定积分的性质

根据定积分的补充规定,得
b
c
c
a f (x) d x = a f (x) d x − b f (x) d x
c
b
= a f (x) d x + c f (x) d x
即:
b
f (x) dx =
c
f (x) dx +
b
f (x) dx
a
a
c
性质4 (比较大小)
y
若在a,b 上 f (x) 0 ,则
a
a
注:无论比较大小性质还是推论,都要求下限 小于上限.
性质5 (估值性质)
y
设 M 及 m 分别是函数 M
f ( x) 在区间a,b上的最大 m oa
值及最小值, 则
y = f (x)
bx
b
m (b − a) a f (x) d x M (b − a) (a b)
性质6 (定积分中值定理)
若函数 f (x) 在a,b y 上连续,则在 a,b上存在
一点 , 使得下式成立: o a
y = f (x)
f ( )

bx
b
f (x) dx = f ( ) (b − a), (a b) . a
或 f ( )= 1
b
f (x) dx
(b − a) a
例1.比较下列各对定积分的大小.
(1) 2 x 2 d x ____ 2 x 3 d x
1
1
(2)
2
ln x d x
____
2( ln x ) 2 d x
1
1
解:(1) ; (2) .
例2.估计定积分 (1+ s i n2x) d x 的大小. 0
解: 令 f (x) = 1+ si n2x , x 0 , ,
定积分的性质
补充规定:
1.
b
f (x) dx = −
a
f (x) dx
(a b)
a
b
2. a f (x) d x = 0 a
注:不论上限、下限的大小如何,定积分都有
意义.
b
性质1 1 d x = b − a a
y = f (x)
y
������
������
f (x) =1
1
性质2 (线性性质)
y = f (x)
b
a f (x) d x 0 (a b)
oa
y
推论1 若 f (x) g(x) , x a,b,
bx
y = f (x)
b
b
则 f (x) d x g(x) d x
y = g(x)
a
a
oa
bx
推论2
b
b
f (x) dx f (x) dx ( a b )
oa
bb x
b
b
b
(1) [ f (x) + g (x)] d x = f (x) d x + g(x) d x
a
a
a
(2)
b
k f (x) dx = k
b
f (x) dx
a
a
注:线性性质(1)可推广到有限个函数的情形.
性质3 (积分区间的可加性)
y
若 f ( x) 在 a,b上连续,
则 1 f (x) 2 ,
从而


(1+
si n2x)d x
2.0源自y = f (x)且acb, 则
oa c
b
c
b
a f (x) d x = a f (x) d x + c f (x) d x
bx
(*)
注:不论a、b、c相对位置如何,(*)式总成立.
例如,当 a b c 时, 由于
c
b
c
a f (x) d x = a f (x) d x + b f (x) d x