分解质因数(二)

分解质因数(二)
利用分解质因数的方法可以解决许多相关的数学问题，这一讲我们继续学习
讨论分解质因数的问题。

例1 144的全部约数有多少个？它们所有的约数的和是多少？
解析：我们知道，凡是能整除144的数都是144的约数，约数是一对一对出现的，所以只要一一列出就可以了。

而求和便只要将所有约数直接相加就可以了。

但这并不是较好的方法，我们可以先分解质因数，然后将相同质因数的个数分别加上1后相乘，所得的积就是所有约数的个数。

将合数A分解质因数得：
A= P；p2 p l3……P：n(其中P1，P2，P3，”,P n 为质数，印，a2，
a3，”，a n为自然数)，则约数的个数为：(a1 +1) x ( a2+1) x ( a g+1) x ,, x( a n+1)o 根据上述方法，因为144=24x 32，由24可知144的约数有1、2、4、8、16，由32可知144的约数有1，3，9。

而144的所有约数是1、2、4、& 16中每个数与1、3、9中的每一个数分别相乘的结果(包括它们本身)。

对于数A,它的约数和用算式表示为：
(1 + P；+ pf +……+ p：n)汉((1十P2+P；+……十p；n)汉…汉((1十讥十P；+……+ p：n) 解：将144分解质因数得：
4 2
144=2 X3
144的所有约数的个数是：
(4+1)X( 2+1) =15 (个)
144的所有约数的和是：
(1+2+4+8+16 X( 1+3+9) =403
答：144有15个约数，它们的所有约数的和是403。

例2某自然数是3和4的倍数，这个数包括1和它本身在内共有10个约数，这个自然数是多少？
解析：根据“某自然数是3和4的倍数”可以知道，这个数中必定含有质因数3和2。

因为这个数共有10个约数，由求约数个数的方法可以知道，10=2X 5=( 1+1)X(4+1)，所求自然数只有质因数2和3,其中一个质因数的个数是1 个，另一个质因数的个数有4个。

又因为这个自然数是4的倍数，所以质因数的个数是4个的只能是2这个质因数，而3这个质因数只能是1个。

解：因为10=2X 5= (1+1)X( 4+1)
所以24X 3；=48
答：这个自然数是48。

注意：在利用求约数个数的方法进行逆推时，要处理好两个问题，一是确定好质因数的种类，另一个是确定好每类质因数的个数，此类问题答案常常不惟一。

例3 一个自然数是由5个2，3个3，2个5和1个7组成的连乘积，这个数的两位数约数中最大的一个是多少？
解析：要找出这个数的约数中是两位数且最大的一个，从这个数的质因数中
去找就可以了。

但这个数中有这么多的质因数，如何确定是哪些质因数呢？
我们可以换个角度来思考，最大的两位数是99,而99含有质因数11，所
以99不符合条件，同理98和97也不符合条件，而96正好是符合题意的最大两
位数。

从问题可能的结果入手，寻找符合题意的答案，有时比直接寻找问题的答案显得更加简捷。

解：96=25X 31
答：这个数的两位数约数中最大的一个是96。

从可能的最大值或最小值入手，进行合理尝试，这是解决一些数学问题的有效策略。

例4试找出所有不大于50的、约数个数为6的自然数（包括50）。

解析：此题还是从“约数个数为6”入手分析，根据求约数个数的方法知道，6有两种分解方式，即（5+1）或（1+1）X（ 2+1）。

第一种分解式只能含有一种质因数，且个数为5,即a5，第二种分解式有两种质因数，即a1 b2，在寻找合适的自然数时，要按照从小到大的顺序依次将质因数代入。

解：根据约数的个数是6,可知：6= （5+1） = （1+1）X（ 2+1），
即符合题意的质因数分解式有两种。

第一种为a5，即25=32,而35〉50,所以舍去（以下大于50的均舍去）
第二种为a1 b2: 2132=18 21 52=50
3122=12 31 5250
5122=20 51 32=45
7122= 28 51 7250
111 22=44 71 32 50
131 22. 50 111 32 50
答：所有符合题意的自然数有12，18，20, 28，32, 44, 45，50。

例5把1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9填入到下面的算式的方框内（每个数
字都要用到），并使算式成立。

□ □□乂口口=□□*□□ =5568
解析：这道题与算术谜题有关，直接计算不能一下求出得数，只能从积5568 入手进行分析。

先将5568分解质因数，因为5568=26X 3X 29，而题中是两个两位数相乘和三位数乘以两位数，所以将5568写成两个两位数的积就有两种情况：64X 87;
58 X 96。

对于这两种情况我们应分别讨论：先看64X 87,如果先取这两个两位数，
那么和三位数相乘的两位数只能取12,32和29,这时5568=12X 464=32X 174=29 X 192,其中有重复数字，不符合题意。

再看58X 96,那么和三位数相乘的两位数只能取32,可得：174X 32=58X 96=556&
解：174X 32=58X 96=556&
综合练习：
1. 165的约数共有多少个？所有约数的和是多少？
2•某自然数是4和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少？
3．用一个两位数除3347，余数是83，求这个两位数
4．幼儿园陈老师带了112 元钱去商店买一种玩具若干个，由于这种玩具每个降价1 元，陈老师所带的钱可以比原计划多买2个。

陈老师原来准备买多少个这种玩具？
5．求不大于100 的约数最多的自然数。

6. 100〜200之间只有3个约数的自然数有哪些?
7．小英参加学校组织的“探索与应用”数学竞赛。

赛后她说：“我取得的成绩和我的岁数以及我取得的名次乘起来刚好是3916，满分是1 00分。

”你能否知道小英的年龄、考试成绩及名次?
8. 11112222枚棋子排成一个长方形阵，每一横行的棋子数比每一竖行的棋子数多一个，这个长方形阵每一横行有多少枚棋子?。