2010中考数学一轮复习分式复习指导

分式复习指导一、基础过关
1，分式的概念．形如A
B
（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做．其
中A叫做分式的，B•叫做分式的．整式和统称有理数．2，分式的基本性质．分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的＿＿＿，
分式的值．用字母表示如下：A
B
＝
A C
B C
⨯
⨯
，
A
B
＝（其中B中是含有字母且
不等于0的整式，C是整式且C≠0）．
3，约分．约分是根据分式的，分子、分母都同除以最大式，化成分式．约分后，分子与分母不再有式．我们把这样的分式称为最简分式．最大公约式：①系数取最大数；②字母取字母；③相同字母取次幂．4，通分．分式的通分，即要求把几个分母的分式分别化为与原来的分式＿＿＿的同分母的分式．通分的关键是确定几个分式的，通常取各分母所有因式的最高次幂作为公分母，叫做．最简公分母：①系数取公倍数；②字母取字母；③取所有字母的次幂．特别强调：为确定最简公分母，通常先将各分母．5，分式的乘除．类似分数乘除法法则即可得出分式乘除法法则：分式乘以分式，用分子的做积的分子，分母的做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母位置后与被除数相乘．用字母表示分式的乘除法法则：．
6，同分母的分式的加减法法则．同分母的分式的加减法，只要把分子，而分母．用字母表示为：．异分母的分式的加减法法则：异分母分式相加减，先，变为同分母分式，然后再．即用字母表示为：．分式的混合运算类似分数的法则．
7，分式方程．含有分式，并且分母中含有，像这样的方程叫做分式方程．解分式方程，类似于解一元一次方程的，把分式方程两边同时乘以，约去分母得到方程，解这个方程．
8，增根．①增根：将分式方程变形为方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去，有可能产生不适合原方程的解（或根），这种根通常称为．②解分式方程时必须进行．③为什么会产生增根呢？对于原分式方程来说，必须要求使方程中各分式的的值均不为零，但方程变形后得到的方程则没有这个要求，如果所得方程的某个根使原分式方程中至少有一个分式的的值为零，也
就是说使变形时所乘的整式的值为零，这就不适合原方程，即是原方程的 ．④分式方程怎样验根？将方程的根代入 ，看它的值是否为零，如果为零，即为 ．
9，可化为一元一次方程的分式方程的应用同 方程的应用一样，首先分析题意，假设一个未知量x ，根据题意列出 方程，并解出这个 方程，检验是不是原方程的根且是否符合题意，并答．步骤如下：①审清题意；② ；③根据题意中数量关系列出式子，找出相等关系列出 方程；④解 方程，并 ；⑤看方程的解是否符合题意；⑥写出 ．
二、典型例题
（1）基本技能
例1.已知23=b a ，则b
b a -= 解析：本题可以灵活应用多种方法解决.如变换
23=b a 得b a 23=，代入b b a -求值得2
1；或者设k b k a 2,3==，代入21223=-=-k k k b b a ；作为比例还可直接利用比例的性质获得结果。

例2. 若32=a ，12
73222+---a a a a 的值等于 解析：本题考查了约分与求值，先化简4
1)4)(3()1)(3(1273222-+=--+-=+---a a a a a a a a a a ，然后代入计算得原式= —2
1 例3下列式子（1）
y x y x y x -=--122.；（2）c a b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a
b ;(4)y
x y x y x y x +-=--+-中，正确的是A 1个 B2个 C3个 D4个 （ ） 解析：本题主要考查了分式的约分和符号化简等知识与技能。

其中（2）、（4）的算式正确，因此应选B
（2）能力提高
例4.。

若分式11
x x -+的值为零，则x 的值为＿＿＿. 分析： 要使分式的值为零，只需分子为零，而分母不为零即可.
解 要使分式11
x x -+的值为零，只要x －1＝0，且x +1≠0.解得x ＝1.即x 的值为1. 说明 ：分母不为零是分式有意义的的基本前提条件，同样地，对于负整数指数的意义n n a
a 1=-，n 是正整数，同样必须要求0≠a 例5. （1）1－2
22
2442b ab a b a b a b a ++-÷+- （2）已知的值求y
xy x y xy x y x ---+=-33,311． 分析：(1)进行分式的运算前应对分式的分子与分母分解因式，并进行约分和通分
(2)对于没有给出具体字母的值的化简求值问题的条件，应充分挖掘其特点本题的方法：一是利用代入消元的思想，把已知等式变形为xy y x 3-=-，然后整体代入；二是利用公式的基本性质，对所求的分子、分母同除以xy 进行变形，在整体代入获得结果。

解：（1）原式 ＝ 1－b a b a 2+-· ))(()2(2b a b a b a -++＝ 1－b
a b a ++2＝b a b a b a ++-+)2(＝－b
a b +。

