八年级数学第五章相交线与平行线单元测试卷中考真题汇编[解析版]

八年级数学第五章相交线与平行线单元测试卷中考真题汇编[解析版]
一、选择题
1．下列说法中，正确的有（ ）
①等腰三角形的两腰相等； ②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等； ③等腰三角形的两底角相等； ④等腰三角形两底角的平分线相等．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．如图，已知AD EF BC ，BD GF ∥，且BD 平分ADC ∠，则图中与1∠相等的角（1∠除外）共有（ ）
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
3．如图，面积为12cm 2的△ABC 沿BC 方向平移到△DEF 的位置，平移的距离是边BC 长的2倍，则图中四边形ACED 的面积为（ ）
A ．24cm 2
B ．36cm 2
C ．48cm 2
D ．无法确定
4．如图，五边形ABCDE 中，AE ∥BC ，则∠C +∠D +∠E 的度数为（ ）
A ．180°
B ．270°
C ．360°
D ．450°
5．如图,下列推理所注的理由正确的是( )
A ．∵A
B CD ∥，∴ ∠1＝∠2(内错角相等，两直线平行)
B ．∵∠3＝∠4，∴ AB CD ∥(内错角相等，两直线平行)
C ．∵AB C
D ∥，∴∠3＝∠4(两直线平行，内错角相等)
D ．∵∠1＝∠2，∴ AB CD ∥(内错角相等，两直线平行)
6．下列说法：①两点确定一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短；④由两条射线组成的图形叫做角；⑤若AB ＝BC ，则点B 是线段AC 的中点．其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图，已知AB ∥CD, EF ∥CD ，则下列结论中一定正确的是( )
A ．∠BCD= ∠DCE;
B ．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360︒;
C ．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD;
D ．∠ABC+∠BC
E -∠CEF=180︒. 8．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后的方向与原来的方向相反，那么两次拐弯的角度可能是是（ ）
A ．第一次右拐60°，第二次左拐120°
B ．第一次左拐60°，第二次右拐60°
C ．第一次左拐60°，第二次左拐120°
D ．第一次右拐60°，第二次右拐60°
9．下列定理中，没有逆定题的是（ ）
①内错角相等，两直线平行
②等腰三角形两底角相等
③对顶角相等
④直角三角形的两个锐角互余．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 10．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A ．②③
B ．①②③
C ．①②④
D ．①④ 11．下列说法中，正确的是 A ．相等的角是对顶角 B ．有公共点并且相等的角是对顶角 C ．如果1∠和2∠是对顶角，那么12∠=∠ D ．两条直线相交所成的角是对顶角
12．已知：如图AB//EF ，BC CD ⊥，则α∠，β∠，γ∠之间的关系是( )
A ．βαγ∠∠∠=+
B ．αβγ180∠∠∠++=
C ．αβγ90∠∠∠+-=
D ．βγα90∠∠∠+-=
二、填空题
13．已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．
（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____；（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．
14．如图，已知，∠ABG为锐角，AH∥BG，点C从点B（C不与B重合）出发，沿射线BG 的方向移动，CD∥AB交直线AH于点D，CE⊥CD交AB于点E，CF⊥AD，垂足为F（F不与A重合），若∠ECF＝n°，则∠BAF的度数为_____度．（用n来表示）
15．小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝_____，则三角板BCE有一条边与斜边AD平行．
16．如图，AB∥CD, AC∥BD, CE平分∠ACD，交BD于点E，点F在CD的延长线上，且
∠BEF=∠CEF，若∠DEF=∠EDF，则∠A的度数为_____ .
