2020届高三全国第一次大联评数学(理科)真题试卷(教师版)

2020届高三全国第一次大联评数学试卷
理科数学（二）
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1
．已知集合{|A x y ==和集合2{|}B y y x ==，则A B 等于（ ）
A ．{}(0,1),(1,0)
B ．[0,)+∞
C ．[1,1]-
D ．[0,1]
【答案】D
【解析】由已知{11
}A x x =-≤≤，{0}B y y =≥，则[0,1]A B =，故选D .
2．已知x R ∈，复数11i z x =+，22i z =-，若12z z ⋅为纯虚数，则实数x 的值为（ ）
A ．2-
B ．12-
C ．2或1
2
- D ．1 【答案】A
【解析】由12(1i)(2i)=2(21)i z z x x x ⋅=+-++-，由12z z ⋅为纯虚数， 则20
210x x +=⎧⎨
-≠⎩
，解得2x =-.故选A .
3．如图是调查某学校高一、高二年级学生参加社团活动的等高条形图，阴影部分的高表示参加社团的频率．已知该校高一、高二年级学生人数均为600人（所有学生都参加了调查），现从参加社团的同学中按分层抽样的方式抽取45人，则抽取的高二学生人数为（ ）
高二
高一
0.6
A.9
B.18
C.27
D.36 【答案】C
【解析】根据等高条形图可知，参加社团的高一和高二的人数比为2:3，由分层抽样的性质可得，
抽取的高二学生人数为3
45275
⨯=人，故选C ． 4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2533a a a =，且4a 与79a 的等差中项为2，则5S =（ ）
A ．1123
B ．112
C ．12127
D ．121
【答案】D
【解析】∵数列{}n a 是等比数列，2533a a a =，设公比为q ，∴3
413a a q ==．∵4a 与79a 的等差中项
为2，
∴34749(19)4a a a q +=+=，解得13q =，181a =．∴551
81[1()]
3121113
S ⨯-=
=-．故选D ． 5．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．若“p q ∧”为假命题，则“p q ∨”为假命题
B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件
C
B
A
P
C ．命题“若1x >，则
1
1x
<”的逆否命题为真命题 D ．命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤”
【答案】C 【解析】
A. 若“p q ∧”为假命题，则,p q 中至少有一个假命题，则“p q ∨”可真可假，所以该选项是错误的；
B. “1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，因为由2"560"x x --=得到“1x =-或6x =”，所以该选项是错误的；
C. 命题“若1,x >则
1
1x
<”的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；
D. 命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃>，020*******x +≤”，所以该选项是错误的.
6．已知直线240x y +-=经过椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的右焦点2F ，且与椭圆在第一象限的交点
为A ，与y 轴的交点为B ，1F 是椭圆的左焦点，且1||||AB AF =，则椭圆的方程为（ ） A ．
22
14036
x y += B ．
2212016x y += C ．221106x y += D ．2
215
x y += 【答案】D
【解析】直线240x y +-=与x 轴和y 轴的交点分别为2(2,0)F ，(0,4)B ，所以2c =，
又12222||||||||||a AF AF AB AF BF =+=+==
a =
，从而2541b =-=，
所以椭圆方程为2215
x y +=，故选D ．
7．为了得到函数cos 2y x =的图象，可以将函数sin(2)4
y x π
=+的图象（ ）
A ．向左移
4π个单位 B ．向左移8π个单位 C ．向右移4π个单位 D ． 向右移8
π
个单位
【答案】B
【解析】∵sin(2)cos(2)cos 2()448
y x x x π
ππ
=+
=-=-，所以要得到函数cos 2y x =的图象，
只需要将函数sin(2)4
y x π
=+
的图象向左平移
8
π
个单位．故选B ． 8．如图所示是某多面体的三视图，图中小方格单位长度为1，则该多 面体的侧面最大面积为（ ）
A
．B
．C
D ．2 【答案】B
【解析】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥
ABC ， 故1AC =，2PA =，BC PC ==
AB =
PB =， ∴1
2112
ABC PAC S S
∆∆==
⨯
⨯=，
122
PAB S ∆=⨯⨯
=，1
2PBC S ∆=⨯=
∴该多面体的侧面最大面积为．故选B ．
9. 设2020
1202020192019,2019log ,2020log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）
A.c b a >>
B.b c a >>
C.b a c >>
D. a b c >> 【答案】C
【解析】
220192019201920191111
log 2019log log 2020log 201912222
a =<==<=；
2020202020201110log log 2019log 2020;222
b <==<=1
2020
2019 1.c => 10．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在(0,1)上恰有一个极值点和一个零点，则ω的取值范围是（ ）
A ．3(,]2ππ
B ．3[,)2ππ
C ． (,]2ππ
D ． [,)2
ππ
【答案】A
【解析】作出函数()sin()(0)f x x ωω=>的图像，依题意可得
312ππωω<≤
，解得32
π
πω<≤． 11．已知O 为ABC ∆的外心，若2
AO BC BC ⋅=，则ABC ∆为（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不能确定
