证毕。

定义（线性方程组基础解系）齐次线性方程组（*）的一组解1 / 7向量1, 2, , s 如果满足如下条件：（1）1, 2, , s 线性无关；（2）方程组（*）的任一解向量都可被1, 2, , s 线性表出，那么，就称1,2, , s 是齐次线性方程组（*）的一个基础解系。

定理数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵的秩。

证明记线性方程组为 x1 1 x2 2 xn n 0 其中a11a12 a21a22 , 12 am1 am2 a1n a2n , ,n amn 设1, 2, ,n 的秩为 r，无妨设1, 2, , n 为其极大线性无关部分组，则r 1, r 2, , n 皆可被1, 2, , r 线性表出，即存在 kij K(1 i n r,1 j r)，使得r 1 k111 k12 2 k1r r r 2 k21 1 k22 2 k2r rn kn r1 1 kn r2 2 kn rr r, 即 ki1 1 ki22 kir r 1 r i 0, (i 1,2, n r)于是 S 中含有向量1(k11,k12,,k1r,1,0,,0) 2(k21,k22,,k2r,0,1,,0) n r(knr1,kn r2, ,kn rr,0,0, ,1) 只需要证明1, 2, , n r是解向量组的一个极大线性无关部分组即可。

线性代数自考知识点汇总

行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行列,行列式变号.推论1 如果行列式有两行列的对应元素完全相同,则此行列式的值为零.如a b ca b c 0a b c'''= 性质3 行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一数k ,等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行列元素成比例,则此行列式的值为零．如a b ca b c 0ka kb kc'''= 性质4 若行列式的某一行列的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上去,行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中,把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式,记作ij M ,i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．如111213212223313233a a a a a a a a a ,元素23a 的余子式为1112233132aa M a a =,元素23a 的代数余子式为11122323233132a a A (1)M a a +=-=-.3. 行列式按行列展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==如111213212223313233a a a a a a a a a 111112121313a A a A a A =++ 定理2 行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==4. 行列式的计算 1二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- 2三阶行列式111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- 3对角行列式1212n nλλλλλλ=,n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-4三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nn nn a a a a a a a a a a a a a a a ==111,n 11n1n n(n 1)212,n 12,n 12n 21n 2,n 1n1n1n1n2nna a a a a a a a (1)a a a a a a a -----==-5消元法：利用行列式的性质,将行列式化成三角行列式,从而求出行列式的值.6降阶法：利用行列式的性质,化某行列只有一个非零元素,再按该行列展开,通过降低行列式的阶数求出行列式的值.7加边法：行列式每行列所有元素的和相等,将各行列元素加到第一列行,再提出公因式,进而求出行列式的值.矩阵1. 常见矩阵1对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵,称为对角矩阵.记作Λ. 2单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵,称为单位矩阵.记作E.3上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵.如11121n 222n nn a a a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ 4下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵.如112122n1n2nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵,若T A A =,即ij ji a a =,则称A 为对称矩阵. 6反对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵,若T A A =-,即ij ji a a =- ,则称A 为反对称矩阵. 7正交矩阵：设A 为ｎ阶方阵,如果T AA E =或T A A E =,则称A 为正交矩阵. 2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算 1矩阵的加法如a b c a b c a a b b c c d e f d e f d d e e f f ''''''+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪''''''+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭注：① 只有同型矩阵才能进行加减运算；② 矩阵相加减就是对应元素相加减. 2数乘矩阵如a b c ka kb kc k d e f kd ke kf ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.3矩阵的乘法：设ij m ij n s s A (a ),B (b )⨯⨯==,规定ij m n AB C (c ),⨯== 其中sij i11j i22j is sj ik kj k 1c a b a b a b a b ==+++=∑(i 1,2,,m,j 1,2,,n.)==注：①左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数；②左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列对应元素乘积的和是矩阵乘积C 的元素ij c . ③左矩阵A 的行数为乘积C 的行数,右矩阵B 的列数为乘积C 的列数. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵即一个数,即()112111121s 111112211s s1s1b ba a a ab a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⎪ ⎪⎝⎭列矩阵乘行矩阵是s 阶方阵,即()1111111112111s 2121112112211s 11121s s1s111s112s11s a a b a b a b a a b a b a b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3. 逆矩阵设n 阶方阵A 、B,若AB=E 或BA=E,则A,B 都可逆,且11A B,B A --==.1二阶方阵求逆,设a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则1*d b 11A A c a A ad bc --⎛⎫== ⎪--⎝⎭两调一除法. 2对角矩阵的逆11111221n n a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 111n 2121n1a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3分块对角阵的逆11111221s s A A A A ;A A ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111s 2121s1A A A A A A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 4一般矩阵求逆,初等行变换的方法：()()ERT1A E EA -−−−→.4. 方阵的行列式由ｎ阶方阵A 的元素所构成的行列式各元素的位置不变叫做方阵A 的行列式.记作A 或detA. 5. 矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行列变换：1互换两行列；2数乘某行列；3某行列的倍数加到另一行列. 6. 初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵,称为初等矩阵.如001100100010,0k 0,010100001k 01⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都是初等矩阵. 7. 矩阵的秩矩阵A 的非零子式的最高阶数,称为矩阵A 的秩.记作RA 或rA. 求矩阵的秩的方法：1定义法：找出A 中最高阶的非零子式, 它的阶数即为A 的秩.2初等行变换法：ERTA −−−→行阶梯形矩阵,RA=R 行阶梯形矩阵=非零行的行数. 8. 重要公式及结论 1矩阵运算的公式及结论()()12121212k k k k k k k k k k k k kk 10A B B A,(A B )C A (B C ),(A B )A B (AB )C A(BC ),(A B )C AC BC ,(AB )(A )B A(B )A A A ,(A )A ,(A )A ,E EAB A BA B ,EA AE A,A Eλλλλλλλλ+-+=+++=+++=+=+=+==⋅========()()()()()()T TTT T T T T T TTT nT n n A A,(A B )A B ,A A ,AB B A A A ,AB B A ,AA A A A EA A ,A A ,AB A B BA ,A A ,A B A Bλλλλ*******=+=+===========+≠+矩阵乘法不满足交换律,即一般地A B ≠AB;矩阵乘法不满足消去律,即一般地若AB=AC,无B=C ；只有当A 可逆时,有B=C.一般地若AB=O,则无A=O 或B=O.()222A B ?A 2AB B +++.2逆矩阵的公式及定理()()()()()()()()11111111n 11111k1k1T11T 1A A ,A A ,,A A 1A A,A A,A A ,A A AB B A1A A A AAA A ,Aλλ----------*-**--**-----===========A 可逆⇔|A |≠0⇔A ～E 即A 与单位矩阵E 等价 3矩阵秩的公式及结论()()()T m n R(O )0,R(A )min{m,n },R(A )R(A ),R(kA )R(A ),k 0A 0R(A )n ,R A B R A R B ⨯=≤==≠≠⇔=+≤+R AB ≤R A , R AB ≤R B .特别地,当A 可逆时,RAB=RB ；当B 可逆时,RAB=RA.()()ET A B A ~B R A R B −−→⇔⇒= 即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩.9. 矩阵方程1设 A 为n 阶可逆矩阵,B 为n ×m 矩阵,则矩阵方程AX=B 的解为1X A B -=；解法：① 求出1A -,再计算1A B -； ② ()()ERTAB E X −−−→ .2设 A 为n 阶可逆矩阵,B 为m ×n 矩阵,则矩阵方程XA=B 的解为1X BA -=；解法：① 求出1A -,再计算1BA -； ② ECT A E B X ⎛⎫⎛⎫−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 10. 矩阵间的关系1等价矩阵：如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B,那么称矩阵A 与B 等价.即存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B.性质：等价矩阵的秩相等.2相似矩阵：如果存在可逆矩阵P,使得1P AP B -=,那么称A 与B 相似. 性质：相似矩阵有相同的特征多项式,相同的特征值,相同的行列式,相同的迹. 3合同矩阵：如果存在可逆矩阵P,使得TP AP B =,那么称A 与B 合同. 性质：合同矩阵的秩相等.向量空间1. 线性组合1若α＝k β,则称向量α与β成比例． 