17．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下
列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝1
2
∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分
∠BCG．其中正确的结论是_______．
18．如图，AD ∥BC ，∠D=100°，CA 平分∠BCD ，则∠DAC=________度．
19．如图，CB ∥OA ，∠B ＝∠A ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOC ＝∠AOC ，OE 平分∠BOF ，若平行移动AC ，当∠OCA 的度数为_____时，可以使∠OEB ＝∠OCA ．
20．如图，直角△ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则内部五个小直角三角形的周长为_____．
三、解答题
21．如图，已知//AB CD ，50A C ∠=∠=︒，线段AD 上从左到右依次有两点E 、F （不与A 、D 重合）
（1）求证：//AD BC ；
（2）比较1∠、2∠、3∠的大小，并说明理由；
（3）若:1:4FBD CBD ∠∠=，BE 平分ABF ∠，且1BDC ∠=∠，判断BE 与AD 的位置关系，并说明理由．
22．问题情境
（1）如图1，已知AB ∥CD ，∠PBA ＝125°，∠PCD ＝155°，求∠BPC 的度数．
佩佩同学的思路：过点P 作PG ∥AB ，进而PG ∥CD ，由平行线的性质来求∠BPC ，求得∠BPC ＝
问题迁移
（2）图2．图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB ＝90°，DF ∥CG ，AB 与FD 相交于点E ，有一动点P 在边BC 上运动，连接PE ，PA ，记∠PED ＝∠α，∠PAC ＝∠β．
①如图2，当点P 在C ，D 两点之间运动时，请直接写出∠APE 与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图3，当点P 在B ，D 两点之间运动时，∠APE 与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；
拓展延伸
（3）当点P 在C ，D 两点之间运动时，若∠PED ，∠PAC 的角平分线EN ，AN 相交于点N ，请直接写出∠ANE 与∠α，∠β之间的数量关系．
23．()1如图1，//,40,130AB CD AEP PFD ∠=︒∠=︒．求EPF ∠的度数．
小明想到了以下方法(不完整)，请填写以下结论的依据：
如图1，过点P 作//,PM AB
140AEP ∴∠=∠=︒（ ）
//,AB CD (已知)
//,PM CD ∴（ ）
2180PFD ∴∠+∠=．（ ）
130,PFD ∠=︒
218013050∴∠=︒-︒=．
12405090∴∠+∠=︒+︒=．
即90EPF ∠=．
()2如图2，//,AB CD 点P 在,AB CD 外，问,,PEA PFC P ∠∠∠之间有何数量关系．请说明理由；
()3如图3所示，在()2的条件下，已知,P a PEA ∠=∠的平分线和PFC ∠的平分线交于点,G 用含有a 的式子表示G ∠的度数是 ____．(直接写出答案，不需要写出过程)
24．（1）方法感悟
如图①所示，求证：BCF B F ∠=∠+∠．
证明：过点C 作//CD EF
//AB EF (已知)
//CD AB ∴(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
1,2B F ∴∠=∠∠=∠(两直线平行，内错角相等 )
12B F ∴∠+∠=∠+∠
即BCF B F ∠=∠+∠
（2）类比应用
如图②所示，//,AB EF 求证：360B BCF F ∠+∠+∠=︒．
证明：
（3）拓展探究
如图③所示，//,AB EF BCF ∠与B F ∠∠、的关系是 (直接写出结论即可)． 如图④所示，//,AB EF BCF ∠与B F ∠∠、的关系是 (直接写出结论即可)．
25．如图1，//PQ MN ，点A ，B 分别在MN ，QP 上，2BAM BAN ∠=∠射线AM 绕A 点顺时针旋转至AN 便立即逆时针回转，射线BP 绕B 点顺时针旋转至BQ 便立即逆时针回转．射线AM 转动的速度是每秒2度，射线BQ 转动的速度是每秒1度．
（1）直接写出QBA ∠的大小为_______；
（2）射线AM 、BP 转动后对应的射线分别为AE 、BF ，射线BF 交直线MN 于点F ，若射线BP 比射线AM 先转动30秒，设射线AM 转动的时间为t ()0180t <<秒，求t 为多少时，直线//BF 直线AE ？
（3）如图2，若射线BP 、AM 同时转动m ()090m <<秒，转动的两条射线交于点C ，作120ACD ∠=︒，点D 在BP 上，请探究BAC ∠与BCD ∠的数量关系．
26．问题情境：如图1，//AB CD ，128PAB ∠=︒，124PCD ∠=︒，求APC ∠的度数．小明的思路是过点P 作//PE AB ，通过平行线性质来求APC ∠．
（1）按照小明的思路，写出推算过程，求APC ∠的度数．
（2）问题迁移：如图2，//AB CD ，点P 在射线OM 上运动，记PAB α∠=，PCD β∠=，当点P 在B 、D 两点之间运动时，问APC ∠与α、β之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当点P 在线段OB 上时，请直接写出APC ∠与α、β之间的数量关系．