【答案】C
【解析】设M 为边BC 的中点，并设角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，
则22
1()()()22
b c AO BC AM MO BC AM BC AB AC AC AB -⋅=+⋅=⋅=+-=，
故
222222
22b c a b c a -=⇒-=，所以2222cos 022a c b a B ac ac
+--==<，从而角B 为钝角. 所以ABC ∆为钝角三角形．故选C ．
12．过双曲线22
221x y a b
-=（0a b >>）右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点，若0OA AB ⋅=，O
为坐标原点，且OAB ∆
，则该双曲线的离心率为（ ）
A
B
C
D
1
【答案】A
【解析】因为0a b >>，所以双曲线的渐近线如图所示， 设内切圆圆心为M ，则M 在AOB ∠平分线Ox 上， 过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，
由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线 的距离为b 得FA b =，又OF c =，所以OA a =，
NA MN ==
，所以NO =，
所以tan 3MN b AOF a NO =∠==
，得e ==
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数,0
()(),0x a b x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩
是奇函数，且4(log 2)1f =，则(2)g -= ；
【答案】15-
【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以0(0)0f a b =+=，解得1b =-．
又4(log 2)1f =，即1
()12
f =，所以11
22112a a -=⇒=，解得4a =．
所以41,0
()(),0
x x f x g x x ⎧-≥=⎨<⎩，故2(2)(2)(2)(41)15g f f -=-=-=--=-．
14．已知函数31
()4sin 3
f x x x =+在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，则2()n x x -的展开式中常
数项为 ；
【答案】24
【解析】解析由题意知，()2
'4cos f x x x =+.由题意知()'0=f n ，即4n =.
422()()n x x x x -=-， 其常数项为22
2342()24T C x x
=⋅-=.
15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若2
3sin c ab C =，则当
b a
a b
+取最大值时，cos C = ；
【答案】13
13
【解析】在ABC ∆中由余弦定理可得222
2cos c a b ab C =+-，
所以2222cos 3sin 2cos 3sin 2cos b a a b c ab C ab C ab C
C C a b ab ab ab
++++=
===+ 13)C ϕ=+，其中213
sin 13
ϕ=，313cos 13ϕ=
当b a a b +132,2
C k π
ϕπ+=+ ∴213
cos cos(2)sin 2C k πϕπϕ=-+==
16．如图，已知三棱锥A BCD -的四个顶点A 、B 、C 、D 都在球O 的表 面上， ACD ∆是正三角形，BCD ∆是等腰直角三角形， 2BC BD ==，
若二面角A CD B --的余弦值为3
3
-，则球O 到平面BCD 的距离为________．
【答案】1
【解析】取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，由题可得：6,2==AE BE ，
因为二面角A CD B --的余弦值为3 在ABE ∆中，由余弦定理得2
326226()12AB =+-=， ∴3AB =所以0
90ADB ACB ∠=∠=，线段AB 为球O 的直径，故3=R ， 延长BE ，
过点A 作AG 垂直于BE 的延长线于点G ，∴6
62AG =
=，所以球心O 到平面BCD 的距离为1．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知等比数列{}n a 的首项12a =，且2a 、32a +、4a 成等差数列．
E
D C
B A
z
y
x
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若221log n n b a -=，求数列1
1
{
}n n b b +的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．
【解析】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意有2432(2)a a a +=+，
即32222(22)q q q +=+，解得2q =，所以2n
n a =；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得12-=n b n ，设1
1
n n n c b b +=
⋅，
则()()
1111
()212122121n c n n n n =
=--+-+， ∴121111
11
[(1)()(
)]2335
2121
n n T c c c n n =++
+=-+-+
+--+ 11(1)22121
n
n n =-=
++．
18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，22AB AD BC ===，BC //AD ，
AB AD ⊥，PBD ∆为正三角形，且23PA =（Ⅰ）证明：直线AB ⊥平面PBC ；
（Ⅱ）若四棱锥P ABCD -的体积为2，E 是线段CD 的中点， 求直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．
【解析】（Ⅰ）
AB AD ⊥，且2AB AD ==，22BD ∴= 又PBD ∆为正三角形，所以22PB PD BD ===，
又2AB =，23PA =，所以AB PB ⊥，又AB AD ⊥，BC //AD ， AB BC ∴⊥，∵PB BC B =，∴AB ⊥平面PBC .
