三角形旋转-含答案

旋转“小三角”
一。

填空题(共40小题）
1.将一副三角板按图所示得方式叠放在一起,使直角得顶点重合于点Ｏ，并能绕Ｏ点自由旋
转，设∠ＡＯC＝α，∠BOD=β,则α与β之间得数量关系就是.
2.如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转角度α（0°〈α〈９0°)，得到△AB’C’，若B＇，
C，C’三点在同一条直线上，∠B’CB＝46°，则α得度数就是。

3。

如图，在△AＢＣ中，∠ABC=112°，将△ABC绕着点Ｂ顺时针旋转一定得角度后得到△DBE（点Ａ与点Ｄ对应)，当Ａ、B、E三点在同一直线上时，可得∠ＤＢC得度数为．
4.如图，在Rt△ＡBＣ中，∠ACB＝90°,ＡC＝6,BＣ＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到
△AB′Ｃ′，点Ｂ、C得对应点分别为点Ｂ'、C′，ＡB′与BC相交于点Ｄ，当Ｂ′C′∥AB时，则CD=.
5。

如图,将△ＡBC绕点A逆时针旋转11０°,得到△ADＥ，若点D落在线段BC得延长线上,则∠B大小为。

6.如图，BD为正方形AＢCＤ得对角线，ＢE平分∠DBC，交ＤC于点E,将△ＢCＥ绕点C
顺时针旋转90°得到△DCF,若CE＝ｃm，则BF=cｍ.
7.如图,将△ＡＢC绕顶点A顺时针旋转６0°后得到△AＢ１C1，且C1为BC得中点,AB与Ｂ
1C1相交于D,若AC=2，则线段B1D得长度为。

8.如图，将△ABＣ绕点C顺时针旋转,使得点Ｂ落在AB边上得点D处，此时点Ａ得对应点
E恰好落在BC边得延长线上，若∠B＝5０°,则∠A得度数为。

９.如图，在△ABC中,∠BAＣ＝75°，以点A为旋转中心，将△ABC绕点Ａ逆时针旋转，
得△AB’C＇,连接BB'，若BB’∥AＣ’，则∠BＡC′得度数就是．
10。

如图,点O就是等边△ＡBC内一点，∠AOB=１３0°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADＣ,连接OD，若OD=ＡＤ,则∠BOＣ得度数为.
11.如图，△ＡBC就是等边三角形，点Ｐ在△ＡBC内,P A＝2,将△ＰAB绕点A逆时针旋转得
到△ＱAC，则ＰQ得长等于。

１2．如图,Ｒｔ△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到Rｔ△AB＇C＇，连接BＢ’,ＣC'，延长CC＇交ＢB＇于点Ｅ，若BC=４,AC=3,则ＣE得长为.
13。

如图,在△ABC中,∠ＡCB=90°，sinＢ＝,将△ＡBＣ绕顶点Ｃ顺时针旋转，得到△A１B
Ｃ1,点A、B分别与点Ａ１、B１对应，边Ａ1B1分别交边AB、BＣ于点D、E，如果点E １
就是边A1B1得中点，那么A1D：DB=.
14。

如图，在△ABC中,∠A＝45°，∠ACB＝75°，BC=5,将△ＡＢC绕点C旋转得到△A’B＇C，且点B'恰好落在AＢ边上，则BB’得长为。

15。

已知线段ＡB就是定值,平面内有一点Ｃ满足ＣB＝AB,连ＡＣ,将线段AＣ绕点A逆时针旋转80°,得线段ＡＤ（如图示),连BＤ。

当线段BD得长度最大时，则∠DCB＝°.
16.在△ABＣ中，∠C＝９0°，ＡＣ=BC，将△ABＣ绕点A按顺时针方向旋转６０°到△AB′
Ｃ′得位置，连结C′B、BB′。

若AＣ＝２，则BC′=.
17。

如图,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ＡED,若线段AＢ=５,则BE得长度为。

1８.如图，在Rt△AＢＣ中，∠ABＣ＝90°，.将△ＡBC绕点Ａ逆时针旋转60°,得到△AB’C＇(点B,C得对应点分别为点B′,C′)，延长C′B′分别交ＡＣ，BC于点D，Ｅ,若DE=2，则AD得长为.
19.如图，在△ＡBC中,∠ＢＡC＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ＡDE,点Ｂ得
对应点Ｄ恰好落在线段ＡC得延长线上,连接BD.若∠BＤE=9０°，则∠ABC＝度。

２0。

如图，菱形ABCD中,E、F分别为BＣ、CD上得点，且△ACF经旋转后能与△ＡBE 重合,且∠BAE=25°，则∠ＦEC得度数就是。

２1.Rt△ABC中,AB＝8，BＣ=6，将它绕着斜边AC中点O逆时针旋转一定角度后得到△A’B'Ｃ’，恰好使A’B'∥AC，同时Ａ'B'与AB、ＢC分别交于点Ｅ、F,则ＥＦ得长为。

2２。

如图,在直角△ＡBC中，∠BAC=９0°，AB=4,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB1C1，Ｂ1C１交BC于点Ｄ，ＡB1交BC于点E,连接AＤ,当AE平分∠BＡＤ时,AＥ＝3,则BＤ= 。

２3.如图，在△ABC中,ＡB＝1，ＡC=2，现将△ＡＢC绕点C顺时针旋转９0°得到△A′B′C′,连接AB′,并有AＢ′＝3，则∠A′得度数为.
24．如图，平行四边形ABCD得面积为３2,对角线ＢD绕着它得中点O按顺时针方向旋转一定角度后,其所在直线分别交ＢＣ，AD于点E、F,若AF＝3DF，则图中阴影部分得面积等于
2５.如图，点P就是等边三角形ＡBC内一点,且P A=３，PＢ＝4,ＰC＝5，若将△APB绕着
点B逆时针旋转后得到△CQＢ，则∠APB得度数。

26。

如图,在三角板ABC中，∠ＡCＢ＝9０°，∠A＝30°，AC=6，将三角板ABＣ绕点C 逆时针旋转,当起始位置时得点B恰好落在边A1B1上时，Ａ1B得长为．
27．如图,P就是等边三角形AＢC内一点，将线段BＰ绕点Ｂ逆时针旋转6０°得到线段BQ,连接AQ。

若PＡ＝4,PB=5，PＣ＝3,则四边形APBQ得面积为。

28.如图,在等边△ＡBＣ内有一点Ｄ,AＤ＝6，BD=7，CD=5,将△ＡBＤ绕点A逆时针旋转，
使AB与AC重合,点D旋转至点E，连接ＤE,则△CＤE得面积为。

