等差数列、等比数列相关性质

等差、等比的公式和性质
第一节：等差数列的公式和相关性质
1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差 推广公式：()n m a a n m d =+- 变形推广：m
n a a d m
n --=
3、等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2
b
a A +=
或b a A +=2
（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式：
1()2n n n a a S +=
1(1)2n n na d -=+211
()22
d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当0d ≠时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n -时，n a 是项数为21n -的等差数列的中间项
()()()1212121212
n n n n a a S n a ---+=
=
-（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以
中间项）
5、等差数列的判定方法
（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6、等差数列的证明方法
定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． 7、等差数列相关技巧：
（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及
n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余
2个，即知3求2。

（2）设项技巧：
①一般可设通项1(1)n a a n d =+-
②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++,…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意公差为2d ） 8、等差数列的性质：
（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222
n n n d d
S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=。

（注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。

（4）{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{}n a 是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --，…也成等差数列
(6) 数列{}n a 为等差数列，每隔k (*k N ∈)项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等
差数列
（7）{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，则21
21
n n n n a A b B --= （8）等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m n +项和
()m n S m n +=-+，当然也有n a m =，m a n =，则0m n a +=
(9)求n S 的最值
法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和 即当，，001<>d a 由⎩⎨
⎧≤≥+0
1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．
（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和,
即当，，001><d a 由⎩⎨⎧≥≤+00
1
n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值．
注意：1(2)n n n S S a n --=≥，对任何数列都适用，但求通项时记住讨论当1n =的情况。

解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和d 的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可化繁为简，减少运算量。

第二节：等比数列的相关公式和性质
1、等比数列的定义：
()()1
2n
n a q q n a -=≠≥0，q 为公比 2、通项公式：11n n a a q -=，1a 为首项，q 为公比推广公式：n m n m a a q -=， 从而
n m n
m
a q a -=
3、等比中项
（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =或A ab =± 注意：同号的两个数才有等比中项，且它们的等比中项有两个（互为相反数）
（2）数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式： (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a q
S q
q
--==
--11''11n n n a a q A A B A B A q q =-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）
5、等比数列的判定方法
（1）用定义：对任意的n ，都有1n n a qa +=或
1
n n
a q a +=(0)n q a ≠为常数，⇔{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0n n a A B A B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列 6、 等比数列的证明方法
依据定义：若
()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7、等比数列相关技巧：
（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项：11n n a a q -= 如奇数个数成等比，可设为…,22
,,,,a a
a aq aq q q
,…（公比为q ，中间项用a 表示）;注意隐含条件公比q 的正负。

8、等比数列的性质： (1) 当1q ≠时
①等比数列通项公式()1110n n
n n a a a q q A B A B q
-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ; ②前n 项和()1111111111n n n n n a q a a q a a
S q A A B q
q q q
--=
=-=-⋅----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q ;
(2) 对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=;
(3) 若m n s t +=+(*,,,m n s t N ∈)，则n m s t a a a a ⋅=⋅，特别的，当2m n k +=时，有2n m k a a a ⋅= 注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅
(4) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n
k
a ，{}n k a ⋅,{}k n a ，{}n n k a
b ⋅⋅,{}n n
a b (k 为非零常数) 均为等比数列。

(5) 数列{}n a 为等比数列，每隔k (*k N ∈)项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等比数列。

(6) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列。

(7) 若{}n a 为等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅成等比数列。

(8) 若{}n a 为等比数列，则数列12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅，122n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅，21223n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列。

(9) ①当1q >时， ②当1q <<0时，
110{}0{}{
n n a a a a ><，则为递增数列
，则为递减数列
110{}0{}{
n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列
③当1q =时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列） ④当0q <时，该数列为摆动数列。

(10)在等比数列{}n a 中，当项数为*
2()n n N ∈时，
1
S S q
=奇偶。

(11)若{}n a 是公比为q 的等比数列，则n n m n m S S q S +=+⋅
注意：在含有参数的数列时，若是等比数列，一定要考虑到公比1q =的特殊情况。

解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和q 的方程；
②巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。