最新湖南省益阳市实验中学高三数学(文)高考模拟测试卷二

数学试卷
一、选择题
1.已知集合{}{}
2|12,|40M x x N x x x =-<<=-<,则M N ⋂= ( ) A. (0,4) B. (1,4)- C. ()1,2- D. ()0,2
2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 为虚数单位,则在复平面上复数z 对应的点的坐标为( ) A. ()2,1--
B. ()2,1-
C. ()2,1
D. ()2,1-
3.
设12017
201620172016,log log a b c ===则,,a b c 的大小关系为( )
A. a b c >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. c b a >>
4.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和,则
32
53S S S S --的值为( )
A. 2
B. 3
C. 2-
D. 3-
5.将函数(
)22f x sin x x =图象上所有点向右平移6
π
个单位长度,得到函数()g x 的图象,则()g x 图象的一个对称中心是( )
A. ,03π⎛⎫
⎪⎝⎭ B. ,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. ,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭
6.设实数,x y 满足30
1
{02
10
x y y x x +-≤-≥-≥,则y x u x y =-的取值范围为( )
A. 1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. 2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C. 23,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D. 33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
7.程大位是明代著名数学家,他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行,成为明清之际研习数学者必读的教材,而且传到朝鲜、日本及东南亚地区,对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是:“今有三角果一垛,底阔每面七个.问该若干?”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图,求得该垛果子的总数S 为( )
A.120
B.84
C.56
D.28
8.记集合(){}2
2,|16A x y x
y =
+≤,集合()(){},|40,,B x y x y x y A =+-≤∈表示的平面区域分
别为12,ΩΩ.若在区域1Ω内任取一点(),,P x y 则点P 落在区域2Ω中的概率为( )
A.
2
4ππ- B. 324ππ+
C. 24ππ+
D. 324ππ
-
9.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形,点G 为AF 的中点,则该几何体的外接球的表面积是( )
A.31 6π
B.31 8π
C.481 64
π
D.
3131π
10.函数()ln x
f x
x
=的图象大致形状是( ) A.
B.
C.
D.
11.已知双曲线
22
22
1
x y
a b
-=的左、右焦点分别为
1
F,
2
F,点P在双曲线的右支上,且
12
4
PF PF
=,
则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A.
43 B. 2
C. 53
D. 73
12.已知()f x 是定义在()0,+∞上的非负可导函数,且满足()()'0xf x f x +≤,对任意的0a b <<,则必有( ) A. ()()af b bf a ≤ B. ()()bf a af b ≤ C. ()()af a f b ≤ D. ()()bf b f a ≤ 二、填空题
13.已知向量()452sin ,cos ,,136a b k ππ⎛
⎫== ⎪⎝
⎭r r .若//a b r r ,则k =__________.
14.已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆
于,A B 两点,直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ,若23ABC BCF S S ∆∆=则椭圆的离心率为__________.
15.已知,A B 是求O 的球面上两点,且120,AOB C ∠=︒为球面上的动点,若三棱锥O ABC -体积
的最大值为
3
,则求O 的表面积为__________. 16.若函数()(),f x g x 满足():0,,x ∀∈+∞均有()(),f x x g x x ><成立,则称"()f x 与()g x 关于y x =分离"已知函数()x
f x a =与()lo
g (0a g x x a =>且1)a ≠关于y x =分离,则a 的取值范围是__________. 三、解答题
17.在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 向量(
)(2sin m A C =+r
,向量
2cos 2,12cos 2B n B ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭r ,且m n ⊥r r
1.求角B 的大小;
2.若2sinAsinC sin B =,求a c -的值.
18.如图,三棱柱111-ABC A B C 的所有棱长均相等, 1AA ⊥平面,ABC E 为1AA 的中点.
1.求证:平面1BC E ⊥平面11BCC B ;
2.求直线1BC 与平面11BB A A 所成角的正弦值.
19.交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a 元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率也就是越高,具体浮动情况如下表:
1A 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10% 2A 上两个年度未发生有责任道路交通事故
下浮20% 3A 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故
下浮30%
4A 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0%
5A 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10% 6A 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故
上浮30%
:
类型 1A 2A 3A 4A 5A 6A 数量 10 5 5 20 15 5
; 2.
某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元,一辆非事故车盈利10000元,且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致,完成下列问题:
①若该销售商店内有六辆(车龄已满三年)该品牌二手车,某顾客欲在店内随机挑选两辆车,求这两辆车中恰好有一辆为事故车的概率;
②若该销售商一次购进120辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求一辆车盈利的平均值.
