MATLAB在研究非线性混沌中的应用

MATLAB 在研究非线性混沌中的应用
勇 俊1 ,郭丽华2 ,吴兴波1 ,王庆伟1
(1. 吉林化工学院 自动化系 ,吉林 吉林 132022 ;2. 哈尔滨工程大学 水声工程学院 ,黑龙江 哈尔滨 150001)
摘要 : 主要研究了在 MA TLAB 环境下处理非线性微分方程问题 ,并以曲线的方式使人们直观地看到无 序之中的有规律现象. 关 键 词 : MA TLAB ;非线性 ;微分方程 ;混沌 中图分类号 : TP 312MA 文献标识码 : A
Abstract : The problem of processing t he nonlinear differential equation in MA TLAB is mainly st udied. By means of curves , t he orderliness phenomena in disorder are int uitionally showed.
电出版社 ,1999. [6 ] J . C. Sprott . Simplest dissipative chaotic flow [ J ] .
Physics Letters A ,1997 ,228 :271 - 274. [7 ] 陈 予 恕. 混 沌 理 论 [ M ] . 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社 ,
05 ;0. 05 ]) ; data = X( : ,1) ; n = lengt h (data) ; N = round (n/ 2) ; a = data (N - 2) ; b = data (N - 1) ; for i = N :n
收稿日期 :2002 - 10 - 07 作者简介 :勇 俊 (1974 - ) ,男 ,吉林九台人 ,吉林化工学院助教 ,主要从事电子信息应用方面的研究.
应用 MA TLAB 中求解常微分方程初值的方 法解出 x ,利用 x 值求出 X max (极大值) ,当 A 在 (2. 02 :0. 000 5 :2. 08) 绘制 X max , 即可作出分岔 图.
程序 : ode1. m : (函数文件)
f unction dx = ode1 (t ,x) ;
图 3 时域图
功率谱分析程序 : load data1. dat ; data = data1 ( :) ; y = fft (data) ; N = lengt h (y) ; y (1) = [ ] ; power = log (real (y) . ^2 + imag (y) . ^2) ; nyquist = 1/ 2 ; f req = (1 :N/ 2) / (N/ 2) 3 nyquist ; plot (f req (1 :N/ 2) ,power (1 :N/ 2) ) ,grid on xlabel (’f requency’) ylabel (’power’) title (’periodogram’) 功率谱图形如图 4 所示 :
参考文献 :
图 7 时域图 图 8 功率谱图
[ 1 ] 张宜华. 精通 MA TLAB 5 [ M ] . 北京 :清华大学出版 社 ,1998.
[ 2 ] 楼顺天 ,李博菡. 基于 MA TLAB 的系统分析与设计 ———信号处理 [ M ] . 西安 : 西安电子科技大学出版 社 ,1999.
在新科学之中 ,混沌学理论是一门对复杂巨 系统现象进行整体性研究的科学[6～11 ] ,亦是一门 整体科学 ,它在无序性 “、紊乱”的现象之后表现出 规律性. 而它所研究的是非线性问题 ,处理非线性 在数学上比线性要复杂得多 ,绝大部分非线性微 分方程是不可积的. 因此 ,用象 C 和 FOR TRAN 这样的语言处理非线性问题 ,并能用曲线的方式 使人们直观地看到无序之中的有规律现象 ,便显 得非常困难 ,存在工作量大 ,开发周期长 ,易出错 等缺点 ,而用强大的数学工具 ———MA TLAB 做这 些工作就显得游刃有余.
2 结 论
图 6 功率谱图
以及当 A = 2. 045 时 ,其时域图和功率谱图 形分别如图 7 、图 8 所示 :
MA TLAB 在数值计算及动态仿真等方面 ,研 究人员不但工作量小 ,编程也很容易 ,开发周期也 大大缩短 ,数据也更加直观. 因此在混沌学领域中 将发挥其重大作用 ,促进混沌学科更快地向前发 展.
社 ,1999.
Application of MATLAB to the study of nonlinear chaos
YON G J un1 , GUO Li2hua2 , WU Xing2bo1 , WAN G Qing2wei1
(1. Dept . of Automation , Jilin Institute of Chemical Institute , Jilin City 132022 , China ; 2. Intitute of J unine Acoustics , Harbin University of Engineering , Harbin 150001 , China)
global A ; dx = [ x (2) ;x (3) ; - A. 3 x (3) + x (2) . ^2 - x (1) ] ; sode3. m : (画分岔图文件)
global A ;
for A = 2. 082 : - 0. 000 5 :2. 02 ; [ T ,X] = ode45 (’ode1’,[ 0 ,1 500 ] , [ 0. 05 ;0.