（Ⅱ）设点P 到平面ABCD 的距离为h ，
则11
[(12)2]32
P ABCD V h h -=
⨯⨯+⨯⨯=，依题可得2h =.以A 为原点， 直线AB 、AD 分别为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ,
(2,0,0)B ,(0,2,0)D ,(2,1,0)C ,则3
(1,,0)2
E ，设(,,2)P x y ,
由23PA =22PB PD ==2222
22412(2)48(2)48x y x y x y ⎧++=⎪+-+=⎨⎪-++=⎩
，
解得2x =，2y =，即(2,2,2)P 。

所以1
(1,,2)2
PE =--
-，又由（Ⅰ）可知，(2,0,0)AB =是平面PBC 的一个法向量， ∴222
221
cos ,21121
2(1)()(2)2
PE AB -<>===
⨯-+-+-, 所以直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为21
21
.
19.（本小题满分12分）
已知抛物线22
y x
=，过点(1,1)
P分别作斜率为
1
k，
2
k的抛物线的动弦AB、CD，设M、N分别为线段AB、CD的中点．
（Ⅰ）若P为线段AB的中点，求直线AB的方程；
（Ⅱ）若
12
1
k k
+=，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．
【解析】（Ⅰ）设
11
(,)
A x y，
22
(,)
B x y，则2
11
2
y x
=①，2
22
2
y x
=②．
①－②，得
121212
()()2()
y y y y x x
-+=-．
又因为(1,1)
P是线段AB的中点，所以
12
2
y y
+=
所以，21
1
2121
2
=1
y y
k
x x y y
-
==
-+
．
又直线AB过(1,1)
P，所以直线AB的方程为y x
=；
（Ⅱ）依题设(,)
M M
M x y，直线AB的方程为
1
1(1)
y k x
-=-，即
11
1
y k x k
=+-，
亦即
12
y k x k
=+，代入抛物线方程并化简得222
1122
(22)0
k x k k x k
+-+=．
所以，1212
1222
11
2222
k k k k
x x
k k
--
+=-=
于是，12
2
1
1
M
k k
x
k
-
=，12
1212
2
1
1
11
M M
k k
y k x k k k
k
k
-
=⋅+=⋅+=．
同理，12
2
2
1
N
k k
x
k
-
=，
2
1
N
y
k
=．
易知
12
k k≠，所以直线MN的斜率21
21
1
M N
M N
y y k k
k
x x k k
-
==
--
．
故直线MN的方程为2112
2
1211
1
1()
1
k k k k
y x
k k k k
-
-=-
-
，
即21
21
1
1
k k
y x
k k
=+
-
．此时直线过定点(0,1)．
故直线MN恒过定点(0,1)．
20.（本小题满分12分）
由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求。

各大养猪场正面临巨大挑战，目前各项针对性政策措施对于生猪整体产能恢复、激发养殖户积极性作用正在逐步显现．现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪.根据猪的重量，将其分为三个成长阶段如下表．
猪生长的三个阶段
根据以往经验，两个养猪场内猪的体重X 均近似服从正态分布2
X~(50,16)N .