27．在平面直角坐标系中，如图1，将线段AB 平移至线段CD ，连接AC 、BD ．
（1）已知A （﹣3，0）、B （﹣2，﹣2），点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第一象限内，且三角形ACO 的面积是6，求点C 、D 的坐标；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知一定点M （1，0），两个动点E （a ，2a +1）、F
（b，﹣2b+3）．
①请你探索是否存在以两个动点E、F为端点的线段EF平行于线段OM且等于线段OM，若存在，求出点E、F两点的坐标；若不存在，请说明理由；
②当点E、F重合时，将该重合点记为点P，另当过点E、F的直线平行于x轴时，是否存在△PEF的面积为2？若存在，求出点E、F两点的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．（1）求∠AEC的度数；
（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分
∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC 的度数．
（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
分析：等腰三角形中顶角平分线，底边中线及高互相重合，即三线合一，两腰上的角平分线、中线及高都相等．
详解：①等腰三角形的两腰相等；正确；
②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；正确；
③等腰三角形的两底角相等；正确；
④等腰三角形两底角的平分线相等．正确．
故选D．
点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质以及命题与定理的概念，能够熟练掌握．
2．D
解析：D
【分析】
∥∥，∥，即可得到
依据AD EF BC BD GF
1,1ADB DBC FGC EFG EHB ∠=∠=∠=∠=∠∠=∠，再根据BD 平分ADC ∠，即可得到ADB CDB CFG ∠=∠=∠.
【详解】
解：∵AD EF BC BD GF ∥∥，∥，
∴11ADB DBC FGC EFG EHB ∠=∠=∠=∠=∠∠=∠，，
又∵BD 平分ADC ∠，
∴ADB CDB CFG ∠=∠=∠，
∴图中与1∠相等的角（1∠除外）共有7个，
故选：D.
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，此题充分运用平行线的性质以及角的等量代换就可以解决问题.
3．B
解析：B
【解析】
试题分析：由题意可知根据平移的性质可以知道四边形ACED 的面积是三个△ABC 的面积，依此计算即可．
∵平移的距离是边BC 长的两倍，
∴BC=CE=EF ，
∴四边形ACED 的面积是三个△ABC 的面积；
∴四边形ACED 的面积=12×3=36cm 2．
考点：平移的性质.
4．C
解析：C
【分析】
首先过点D 作DF ∥AE ，交AB 于点F ，由AE ∥BC ，可证得AE ∥DF ∥BC ，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得∠A+∠B ＝180°，∠E+∠EDF ＝180°，∠CDF+∠C ＝180°，继而证得结论．
【详解】
过点D 作DF ∥AE ，交AB 于点F ，
∵AE∥BC，
∴AE∥DF∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，
∴∠C+∠CDE+∠E＝360°，
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题时掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
5．D
解析：D
【分析】
根据平行线的性质定理和判定定理，即可作出判断．
【详解】
解：A、∵AB∥CD，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）,所以原题错误；
B、∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故选项错误；
C、∠3和∠4不是AB和CD被直线所截形成的角，故选项错误；
D、正确．
故选D．
【点睛】
本题考查平行线的性质定理和判定定理，正确理解同位角、内错角的定义是关键．
6．B
解析：B
【解析】分析：根据直线公理对①进行判断；根据两点之间的距离的定义对②进行判断；根据线段公理对③进行判断；根据角的定义对④进行判断；根据线段的中点的定义对⑤进行判断．
详解：根据直线公理：两点确定一条直线，所以①正确；
连接两点的线段的长度叫做两点的距离，所以②错误；
两点之间，线段最短，所以③正确；
有一个公共端点的两条射线组成的图形叫做角，所以④错误；
若AB=BC，且B点在AB上，则点B是AC的中点，所以⑤错误．
故选B．
点睛：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
7．D
解析：D
【解析】
分析：根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.
