肥城高三高考数学试卷

一、选择题（每小题5分，共50分）
1. 若函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象开口向上，且顶点坐标为$(1, -2)$，则下列说法正确的是（）
A. $a > 0, b > 0, c > 0$
B. $a > 0, b < 0, c > 0$
C. $a < 0, b > 0, c > 0$
D. $a < 0, b < 0, c > 0$
2. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 3$，$a_4 = 13$，则该数列的公差$d$为（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
3. 已知函数$f(x) = \log_2(x+1)$，若$0 < f(x) < 1$，则$x$的取值范围是（）
A. $0 < x < 1$
B. $0 < x < 2$
C. $1 < x < 2$
D. $1 < x < 3$
4. 在直角坐标系中，点$A(1, 2)$关于直线$x + y = 1$的对称点为（）
A. $(-2, -1)$
B. $(-1, -2)$
C. $(2, -1)$
D. $(1, -2)$
5. 若向量$\vec{a} = (2, 3)$，向量$\vec{b} = (-1, 2)$，则$\vec{a} \cdot
\vec{b}$的值为（）
A. 7
B. 5
C. -1
D. -7
6. 已知复数$z = 1 + bi$（$b \neq 0$），若$|z-1| = |z+1|$，则$b$的值为（）
A. 0
B. 1
C. -1
D. $\sqrt{2}$
7. 若等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1 = 2$，公比$q = 3$，则$a_5 + a_7 +
a_9$的值为（）
A. 243
B. 729
C. 2187
D. 6561
8. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\sin A =
\frac{1}{2}$，$\cos B = \frac{1}{2}$，则角C的大小为（）
A. $30^\circ$
B. $45^\circ$
C. $60^\circ$
D. $90^\circ$
9. 若不等式$|x-1| > 2$的解集为$(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$，则不等式$|x-1| < 2$的解集为（）
A. $(-1, 1)$
B. $(-1, 3)$
C. $(-3, 1)$
D. $(-3, 3)$
10. 若函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$在区间$(1, 2)$内存在零点，则
$f(1)$和$f(2)$的符号分别为（）
A. $f(1) > 0, f(2) < 0$
B. $f(1) < 0, f(2) > 0$
C. $f(1) > 0, f(2) > 0$
D. $f(1) < 0, f(2) < 0$
二、填空题（每小题5分，共50分）
11. 函数$f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}$的定义域为________。

12. 若等差数列$\{a_n\}$的第三项为5，公差为3，则该数列的前5项和为
________。

13. 已知复数$z = 1 + 2i$，则$|z|$的值为________。

14. 在直角坐标系中，点$A(2, -3)$到直线$2x + 3y - 6 = 0$的距离为________。

15. 若向量$\vec{a} = (3, -4)$，向量$\vec{b} = (-1, 2)$，则$\vec{a} -
\vec{b}$的坐标为________。

16. 若等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1 = 4$，公比$q = \frac{1}{2}$，则$a_4
\cdot a_7$的值为________。

17. 若函数$f(x) = \log_3(x-1)$的定义域为$(2, +\infty)$，则$f(x)$的值域为________。

18. 若直线$2x - y + 3 = 0$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则圆心到直线的距离为
________。

三、解答题（共100分）
19. （15分）已知函数$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1}$，求函数
$f(x)$的极值。

20. （15分）已知等差数列$\{a_n\}$的前5项和为30，公差为2，求该数列的第10项。

21. （15分）已知复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$），若$|z| =
\sqrt{5}$，$z$的实部与虚部之比为$\frac{2}{3}$，求复数$z$。

22. （15分）在直角坐标系中，已知点A（2，3），点B在直线$y = 2x + 1$上，且$\angle AOB = 90^\circ$，其中O为坐标原点。

求点B的坐标。

23. （15分）若函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$在区间$(1, 2)$内存在零点，求证：$f(1) \cdot f(2) < 0$。

24. （15分）已知等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1 = 2$，公比$q = \frac{1}{2}$，求证：$a_n > 0$对任意$n \in \mathbb{N}^$成立。