2零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．3向量组中每一向量都可由该向量组线性表示． 2. 线性相关与线性无关1 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量．2 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量．3 两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例.4 两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例.5 含有Ｏ向量的向量组一定线性相关．6 向量组12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++=有非零解.② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα的秩<向量的个数m.7n 个n 维向量12n ,,,ααα线性相关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα=0.8 向量组12m ,,,ααα线性无关的充分必要条件是① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++=只有零解.② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα的秩=向量的个数m.9 n 个n 维向量12n ,,,ααα线性无关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα≠0.10当m>n 时,m 个n 维向量一定线性相关.定理1：向量组 a 1 , a 2 ,……, a m m ≥2线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示．定理2：如果向量组A ：a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关,而向量组 a 1 , a 2 ,……, a r ,α线性相关,则α可由A线性表示,且表示式唯一.定理3：设向量组2r 1A :,,,ααα,12r r 1m B :,,,,,,ααααα+若A 线性相关,则向量组B 也线性相关；反之,若向量组B 线性无关,则向量组A 也线性无关.即部分相关,则整体相关；整体无关,则部分无关. 定理4：无关组的截短组无关,相关组的接长组相关. 3. 极大无关组与向量组的秩定义1 如果在向量组 T 中有 r 个向量 a 1 , a 2 ,……, a r ,满足条件： ⑴ 向量组 a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关, ⑵ T α∀∈,2r 1,,,,αααα线性相关.那么称向量 a 1 , a 2 ,……, a r 是向量组 T 的一个极大无关组.定义2 向量组的极大无关组中所含向量的个数,称为向量组的秩.定义3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩; 结论1 线性无关的向量组的极大无关组就是它本身;结论2 如果向量组的秩是r ,那么该向量组的任意 r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关组; 定理1 设向量组A:a 1,a 2, …,a r ；及向量组B:b 1,b 2, …, b s ,如果组A 能由组B 线性表示,且组A 线性无关,则r ≦s.推论1 等价的向量组有相同的秩.定理2 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩. 4. 向量空间定义1 设V 为n 维向量的集合,如果集合V 非空,且集合V 对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称集合V 为向量空间.5. 基与向量在基下的坐标定义2 设V 是向量空间,如果向量组a 1 , a 2 ,……, a r ,满足条件： 1向量组 a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关； 2T α∀∈,2r 1,,,,αααα线性相关.那么称向量组a 1 , a 2 ,……, a r 是向量空间V 的一个基, 基中所含向量的个数称为向量空间V 的维数,记作dimV ,并称V 为r 维向量空间．定义3 设向量组 a 1 , a 2 , … , a r 是向量空间V 的一个基,则V 中任一向量x 可唯一地表示为基的一个线性组合,即 1122r r x a a a λλλ=+++,称有序数组12r ,,,λλλ为向量x 在基 a 1 , a 2 , … , a r 下的坐标.线性方程组1. 线性方程组解的判定1 线性方程组Ax=b 有解的充分必要条件是它的系数矩阵A 和增广矩阵A,b 的秩相同,即RA=RA,b . 当RA=RA,b=r① 方程组AX=b 有惟一解的充分必要条件是r=n; ② 方程组AX=b 有无穷多解的充分必要条件是r < n. 2 方程组AX= b 无解的充分必要条件是R A ≠RA,b. 2. 齐次线性方程组有非零解的判定1 齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩 RA < 未知量的个数n .2 含有n 个方程,n 个未知量的齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于零.即|A |=03 齐次线性方程组AX=0中,若方程的个数m<未知量的个数n,则方程组有非零解 3. 齐次线性方程组解的性质（1）若12,ξξ是Ax=0的解,则12ξξ+也是Ax=0的解；（2）若ξ是Ax=0的解,则k ξ也是Ax=0的解.4. 齐次线性方程组的基础解系与通解（1）解空间齐次线性方程组Ax=0的全体解向量所组成的集合,是一个向量空间,称为方程组 Ax=0的解空间．记作V,即V={ x | Ax=0,x ∈R }. 2 基础解系齐次方程组AX=0的解空间 V 的一个基,称为齐次方程组AX=0 的一个基础解系. 基础解系中解向量的个数是n-rA.方程组AX=0的任意n-r 个线性无关的解都是AX=0的基础解系. 3齐次线性方程组的通解为1122n r n r k k k ξξξ--+++,其中12n r ,,,ξξξ-是Ax=0的一个基础解系.5. 非齐次线性方程组解的性质1若12,ηη是Ax=b 的解,则12ηη-是Ax=0的解；即Ax=b 的任意两个解的差必是其导出组A x =0的解. 2若η是Ax=b 的解,ξ是Ax=0的解,则ηξ+是Ax=b 的解.即Ax=b 的任意一个解和其导出组 A x =0 的任意一个解之和仍是 Ax=b 的解. 6. 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组AX=b 的通解为*1122n r n r k k k ξξξη--++++其中12n r ,,,ξξξ-为对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系, *η为非齐次线性方程组AX=b 的任意一个解,称为特解.方阵的特征值1. 向量的内积设1122n n x y x y x ,y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则x,y 的内积为[]1122n n x,y x y x y x y =+++.1向量x 的长度：2n x x ==++2非零向量的单位化：若向量 x ≠0 , 1x .x则是单位向量 3当[]x,y 0,x y =时称向量与正交.4若非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交组． 5若正交组中每个向量都是单位向量,则称它为标准正交组. 定理1 正交向量组必线性无关定理2 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列行向量都是单位向量且两两正交． 6施密特正交化过程设123,,ααα是一个线性无关的向量组,① 正交化：令11,βα=[][]1222111,a ,,ββββββ=-[][][][]132333121122,a ,a a ,,βββββββββ=--；② 单位化：取312123123e ,e ,e ββββββ===. 则123e ,e ,e 是与123,,ααα等价的标准正交组. 2. 特征值与特征向量1方阵A 的特征值λ是特征方程A E 0λ-=的根. 2三角矩阵和对角矩阵的全部特征值就是它的全部对角元．3方阵和它的转置方阵有相同的特征值. 4设12n ,,,λλλ是n 阶方阵A 的全部特征值,则()12n tr A λλλ=+++,12n A λλλ=⋅⋅.即方阵A 的对角线上元素之和等于A 的全部特征值之和,方阵A 的行列式等于A 的全部特征值的乘积. 5若λ是方阵A 的特征值,则()fλ是方阵()f A 的特征值. 特别地,当()f A 0=时,方阵A 的特征值是()f 0λ=的根.说明：m m 1m m 110f (x )a x a xa x a --=++++,m m 1m m 110f (A )a A a A a A a E --=++++.例如λ是方阵A 的特征值,则方阵()f A A 2E =+的特征值是()f2λλ=+.方阵()2f A A 3A 4E =--的特征值是()2f34λλλ=--.例如若2A 3A 4E 0--=,则方阵A 的特征值是2340λλ--=的根,即121,4λλ=-=.6设12P ,P 都是方阵A 的属于同一特征值0λ的特征向量,则()112212k P k P k ,k +不全为零也是0λ的特征向量.7属于不同特征值的特征向量线性无关.8属于不同特征值的线性无关的特征向量的并集仍线性无关. 3. 方阵的对角化1若方阵A 与对角矩阵Λ相似,则说A 可以对角化．即存在可逆矩阵P,使得1P AP Λ-=. Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵. 2n 阶方阵A 可以对角化的充分必要条件是①A 有n 个线性无关的特征向量；②属于每一个特征值的线性无关的特征向量的个数与该特征值的重数相同． 3n 阶方阵A 可以对角化的充分条件是n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等． 4若A 与B 相似,则()f A 与()f B 相似.4. 实对称矩阵的对角化1实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.2实对称矩阵一定可以对角化. 即存在正交矩阵P,使得1P AP Λ-=.Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵.3利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤：1求特征值；2求特征向量；3将特征向量正交化,单位化；4最后将这些特征向量做成矩阵．二次型1. 二次型的标准化（1）用正交变换化二次型为标准形的具体步骤:① 写出二次型T f x Ax =的对称矩阵A ；② 求A 的全部特征值12n ,,,λλλ；③ 求每个特征值的线性无关的特征向量12n ,,,ξξξ； ④ 将特征向量正交化,单位化,得12n ,,,ηηη；⑤ 将这些特征向量做成矩阵,记()12n C ,,,ηηη=,最后做正交变换x=Cy ,得到f 的标准形为 2221122n n f y y y λλλ=+++.其中12n ,,,λλλ是T f x Ax =的矩阵A 的特征值.（2）用配方法化二次型为标准形的具体步骤:① 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的项集中,然后配方,再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止,经过可逆的线性变换,就得到标准形;② 若二次型中不含有平方项,则先作可逆线性变换,令i i j j i j kk x y y x y y x y =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩,k=1,2,…,n,i≠j化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方法配方.2. 规范二次型设二次型T f x Ax =的标准形为222211p p p 1p 1r r f d y d y d y d y ++=++---,i d 0>,r 是f 的秩令11p p p 1p 1r r y z y z y z y z ++⎧=⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎩,得22221p p 1r f z z z z +=++---,称为二次型T f x Ax =的规范形.注：规范形是唯一的.其中正平方项的个数p 称为Tf x Ax =正惯性指数,负平方项的个数r-p 称为T f x Ax =负惯性指数,它们的差p-r-p=2p-r 称为T f x Ax =符号差.3. 正定二次型二次型T f x Ax =正定⇔矩阵A 正定⇔A 的特征值全为正⇔A 的各阶顺序主子式都为正. 二次型T f x Ax =负定⇔矩阵A 负定⇔A 的奇数阶顺序主子式为负,偶数阶顺序主子式为正.。