详解：延长DC到H
∵AB∥CD，EF∥CD
∴∠ABC+∠BCH=180°
∠ABC=∠BCD
∠CE+∠DCE=180°
∠ECH=∠FEC
∴∠ABC+∠BCE+∠CEF=180°+∠FEC
∠ABC+∠BCE -∠CEF=∠ABC+∠BCH+∠ECH-∠CEF=180°.
故选D.
点睛：此题主要考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，同位角相等.
8．C
解析：C
【解析】
试题分析：两次拐弯以后方向相反，那么2次同方向拐弯之和是180°.
故选：C.
9．A
解析：A
【解析】试题分析：根据题意可知：
①的逆命题是两直线平行，内错角相等，是真命题，是逆定理；
②的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，是逆定理；
③的逆命题是相等的两个角是对顶角，是假命题，不是逆定理；
④的逆命题是有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，是逆定理.
只有一个不是逆定理.
故选：A
10．C
解析：C
【分析】
根据同位角的定义逐一判断即得答案．
【详解】
图①中的∠1与∠2是同位角，
图②中的∠1与∠2是同位角，
图③中的∠1与∠2不是同位角，
图④中的∠1与∠2是同位角，
所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．
11．C
解析：C
【分析】
本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．由此逐一判断．
【详解】
A 、对顶角是有公共顶点，且两边互为反向延长线，相等只是其性质，错误；
B 、对顶角应该是有公共顶点，且两边互为反向延长线，错误；
C 、角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，符合对顶角的定义，正确．
D 、两条直线相交所成的角有对顶角、邻补角，错误；
故选C ．
【点睛】
要根据对顶角的定义来判断，这是需要熟记的内容．
12．C
解析：C
【分析】
分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．
【详解】
解：
如图，分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，
AB//EF ，
AB//CM //DN //EF ∴，
αBCM ∠∠∴=，MCD NDC ∠∠=，NDE γ∠∠=，
αβBCM CDN NDE BCM MCD γ∠∠∠∠∠∠∠∠∴+=++=++，
又BC CD ⊥，
BCD 90∠∴=，
αβ90γ∠∠∠∴+=+，
即αβγ90∠∠∠+-=，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b，
b//c⇒a//c．
二、填空题
13．PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．
【分析】
（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥A B，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；
解析：PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．
【分析】
（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；
（2）分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．
【详解】
（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，
过E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，
∴∠PEQ＝90°，
∴PB′⊥QC′，
故答案为：PB′⊥QC′；
（2）①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t＝45+t，
解得，t＝15（s）；
②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，
即4t﹣180＝180﹣（45+t），
解得，t＝63（s）；
③当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t﹣360＝t+45，
解得，t＝135（s）；
综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．
故答案为：15秒或63秒或135秒．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．
14．n或180﹣n
【分析】
分两种情况讨论：当点在线段上；点在延长线上，根据平行线的性质，即可得
到结论．
【详解】
解：过A作AM⊥BC于M，如图1，
当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，
∵
解析：n或180﹣n
【分析】
分两种情况讨论：当点M在线段BC上；点C在BM延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．
【详解】
解：过A作AM⊥BC于M，如图1，
当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，
过A作AM⊥BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝∠B＝n°，
综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°，
故答案为：n或180﹣n．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
15．或或
【分析】
分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．
【详解】
解：有三种情形：①如图1中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠E
解析：30或120︒或165︒
【分析】
分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．
【详解】
解：有三种情形：①如图1中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝30°．
②如图2中，当AD∥CE时，
∠DCE＝∠D＝30°，可得∠ACE＝90°+30°＝120°．
③如图2中，当AD∥BE时，延长BC交AD于M．
∵AD∥BE，∴∠AMC=∠B=45°，
∴∠ACM＝180°-60°-45°＝75°，
∴∠ACE＝75°+90＝165°，
综上所述，满足条件的∠ACE的度数为30°或120°或165°．
故答案为30°或120°或165°．
【点睛】
本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考常考题型．
16．108
【解析】
分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，
∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根据题意和三角形的外角的性
解析：108
【解析】
分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根据题意和三角形的外角的性质，四边形的内角和求解.