29．已知，如图,△ABD中，ＡＢ＝AD＝1,∠B=３０°，△ABD绕着A点逆时针旋转α（0°＜α＜12０°)旋转得到△AＣE。

CE与ＡＤ、BＤ分别交于点G、F;设DF+GF＝ｘ,△ＡＥG得面积为y，则y关于ｘ得函数解析式为。

3０.如图，在Ｒt△ABC中，∠B＝９0°，AB=2，BC＝,将△ＡBC绕点A按逆时针方向旋转９0°得到△AB′C′，连接B′Ｃ,则CＢ′得长度为。

31．如图，已知Ｐ为等边△AＢＣ形内一点,且PＡ＝3ｃｍ，ＰB＝４ｃm，ＰＣ=５cm，则图中△PＢC得面积为cm2.
32．如图，在正方形ABCD中,ＡＢ=５,点Ｍ在BC边上，且ＢM＝２,把△ABM沿AＭ折叠得到△ＡEＭ，将△AＢM绕点Ａ逆时针旋转９0°得到△ＡDF,连接EF,则线段ＥF得长为。

３3．如图，在△ＡBC中，∠ＢAC＝9０°，ＡＢ＝AC＝10cm,点D为△ABC内一点,∠BＡD＝1５°,ＡD=6cｍ,连接ＢD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点Ｄ得对应点为点E，连接DE，DE交AＣ于点F，则CF得长为cm．
34.如图,点D就是等边△ＡBC得边BC上得一个动点，连结AD,将射线DＡ绕点D顺时针
旋转60°交AＣ于点E,若ＡB=4,则AＥ得最小值就是.
3５.如图，D为△ABC内一点，且AD＝ＢＤ,若∠ACD=∠DＡB=4５°,AＣ=5，则S△AＢC=．
3６。

如图，已知正方形ＡＢCD得边长为3,Ｅ、F分别就是AB、BC边上得点,且∠ＥDF=45°,将△DＡE绕点Ｄ逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝１，则△ＢＥF得面积为．
3７.如图，边长为2得正方形ＡBCD以A为中心顺时针旋转４5°到图中正方形AB′C′Ｄ′位置,则图中阴影部分得面积为。

3８。

如图，将边长为３得正方形AＢCD绕点A逆时针方向旋转３０°后得到正方形Ａ′Ｂ′C′D′，则图中阴影部分面积为.
3９。

如图，将矩形AＢCD绕点A顺时针旋转到矩形Ａ′Ｂ′C′Ｄ′得位置,旋转角为α(0<α＜90°).若∠1=110°,则α＝.
40。

如图,在矩形AＢCＤ中,AB＝15,BC=１7，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG，点A落在矩形ABCD得边BC上,连接ＣＧ，则CG得长就是。

旋转“小三角"
参考答案与试题解析
一。

填空题(共4０小题）
1.将一副三角板按图所示得方式叠放在一起,使直角得顶点重合于点O,并能绕O点自由旋
转，设∠AOC=α,∠BOＤ＝β,则α与β之间得数量关系就是α+β=1８0°。

【分析】由旋转得性质可得∠BＯC=∠AOD，即可求解。

【解答】解：∵使直角得顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，
∴∠ＢOＣ＝∠AOD，
∵∠BOC＋∠AＯＣ=90°,
∴∠AＯD+∠AＯC=９0°，
∵α＋β＝∠ＡOC+∠BOＤ＝∠AOC＋∠ＢOC+∠AOC＋∠ＡOD=１80°，
∴α＋β＝180°,
故答案为：α+β＝18０°.
【点评】本题考查了旋转得性质，灵活运用旋转得性质就是本题得关键。

2．如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转角度α(0°〈α〈9０°)，得到△AB'C＇，若B’，C，C＇三点在同一条直线上,∠B'ＣB=46°，则α得度数就是46°。

【分析】利用旋转得性质得出AC=AC′，再利用等腰三角形得性质得出∠CAC′得度数,则可求出答案.
【解答】解：由题意可得：AＣ=AC′，∠C’＝∠ACB,
∴∠ＡCＣ'＝∠C'，
∵把△ABC绕着点A顺时针方向旋转α,得到△AＢ′C′,点C刚好落在边B′C′上,∴∠Ｂ'CB＋∠ACB=∠C’＋∠ＣAC′,
∠B'CB＝∠ＣAＣ’＝４6°。

故答案为：４6°。

【点评】此题主要考查了旋转得性质以及等腰三角形得性质等知识,根据题意得出AC=ＡC′就是解题关键。

3。

如图，在△ABC中，∠ABC=1１２°,将△AＢC绕着点B顺时针旋转一定得角度后得到△DＢＥ(点A与点D对应）,当A、B、Ｅ三点在同一直线上时，可得∠DBC得度数为44°。

【分析】首先根据邻补角定义求出∠ＣBE=１80°﹣∠ABC＝68°，再根据旋转得性质得出∠DＢE=∠ABC＝1１2°，那么∠DBC=∠DBE﹣∠CBE＝44°．
【解答】解:∵A、B、E三点在同一条直线上，∠ABC=1１2°，
∴∠CBE=１80°﹣∠ＡBC＝68°。

∵将△ＡBC绕着点B顺时针旋转一定得角度后得到△DＢE（点A与点D对应)，
∴∠DBE=∠AＢC＝112°,
∴∠DＢC=∠DBＥ﹣∠CBE=11２°﹣68°=４４°.
故答案为:44°.
【点评】本题考查了旋转得性质:①对应点到旋转中心得距离相等；②对应点与旋转中心所连线段得夹角等于旋转角;③旋转前、后得图形全等。

也考查了邻补角定义．
4。

如图，在Ｒt△AＢC中，∠ACＢ=90°，ＡC＝６，BC＝8，将△ABＣ绕点A逆时针旋转得到△AＢ′C′，点Ｂ、C得对应点分别为点B’、C′,AB′与BC相交于点Ｄ，当B′C′∥ＡB时,则CＤ＝。

【分析】设ＣD＝x，由Ｂ′C′∥ＡB,可推得∠BＡＤ=∠B′，由旋转得性质得：∠B＝∠B′,于就是得到∠BＡＤ＝∠B,AC=ＡC′＝4,AD＝BＤ＝8﹣x,由勾股定理可求解．【解答】解:设ＣD=x，
∵B′C′∥ＡB，
∴∠ＢAD＝∠B′,
由旋转得性质得：∠B=∠Ｂ′,AC＝AＣ′＝6，
∴∠ＢAD＝∠Ｂ,
∴AD＝BD＝８﹣ｘ，
∴（８﹣ｘ）2＝x2+６2，
∴x=,
∴CＤ=,
故答案为：。

【点评】本题主要考查了旋转得性质,平行线得性质,等腰三角形得性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程就是本题得关键。

5。

如图,将△ABC绕点A逆时针旋转1１0°,得到△ＡDE,若点Ｄ落在线段ＢC得延长线上，则∠B大小为35°．
【分析】由旋转可知，AＢ＝AＤ且∠ＢＡD=1１0°,则有三角形内角与可以计算出∠B.
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转1１0°，得到△ADE，
∴AB=AD，∠ＢAD=11０°，
由三角形内角与可得＝＝35°。