1993. [ 8 ] 王树禾. 微分方程模型与混沌 [ M ] . 北京 :中国科学
技术大学 ,1999. [ 9 ] 刘秉正. 非线性动力学与混沌理论 [ M ] . 长春 :东北
师范大学 ,1994. [ 10 ] 陈予恕. 非线性振动系统的分叉和混沌理论[ M ] . 北
京 :高等教育出版社 ,1993. [ 11 ] 徐云. 电学中的混沌 [ M ] . 长春 :东北师范大学出版
[ 3 ] 施阳. MA TLAB 语言 精 要 及 动 态 仿 真 工 具 SIMUL IN K[ M ] . 西 安 : 西 北 工 业 大 学 出 版 社 ,
1997. [ 4 ] 蒙以正. MA TLAB 5. X 应用与技巧[ M ] . 北京 :科学
出版社 ,1999. [ 5 ] 程卫国. MA TLAB 5. 3 应用指南 [ M ] . 北京 :人民邮
图 1 分岔图
混沌中的有序窗口 :开始时 ,分岔产生了 2 周 期 ,4 周期 ,8 周期 ……. 接着混沌开始了 ,没有固 定周期.
由图可见 A = 2. 08 ,2. 07 ,2. 045 分别处于 2 周期 、4 周期 、混沌状态. 以下仅分别对 A = 2. 08 , 2. 07 ,2. 045 作功率谱分析. 1. 2 功率谱分析
创建模型文件 model. mdl 如图 2 所示 , start simulation 完成后 ,通过看 scope 窗口 ,当 A = 2. 08 时 x 的时域图如图 3 所示 ,图中读出周期 T = 12 s ,由经验可知 ,采样时一个周期取 5～7 个点所作 的功率谱分析图便比较细腻 ,所以采样时间用 12/ 7. 采样后所取的数据点用 Save 命令保存在 data1. dat 数据文件中 ,以备调用.
图 4 功率谱图
同理当 A = 2. 07 时 ,其时域图和功率谱图形 分别如图 5 、图 6 所示 :
图 2 模型文件
B 在研究非线性混沌中的应用
43
可见 ,当 A 发生变化时 ,解 x 的周期 T 并未 发生改变 ,即功率谱图形的基频未发生漂移. 对于 一个自治系统的实际电路而言 ,基频通常是要发 生变化的 ,采取先作分岔图的办法 ,可以定性地看 出采样周期 ,从而确定采样时间 ,得到比较理想的 功率谱图形.
1 实例分析
在混沌学中会经常遇到对非线性方程进行功 率谱分析 ,应用 MA TLAB 语言信号与信息处理 工具箱处理 ,避免了其它语言编程繁琐的缺点. 现 针对非线性常微分方程 : x + A x″- x′2 + x =
0 ( x = x′= x″= 0. 05 ; △t = 0. 05) 进行实例分 析 ,由已知的混沌理论可知 ,对于不同的 A 的值 , 解 x 是不同的 ,因此 ,基频可能发生漂移. 可以选 择先绘出分岔图的办法 , 在分岔图上可以读出不 同的 A 值对应的解 x 所处的不同状态即 :倍周期 分岔或混沌区 ,并且可以看到是多少周期 ,这样可 以有针对性地进行仿真分析. 1. 1 作分岔图
第 20 卷 第 2 期
2003 年 6 月
吉 林 化 工 学 院 学 报 JOURNAL OF J IL IN INSTITU TE OF CHEMICAL TECHNOLO GY
文章编号 :100722853 (2003) 0220041203
Vol. 20 No . 2 J un. 2003
amatlab集数值计算符号计算数据可视化数据图文字统一处理系统动态仿真等于一体的数学软件由于它具有这几大功能所以在命题构思模型建立仿真研究假想验证数据可视报告总结和论文撰写各个环节中发挥极其重要的作用使matlab在线性代数矩阵分析数值计算及优化数理统计和随机信号分析电路与系统系统动力学信号与图象处理控制理论和系统设计过程控制建模和仿真通信系统财政金融等众多领域的理论研究和工程设计中得到广泛的应用
MA TLAB 集数值计算 、符号计算 、数据可视 化 、数据图文字统一处理 、系统动态仿真等于一体 的数学软件[1～5 ] . 由于它具有这几大功能 , 所以 在命题构思 、模型建立 、仿真研究 、假想验证 、数据 可视 、报告总结和论文撰写各个环节中发挥极其 重要的作用 , 使 MA TLAB 在线性代数 、矩阵分 析 、数值计算及优化 、数理统计和随机信号分析 、 电路与系统 、系统动力学 、信号与图象处理 、控制 理论和系统设计 、过程控制 、建模和仿真 、通信系 统 、财政金融等众多领域的理论研究和工程设计 中得到广泛的应用.
4 2
吉 林 化 工 学 院 学 报
2003 年
if b > = a & b > = data (i) ; plot (A ,b) ;hold on ; axis on ; axis ( [ 2. 01 2. 09 4 9 ]) ; else end a = b ; b = data (i) ; end end 分岔图如图 1 所示 :
Key words : MA TLAB ; nonlinear ; differential equation ; chaos