详解：∵CE平分∠ACD
∴∠ACE=∠DCE
∵AB∥CD，AC∥BD,
∴∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠ACD+∠A=180°，∠ACE=∠CED ∵∠EDF=∠DEF =∠ECD+∠CED
∴∠CEF=∠FEB=∠CED+∠DEF
设∠B=x，则∠A=180°-x，∠ACE=∠ECD=∠CED=1
2 x，
∴∠EDF=x，∠BEF=3
2
x
∴∠CEB=360°-2×∠BEF=360°-3x
∴∠A+∠B+∠BEC+∠ACE=180°-x+x+360°-3x+1
2
x=360°
解得x=72°
∴∠A=180°-72°=108°.
故答案为108.
点睛：此题主要考查了平行线的性质和三角形的外角的综合应用，关键是利用平行线的性质和三角形的外角确定角之间的关系，有一定的难度.
17．①②③
【解析】
①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，则①正确；
②∵∠EBC+∠ACB=∠A EB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴
解析：①②③
【解析】
①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，则①正确；
②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+1 2
（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=1
2
∠CGE，则②
正确；
③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°.∵EG∥BC，且EG⊥CG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，则③正确；
④无法证明CA平分∠BCG，则④错误.
故答案为①②③.
18．40°
【分析】
本题主要利用两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义进行做题．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠BCD=180°-∠D=80°，
又∵CA平分∠BCD，
∴
解析：40°
【分析】
本题主要利用两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义进行做题．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠BCD=180°-∠D=80°，
又∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB=1
2
∠BCD=40°，
∴∠DAC=∠ACB=40°．
【点睛】
本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．19．60°
【分析】
设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答. 【详解】
解：设∠OCA=a,∠AOC=x,
已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，
即a+x=80
解析：60°
【分析】
设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答.
【详解】
解：设∠OCA=a,∠AOC=x,
已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，
即a+x=80°，
又因为∠OEB=∠EOC+∠ECO=40°+x.
当∠OEB=∠OCA，a=80°-x,40°+x=a,
解得∠OCA=60°.
【点睛】
本题考查角度变换和平行线定理的综合运用，熟悉掌握是解题关键.
20．12
【解析】
分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．
详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的
解析：12
【解析】
分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．
详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，
故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=12．
故答案为12．
点睛：本题主要考查了平移的性质，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）∠1＞∠2＞∠3，理由见解析；（3）BE⊥AD，理由见解析
【分析】
（1）证明∠C+∠ADC=180°，再根据平行线的判定证明即可；
（2）通过比较∠EBC、∠FBC、∠DBC的大小，再进行等量代换即可；