第五节线性方程组解的结构

定理ｎ元齐次线性方程组 Amn x 0的全体解所构成的集合Ｓ是一个向量空间，当系数矩阵的秩为ｒ时，解空
间Ｓ的维数为ｎ-ｒ.
当rank( A) n时，线性方程组只有零解，故没有基础
解系（此时解空间只含有零向量，称为０维向量空间）
当rank( A) n时，线性方程组必有含ｎ-ｒ个向量的基
础解系 1,2 ,L ,nr ，此时线性方程组的解可以表示为 k11 k22 L knr nr
L
a12 L a22 L L
am1
am 2
L
a1n a2n L
,x
x1 x2
amn
xn
则上述方程组（1）可写成向量方程 Ax 0.
二、基础解系及其求法
１、基础解系的定义
方程组 Ax 0 解空间V的一组基称为齐次线性方程组的一组基础解系,即解空间的某一个部分组 1,2 ,L ,s满足：
a 2 1 1 a 2 1 1
:
a 4a
2 10
1 3
0 0
b c
1 4
:
a 2 a4
1 0
0 0
c
b 3b
1
1
当a 4 0 时,ｂ可由 1,2 ,3 线性表示，且表达式唯一. 当a 4 0 且 c 3b 1 0 时,ｂ可由 1,2 ,3 线性表示，
但表达式不唯一；
1
2 10
,
2
1 5
,
3
1 4
,
b c
,
试问，当a,b,c 满足什么条件时
（１）ｂ可由 1,2 ,3 线性表示，且表达式唯一？
（２）ｂ可由 1,2 ,3 线性表示，且表达式不唯一？
（３）ｂ不能由1,2 ,3 线性表示？

齐次线性方程组

２．齐次线性方程组解的性质
的解，（1）若 x = ξ1 , x = ξ 2 为 Ax = 0 的解，则的解. 也是 Ax= 0 的解.
x = ξ1 + ξ 2
证明 ∵ Aξ1 = 0 , Aξ 2 = 0
∴ A(ξ1 + ξ 2 ) = Aξ1 + Aξ 2 = 0
故 x = ξ1 + ξ 2 也是 Ax = 0的解 .
一、齐次线性方程组解的性质
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = 0 a x + a x +⋯+ a x = 0 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ am 1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = 0
2 7 3 7 5 7 , 4 7 , 即得基础解系 ξ 1 = ξ2 = 0 1 0 1
7 3 及 x1 2 7 3 7 x2 5 7 4 7 = c1 + c2 , (c1 , c 2 ∈ R ). x3 1 0 0 1 x4
S = {x = k 1ξ 1 + ⋯ + k n− r ξ n− r k 1 ,⋯, k n− r ∈ R}.
特别的，当R( A) = n时，方程组只有零解因而没有基础解系，。此时解空间只有一个零向量，为零维子空间。推论。齐次线性方程组有非零解的充分必要 1 条件是系数矩阵的秩小于未知量个数。推论2，对于m = n, 齐次线性方程组有非零解充分必要条件系数矩阵的行列式为。 0

