辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三数学上学期第三次模拟试题 文

2020学年度高三年级第三次模拟考试
数学科试卷（文科）
答题时间：120分钟；满分：150分；命题人：高三备课组
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{A k =∈N |}N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B =I
A ．{}6,9
B ．{}3,6,9
C ．{}1,6,9,10
D ．{}6,9,10 答案：D
2．已知命题p ：“R x ∈∃0，0202
0>-+x x ”，命题q ：“2b ac =是a ，b ，c 成等比数列的充要条件”，则下列命题中为真命题的是
A ．p q ∧
B ．()p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．()()p q ⌝∧⌝ 答案：C
3．已知角θ的终边过点(4,3)P k k -（0k <），则2sin cos θθ+的值是
A ．25
B ．25-
C ．25或25
- D ．随着k 的取值不同，其值不同 答案：B
4．已知函数()cos()
4f x x π
ω=+（0ω>）的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象
A ．向左平移4π个单位长度
B ．向右平移4
π个单位长度 C ．向左平移8π个单位长度 D ．向右平移8
π个单位长度 答案：D 5．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是
A ．)1(2-=x e y
B ．1-=ex y
C ．)1(-=x e y
D ．e x y -= 答案：C 6．已知a r ，b r 是非零向量，且向量a r ，b r 的夹角为3π，若向量||||
a b p a b =+r r u r r r ，则||p =u r
A ．23+
B ．23+
C ．3
D ．3
答案：D
7．在等差数列{}n a 中，若468101290a a a a a ++++=，则101413a a -的值为
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18 答案：A
8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21=a ，542,2,a a a +成等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，则=-410S S
A ．1008
B ．2020
C ．2032
D ．4032
答案：B
9．已知函数1()ln 1
f x x x =
--，则()y f x =的图象大致为
A. B. C. D.
A B C D
答案：A
10．已知圆O ：2240x y +-=，圆C ：222150x y x ++-=，若圆O 的切线l 交圆C 于,A B 两点，则OAB ∆面积的取值范围是
A ．]152,72[
B ．]8,72[
C ．]152,32[
D ．]8,32[
答案：A
11．函数32231,(0)(),(0)ax x x x f x e x ⎧++≤=⎨>⎩
在[2,2]-上的最大值为2，则a 的取值范围是 A ．1[ln 2,)2+∞ B ．1[0,
ln 2]2 C ．(,0)-∞ D ．1(,ln 2]2
-∞ 答案：D 12．已知函数42412sin 4()22x x x f x x +++=+，则122016()()()201720172017
f f f +++=L A ．4032 B ．2020 C ．4034 D ．2020
答案：A
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知正数y x ,满足xy y x =++54，则y x +的最小值是 ．
答案：11
14．若实数,x y 满足条件21022030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432z x y =-+的最大值为 ． 答案：423
- 15．Rt ∆ABC 中，2π
=A ，点M 在边BC 上，),(R ∈+=μλμλ，4||=，
5||=，若AM BC ⊥，则=-μλ ． 答案：41
9 16．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，23
B π=，若224a c ac +=，则()sin sin sin A
C A C
+= ．
答案：3
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题满分10分） 已知函数))(12(sin 2)62sin(3)(2R x x x x f ∈-+-=π
π （I ）求函数)(x f 的最小正周期；
（Ⅱ）求使函数)(x f 取得最大值的x 的集合． 解：(Ⅰ) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12
) = 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12
)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6
]+1 = 2sin(2x －π3
) +1
∴ T=2π2
=π (Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x －π3
)=1, 有 2x －π3 =2k π+π2
即x=k π+ 5π12
(k∈Z) ∴所求x 的集合为{x∈R|x= kπ+ 5π12
, (k∈Z)}. 18．（本题满分12分）
已知数列{}n a
满足112,a n ==∈N *
． （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设以2为公比的等比数列{}n b 满足2214log log 1211(n n n b b a n n +⋅=++∈N *），求
数列{}2log n n b b -的前n 项和n S ．
解：（I
）由题知数列是以2为首项，2
为公差的等差数列，()22212,43n n n a n =+-==-.