（3）设∠FBD=x°，则∠DBC=4x°，根据∠ABC=130°列出方程，求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠A=50°，
∴∠ADC=130°，
∵∠C=50°，
∴∠C+∠ADC=180°，
∴AD∥BC；
（2）∠1＞∠2＞∠3，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠EBC，∠2=∠FBC，∠3=∠DBC，
∵∠EBC＞∠FBC＞∠DBC，
∴∠1＞∠2＞∠3；
（3）∵AD∥BC，
∴∠1=∠EBC，
∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD，
∵∠1=∠BDC，
∴∠ABE=∠DBC，
∵BE平分∠ABF，
设∠FBD=x°，则∠DBC=4x°，
∴∠ABE=∠EBF=4x°，
∴4x+4x+x+4x=130°，
∴x=10°，
∴∠1=4x+x+4x=90°，
∴BE⊥AD．
【点睛】
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．
22．（1）80°；（2）①∠APE＝∠α+∠β；②∠APE＝∠β﹣∠α，理由见解析；（3）∠ANE
＝1
2
（∠α+∠β）
【分析】
（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，由平行线的性质可得∠BPC的度数；
（2）①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②过P作PQ∥DF，依据平行线的性质可得∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，即可得到∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；
（3）过P和N分别作FD的平行线，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到
∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE＝1
2
（∠α+∠β）．
【详解】
解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，则PG∥CD，
由平行线的性质可得∠B+∠BPG＝180°，∠C+∠CPG＝180°，
又∵∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，
∴∠BPC＝360°﹣125°﹣155°＝80°，
故答案为：80°；
（2）①如图2，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠α+∠β；理由如下：
作PQ∥DF，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，
∴∠APE＝∠APQ+∠EPQ＝∠β+∠α；
②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠β﹣∠α；理由如下：过P作PQ∥DF，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，
∴∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；
（3）如图4，∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE＝1
2
（∠α+∠β）．理由如下：
作NQ∥DF，∵DF∥CG，
∴NQ ∥CG ，
∴∠DEN ＝∠QNE ，∠CAN ＝∠QNA ，
∵EN 平分∠DEP ，AN 平分∠CAP ，
∴∠DEN ＝12∠α，∠CAN ＝12∠β， ∴∠QNE ＝12∠α，∠QNA ＝12
∠β， ∴∠ANE ＝∠QNE +∠QNA ＝
12∠α+12∠β=12
（∠α+∠β）； 【点睛】 本题主要考查了平行线的判定和性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论．
23．（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；（2）,PFC PEA P ∠=∠+∠理由见解析；（3）1.2G α∠=
【分析】
（1）根据平行线的性质与判断，即可解答．
（2）过P 点作PN//AB ，则PN//CD ，根据平行线的性质得出∠PEA=∠NPE ，进而得到∠FPN=∠PFC ；
（3）令AB 与PF 交点为O ，连接EF EF 如图3，在△GFE 中，利用三角形内角和定理进行计算，由（2）知∠PFC=∠PEA+∠P ，得到∠PEA=∠PFC −α，即可解答.
【详解】
解：（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补
（2）PFC PEA P ∠=∠+∠
理由如下：过点P 作//PN AB ，则//PN CD
∴PEA NPE ∠=∠
∵FPN NPE FPE ∠=∠+∠
∴FPN ∠=PEA FPE ∠+∠
∵//PN CD