故答案为：3５°。

【点评】本题就是几何图形旋转问题，考查了图形旋转得性质、三角形内角与以及等腰三角形得性质.
６.如图，BD为正方形ABCD得对角线，BE平分∠ＤBＣ,交DC于点E，将△BCE绕点Ｃ顺时针旋转90°得到△DＣF,若CE=cm，则BF＝2+2 cm。

【分析】过点Ｅ作EM⊥ＢＤ于点M，则△ＤEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形得性质即可得出ＤＥ得长度,再根据正方形以及旋转得性质,即可得出线段ＢＦ得长.
【解答】解:如图所示，过点Ｅ作ＥM⊥BD于点M.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ＢDC=45°,∠BCＤ=90°,
∴△ＤEＭ为等腰直角三角形.
∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，ＥC⊥BC，
∴EM＝EC＝，
∴ＤＥ=EM＝2，
∴BＣ=CD＝+２。

由旋转得性质可知：CF＝CE＝,
∴ＢＦ=BC+CF＝2+2，
故答案为：２+2。

【点评】本题考查了旋转得性质、正方形得性质以及角平分线得性质，解题得关键就是结合角平分线以及等腰直角三角形得性质，求出线段BC以及CF得长度.
7.如图，将△AＢC绕顶点A顺时针旋转60°后得到△ＡＢ1C１，且Ｃ1为BC得中点，AB
与B１Ｃ1相交于Ｄ，若ＡC=2,则线段Ｂ1D得长度为 3 。

【分析】由旋转得性质可得AC＝AＣ1,∠ＡC1B1＝∠Ｃ＝60°，可证△ACC1为等边三角
形,可得BC1=CＣ１=AC＝2，可证∠B=∠C１AB＝3０°，由直角三角形得性质可求解．【解答】解:根据旋转得性质可知:AC=AC1,∠AＣ1B1＝∠C=6０°，
∵旋转角就是60°，即∠Ｃ１AC=60°,
∴△ACＣ1为等边三角形,
∴BC1＝CC1=AC=2，
∵C1为BC得中点，
∴BC1＝AＣ1＝2=AC1,
∴∠B＝∠C1AB=３0°，
∴∠BDC１=∠C１ＡＢ+∠AC1Ｂ1＝９0°，
∴BC1=2Ｃ１D,
∴C1D＝1
∴BＣ=B1C１＝BC1+CC1=4,
∴Ｂ1Ｄ=３,
故答案为：3.
【点评】本题考查了旋转得性质，等边三角形得判定与性质，直角三角形得性质等知识,求出C1D得长就是本题得关键。

8。

如图，将△ＡＢC绕点C顺时针旋转,使得点B落在ＡB边上得点D处,此时点A得对应点Ｅ恰好落在ＢC边得延长线上,若∠B=50°,则∠A得度数为30°。

【分析】由旋转得性质可得BC=CＤ,∠ＢＣD=∠ＡCＥ,可得∠Ｂ=∠BDC＝５０°,由三角形内角与定理可求∠BCＤ=80°＝∠ACE,由外角性质可求解。

【解答】解：∵将△ＡBC绕点Ｃ顺时针旋转,
∴BC＝CD，∠ＢCD=∠AＣE,
∴∠B=∠BＤＣ＝５０°,
∴∠BCD＝８０°=∠ＡCE,
∵∠AＣE=∠Ｂ+∠A，
∴∠A＝8０°﹣50°＝30°，
故答案为:3０°.
【点评】本题考查了旋转得性质,等腰三角形得性质,外角得性质，掌握旋转得性质就是本题得关键。

9．如图，在△ABＣ中，∠BAC=７5°,以点A为旋转中心，将△ＡＢＣ绕点Ａ逆时针旋转，得△ＡＢ＇C'，连接BＢ’，若BB＇∥AC'，则∠BAC′得度数就是105°。

【分析】由旋转得性质可得∠BAＣ＝∠B＇ＡＣ’=7５°，AB=AＢ’,由平行线得性质与等腰三角形得性质可得∠BAB’＝30°，即可求解.
【解答】解:∵以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转，得△AB’Ｃ’，
∴∠BＡC=∠B’ＡC＇＝75°,AB=AB'，
∵BB＇∥AC＇，
∴∠C’AB＇＝∠AB'B=75°，
∵AＢ＝ＡB'，
∴∠AB'B＝∠BB＇A=75°,
∴∠BAB＇=３０°,
∴∠BＡC＇＝∠BAB＇＋∠B＇A'C’=７5°+3０°＝１05°，
故答案为：1０５°。

【点评】本题考查了旋转得性质,平行线得性质,等腰三角形得性质,灵活运用旋转得性质就是本题得关键。

1０．如图，点O就是等边△ＡBC内一点,∠AOB＝13０°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转６0°得△ADC，连接ＯD，若OＤ=AＤ，则∠BOC得度数为100°。

【分析】设∠BOＣ＝α，根据旋转前后图形不发生变化，易证△COD就是等边△OCD，从而利用α分别表示出∠ＡOＤ与∠AＤO，再根据等腰△ＡOＤ得性质求出α.
【解答】解:设∠BOＣ=α,根据旋转得性质知,△BOＣ≌△ADC，则ＯC=DC,∠BOC=∠ADC ＝α．
又∵△ＢOＣ绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC,
∴∠ＯCＤ=60°，
∴△OＣD就是等边三角形,
∴∠CＯD=∠CDO=６0°，
∵OＤ＝ＡD，
∴∠AOD＝∠ＤAO.
∵∠AOD=36０°﹣130°﹣60°﹣α=１７０°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴2×（170°﹣α）＋α﹣60°=1８0°,
解得α=100°.
故答案就是：１00°.
【点评】此题主要考查了等边三角形得性质与判定,以及等腰三角形得性质与旋转得性质等知识，根据旋转前后图形不变就是解决问题得关键。

11．如图，△ABC就是等边三角形，点P在△ABC内,P A=2,将△ＰＡB绕点Ａ逆时针旋转得到△QAC,则PQ得长等于2。

【分析】根据等边三角形得性质推出AＣ＝AＢ，∠ＣAＢ＝60°，根据旋转得性质得出△ＣQＡ≌△BP A,推出AＱ=AＰ，∠CＡＱ＝∠ＢAP,求出∠P AQ＝60°，得出△AＰＱ就是等边三角形,即可求出答案。