4_2 线性方程组解的性质

a11 a21 L am 1 a12 a22 L am 2 L a1n x1 b1 L a2 n x2 b2 = M M L L L amn xn bm
若
为方程组 Ax = b 的解，为方程组
基础解系
方程组的通解
齐次线性方程组解空间的一个基
x = k1η1 + k2η2 + L+ ktηt
其中 k1 , k 2 , L , k t 是任意常数 .
广西大学数学与信息科学学院
例1 求下齐次线性方程组的基础解系与通解. 的基础解系与通解
x1 + x 2 − x 3 − x 4 = 0, 2 x1 − 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0, 7x − 7x + 3x + x = 0 1 2 3 4
为任意常数） C 为任意常数
−1 3 4 0 2 2 ξ 3 = ( −1) + = 3 1 −2 −1 1 0
广西大学数学与信息科学学院
２．齐次线性方程组解的性质
(1 )η 1 , η 2 , L , η t 是 Ax = 0的一组线性无关的解 ;
( 2 ) Ax = 0 的任一解都可由 η 1 , η 2 , L , η t 线性表出. Ax = 0 的通解可表示为
t = n − R( A)
x = k1η1 + k2η2 + L+ ktηt
其中 k1 , k 2 , L , k t 是任意常数 .
的解，为实数，（2）若 x = ξ1 为 Ax = 0 的解，k 为实数，则的解．也是 Ax = 0 的解．证明

线性方程组基础解系

一、齐次线性方程组解的性质
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am 1 x1 am 2 x2 amn xn 0
线性无关，
所以 n r 个 n 维向量 1 , 2 , , n r 亦线性无关.
( 2)证明解空间的任一解都可由 1 , 2 , , n r 线性表示.
设x 1 r
r 1 n 为上述
T
方程组的一个解再作 1 , 2 , , n r 的线性组合 , .
其中k1 , k 2 ,, k n r 是任意常数.
定理1 n元齐次线性方程组Am n x 0的全体解所
构成的集合S是一个向量空间当系数矩阵的秩 , R( Am n ) r时, 解空间S的维数为n r . 当R( A) n时, 方程组只有零解故没有基础解 ,
系(此时解空间只含一个零向量, 为0维向量空间); 当R( A) r n时, 方程组必有含n r个向量的
也是 Ax 0 的解.
x 1 2
证明 A1 0 , A 2 0
A1 2 A1 A 2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
（2）若 x 1 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k1 也是 Ax 0 的解．证明证毕. 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 Ax 0 的解空间．
如果1 , 2 ,, t 为齐次线性方程组 Ax 0 的一组基础解系那么, Ax 0 的通解可表示为 ,

(完整版)线性代数第四章线性方程组(自考经管类原创)

第四章线性方程组
知识结构
线性方程组
齐次线性方程组非齐次线性方程组
4.1 齐次线性方程组
2
1.齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
求齐次线性方程组通解的方法
（1）将系数矩阵A进行初等行变为行最简形矩阵T （2）写出Ax=0的同解方程组Tx=0 （3）确定自由未知量（n-r个），并用自由未知量表示其他未知量（4）依次令其中某个自由未知量为1，其他自由未知量为0，求相应的特殊解，那么基础解系即为所有特殊解的全体（5）特殊解的线性组合即为通解，此处写明组合系数为任意实数
下面给出非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
简写成矩阵形式AX=b，其中
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
例1 判断t为何值时，方程组无解
-x1 4x2 x3 1 tx2 3x3 3

第11讲齐次线性方程组解的结构

(m n)
am1x1 am2 x2 amnxn 0。
它的矩阵形式为
AX 0 ,
其中,
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1
a2n
,
amn
X
xxn2
。
也可用向量来表示齐次线性方程组。
a11
a12
a1n
记
1 aam211 , 2 aam222 , , n aam2nn ,
四解线性方程组的一个应用
本节讨论矩阵的特征值与特征向量
定义 4.1
设 A Rnn , 如果存在数及 n 维非零向量，使得：
A .
(4.1)
则称为矩阵 A 的一个特征值, 而称为矩阵 A 相应于特征值的一个特征向量。
由于
A ( A E) 0.
为矩阵 A的一个特征值的充要条件是齐次方程组
2 (1, 1, 0, 1, 0 )T 。
齐次线性方程组的通解
若齐次线性方程组(2*) 的基础解系为
1, 2 , , nr
r(A) r
则(2*) 的通解为
C11 C22 Cnrnr ,
其中, Ci 为任意常数 ( i 1, 2, , n r )。
例求齐次线性方程组的通解: x1 x2 2x3 2x4 7x5 0 , 2x1 3x2 4x3 5x4 0 , 3x1 5x2 6x3 8x4 0。
就是说 , 方程组(2*) 的任何一个解均可由方程组 (3)中所定义
的 1, 2, , nr 线性表出。于是称方程组(3)中的这一组向
量为齐次线性方程组(2*) 的基础解系。
齐次线性方程组的基础解系

线性代数习题册(答案)2022

线性代数习题册答案第一章行列式练习一班级学号姓名1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）τ(3421)= 5 ;（2）τ(135642)= 6 ;（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n（n-1）.2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i=8 、j= 3 .3．在四阶行列式中，项12233441a a a a的符号为负.4．003042215=－24 .5．计算下列行列式：（1）122212221-----= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5或（2）111111λλλ---= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ）= －3λ＋3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习二班级学号姓名 1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3(1)11-⋅=-2． 1112344916= 2 .3．已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 .用1，1，1，1替换第4行4．计算下列行列式：(1)111ab c a b c abc +++ = 13233110110011,0110111111r r r r c c a b c b ca b ca b c-----+-==++++++(2)xy x y y x y x x yxy+++(3) 1306 0212 1476----(4) 1214 0121 1013 0131-5．计算下列n阶行列式：(1)n x a a a x aDa a x=（每行都加到第一行，并提公因式。

）(2)131111n +(3)123123123nn n a b a a a a a b a a a a a a b+++练习三班级学号姓名1．设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解，则λ满足的条件是什么？1,0,1λλλ≠-≠≠2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解，求λ的值。

谈齐次线性方程组的基础解系的求法

收稿日期:2003-03-03作者简介:孙学农(1971-),男,山东省东营市人,山东东营职业学院讲师1第24卷第3期济宁师范专科学校学报2003年6月V ol124N o13Journal of Jining T eachers’C ollege Jun12003文章编号:1004-1877(2003)03-0005-02谈齐次线性方程组的基础解系的求法孙学农(东营职业学院,山东东营257091) 摘　要:本文首先陈述求齐次线性方程组的基础解系的简化解法,进一步利用矩阵的初等变换给出了一种很有使用价值的简便方法。