∴F FPN P C ∠=∠
∴PFC PEA FPE ∠=∠+∠
即PFC PEA P ∠=∠+∠.
（3）令AB 与PF 交点为O ，连接EF 如图3，在GFE 中，
180()G GFE GEF ∠=︒-∠+∠， ∵12GEF PEA OEF ∠=∠+∠，12
GFE PFC OFE ∠=∠+∠， ∴1122GEF GFE PEA PFC OEF OFE ∠+∠=
∠+∠+∠+∠， ∵由（2）知PFC PEA P ∠=∠+∠，
∴C PEA PF α=∠-∠，
而180180OF PF E OEF F E C O ∠+∠=-︒-∠∠=︒，
∴11()22GEF GFE PFC PFC α∠+∠=∠-+∠+11801802
PFC α︒-∠=︒-， ∴11180()18018022G GEF GFE αα∠=︒-∠+∠=︒-︒+
=． 故答案为：12
G α∠=
【点睛】 此题考查平行线的性质的运用，三角形内角和定理，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算．
24．（2）见解析；（2）BCF F B ∠=∠-∠，BCF B F ∠=∠-∠．
【分析】
（2）过点C 作CD ∥AB ，由平行线的性质，得到180B BCD ∠+∠=︒，
180DCF F ∠+∠=︒，即可得到结论成立；
（3）①过点C 作CD ∥AB ，由平行线的性质和（2）的证明方法，即可得到答案； ②过点C 作CD ∥AB ，由平行线的性质和（2）的证明方法，即可得到答案；
【详解】
()2证明:过点C 作//CD AB
//AB EF (已知)
//CD EF ∴(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
180,180B BCD DCF F ∴∠+∠=︒∠+∠=︒(两相线平行，同旁内角补)，
∵BCF BCD DCF ∠=∠+∠，
∴360B BCF F ∠+∠+∠=︒；
（3）①过点C 作//CD AB ，如图：
∵AB ∥CD ∥EF ，
∴180,180B BCD DCF F ∠+∠=︒∠+∠=︒，
∵BCD BCF DCF ∠=∠+∠，
∴BCF F B ∠=∠-∠；
故答案为：BCF F B ∠=∠-∠；
②过点C 作//CD AB ，如图：
∵AB ∥CD ∥EF ，
∴180,180B BCD DCF F ∠+∠=︒∠+∠=︒，
∵BCD BCF DCF ∠+∠=∠，
∴BCF B F ∠=∠-∠．
故答案为：BCF B F ∠=∠-∠．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握题意，以及掌握平行线的判定和性质进行证明．
25．（1）60°；（2）当30t =秒或110秒时//BF 直线AE ；（3）BAC ∠和BCD ∠关系不会变化，2BAC BCD ∠=∠．
【分析】
(1)根据2BAM BAN ∠=∠得到60BAN ∠=︒，再根据直线平行的性质即可得到答案；
(2)设灯转动t 秒，直线//BF 直线AE ，分情况讨论重合前平行、重合后平行即可得到答案；
(3)根据补角的性质表示出BAC ∠，再根据三角形内角和即可表示出BCD ∠，即可得到答案；
【详解】
解：（1）∵2BAM BAN ∠=∠
180BAM BAN ∠+∠=︒，
∴60BAN ∠=︒，
∴QBA ∠60BAN =∠=︒（两直线平行，内错角相等）
故结果为：60︒；
（2）设灯转动t 秒，直线//BF 直线AE ，
①当090t <<时，如图，
//PQ MN ，
PBF BFA ∴∠=∠，
//AE BF ，
EAM BFA ∴∠=∠，
EAM PBF ∴∠=∠，
21(30)t t ∴=⋅+，
解得30t =；
②当90180t <<时，如图，
//PQ MN ，180PBF BFA ∴∠+∠=︒，
//AE BF ，EAN BFA ∴∠=∠
180PBF EAN ∴∠+∠=︒，1(30)(2180)180t t ∴⋅++-=，
解得110t =，
综上所述，当30t =秒或110秒时//BF 直线AE ；
（3）BAC ∠和BCD ∠关系不会变化，
理由：设射线AM 转动时间为m 秒，
作//CH PQ ，//PQ MN ，////CH PQ MN ∴，
2180QBC ∴∠+∠=︒，1180MAC ∠+∠=︒，
21360QBC MAC ∴∠+∠+∠+∠=︒，
180QBC m ∠=︒-，2MAC m ∠=，
()123601802180BCA m m m ∴∠=∠+∠=---=︒︒-︒，
而120ACD ∠=︒，
()12012018060BCD BCA m m ︒︒∴∠=-∠=--=-︒︒，
1802CAN m ∠=︒-，
()18022120BAC QBA m m ︒︒∴∠=∠--=-，
:2:1BAC BCD ∴∠∠=，
即2BAC BCD ∠=∠，
BAC ∴∠和BCD ∠关系不变．
【点睛】
本题主要考查了补角、角的运算、直线平行的性质和判定以及三角形的内角和定理，结合图形添加辅助线、分类讨论是解题的关键．
26．（1）108°；（2）∠APC=α+β，理由见解析；（3）∠APC=β-α．
【分析】