【解答】解:∵△AＢC就是等边三角形,
∴AＣ=AＢ，∠CAB＝60°,
∵将△P AＢ绕点A逆时针旋转得到△QＡC,
∴△CQA≌△BP A，
∴ＡQ＝AP,∠CAQ=∠BＡP,
∴∠CAB＝∠CAP＋∠BAP＝∠ＣAP+∠ＣＡQ=60°,
即∠ＰＡＱ=６０°,
∴△AＰQ就是等边三角形，
∴QP=ＰＡ=2,
故答案为：2．
【点评】本题考查了等边三角形得性质与判定，全等三角形得性质与判定，旋转得性质等知识点,关键就是得出△APQ就是等边三角形，注意“有一个角等于６0°得等腰三角形就是等边三角形，等边三角形得对应边相等，每个角都等于60°．
1２．如图，Rt△ABＣ绕着点A顺时针旋转９0°得到Ｒt△AB'C’,连接ＢＢ’,CＣ＇,延长CC’交ＢB’于点Ｅ,若ＢＣ＝４，AC＝3,则CＥ得长为。

【分析】由旋转得性质得出AC＝AＣ＇，ＡB=AB’，B′C′＝BC，∠CAC'=∠BAＢ'=9０°,由等腰直角三角形性质得出CC′=AＣ=3，延长B’Ｃ'交BＣ于点F,则B’F⊥BC，∴四边
形ＡCFC′就是矩形,得出FC′=ＡC＝３,延长ＡＣ’交ＢＢ’于点M，则MC’∥BF，BF=B Ｃ﹣AＣ′＝1,得出△MC＇B’～△ＢFB＇，得出=，即=，解得MC′=，证明△ＭＥC'~△BEC,得出＝,即=，解得EC′=，即可得出结果.
【解答】解:∵Rt△AＢC绕着点A顺时针旋转90°得到Rt△AＢ’C’,
∴AＣ=AC’,AB=AB'，B′C′＝BC＝4，∠CAC’＝∠BＡＢ＇＝90°,
∴ＣC′＝ＡC＝3,
延长B'C＇交BC于点F，则B'Ｆ⊥BＣ，
∴四边形ＡCFＣ′就是矩形，
∴ＦＣ′＝AC=3,
延长AC’交BB＇于点M，如图所示:
则MC'∥ＢＦ,BF=ＢC﹣AC′＝4﹣3=1,
∴△MC'B'~△ＢFB＇,
∴=，
即＝，
解得：MC′=，
∵ＭＣ'∥BＦ，
∴△MEC'~△BEC,
∴＝，
即＝，
解得：EC′=，
∴CＥ＝EC′＋CC′＝＋3＝，
故答案为:。

【点评】本题考查相似三角形得判定与性质、旋转得性质、平行线得性质、矩形得判定与性质、等腰直角三角形得判定与性质等知识;熟练掌握旋转得性质，证明三角形相似就是解题得关键.
１3．如图，在△ＡBC中,∠ACB＝9０°，sｉn B=，将△ABＣ绕顶点C顺时针旋转，得到△Ａ1B1Ｃ1，点Ａ、Ｂ分别与点A１、B1对应，边A1B1分别交边AＢ、BC于点D、E，如果点Ｅ就是边A1B1得中点,那么A1D：DB= .
【分析】设ＡC＝3x，AB=5x，可求ＢC＝４x,由旋转得性质可得CB1=BC=４ｘ,Ａ１B1＝5x，∠ACＢ＝∠A１CB1，由题意可证△CEB1∽△ＤＥB,进而求出Ａ1D、DB，即可求解。

【解答】解:∵∠ＡＣＢ＝90°，ｓｉn B＝＝，
∴设AC=３ｘ，ＡＢ=5x,
∴ＢC=＝4x，
∵将△ＡBＣ绕顶点Ｃ顺时针旋转,得到△Ａ1B１C，
∴CＢ1＝BC＝4x，A1B１＝5ｘ,∠ACB=∠A1CB1,
∵点Ｅ就是Ａ１B1得中点,
∴CＥ＝A１B１=２、５x=Ｂ1E=A１Ｅ，∴ＢE=BC﹣ＣE＝1、５x,
∵∠B＝∠Ｂ１,∠CEB1=∠BED
∴△CＥＢ１∽△DEB
∴＝==＝，DB=B1C=x，
∴DＥ＝CＥ＝１、５x,
∴A1Ｄ＝A１Ｅ=﹣DE＝x，
∴＝=；
故答案为:。

【点评】本题考查了旋转得性质，解直角三角形,相似三角形得判定与性质,证△CEB1∽△DEＢ就是本题得关键.
1４．如图，在△ABC中,∠A=45°,∠ACB＝７5°，BC＝5，将△ABC绕点C旋转得到△A'B’C,且点B＇恰好落在AB边上，则BＢ’得长为5。

【分析】证明△BCＢ'就是等边三角形，得出BB'＝BC＝5即可.
【解答】解：∵△ABC中,∠A=４5°，∠ACB=75°，
∴∠B＝180°﹣４5°﹣75°=60°,
由旋转得性质得:ＣB’＝ＣB,
∴△BCＢ＇就是等边三角形，
∴BB’=BC＝５；
故答案为:５.
【点评】本题考查了旋转得性质、等边三角形得判定与性质、三角形内角与定理等知识；
熟练掌握旋转得性质,证明△BＣＢ’就是等边三角形就是解题得关键.
15。

已知线段AB就是定值，平面内有一点C满足CB＝ＡB,连AＣ，将线段AC绕点A逆时针旋转80°,得线段ＡD（如图示），连BD。

当线段BD得长度最大时,则∠DＣＢ＝7５°。

【分析】如图1中,作AH⊥AB，使得AH=AB，连接BH，CH。

证明△DＡB≌△CAH(SAS）,推出BD＝CH,由ＣH≤BH+ＢC,ＢH,BＣ就是定值，推出当C,B，Ｈ共线（如图2所示）时,CＨ得值最大.
【解答】解：如图1中,作∠BＡH＝∠ＣAD＝80°，使得AH＝AB，连接BＤ,CH.
∵∠DＡＣ＝∠BAH=8０°,
∴∠DAB＝∠ＣAH，
∵ＡD=ＡC，AB＝AＨ,
∴△DAB≌△ＣAH（SAＳ),
∴ＢD＝CＨ,
∵CH≤BH+BC,BＨ,BC就是定值，
∴当C，B，Ｈ共线(如图２所示）时,CH得值最大.
如图2中,设BD交ＡC于O.
∵△DAB≌△CAH,
∴∠ADＢ＝∠ＡＣB，
∵∠DOＡ＝∠COB，
∴∠DAO＝∠ＯＢC=80°,
∵ＢＡ＝BC，
∴∠BＡC=∠BCA，
∵∠ABＨ=∠BAC+∠ＢCA=５0°,
∴∠ACB＝∠ADB＝25°，
∵∠ADC=50°，
∴∠ＢDC＝２5°,
∴∠DCB＝180°﹣８０°﹣2５=75°,
故答案为75°．
【点评】本题考查旋转变换,等腰直角三角形得性质，全等三角形得判定与性质，三角形内角与定理等知识，解题得关键就是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中得压轴题.
16。