关键词:基础解系;初等变换;线性无关;向量中图分类号:　O241.6　文献标识码:A考虑齐次线性方程组a11x1+a12x2+…+a1n x n=0a21x1+a22x2+…+a2n x n=0 ………a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=0 (1) 定义　设a1,a2,…,a s是方程组(1)的解向量,并且:(1)a1,a2,…,a s线性无关:(2)方程组(1)的任一解向量a都可由向量组a1,a2,…,a s线性表出,则称a1,a2,…,a s是线性方程组(1)的一个基础解系。

定理　若齐次线性方程组(1)中的系数矩阵的秩r<n(r≥0),那么方程组(1)有基础解系,且基础解系所含解向量的个数等于n-r。

算法　先将系数矩阵A进行初等行变换,化成阶梯阵U=3,显然AX=0当且仅当UX=0.然后将矩阵进行列变换,变成T=C113C22ω30C rr00注意此时自变量x1,x2,…,x n的次序有可能发生变化,我们把改变顺序的向量组成新向量Y,因此AX=0当且仅当TY=0。

设Y=(y1,y2,…,y r,y r+1,…,y n),取(y r+1,…y n)分别为(1,0,0,…,0),(0,1,0,…,0),(0,0,1,…,0),(0,0,0,…, 1),分别代入TY=0可得n-r组(y1,y2,…,y r),将每组(y1,y2,…,y r)与其对应的组(y r+1,…,y n)合起来,可得TY=0的一个基础解系Y1,Y2,…,Y n-r,将Y1,Y2,…,Y n-r中分量的顺序调整到X的顺序,分别得到a1,a2,…,a n-r,即为AX=0的基础解系。

辅导讲义(线性代数第四讲)

n 元齐次线性方程组 Ax 0 解的结构：
1）对系数矩阵作初等行变换可得：
A
Ir 0
B 0
；
2）写出与原方程组同解的方程组：
x1 k1,r1xr1 k1,n xn
x2
k 2,r 1 xr 1
k2,n xn ，其中 xr1, xr2,, xn 为自由未知量。
xr kr ,r1xr1 kr ,n xn
xr1 1 0 0
3）分别取
xr2
0
,
1 ,,
0
，得到
Ax
0的
n
r
个线性无关的解：
xn 0 0 1
k1,r1
k2,r
1
k1,r2
k2,r 2
1
kr,r 1
1
,2
kr,r2 0
,Leabharlann 010 0
k1,n
k2,n1
,nr
kr,n 0
即为一个基础解系。
0
1
4）所以齐次线性方程组 Ax 0 得通解为 x c11 c22 cnr nr ， c1, c2 ,cnr 为任意常数。 ※ n 元非齐次线性方程组 Ax b
n 元齐次线性方程组 Ax b 解的判定：
若 r(A) r(A) r(Ab) ，则方程组无解；
若 r(A) r(A) r(Ab) n 时，方程组有唯一解；
D1 D
,
x2
D2 D
,
,
xn
Dn D
，
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列元素换成方程组右端的常数列，其余元素不变所得的行列式。
注意：1）克莱姆法则只适用于方程的个数与未知量的个数相等的线性方程组；

§3齐次线性方程组解的结构

在实际求解时，我们尽量不做交换列的初等变换. 例如在例2中，当把A用初等行变换变为矩阵
时，即可写出与之对应的方程组：
所以可以让x2,x4为自由未知量，让依次取，即可求出原方程组的一个基础解系：
1＝ ,2＝ .
例3设1＝(1, 2, 1, 0),2＝(－1, 1, 1, 1)，
1＝(2, －1, 0, 1)，2＝(1, －1, 3, 7)；
教学环节
一、数域上的元齐次线性方程组有非零解的充要条件
定理6.3.1齐次线性方程组(1)有非零解的充分且必要条件是系数矩阵A的秩小于n.
证由定理6.1.2知, 当r(A)＝n时，(1)有唯一解，那只能是零解；当r(A)<n时，(1)有无穷多个解，即除零解外还有非零解. □
推论6.3.2如果m<n，那么齐次线性方程组(1)有非零解.
证当m<n时，r(A)≤min{m,n}＝m<n.所以由定理6.3.1即知(1)有非零解.
二、数域上的元齐次线性方程组在上的所有解向量构成的一个子空间
下面我们考虑齐次线性方程组(1)的解的结构. 先将(1)写成矩阵形式
AX＝0, 其中A是系数矩阵，
X＝ .
(1)的每一个解都可以看成是一个n维列向量，叫做方程组(1)的一个解向量. (1)的解向量有以下的性质.
例2求出齐次线性方程组
的一个基础解系.
对系数矩阵施行行初等变换和第一种列初等变换，得
，
这里我们交换了矩阵的2、3两个列. 与上述最后一个矩阵相对应
的齐次线性方程组是
(5)
依次取为 , 即可求出(5)的两个解
, .
再把i的第2、第3两个坐标互换，(i＝1,2),即得
1＝ ,2＝ .

线性方程组的求解问题1

目录1 引言 (2)1.1 概念 (3)1.2 解的情况及其通解 (4)2 线性方程组的常见解法 (4)2.1 高斯消元法 (4)2.2 矩阵初等变换法 (6)2.2.1 LU分解 (6)2.2.2 追赶法 (9)2.3平方根法 (10)3 线性方程组解法探讨 (12)3.1 线性方程组的直接方法 (12)3.2 线性方程组的多项式矩阵的初等变换法 (16)4结束语................................................................19参考文献 (20)线性方程组的解法摘要: 线性方程组是线性代数中一个最基础的内容，广泛应用于现代科学的许多分支。

其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。

本文先简要介绍了线性方程组的概念，然后给出线性方程组解的结构，重点介绍了解线性方程组的几种方法:高斯消元法，追赶法，平方根法，直接法，初等变换法等求解线性方程组的方法。

说明研究线性方程组求解问题的探讨及本文的写作意义。

关键词: 线性方程组；高斯消元法；平方根法；追赶法；直接法；初等变换法1 引言线性方程组即各个方程关于未知量均为一次的方程组。

对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。

线性方程组是线性代数的主要内容，它主要包括线性方程组有解性的判定、线性方程组的求解和线性方程组解的结构等。

线性方程组的核心问题是研究它何时有解，以及解是什么。

本节主要对线性方程组解的情况进行讨论，给出当解不唯一时通解的表示形式。

另外还介绍了几种特殊的线性方程组的求解方法。

线性方程组可以分成两类，一类是未知量个数与方程的个数相等，另一类是未知量个数与方程的个数不等。

对于前一类特殊的线性方程组，我们可以采用克拉默法则，对于后一种线性方程组我们可以采用高斯消元法。

而且随着现代工业的发展，线性方程组的应用出现在各个领域，伴随着大量方程和多未知数的出现，而追赶法是数值计算中解线性方程组的一种直接法，它能在无舍入误差存在的情况下，经过有限步运算即可求得方程组的精确解的算法。