（2）由已知可知xy ≠0，故，可在311=-y
x 的两边同乘以xy ，得，xy y x 3-=-， 原式＝2483)3(3)()(3=--=--+-=--+-xy
xy xy xy xy xy xy y x xy y x 或：【由已知可知xy ≠0，故，可在分式的分子与分母上同时除以xy 得 原式＝213191)11(1)11(3111313=--+-=--+-=---+x
y x y x y x
y 】 例6先化简代数式1
)12111(
2-÷+-+-+a a a a a a ，然后选取一个使原式有意义的a 值代入求值. 分析：本题先要将复杂的分式进行化简，然后再取一个你喜欢的值代入（但你取的值必须使分式有意义）
解：原式11)1(1])
1(1)1()1)(1([2222-=-•-=-÷-+--+=a a a a a a a a a a a a ． 1≠a Θ且0≠a ，若,2=a 则原式2=.
评注：（1）若原题改为先化简代数式2
2)1()12111(-÷+-+-+a a a a a a ，然后选取一个你喜欢的a 的值代入求值．则化简得原式a =，但仍然要考虑使原式有意义，即1≠a 且0≠a ．
(2)求代数式的值的方法很多，在分式中，主要有三种：①先化简，后求值；②由值的形式直接转化成所求的代数式的值；③式中字母表示的数未明确告知，而是隐含在方程或题设条件中
例7在a 为何值时，关于x 的方程22432
2x ax x x -+-=+会产生增根？ 分析：分式方程中公分母为()()x x +-22，方程要产生增根，公分母必须为零，即x =2或x =-2，因此可通过x =2或x =-2来讨论a 的值．
解：方程两边同时乘以()()x x +-22，得： ()()2232x ax x ++=-
化简整理得：()110-=a x 如方程产生增根，则增根为x =2或x =-2，而增根一定是整式方程()110-=a x 的解，所以将x =2和x =-2分别代入整式方程()110-=a x 可得：a =-4或a =6． 所以当a =-4或a =6时，原方程会产生增根．
评注 ：“关于x 的方程”意味着x 为未知数，其余的字母均可视为常数。

用解分式方程的方法得出x 的值，但要注意2=x 、2-=x 是原方程的增根。

（3）创新拓展
例8有一道题“先化简，再求值：22241244x x x x x -+÷+--（
），其中x =
做题时把“x =x =
怎么回事？
分析：本题从学生的现实生活提取问题，虽然也是对分式的混合运算的考查，但增强了学生对问题的探索兴趣，具有创新意义。

解：化简得222222241444(4)42444
x x x x x x x x x x x --+++÷=⨯-=++---（），因为
x =
x =2x 的值均为3，原式的计算结果都是7
，所以把“x =
x =
评注:本题具有一定的教育功能，通过本题使学生认识到：正确的解题必须具有正确、完整的过程，因此必须养成良好的解题习惯。

例9.为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b 元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n 所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n 所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n 排序，第1所民办学校得奖金n
b 元，然后再将余额除以n 发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n 所民办学校．
（1）请用n 、b 分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；
（2）设第k 所民办学校所得到的奖金为k a 元（1n k ≤≤），试用k 、n 和b 表示k a （不必证明）；
（3）比较k a 和1+k a 的大小（k=1，2 ，……，1-n ），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．
分析：本题通过所设置的实际情境考查了学生对分式的值的大小比较的把握。

解：（1）因为
第1所学校得奖金1a ＝
n
b ， 所以第2所学校得奖金2a ＝n 1（ｂ－n b ）＝n b （１－n
1） 所以第3所学校得奖金3a ＝)]11([1n n b n b b n ---=)]11(111[1n n n n ---=2)11(n
n b - （2）由上可归纳得到 k a ＝1)11(--k n n b （3）【方法一】作差比较
因为k a －1+k a ＝1)11(--k n n b －k n n b )11(-＝1)11(--k n n b （１－１＋n 1）＝12)11(--k n n
b >０ 所以k a >1+k a 结果说明完成业绩好的学校，获得的奖金就多。

【方法二】作商比较 因为11111)11()11(11<-=-=--=-+n n n
n n b n n b a a k k k k
所以k a >1+k a
结果说明完成业绩好的学校，获得的奖金就多。

【方法三】直接比较
因为k a ＝1)11(--k n n b ，1+k a ＝k n n b )11(-所以1+k a ＝（1－n
1）k a <k a 结果说明完成业绩好的学校，获得的奖金就多。

评注：解决这类试题学生需具有一定的实践经验，才能将问题建立成分式大小比较的数学模型。

例10.阅读理解下列材料．关于x 的方程：
x +
1x ＝c +1c 的解是x 1=c ，x 2=1c
； x －1x ＝c －1c （即x +1x -＝c +1c
-）的解是x 1=c ，x 2=－1c ； x +2x ＝c +2c 的解是x 1=c ，x 2=2c
； x +3x ＝c +3c 的解是x 1=c ，x 2=3c
；…… （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程x +m x ＝c +m c （0m ≠）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证．
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解．
请利用这个结论解关于x 的方程：
x +21x -＝a +21
a -． 分析：通过阅读上述文字可知：（1）仿照研究过程可以猜想：x 1=c ，x 2=
m c ，然后根据“方程的解”的概念验证；
（2）类比联想阅读材料，原方程可化为：x －1+21x -＝a －1+21a -，故x 1= a ，x 2=11a a +-． 评注：本题是分式中的类比型研究性试题，试题把阅读理解和探索猜想嫁接在一起，通过阅读题中所给的一段材料，学会此类问题的一般方法，再用类似的探究方法解决问题，考查了同学们的阅读理解能力、探索发现能力、归纳概括能力、类比猜想能力，有利于促进学生学习方式的改变．。