（参考数据：若),(~2
σμN Z ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<
+=，
(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=）
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．
【解析】（Ⅰ）由于猪的体重X 近似服从正态分布2
(50,16)N ，设各阶段猪的数量分别为123n ,,n n ∴(218)(5031650216)0.0215P x P x ≤<=-⨯≤<-⨯=，
∴1100000.0215215n =⨯=（头）；
同理，(1882)(5021650216)0.9544P x P x ≤<=-⨯≤<+⨯=， ∴2100000.95449544n =⨯=（头）；
0.99740.9544
(8298)(5021650316)0.02152
P x P x -≤≤=+⨯≤≤+⨯=
=，
∴3100000.0215215n =⨯=（头）.
所以，甲、乙两养猪场各有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头。

（Ⅱ）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为45，3
4
，随机变量Y 可能取值为900，300，300-.
433(Y=900)545P =⨯=，41137(Y=300)545420P =⨯+⨯=，111
(Y=300)5420
P -=⨯=，
所以Y 的分布列为：
21.（本小题满分12分） 已知函数()x f x e x =-． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若12()()f x f x =，12x x ≠，求证：12
2x
x e e +>．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．
【解析】（Ⅰ）函数()f x 定义域为,R ()1x f x e '=-， 令()0f x '>得()0,x ∈+∞，令()0f x '<得(),0x ∈-∞， 故()f x 在()0,+∞单调递增，在(),0-∞单调递减.
（Ⅱ）()()12,f x f x =不妨设21x x >，则211
2
1221
,1x x x x e e e x e x x x --=-⇒=-，
要证：12
2,x
x e e
+>即证：
()212121
2x x x x x x e e e e
-⋅+>-……（*）， 而()()2121
2121212111x x x x x x x x x x e e e x x e e e ---+⋅+=---，令()21,0,t x x t =-∈+∞，
（*）等价于()()1
21220,0,1
t t t t
e t t e e t e +⋅>⇔+-+>∈+∞-， 设()()
()122,0,t
t
g t t e e t =+-+∈+∞，
()()()11211,t t t g t t e e t e '=++-=-+
令()()11,t
h t t e =-+∵()'0t
h t te =>在()0,t ∈+∞恒成立，
则()g t '在()0,t ∈+∞单调递增，故()()00g t g ''>=，故()g t 在()0,t ∈+∞单调递增， 故()()00g t g >=，故原命题得证．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程1122
x t y t
⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线22(1):143x y C -+=. （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴且具有相同单位长度建立极坐标系，求直线l 和曲线C 的极
坐标方程；
（Ⅱ）直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，求11
||||
OM ON +值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析． 【解析】（Ⅰ）
由1)2
y t =+
=
得y =.直线l 的极坐标方程为()3R π
θρ=∈.
由22
(1)143x y -+=，得2236490x x y -+-=.
由222x y ρ+=及cos ,sin ρθρθ==x y .可化为222
36cos sin 90ρρθρθ-+-=.
所以曲线C 的极坐标方程为2
2
(3sin )(6cos )90θρθρ+--=. （Ⅱ）将3
π
θ=
代入曲线C 的极坐标方程，得2
54120ρρ--=.
由极坐标几何意义，设1(,)3M π
ρ, 2(,)
N π
ρ，不妨设120,0ρρ><，
则1245ρρ+=
，1212
5
ρρ=-， 即2112121111435
OM ON ρρρρρρ-+=-==
=-. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()213f x x x =--+． （Ⅰ）解不等式()0f x >；
（Ⅱ）若()33f x x a ++≥对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．
【解析】（Ⅰ）解法一：当1
2
x ≥
时，()21(3)40f x x x x =--+=->，解得4x >； 当132x -≤<时,()21(3)320f x x x x =-+-+=-->，解得2
33
x -≤<-；
当3x <-时，()21(3)40f x x x x =-+++=-+>，解得3x <-，
综上,原不等式的解集为2
{|3
x x <-或4}x > ；
解法二：()0f x >213x x ⇔->+，两边平方整理得，2
31080x x -->，解得2
3
x <-
或4x >， 所以，原不等式的解集为2
{|3
x x <-
或4}x >；
（Ⅱ）()332123|21(26)|7f x x x x x x ++=-++≥--+=，当1
32
x -≤≤时等号成立，所以7a ≤ ． 故实数a 的取值范围为(,7]-∞．。