在△AＢＣ中，∠C=90°，AC=BC,将△ＡBC绕点A按顺时针方向旋转6０°到△AＢ′C′得位置，连结C′B、BB′．若AC=2，则BC′=．
【分析】如图,连接BB′，延长ＢC'交AＢ'于点H，由旋转得性质可得AB＝AＢ′＝2,∠BAB′＝6０°，可证△ＡＢB′为等边三角形，由“SＳS"可证△BB′C′≌△BAC，
可得∠B′BC′＝∠ＡBC′=30°，由等边三角形得性质与直角三角形得性质可求解。

【解答】解:如图,延长BC’交AB’于点H，
∵∠Ｃ＝90°，ＡC＝ＢC＝2，
∴ＡB＝2,
∵将△AＢＣ绕点A顺时针方向旋转６0°到△AB'C'得位置,
∴AB＝AB′=2，∠ＢAB′=60°，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠Ｂ′BA=60°，ＢB′＝BA；
在△BB′C′与△BAC中,
,
∴△ＢB′C′≌△BAC(SSS），
∴∠B′BC′＝∠ABC′=30°，且AB＝BＢ’，
∴ＢH⊥AB’,AH=B’H＝,
∴BH=AH＝，
∵ＡC’＝B'C’，∠ＡＣ’B’＝90°,Ｃ'H⊥AＢ＇
∴AH=C'Ｈ＝,
∴BC’=BH﹣C＇H＝﹣，
故答案为:﹣。

【点评】本题主要考查了旋转变换得性质，全等三角形得判定与性质得应用等几何知识点问题.解题得关键就是作辅助线；灵活运用旋转变换得性质、全等三角形得判定来分析、解答.
１7.如图，将△ABＣ绕点A顺时针旋转6０°得到△AＥD,若线段AB＝5,则ＢE得长度为5。

【分析】根据旋转得性质可得AＢ=ＡE,∠BAＥ＝６0°,然后判断出△AEＢ就是等边三角形，再根据等边三角形得三条边都相等可得ＢE＝AB=5.
【解答】解:∵△ＡBＣ绕点A顺时针旋转６０°得到△AEＤ,
∴ＡB＝AＥ，∠BAE=60°，
∴△ＡEB就是等边三角形，
∴BE＝ＡB，
∵ＡB＝5,
∴BＥ＝5.
故答案为:5．
【点评】本题考查了旋转得性质，等边三角形得判定与性质；熟练掌握旋转得性质与等边三角形得性质就是解题得关键。

18。

如图，在Rt△AＢＣ中，∠ABC=9０°,.将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△AB＇C'(点B，Ｃ得对应点分别为点B′，Ｃ′)，延长C′B′分别交AC，BC于点Ｄ，Ｅ，若DE=2，则ＡD得长为2.
【分析】过点E作EF⊥AＣ于点F，设AB＝x,ＢC=2x，由旋转得性质可得AＢ＝AB'＝x,∠Ｃ＝∠C'，∠BＡB’＝60°,由“HL”可得Rt△AＢE≌Rt△AB’E，可得∠BAE＝∠B'ＡE=3０°，可求ＢE=x，由锐角三角函数可得EF＝,通过证明△EＤF∽△AＤB’，可得AD 得长。

【解答】解:过点Ｅ作EF⊥ＡC于点Ｆ，连接AＥ,
∵∠ABC=90°，
∴
设AＢ＝x，BC＝2x，
∵将△ABC绕点Ａ逆时针旋转6０°，得到△AＢ'C’
∴AＢ=ＡＢ’=x,∠C=∠C’,∠BＡB’＝６０°，
∵AB=AB＇，AE＝AE
∴Ｒt△ＡＢＥ≌Rｔ△ＡB’E（ＨL)
∴∠BAE=∠B＇AＥ=30°，且∠B=90°,
∴BＡ=BE＝ｘ,
∴BE＝x,
∴EC＝x,
∵=,且EC＝x，
∴EF=x
∵∠AB'D＝∠EFＤ＝９0°，∠EＤＦ=∠ADB',
∴△ＥDF∽△ADB’
∴
∴
∴AD＝２
故答案为:2
【点评】本题考查了旋转得性质,全等三角形得判定与性质，相似三角形得判定与性质,利用参数解决问题就是本题得关键.
1９.如图,在△ＡBＣ中，∠BAC＝40°,将△ABＣ绕点Ａ逆时针旋转,得到△ＡＤE，点B得对应点D恰好落在线段AC得延长线上，连接ＢＤ。

若∠ＢDE＝90°,则∠AＢC＝20度．
【分析】由旋转得性质得:∠AＤE＝∠AＢＣ,ＡD=AB,由等腰三角形得性质与三角形内角与定理得出∠ＡDＢ=∠ＡBD=70°，得出∠ADＥ=∠ＢDE﹣∠AＤB＝20°,即可得出结果。

【解答】解：由旋转得性质得：∠ADE=∠ABＣ，AD＝AB,
∴∠ADＢ＝∠ABD＝（18０°﹣∠BＡC）=(1８０°﹣40°）＝70°,
∵∠BDE=9０°，
∴∠ＡDＥ=∠BＤE﹣∠ＡDB=2０°,
∴∠ＡＢC＝２0°,
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了旋转得性质、三角形得内角与定理、等腰三角形得性质.熟练掌握旋转得性质与等腰三角形得性质就是解题得关键．
2０。

如图,菱形AＢCD中，E、F分别为BC、CD上得点，且△ACF经旋转后能与△ABE 重合,且∠BAE＝25°，则∠FＥC得度数就是25°。

【分析】△ACF经旋转后能与△ABE重合，得到△ABE≌△ACF，可证明△ABC就是等边三角形,根据菱形与等边三角形得性质可得∠ＥＡC＝3５°，∠ＣAＦ=2５°，∠AEC=85°；
【解答】解：∵△ACF经旋转后能与△ＡBＥ重合，
∴△ABE≌△ACF，
∴ＡB＝AC，∠ＡBE＝∠ＡＣF，AE＝ＡF,∠BAＥ＝∠CＡF,
∵菱形ABCＤ中,
∴ＡＢ＝BC，
∴△ABC就是等边三角形，
∴∠B＝６０°,∠BAC＝６０°,
∵∠BＡＥ＝25°，
∴∠EＡC=35°，∠CAF＝25°,
∴∠AＥＣ＝85°，
∵∠ＡEF=60°，
∴∠FＥＣ＝25°，
故答案为:２5°。