西安交大西工大考研备考期末复习矩阵的初等变换和方程组的解

r3 3r1 0 2 6 2 12
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
r1 2r3 1 0 0 3 2
r2 5r3
0 0
2 0 4 6 0 1 1 3
r1 2r3 1 0 0 3 2
r2 5r3
若记
2 1 1 1 2
B
(
A
b)
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．
用矩阵的初等行变换解方程组（1）：
2 1 1 1 2
B
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
1 1 2 1 4
r1 r2 r3 2
2 2 3
1 3
6
1 1
9
1 1
7
2 2
B1
9
r2 r3 1 1 2 1 4
r3 2r1 r4 3r1
0 0 0
2 5
3
2 5
3
2 3
4
0 6
Hale Waihona Puke B23r2 2 r3 5r2 r4 3r2
1 1 2 1 4
0 0
1 0
1 0
1 2
0 6
B3
0 0 0 1 3
x1
x2 x2
x3 4x4 3x5 x3 3x4 x5
依次得 x1 2, 1 , 2. x2 1 3 1
所以原方程组的一个基础解系为
2
1
2
1
3
1
1

5 经管齐次线性方程组(2)

移项：
k1 b11kr 1 b12 kr 2 k b k b k 21 r 1 22 r 2 2 kr br 1kr 1 br 2 kr 2 k r 1 k r 1 kr 2 kr 2 kn
3 x1 x3 5 可得原方程组的同解方程组： x 1 x x 2 3 4 5
3 x1 x3 在此方程组中，分别取自由未知量 5 1 x 2 x 3 x4 1 0 x3 5 x 为 0 , 1 3 4 5 0 1 1 可得基础解系： 1 , 2 5 0 1 1 0 方程组的通解为X c11 c22 ，其中c1 , c2 为任意常数.
, s 线性无关； , s 线性表示.
②AX=0 的任意解都可以由1 ,2 , 则称 1 ,2 ,
, s 为齐次线性方程组的一个基础解系.
２、线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵Ａ的秩为ｒ，对系数矩阵Ａ进行初等行变换，将其化为最简形: 轾 1 0 0 b11 b1,n- r 犏犏 0 1 0 b21 b2,n- r 犏犏犏犏 0 0 1 br 1 br ,n- r 犏犏 0 0 0 0 0 犏犏犏犏 0 0 0 0 0 犏臌 x1 x 2 x r x r 1 xn
,n r
(其中 k1 , k2 ,
, kn r 为任意实数).
三、应用举例例1 求齐次线性方程组 x1 2 x2 x3 2 x4 0 2 x1 x2 x3 x4 0 3 x x 2 x x 0 2 3 4 1 的通解，并用基础解系表示.
k11 k22

齐次线性方程组解的结构

四、思考与练习
思考题:
设B是一个三阶非零矩阵它，的每一列是齐次线性方程组
x1 2x2 2x3 0
2x1 2x2 x3 0
3x1 x2 x3 0
的解,求的值和B
解: B0,B的列向量是齐次的方解程，组则该方程组有非所零以解。该方程组
如果
1 1 ,2 , ,t是 A 0 x 的一 ; 组解
2 1,2, ,t是线的 ;性无关
3 A 0 的 x 任1 ,一 2 , ,t线解 .性都
即
X k 11 k 22 k t t ( ＊ )
(*)式称为方程组的通解公式
定理4. 4: m n型齐设次线 AX 性 0的方系程数组
零 .A 解 0 x 有非 R A 零 n 解
例1 求下列齐次方程组的通解。
(1) 2xx11
2x2 4x2
4x3 8x3
x4 x4
0 0
3x1 6x2 2x3
0
解： 1 2 4 1
A
2 3
4 6
8 2
1 0
1 2 4
1
1
2
0
1 5
初等行变换
0 0
0 0
b
r
1
r1 1
r2
b
r
2
0
b r ,n r
n 0
cr
r1
0
1
0
r
2
0
0
1 n
由与于都是 A 方 x 0 的程 ,而解 Ax0又等价于
方程组
x 1 b1 1x r1 b1 ,n rxn xr br1xr1 br,nrxn