20.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的离心率3
e =,在顶点
为()2,0,A -过点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ,交y 轴于点E
1.求椭圆C 的方程
2.已知点P 为AD 的中点,是否存在定点Q ,对于任意的()0k k ≠都有OP EQ ⊥?若存在,求出点
Q 的坐标,若不存在,说明理由;
3.若过点O 作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ,求AD AE
OM
+的最小值.
21.已知函数()()21
ln 112
f x a x x a x =++++
1.当1a =-时,求函数()f x 的单调增区间;
2.若函数()f x 在()0,+∞上是增函数,求实数a 的取值范围;
3.若0a >,且对任意()1212,0,,x x x x ∈+∞≠,都有()()12122,f x f x x x ->-求实数a 的最小值. 22.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知直
线l 的参数方程为,{
,?
x t y t = (t 为参数),圆C 的极坐标方程为1ρ=.
1.求直线l 与圆C 的公共点个数;
2.在平面直角坐标系中,圆C 经过伸缩变换',{
'2x x y y
==得到曲线C ',设(),M x y 为曲线C '上一点,求
224x xy y ++的最大值,并求相应点M 的坐标.
23.已知函数()2.f x x a a =-+ 1.当3a =时,求不等式()6f x ≤的解集;
2. 设函数()()()23,,5,g x x x R f x g x =-∀∈+≥求a 的取值范围.
参考答案
1.答案：D 解析：
2.答案：D 解析：212i (12i)(i)
2i i i
z ++-=
==--,故选D. 3.答案：A
解析： 4.答案：A 解析： 5.答案：D 解析： 6.答案：A 解析： 7.答案：B
解析：运行程序:1,1,1,17i n s ===<,
2,3,4,27i n s ===<, 3,6,10,37i n s ===<,
4,10,20,47i n s ===<, 5.15,35,57i n s ===<, 6,21,56,67i n s ===<,
7,28,84,77i n s ===≮,
84s =.
故选B.
8.答案：B
解析：如图,集合A 表示的点集是圆 O 内部(含边界),集合B 表示的点集是直线AB 下方的弓形区
域. 2=416π⨯=π,31=164412842⨯π+⨯⨯=π+,因此所求概率12832
164P π+π+==
ππ
.故选B.
9.答案：C
解析： 10.答案：B 解析：
11.答案：C 解析： 12.答案：A 解析： 13.答案：2 解析： 14.答案：
5 解析：
15.答案：64π 解析：
16.答案：1,e
e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
解析：
17.答案：1.∵//m n r r
∴()2212cos 3cos 20,2B sin A C B ⎛⎫
+--= ⎪⎝
⎭ ∴232sinBcosB cos B -=,即232sin B cos B =-,
解得23tan B =-∵0,2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
∴()20,,B π∈
∴223B π=,解得3
B π
=
2.∵2sinAsinC sin B =, 由正弦定理可得: 2ac b =
由余弦定理可得: 222-2b a c accosB =+,
∴22-23
ac a c accos π
=+
化为()
2
-0a c =,解得-0a c =
解析：
18.答案：1.证明:如图,连接1CB 交1BC 于点O ,则O 为1CB 与1BC 的中点, 连接1,,EC EB
依题意有; 11,EB EC EC EB === ∴11,EO CB EO BC ⊥⊥, ∵11CB BC O ⋂=, ∴EO ⊥平面11BCC B ∵OE ⊆平面1BC E , ∴平面1EBC ⊥平面11.BCC B
2.解:如图,取11A B 的中点为H ,连接1,C H BH ,
∵1AA ⊥平面ABC ,∴平面111A B C ⊥平面11,BB A A 平面111A B C ⋂平面1111,BB A A A B = 又∵1111,AC B C H =为11A B 的中点, ∴111C H A B ⊥,∴1C H ⊥平面11,BB A A 则1C BH ∠为直线1BC 与平面11BB
A A 所成的角 令棱长为2a ,则113,22C H a BC a ==, ∴136
sin 422a C BH a
∠=
= 所以直线1BC 与平面11BB A A 所成角的正弦值为
6
解析：
19.答案：1.一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为1551
603
p +== 2.①由统计数据可知,该销售商店内的六辆该品牌车龄已满三年的二手车有两辆事故车,设为12,,b b
四辆非事故车设为1234,,,a a a a .从六辆车中随机挑选两辆车共有
()()()()()()()()()121112131421222324,,,,,,,,,,,,,,,,,b b b a b a b a b a b a b a b a b a ()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a 总共15种情况
其中两辆车恰好有一辆事故车共有
()()()()()()()()1112131421222324,,,,,,,,,,,,,,,,b a b a b a b a b a b a b a b a 总共8种情况.