【点评】本题考查三角形旋转，等边三角形，菱形，三角形内角与;掌握旋转后图形全等就是解题得关键．
2１。

Rｔ△ABC中，AB＝8,BC=6,将它绕着斜边AＣ中点O逆时针旋转一定角度后得到△A＇B'C＇，恰好使A'Ｂ'∥ＡC,同时A'B'与AB、ＢＣ分别交于点E、F,则EＦ得长为．
【分析】设A′C′与ＡＢ相交于点K,在Ｒt△ABC中，AB＝８，BC=６，所以AC＝10，由题意,可证明∠Ａ′=∠A=∠AOK=∠A′EＫ,即ＫＡ=KO，ＫA′＝KＥ，得到AE＝Ａ′
O＝AO=5,由△ＢEF∽△BAＣ，可求得EＦ得长.
【解答】解:如图，设A′C′与ＡB相交于点Ｋ,
∵Rt△ABＣ中，AB=8,ＢC＝6，
∴ＡＣ＝１0，
∵将它绕着斜边ＡC中点O逆时针旋转一定角度后得到△Ａ'B＇C'，恰好使A'Ｂ'∥ＡC,∴∠A′＝∠Ａ，∠A′ＥK＝∠A，∠Ａ′＝∠AＯK,
∴∠A′=∠A=∠ＡOK＝∠A′EＫ,
∴ＫA＝KO,KA′＝KＥ，
∴AＥ=Ａ′O＝ＡO＝５，
∴BE＝AB﹣ＡE＝３,
∵A＇Ｂ＇∥AC，
△ＢＥＦ∽△BAC,
∴，即,
∴EＦ＝.
故答案为：。

【点评】本题考查三角形得旋转,相似三角形得判定与性质,等腰三角形得判定，勾股定理。

解题得关键就是掌握图形旋转得性质。

２２。

如图，在直角△ＡBC中，∠BAC＝9０°，AB＝4,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ＡB1C1，Ｂ1C1交BC于点D，AB1交BC于点E，连接ＡD,当ＡE平分∠BAD时，AE ＝3,则BＤ＝３、５．
【分析】证△Ｂ1DE∽△B1AD,可求得ＤＢ1=2,再证明△B１DE∽△BAE,可求得DE,BE得长，进而得出DB得长。

【解答】解：∵ＡE平分∠BAD，
∴∠ＢAE=∠DＡE，
∵∠B１＝∠B，∠ＢEA＝∠B1ED,
∴∠B1ＤE=∠BＡＥ,
∴∠B1ＤE=∠DAＥ,
∵∠B1=∠B1,
∴△B1ＤE∽△B１AD，
∴,
∵AＢ1＝AB=4，AE＝3,
∴B1E=1，
∴,
∴DB1=2，
∵∠B1=∠B，∠BEA=∠B1ED,
∴△B1DE∽△BAE,
∴,
∴DE＝，ＥB＝2，
∴DB＝ＤE+BE＝3、5．
故答案为：3、5.
【点评】本题考查旋转得性质与相似三角形得判定与性质,熟练掌握上述性质并能灵活运用于解题就是解决本题得关键．
23。

如图,在△ABC中,AB＝1,AC=2,现将△ＡBC绕点C顺时针旋转９0°得到△A′Ｂ′C′,连接AＢ′，并有AB′＝３，则∠A′得度数为１35°.
【分析】如图,作辅助线；首先证明∠AA′C=４5°,然后证明AB′2＝AＡ′2＋A′B′２，得到∠AA′Ｂ′=90°，进而得到∠A′=１35°,即可解决问题。

【解答】解:如图，连接AA′．由题意得：
AＣ＝A′C，A′B′=AB,∠ACＡ′＝９0°，
∴∠AA′C=4５°，AA′2＝2２＋22=8;
∵ＡＢ′2＝３2=9，A′B′２=1２=1，
∴AB′2＝ＡA′２+Ａ′B′2,
∴∠ＡＡ′B′＝９０°,∠A′＝135°,
故答案为135°.
【点评】该题主要考查了旋转变换得性质、勾股定理得逆定理及其应用问题;解题得关键就是作辅助线。

24。

如图，平行四边形AＢCD得面积为32，对角线BD绕着它得中点Ｏ按顺时针方向旋转
一定角度后，其所在直线分别交BC，ＡD于点Ｅ、F,若AＦ＝3DF，则图中阴影部分得面积等于4
【分析】设ＤF=ａ，则AＦ＝3a，AD=4a，设ＢC与ＡD之间得距离为h,求出BＥ=DF ＝ａ,根据平行四边形得面积求出ah＝８，求出阴影部分得面积＝ａh，即可得出答案.
【解答】解:设DF=a,则AＦ＝3a，AD＝４a,
设BC与ＡＤ之间得距离为h,
∵四边形BACＤ就是平行四边形,
∴AD∥BE，AD＝BC=4a，
BO=OＤ，
∵BE∥AD,
∴△ＢEO∽△DFＯ,
∴=＝,
∴BE＝DF＝a，
∵平行四边形ABCD得面积为3２，
∴4a×h=32,
∴ah=8，
∴阴影部分得面积S=S△ＢEO+S△DFＯ＝（BE＋DＦ）h=×h=ah＝4，
故答案为：4.
【点评】本题考查了旋转得性质与平行四边形得性质,能求出ａh=8就是解此题得关键．25．如图，点Ｐ就是等边三角形ＡＢC内一点，且P A＝３，ＰB＝4，PC=５，若将△APB 绕着点B逆时针旋转后得到△CQＢ,则∠APＢ得度数１50°．
【分析】首先证明△ＢPQ为等边三角形,得∠BQP=60°,由△AＢP≌CBQ可得QC=P A，在△ＰQC中,已知三边,用勾股定理逆定理证出得出∠PQＣ=90°，可求∠BＱC得度数,由此即可解决问题.
【解答】解：连接PＱ，由题意可知△ＡBP≌△CBQ
则QB＝PB＝4，P A=QC＝3,∠ABP＝∠ＣBQ，
∵△ＡBC就是等边三角形,
∴∠AＢC＝∠ABP+∠PBC=60°，
∴∠PＢQ＝∠ＣＢQ+∠PBＣ＝60°，
∴△BPQ为等边三角形,
∴PQ=PB＝BQ＝4，
又∵PＱ=４，PC＝５,QC=3，
∴PQ２+ＱC2=PC２，
∴∠ＰQＣ=90°,
∵△ＢPQ为等边三角形，
∴∠BQＰ＝６0°，
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC＝１５0°
∴∠APB＝∠BQC＝150°
【点评】本题考查旋转得性质、等边三角形得判定与性质、勾股定理得逆定理等知识,解题得关键就是勾股定理逆定理得应用，属于中考常考题型。

２6.如图,在三角板AＢC中，∠ACB＝９０°，∠Ａ=30°,AＣ＝6，将三角板ABC绕点Ｃ逆时针旋转,当起始位置时得点B恰好落在边A1B1上时,Ａ１B得长为2。

【分析】先依据特殊锐角三角函数值可求得BC、AB得长，然后由旋转得性质与等边三角形得判定定理可得到△BCB1就是等边三角形,从而得到BB１得长度，最后依据BA1=A1B
﹣Ｂ1B求解即可.
１
【解答】解:∵∠ＡCB=9０°，∠A=30°,ＡC＝6，
∴∠Ｂ=60°，BC=AＣ=2，AB=４。