求矩阵特征向量的三种方法数学专业

求矩阵特征向量的三种方法摘要：突破了只用行初等变换求矩阵特征向量的思维模式，本文引用了“特征根与特征向量的同步求解”的方法，并导出了“用列初等变换求矩阵的特征向量”的方法，理论上都给出了它们的证明.在求矩阵特征向量时，如果选择的方法得当，将大大提高计算速度. 关键词：行初等变换列初等变换矩阵特征向量Abstract: Different from the thought of only considering to use row elementary Counterchangeto request the eigenvector of matrix,this paper quotethe method of using “characteristic root and eigevector synchronously request solution”,and deduce the method ofusing “ier elementary counterchange to request the eigenvector”.They are deduced theoretically in the text.if the method of choice Properly when request the eigenvector of matrix will increases consumedly the calculation.Keywords:row elementary counterchange;tier elementary counterchange;matrix;eigenvector.§1、定义定义1 所谓数域P 上矩阵的初等变换是指下列三种变换：1）以P 中一个非零的数乘矩阵的某一行（列）. 2）把矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列） 3）互换矩阵中两行（列）的位置.定义2 设A 是数域P 上线性变换，如果对于数域P 中一数λ，存在一个非零向量ξ，使得λξξ=A .那么λ称为A 的一个特征值，而ξ称为属于特征值λ的一个特征向量.定义3 设A 是数域P 上一n 阶矩阵，λ是一个文字.矩阵A E -λ 的行列式nnn n nna a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211||称为A 的特征多项式，这是数域P 上的一个n 次多项式.定义4 设向量组)1(,...,,21≥s s ααα不线性相关.即没有不全为零的数s k k k ,...,,21使0...2211=+++s s k k k ααα就称为线性无关；或者说，向量s ααα,...,,21称为线性无关，如果由0...2211=+++s s k k k ααα可以推出0...21====s k k k .§2、用行初等变换求矩阵的特征向量此方法求n 阶矩阵的特征向量，通常是解齐次线性方程0)(=-X A E λ，而解齐次线性方程组一般是用行初等到变换.必要时变换列化系数为阶梯形⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00,r n r r C E 然后给自由变量一些赋值进而求解.具体求解步骤是：1）、在线性空间V 中取一组基，写出A 在这组基下的矩阵A ；2）、求出A 的特征多项式 A E -λ 在数域 P 中全部的根，它们也就是线性变换A 的全部特征值；3）、把所求得的每一个特征值逐个代入方程组，对于每一个特征值解方程组，求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的n 个线性无关的特征向量在基n εεε,...,,21 下的坐标，这样，我们也求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量.例1 设数域P 上三维空间V 内线性变换A 关于基321,,εεε的矩阵为A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---433653631求A 的特征值与特征向量.解因为特征多项式为f(λ)=|λE-A|=466353331---+---λλλ=2)2(+λ(λ-4) 所以特征值是λ1=-2(两重)和λ2=4求相应于A 的特征值λ1=-2的特征向量（λ1E-A ）=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------633633633→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--003003003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--001001001即1χ-2χ-3χ=0，它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101 因此，属于λ1=-2的两个线性无关的特征向量是1ξ=1ε+2ε，2ξ=-1ε+2ε而属于λ1=-2的全部向量就是1K 1ξ+2K 2ξ，1K ，2K 取遍数域P 中不全为零的全部数对.求相应于A 的特征值λ2=4的特征向量（λ2E-A ）=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----633693633→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---36312123003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0610121001即1χ+2χ-3χ=0122χ-63χ=0它的基础解系是：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛211因此属于λ2=4的一个线性无关的特征向量是3ξ=1ε+2ε+23ε，而属于λ2=4的全部特征向量就是K 3ξ，K 是数域P 中任意不等于零的数.§3、用列初等变换求矩阵的特征向量设λ是n 阶矩阵A 的特征根，对（λE-A ）施行列初等变换化为())(r n n rn O B -⨯⨯的同时，对单位阵E 施行同样的列初等变换就得到矩阵())(r n n rn D C -⨯⨯，则矩阵D 的每一个列向量都是A 的属于特征根λ的特征向量，且它们恰构成特征子空间λV 的一个基.（这里r=秩（λE-A ））事实上，由矩阵的初等变换和分块矩阵运算性质可得（λE-A ）())(r n n rn D C -⨯⨯=())(r n n rn O B -⨯⨯∴（λE-A ）)(r n n D-⨯=0.由于D 是单位阵E 经若干初等列变换得到的分块矩阵；因而它的n - r 个列向量线性无关，且每个列向量都是（λE-A ）x=0的解向量.从而结论得证.例2 求R 上矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---022113313的特征根与特征向量解：A f (x) =xx x 13211233-----= (x-4)(2x +4)∴矩阵A 只有一个实根λ=4()3)f(I λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100010001.........413231231 →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010231.........10103001001→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100110131 (010*******)从而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111为A 的属于特征根4的一个特征向量，而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--K K K ，K ≠0,K ∈R,是A 的属于4的全部特征向量要求出矩阵A 的每一个特征根λ的特征向量，只需对每一个λ按照上述方法一一求解便是. 推论：若n 阶矩阵A 仅有两个特征根.且秩（i λE-A ）=j λ的重数（i ≠j,i,j=1,2）,对（i λE-A ）经列初等变换化为（j r n B ⨯ )(jr n n O -⨯），则矩阵B 的每一个列向量都是A 的属于特征根j λ的特征向量，且它们恰好构成特征子空间jV λ的一个基.事实上，秩（i λE-A ）=j λ的重数（i ≠j,i,j=1,2），从而A 可对角化，故存在可逆阵PA=1-P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2211λλλλ P=1-P QP ∴（j λE-A ）（i λE-A ）=（j λE-1-PQP ）（i λE-1-PQP ）=1-P （j λE-Q ）P 1-P（i λE-Q ）P=1-P （j λE-Q ）（i λE-Q ）P=0而B 的列向量恰是（i λE-A ）的列空间的一个基，所以B 的jr个列向量是齐次线性方程组（j λE-A ）x=0的一个基础解系即B 的j r 列向量是从属于j λ的线性无关的特征向量.例3 求矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--323230005的特征根与特征向量解 A f (x) = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---323230005x x x =)1()5(2--x x ∴A 的特征根是5和1()II A)-5(=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010001.........220220000→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100.........022022000→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-011010100...... (00200)2000 ∴A 的属于特征根5的特征向量是1K ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011+2K ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101，1K ，2K 不全为0，1K 2K ∈R A 的属于特征值1的特征向量是3K ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛220 3K ≠0，3K ∈R对于只有两个特征根的矩阵来说，要求它的属于不同特征根的特征向量，通常取重数较大的那个特征根，这样作初等变换时比起另一个来更方便些.还有一些矩阵，比如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----110732513等，虽然也保有两个特征根，但并不满足“秩（i λE-A ）=j λ的重数（i≠j,i,j=1,2）“这个条件，因而只对()EA)-E (λ作列初等变换即可.当然，并不是所有矩阵运用此法求特征向量都相对简便，仅供参考. §4、矩阵的特征根与特征向量的同步求解对f(λ)=A E -λ同时进行列与行的初等变换，将其化为对角形λ—矩阵B(λ).即只要求出有可逆矩阵n 阶λ——矩阵p(λ)、Q(λ)，使p(λ)f(λ)Q(λ)=ding(1f (λ),2f (λ),…,n f (λ))=B(λ)显然每个i f (λ)≠0.（即不是零多项式）其中Q(λ)就是在对f(λ)进行列的初等变换时，同时对n I 进行相同的列初等变换的结果.（或记录）当然p(λ)是对f(λ)进行行初等变换时，同时对n I 进行行初等变换的结果.（只是后来不用它，不必记录）设λ是f(λ)的任意一个根（A 的特征根），因为A 的特征多项式=1f (λ)2f (λ)…n f (λ).设在1f (λ),2f (λ),…,n f (λ)中有t 个为0，n-t 个不为0（t ≥1）设1i f (λ)=2i f (λ)=…=t i f (λ)=0 其余的i f (λ)≠0（t i i i 21是1，2，…，n 中某t 个值）显然f(λ)的秩为n –t.即有p(λ)f(λ)(1i q (λ),2i q (λ),…,t i q (λ))=nt 0 (※) 其中1i q (λ),2i q (λ),…,t i q (λ)是Q(λ)中第t i i i 21列的列向量.由于p(λ)与Q(λ)皆是可逆矩阵,由（※）可得f(λ)(1i q (λ),2i q (λ),…,t i q (λ))=nt 0而1i q (λ),2i q (λ),…,t i q (λ)线性无关,即知它们就是方程组ntn x f 01)(=⨯λ的一个基础解系.故1i q (λ),2i q (λ),…,t i q (λ)就是A 的属于特征根λ的特征向量. 对f(λ)同时施行行与列的初等变换,容易将其化为对角形λ—矩阵B(λ),只需记录下Q(λ)就成了.这里免去了对B(0λ)的(0λ是A 的一个特征根时)非0列向量再施初等变换的过程.下面举例说明.例4 求矩阵A 的特征根与特征向量,其中A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110010021解 ()3)f(I λ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-100010001 (100112001)λλλ的相同与变换列初等 [I]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----110010001.........1100120012λλλλ行上去到第加以行乘将第3,1-2λ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----110100001.........10)1(20120012λλλλ 行上去加到第行乘以第321-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---110100001.........1000120012λλλ上去列加到第列乘以第122 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---112000001.........1000120012λλλ 知B(λ)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1000100012λλ Q(λ)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110100201λ A 的特征根是1(2重根)与-1.λ1=1时与B(λ1)中对应的Q(λ1)中两个列向量是'(1,0,2)与'(0,1,2).λ2=-1时与B(λ2)中对应的Q(λ2)中1个列向量是')0,1,0(∴A 的属于特征根1的特征向量是'(1,0,2)与'(0,1,2)；A 的属于特征根-1的特征向量是')0,1,0(.这里顺便指出,对B(λ)也不一定要求它是对角形λ—矩阵.只要其中的n 个元素1f (λ),2f (λ),…,n f (λ)各在不同行不同列中即可.因为这时的特征多项式即±1f (λ)2f (λ)…n f (λ).致谢：在完成此论文的过程中得到了杨波教授的精心指导，在此深表谢意。