所以该顾客在店内随机挑选的两辆车恰好有一辆事故车的概率为815
p =
②由统计数据可知,该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆,非事故车80辆
所以一辆车盈利的平均值为()1
50004010000805000120⨯+⨯=⎡⎤⎣
⎦﹣元 解析：
20.答案：1.由椭圆的左顶点()2,0,A -则2,a =又3
2
c e a =
=, 则3c =又222
1b a c =-=,
∴椭圆的标准方程为: 2
214
x y +=; 2.由直线l 的方程为()2,y k x =+
由()2
21
{42,
x y y k x +==+,整理得()2222:41161640k x k x k +++-=,
由2x =-是方程的根,由韦达定理可知: 212216441k x x k -=+,则222
82
41
k x k -+=+ 当2222222
82824,2414141
k k k x y k k k k ⎛⎫-+-+==+= ⎪+++⎝⎭ ∴22
2824,4141k k D k k ⎛⎫
-+ ⎪++⎝
⎭由P 为AD 的中点, ∴P 点坐标22
282,4141k k k k ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
直线l 的方程为()2,y k x =+令0x =,得()0,2,E k 假设存在顶点(),,Q m n 使得OP EQ ⊥,
则OP EQ ⊥u u u r u u u r 即()22
2820,,,,24141k k OP EQ OP EQ m n k k k ⎛⎫-⋅===- ⎪++⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u
r ∴()22
282204141
k k
m n k k k -⨯+⨯-=++ 即()42-0m k n +=恒成立,
∴420
{0
m n +=-=即1
{20
m n =-=,
∴顶点Q 的坐标为1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
3.由//,OM l 则OM 的方程为2
21
,{4x y y kx y kx
+===,
则M
点横坐标为x =
//OM l 可知
2228242412D A M AD AE OM
k x x k x +=
-++-+====≥
=即12k =±时,取等号,
∴当1
2k =±时, AD AE OM
+
的最小值为解析：
21.答案：1.当1a =-时, ()2
112
f x lnx x =-+
+
则()1.?f x x x
'=-
+令()0,f x '> 得10x x
-+>,即210x x ->, 解得: 0x <或 1.x > 因为函数的定义域为{}0,x x 所以函数()f x 的单调增区间为()1,+∞
2.由函数()()21ln 112
f x a x x a x =++++. 因为函数()f x 在()0,+∞上是增函数,
所以()()()()211'10x a x a x x a a f x x a x x x
+++++=+++==≥ 对()0,x ∈+∞恒成立. 即0x a +≥对()0,x ∈+∞恒成立. 所以0a ≥. 即实数a 的取值范围是[)0,.+∞
3.因为0a >,由2知函数()f x 在()0,+∞上是增函数. 因为()1212,0,,x x x x ∈+∞≠,不妨设12x x >,
所以()()12.f x f x >由()()12122f x f x x x ->-恒成立, 可得()()()12122,f x f x x x ->-
即()()112222f x x f x x ->-恒成立
令()()()212ln 1122
g x f x x a x x a x x =-=++++-, 则()g x 在()0,+∞上应是增函数.
所以()()()21120x a x a a g x x a x x
+-+'=+++-=≥对()0,x ∈+∞恒成立. 即()2
10x a x a +-+≥对()0,x ∈+∞恒成立. 即21
x x a x -≥-+对()0,x ∈+∞恒成立
因为2213311x x x x x -⎛⎫-=-++-≤- ⎪++⎝
⎭(当且仅当211
x x +=+
即1x =时取等号),
所以3a ≥-所以实数a
的最小值为3-
解析：
22.答案：1.直线l
的普通方程为0x y --=,
圆C 的普通方程为221x y +=,
圆心()0,0到直线l
的距离为1d ==.
即圆心到直线的距离等于圆的半径.
∴直线l 与圆C 有1个公共点.
2.圆C 的参数方程是cos ,
{
sin x y θθ
== (θ为参数, 02θπ≤<), ∴曲线C '的参数方程是cos ,{2sin x y θθ== (θ为参数, 02θπ≤<), ∴222244cos 2sin cos 4sin x xy y θθθθ++=++4sin 2θ=+, 当4
πθ=或54πθ=
,224x xy y ++取得最大值5,
此时点M 的坐标为2⎛ ⎝或2⎛- ⎝.
解析：
23.答案：1.
3a =时, ()6f x ≤等价于2336,x -+≤ 即233,x -≤解得: 03x ≤≤,
故不等式的解集是{}|03;x x ≤≤
2. x R ∈时, ()()2325f x g x x x a a +=-+-+≥, 故322522a x x a -
+-+≥, 故352222
a a -+≥故35a a -+≥①, 3a ≤时, 35a a -+≥,无解,
3a >时, 35a a -+≥,
解得: 4a ≥,故a 的范围是[)4,.+∞
解析：。