∵由旋转得性质可知：∠B1＝∠B=60°，B１C＝BＣ，Ａ1B1＝ＡＢ＝４，
∴△ＢＣB1就是等边三角形．
∴BB1＝BC＝２．
∴BＡ1=A1B1﹣B１B=4﹣2＝2．
故答案为：2.
【点评】本题主要考查得就是旋转得性质、特殊锐角三角函数值得应用，得到△BＣB1就是等边三角形就是解题得关键．
２７．如图，Ｐ就是等边三角形ABC内一点,将线段BP绕点Ｂ逆时针旋转６0°得到线段ＢＱ,连接ＡQ。

若P A＝4，PB＝5，ＰC＝3,则四边形APBQ得面积为．
【分析】连接PQ,根据旋转得性质得到△BPQ就是等边三角形,求得PQ=PB＝ＢQ=5，根据全等三角形得性质得到ＡQ＝ＣP＝3,根据勾股定理得逆定理得到∠P AQ=90°，根据三角形得面积公式即可得到结论。

【解答】解:连接PQ，
∵将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ,
∴PB＝BQ,∠ＰＢQ＝６0°，
∴△ＢPQ就是等边三角形，
∴ＰQ＝PB＝BＱ=5,
∵△ABC就是等边三角形,
∴AＢ=BC,∠ＡBC=６0°,
∴∠ＡBQ＝∠CBP，
∴△ABQ≌△ＣBP（ＳAS），
∴AQ＝CＰ＝３,
∵ＡQ2+PＡ２＝32+42＝5２＝PQ2，
∴∠PＡQ＝90°，
∴S△AＰQ=3×4＝6，
∵S△PQＢ＝×５×=，
∴四边形APBQ得面积=S△AＱP＋S△BPQ＝６＋=，
故答案为：。

【点评】本题考查了旋转得性质,全等三角形得性质，勾股定理以及逆定理，证明△ＢPQ 为等边三角形就是本题得关键．
28．如图，在等边△ABC内有一点D,AD＝6,BD=7，ＣD＝5，将△ＡＢD绕点Ａ逆时针旋转，使AB与AC重合，点Ｄ旋转至点E，连接DE，则△CDE得面积为6 ．
【分析】由旋转得性质可得AD＝AE＝6，ＢＤ=CE＝7,∠BAD＝∠CAE，可证△ADＥ就是等边三角形,可得DE=AＤ＝6,由勾股定理可求ＤＦ＝，即可求△CＤＥ得面积．
【解答】解:如图,过点D作DF⊥CE于F,
∵将△ABD绕点A逆时针旋转,使AB与AC重合
∴△AＢＤ≌△AＣE
∴AＤ＝ＡＥ=6,ＢD=CE=7，∠BAD＝∠CＡE
∵∠BＡD＋∠CAD＝∠ＢＡC＝6０°，
∴∠CAE+∠DAＣ=∠DAE＝60°，且ＡD＝AE
∴△AＤE就是等边三角形
∴ＤE＝AＤ＝6，
在Ｒt△ＤＥF中，DＦ２＝DＥ2﹣ＥF2,
在Ｒｔ△ＤFC中,ＤF２＝CD2﹣CF２,
∴DE２﹣EＦ2＝CD2﹣CＦ2，
∴3６﹣ＥF2=25﹣（7﹣EＦ)2，
∴ＥF=
∴DＦ=
∴△ＣDE得面积＝××7＝6
故答案为：6
【点评】本题考查了旋转得性质，等边三角形得判定与性质,勾股定理，利用勾股定理列出方程就是本题得关键．
29.已知，如图，△AＢD中,AB＝AD＝1，∠Ｂ=30°,△ＡBD绕着A点逆时针旋转α（0°<α
＜120°）旋转得到△ACE。

CE与AD、BD分别交于点G、F；设DF+ＧＦ=x，△AEＧ得面积为y，则y关于x得函数解析式为y=（０＜x＜）。

【分析】设AC交BD于Ｈ，作AM⊥BD于M，AＮ⊥EC于N．想办法证明FG+DＦ＝DH,求出BD，AM即可解决问题．
【解答】解：设ＡC交BD于H,作AM⊥BD于Ｍ，ＡN⊥ＥＣ于N.
∵AＢ＝AD＝１，∠B=３0°,AM⊥BD，
∴AＭ＝AN＝AB=,ＢM＝ＤM=,
∴BD＝EC=，
∵∠ＢAＤ＝∠CAE,
∴∠BＡＨ=∠EAG,
∵AB=AE，∠B＝∠E=3０°,
∴△ＢAＨ≌△EAＧ（AＳA）,
∴AH＝AG,ＢH＝EG，
∵△ＡBD≌△ACE,
∴AＭ＝ＡＮ，
∵∠AMＨ=∠ＡＮG=9０°,
∴Rt△ＡＭH≌Rｔ△ANＧ(ＨL）,
∴HM＝ＧＮ,
∵∠AMF＝∠ANF=90°,AＦ=ＡＦ,
∴Rt△AFＭ≌Ｒt△AFN(HL），
∴FM＝ＦN，
∴FG=FH，
∴ＦG+DＦ=FＨ+DＦ=ＤＨ＝x,
∴EG＝BＨ=﹣x，
∴ｙ=S△AEG＝•EG•AN=．
∴y＝(0＜ｘ＜）。

故答案为y＝(0＜x<）．
【点评】本题考查旋转变换,等腰三角形得性质，解直角三角形，全等三角形得判定与性质等知识，解题得关键就是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型。

３0．如图，在Ｒｔ△AＢC中，∠B＝90°,ＡB=2，BC＝,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′，连接Ｂ′C,则CＢ′得长度为 5 .
【分析】根据勾股定理求出AC，过C作CM⊥AB′于Ｍ，求出B′Ｍ=AM，然后根据垂直平分线得性质求得即可.
【解答】解:在Rt△AＢC中,由勾股定理得:AＣ===5，
过C作CＭ⊥AB′于M,
∵根据旋转得出AB′=AＢ=2,∠Ｂ′AＢ=90°，
即∠CMA＝∠MAB＝∠B=90°，
∴CＭ＝ＡＢ＝2,AM＝ＢC＝，
∴B′M＝2﹣＝,
∴AM＝B′M,
∵CＭ⊥AB′,
∴CB′=ＡＣ＝5。

故答案为:5.
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形得性质与判定，能正确作出辅助线就是解此题得关键。