（Ⅱ）设等比数列{}n b 的首项为1b ，则112n n b b -=⨯，依题有
()()()()1221212121214log log 4log 2log 24log 1log n n n n b b b b b n b n -+⋅=⨯⋅⨯=+-+()()2
222121214log 4log 42log 144128b b b n n n n =-+⨯-+=++，即
()()212212142log 1124log 4log 8
b b b ⨯-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得211log 2,4b b ==，故()1112422,log 21n n n n n b b b n -++=⨯=-=-+Q ，()()()2221221324222
n n n n n n n S +-+++∴=-=--. 19．（本题满分12分）
在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c
，且
cos cos )4cos cos B B C C B C --=．
（Ⅰ）求角A ；
（Ⅱ）若sin sin B p C =，且ABC ∆是锐角三角形，求实数p 的取值范围．
解：（1）由题意得
3sin sin cos cos 3sin
cos 3cos sin 4cos cos B C B C B C B C B C +--=
31tan 2622
C C p π
π
∴<<⇒∴<<. 20．（本题满分12分）
设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是等差数列．已知11a =，
322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+．
（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（II ）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N ，
（i ）求n T ；（ii ）求数列})
2)(1()({2++++n n b b T n n n 的前n 项和n W ． （I ）解：设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=.
因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.
设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+， 可得131316,b d += 从而11,1,b d ==故.n b n =
所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =
（II ）（i ）由（I ），有122112
n
n n S -==--，故 1112(12)(21)22212n n n k k
n n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑. （ii ）证明：因为
1121
2()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21
k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++，
所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n n
k k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑L . 21．（本小题满分12分）
如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，
4tan 3
BCO ∠=． （I ）求新桥BC 的长；
（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
解：（I ）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直
角坐标系xOy .
由条件知A (0, 60)，C (170, 0)，
直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－43
. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =
34
. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =04,1703
b a -=-- k AB =603,04b a -=- 解得a =80，b=120.
所以BC =22(17080)(0120)150-+-=.
因此新桥BC 的长是150 m.
（II ）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60).
由条件知，直线BC 的方程为4(170)3
y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，
即|3680|680355
d d r --==. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,
所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805d d d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩
≥≥解得1035d ≤≤
故当d =10时,68035
d r -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.
22．（本小题满分12分）
设x m =和x n =是函数21()ln (2)2
f x x x a x =+-+的两个极值点，其中m n <， a R ∈．
（I ）求()()f m f n +的取值范围;
（II
）若2a ≥+-,求()()f n f m -的最大值． 解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,21(2)1()(2)x a x f x x a x x
-++'=+-+=. 依题意,方程2(2)10x a x -++=有两个不等的正根m ,n (其中m n <).故 2(2)40020a a a ⎧+->⇒>⎨+>⎩
, 并且2,1m n a mn +=+=.
所以,221
()()ln ()(2)()2
f m f n mn m n a m n +=++-++ 2211[()2](2)()(2)1322
m n mn a m n a =+--++=-+-<- 故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞-
(Ⅱ)解:
当2a ≥-时,21(2)2a e e +≥++.若设(1)n t t m =>,则 22
2()11(2)()22m n a m n t e mn t e
++=+==++≥++. 于是有111()(1)0t e t e t e t e te
+≥+⇒--≥⇒≥ 222211()()ln ()(2)()ln ()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+-
2222111ln ()ln ()ln ()22211ln ()2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t
-=--=-=--=-- 构造函数11()ln ()2g t t t t =--(其中t e ≥),则2
22111(1)()(1)022t g t t t t
-'=-+=-<. 所以()g t 在[,)e +∞上单调递减,1()()122e g t g e e
≤=-+. 故()()f n f m -的最大值是1122e e
-+。