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Ｐ＝ＢＡ
・９・
定理１设Ａ是方程组（）系数矩阵，秩Ａ＝ｒ若１的且，
初行更ｆｒ女１等变ｃ１ｍ０Ｄ… Ｊ
．
其中ｃ为阶梯形矩阵，且秩Ｃ＝．Ｄｒ则中的ｎｒ — 个行向量，ｚ… ，ｎ就是方程组（）０，Ｏ＿【￣ｚ１的一个
证明由引理１存在ｒ阶可逆矩阵Ｐ，得，ｌ使
Ｐ；，三言）ｃ＝：Ａ（
一
．
．
ｃ４
由分块矩阵的乘法有
Ｃｒｍ
＝
…
）
（５
）
的行向量Ｏ（＝１２，，ｔｉ， … ｎ—ｒ线性无关・（）ｉ）将６
Ａ三２０二２：三Ｉ一Ｉ１ — 一［２］０］Ｌ一１ｊ一［ —３１／２Ｊ一１＋３ＬＩｌ１］０一ｆ－＋一。Ｊ－一ｌ。０Ｌ１１０－ — ｌ一一０１］ — ［ — ＪＩ
１
，Ｌ
、，
１主要结论
定义１若矩阵Ｃ满足下列两个条件
１）Ｃ的非零行全在Ｃ的上方，行全在Ｃ的下方；零２）非零行的第一个非零元素（为首非零元）称的列标随行标的增大而严格增大；称Ｃ为阶梯形矩则阵．定义２设Ｄ为阶梯形矩阵，矩阵Ｄ满足下列两个条件若１）Ｄ的非零行的首非零元均为１；２）首非零元所在列的其余元素均为零；称矩阵Ｄ为行简化阶梯形矩阵．则引理１－设Ａ是ｒｎ ¨３ｎ矩阵，ｘ若矩阵Ａ经若干次初等行变换化为矩阵Ｂ则存在ｍ阶可逆矩阵Ｐ使，，
仪
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张金战
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（陇南师范高等专科学校数学系，仅甘肃成县
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７２０）４５０
ｎ
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摘
＝＝要：求齐次线性方程组基础解系的一般方法是利用矩阵的初等变换将原方程组化为同解方程组，出含写Ｏ０
组（）ｎｒ１的 — 个线性无关的解向量，即为方程组（）１的一个基础解系¨ ３这种解法中对矩阵Ａ的初等变－．］
换仅仅是得到同解方程组（）中间步骤，３的并不能直接得到方程组（）１的基础解系．文给出一种利用初等本变换直接得到方程组（）１的基础解系的方法．
２１００年５月第２９卷第５期
绵阳师范学院学报
Ｊｕｎｏａｙｎｒｏｒ￣ｆＭｉｎａｇＮｏｍ￣Ｕｎｖ￣ｉｉｅ
Ｍａ２０１ｙ．０Ｖｏ．９Ｎｏ．１２５
１
仅２
Ｘ
Ｘ
求齐次线性方程组基础解系的初等变换法
求齐次线性方程组（）１的基础解系的一般方法是对系数矩阵Ａ施行初等行变换化为行简化阶梯形矩阵Ｂ，得到方程组（）１的同解方程组Ｂ０Ｘ＝（）３写出方程组（）３的含有ｎ—ｒｒ（＝秩Ａ）自由未知量的一般解，后通过给自由未知量赋值得到方程个然
０引言
齐次线性方程组是指
ＬｌｍＸｌ＋ｎｘｌ２＋… ＋ｍＸ２ｎｎ＝０
其中ｉｉ，，，ｊ，，，）ｉ：ｌ２ … ｍ；＝１２ … ｎ为常数．（方程组（）１的矩阵形式为
Ａ０Ｘ＝其中Ａ＝（ｉ一是方程组（）ｉ）１的系数矩阵，Ｘ＝（Ｘ，，Ｔｘ， … ｘ）．（）２
＝＝
和Ｐ（ＩＤ＝
因为Ｐ可逆，６式知Ｄ由（）是行满秩矩阵，Ｄ即
，
．
）
（）７
（）８
Ｄｎ－ｒ，．Ａ０一将（）两端分别转置得７式Ａ（ … ．０一Ｄ）
由（）知，（）的列向量，Ｄ８式Ｄ一即的行向量Ｏ（＝１２ … ，ｔｉ，，ｎ—ｒ就是方程组（）ｉ）１的解向量・因为Ｄ－￣ｎｒ的行向量ｉｉ，，，）性无关，以仅，ｒ，￣ｒ是方程组（），（＝１２ … ｎ—ｒ线所Ｏ …Ｏ－就．：ｎ１的一个基础解
得
收稿日期：００－６２１￣１０基金项目：福建省教育厅基金资助项目（Ｂ９２。Ｊ００）作者简介：张金战（９５一）男，１６，副教授，硕士，主要研究方向：高等代数与高等数学。
第５期
张金战：齐次线性方程组基础解系的初等变换法求
２应用举例
ｒ１一２＋Ｘ３一Ｘ４＝Ｏ
｛ｌｘ一３ｘ：的基础解系．ｘ— ２ｘ＋４ｏ
【１Ｘ — ｘ＋ｘ０Ｘ一２２３２４＝
解法１文献［～］（１３的方法）先对方程组的系数矩阵进行初等行变换化为行简化阶梯形矩阵：
有ｎ—ｒ自由未知量的一般解，个然后通过给自由未知量适当赋值即得到原方程组的基础解系。该文对这一方法进
行了改进，出了用矩阵的初等变换直接求出齐次线性方程组基础解系的方法。给
关键词：齐次线性方程组；础解系；初等变换基中图分类号：Ｏ１１５文献标识码：Ａ文章编号：１７－１ｘ２１）５００－３６２６２（０００－０８０