31。

如图，已知Ｐ为等边△ABC形内一点,且P A=3cｍ,PＢ＝４ｃm，PC=５cm,则图中△PBC 得面积为4+3ｃm2.
【分析】将△BPＣ绕点B逆时针旋转6０°得到△ＢＫA，可得△KBＰ为等边三角形,KP=4，因为ＡP2+KP2=AK2，可得∠ＡＰＫ=９0°,所以∠APＢ=１50°,作ＢH⊥AP于H,则∠BPH＝３0°，根据△PBＣ得面积=△ＡKB得面积＝S△APK+S△BPK﹣S△APB即可得出△PBC得面积.
【解答】解：如图,将△ＢPＣ绕点B逆时针旋转60°得到△BＫA,
则PＢ=BK＝４,AK＝PＣ=5，∠ＰBK＝60°,
∴△ＫBP为等边三角形,
∴∠ＫＰB＝6０°,KP=4,
∵AP＝3,
∴ＡＰ２＋KＰ2＝ＡK2,
∴∠AＰK＝９0°,
∴∠ＡＰB＝１５0°,
作BＨ⊥AP于H，则∠BPH=3０°,
∴BＨ＝ＢP＝2，
∴△PBC得面积＝△AKB得面积＝S△APK+S△BPK﹣S△APB＝。

故答案为：.
【点评】本题考查图形得旋转,解题得关键就是掌握图形旋转得性质．
32．如图，在正方形ABCＤ中,AB=5,点M在BC边上，且BM＝2,把△ABM沿AM折叠得到△AＥM，将△ＡBM绕点A逆时针旋转90°得到△ＡDF，连接EF，则线段EＦ得长
为．
【分析】连接DM．先判定△ＦAE≌△MＡＤ(ＳAS）,即可得到EF＝DM.再根据ＤC=C Ｂ=AD＝５,CM＝3，利用勾股定理即可得到，Ｒｔ△DＣＭ中,DＭ＝，进而得出EＦ得长。

【解答】解:如图,连接DM.
∵△AEM与△ABＭ关于AM所在得直线对称,
∴ＡE＝AＢ,∠MAB＝∠MAE.
∵△ABM按照顺时针方向绕点A旋转９0°得到△AＤＦ,
∴AF＝ＡM,∠F AD＝∠ＭＡＢ.
∴∠F AD＝∠MＡE
∴∠F AＤ+∠DAE=∠DAE+∠ＭAＥ。

∴∠F AE=∠MＡD.
∴△F AE≌△MAＤ（ＳAS）。

∴ＥF＝DＭ。

∵四边形ABCD就是正方形，
∴ＤC=CＢ＝AＢ＝５。

∵BＭ＝2,
∴CＭ＝3．
∴在Rt△ＢCM中,DＭ＝＝=,
∴EＦ=，
故答案为:.
【点评】本题考查了正方形得性质,勾股定理,全等三角形得判定与性质以及旋转得性质：对应点到旋转中心得距离相等；对应点与旋转中心所连线段得夹角等于旋转角;旋转前、后得图形全等．
３3。

如图，在△ABC中，∠ＢAC＝90°，AＢ＝ＡC＝10cｍ,点Ｄ为△AＢC内一点,∠BAD ＝15°，AD＝6cm，连接ＢＤ,将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与ＡC重合,点D得对应点为点Ｅ，连接DE,DE交AC于点F,则CF得长为（10﹣2) cm。

【分析】过点Ａ作AＧ⊥ＤE于点Ｇ,由旋转得性质推出∠ＡED=∠ADG＝45°，∠AFＤ
=60°，利用锐角三角函数分别求出AG，GF，AF得长,即可求出CF=AC﹣AＦ＝（1０﹣2）cm.
【解答】解：过点Ａ作ＡG⊥DE于点G,
由旋转知：AD=AE,∠DＡＥ＝９０°，∠CAＥ＝∠BAＤ=１5°,
∴∠AED＝∠ADG=45°,
在△ＡEF中，∠AFD=∠AED+∠ＣAE=６０°，
在Ｒｔ△ADG中,ＡG＝DG＝＝3ｃｍ,
在Rt△AFＧ中，ＧF＝＝cｍ,AＦ＝2FG＝2cm,
∴CF＝AC﹣AF=(1０﹣2）cｍ，
故答案为：(10﹣2)cm。

【点评】本题考查了旋转得性质,等腰直角三角形得性质，解直角三角形等，解题得关键就是能够通过作适当得辅助线构造特殊得直角三角形，通过解直角三角形来解决问题．３4。

如图，点D就是等边△ABＣ得边BC上得一个动点，连结AD,将射线DＡ绕点D顺时针旋转60°交AC于点E，若ＡB＝4，则AE得最小值就是３.
【分析】由等边三角形得性质可知∠B=∠C,利用外角得性质证得∠ＢＡD=∠EDC，可得出△ABD∽△DCE，设BD得长为x,由相似得性质求出ＣE得长，再求出AC得长,利用函数得性质可求出ＡE得最小值．
【解答】解:∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C＝60°，AB=ＢＣ＝AC＝4，
∵∠B+∠BAＤ=∠ADC＝∠ＡDＥ+∠EDC，∠ＡDE=６０°，
∴∠BAD＝∠EＤC,
∴△ABD∽△DCE,
∴＝，
设BＤ=x,则CD=4﹣x，
∴=，
∴CE＝﹣ｘ2+x,
∴AE＝AC﹣CE
＝4﹣(﹣x2＋x)
＝x２﹣x+4
=（x﹣2)2+３，
∵＞0,
由二次函数得性质可知，当x得值为2时，AE有最小值,最小值为3，
故答案为:３．
【点评】本题考查了等边三角形得性质，相似得判定与性质以及二次函数得性质等，解题得关键就是能够用字母将所求线段得长段表示出来,用函数得性质求极值。

３５．如图,D为△ABC内一点，且AD＝ＢＤ，若∠AＣD=∠ＤＡB＝４5°,ＡC=5，则S△ABC＝。

【分析】如图，作DE⊥DＣ交ＡC于E,连接BE交ＡD于O。

利用全等三角形得性质证明BE＝ＡC=5，BE⊥AC即可解决问题。

【解答】解:如图，作DＥ⊥DC交AＣ于E，连接BE交ＡD于O.
∵DＡ=ＤB，∠DAB=４5°，
∴∠DAＢ=∠DBA＝45°，
∴∠ADB＝９0°，
∵∠DＣE＝45°，ＤE⊥DC，
∴ＤC＝ＤE,
∵∠CDE＝∠ADB=90°,
∴∠CDA＝∠EDＢ，
∵DC＝DＥ，DA=DB，
∴△CDA≌△EＤB(SAS）,
∴ＡC=ＢＥ=5，∠CAD=∠EBD，
∵∠AOE＝∠BOD，
∴∠ＡEO=∠BDO＝9０°,
∴ＢE⊥ＡC,
∴S△ABC=•ＡC•ＢＥ=，
故答案为.
【点评】本题考查旋转变换,等腰直角三角形得判定与性质，全等三角形得判定与性质,。