（1）过P 作PE ∥AB ，先推出PE ∥AB ∥CD ，再通过平行线性质可求出∠APC ； （2）过P 作PE ∥AB 交AC 于E ，先推出AB ∥PE ∥DC ，然后根据平行线的性质得出α=∠APE ，β=∠CPE ，即可得出答案；
（3）过点P 作PE ∥AB 交OA 于点E ，同（2）中方法根据平行线的性质得出α=∠APE ，β=∠CPE ，即可得出答案．
【详解】
解：（1）过点P 作PE ∥AB ，
∵AB ∥CD ，
∴PE ∥AB ∥CD ，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=128°，∠PCD=124°，
∴∠APE=52°，∠CPE=56°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=108°；
（2）∠APC=α+β．理由如下：
如图2，过P 作PE ∥AB 交AC 于E ，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；
（3）∠APC=β-α．理由如下：
过点P作PE∥AB交OA于点E，
同（2）可得，α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠APE=β-α．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与平行公理，解题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质解决问题．
27．（1）C的坐标为（0，4），点D的坐标为（1，2）；（2）①点E的坐标为（1，3），F的坐标为（0，3）或点E的坐标为（0，1），F的坐标为（1，1）；②存在△PEF 的面积为2，点E、F两点的坐标为E（﹣，0）、F（，0），或E（，4）、F（﹣，
4）．
【解析】
【分析】
（1）由点A和点C在y轴上确定出向右平移3个单位，再根据△ACD的面积求出向上平移的单位，然后写出点C、D的坐标即可．
（2）①根据线段EF平行于线段OM且等于线段OM，得出2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝1，解答即可；
②首先根据题意求出点P的坐标为（，2），设点E在F的左边，由EF∥x轴得出a+b＝1，求出△PEF的面积＝（b﹣a）×|2a+1﹣2|＝2，得出（b﹣a）|2a﹣1|＝4，当EF在点P 的上方时，（b﹣a）（2a﹣1）＝4，与a+b＝1联立得：，此方程组无解；当EF在点P的下方时，（b﹣a）（1﹣2a）＝4，与a+b＝1联立得：
，解得：，或；分别代入点E（a，2a+1）、F（b，﹣
2b+3）即可．
【详解】
解：（1）∵A（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，
∴向右平移3个单位，
设向上平移x个单位，
∵S△ACO＝OA×OC＝6，
∴×3x＝6，
解得：x＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
﹣2+3＝1，﹣2+4＝2，
故点D的坐标为（1，2）．
（2）①存在；理由如下：
∵线段EF平行于线段OM且等于线段OM，
∴2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝1，
解得：a＝1，b＝0或a＝0，b＝1，
即点E的坐标为（1，3），F的坐标为（0，3）或点E的坐标为（0，1），F的坐标为（1，1）；
②存在，理由如下：如图2所示：
当点E、F重合时，，
解得：，
∴2a+1＝2，
∴点P的坐标为（，2），
设点E在F的左边，
∵EF∥x轴，
∴2a+1＝﹣2b+3，
∴a+b＝1，
∵△PEF的面积＝（b﹣a）×|2a+1﹣2|＝2，
即（b﹣a）|2a﹣1|＝4，
当EF在点P的上方时，（b﹣a）（2a﹣1）＝4，与a+b＝1联立得：
，此方程组无解；
当EF在点P的下方时，（b﹣a）（1﹣2a）＝4，与a+＝1联立得：
，
解得：，或；
分别代入点E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3）得：E（﹣，0）、F（，0），或E（，4）、F（﹣，4）；
综上所述，存在△PEF的面积为2，点E、F两点的坐标为E（﹣，0）、F（，0），或E （，4）、F（﹣，4）．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、三角形面积公式、坐标与图形性质、方程组的解法、平行线的性质等知识；本题综合性强，根据题意得出方程组是解题的关键．28．（1）∠AEC＝130°；（2）∠A1EC＝130°；（3）∠A1EC＝40°．
【解析】
【分析】
(1)由直线PQ∥MN，∠ADC=∠QAD=30°，可得∠PAD=150°，再求∠PAE=75°，可得
∠CAE=25°；由∠PAC=∠ACN，求得∠ECA=25°，故∠AEC=180°﹣25°﹣25°；
(2)先求出∠QA1D1=30°，∠PA1D1=150°，再求出∠PA1E=∠EA1D1=75°，再求出
∠CAQ=130°，∠ACN=50°，根据平分线定义得∠ACE=25°，再利用四边形内角和性质可求∠CEA1；
(3)根据平行线性质和角平分线定义可求得∠QA1E=∠2=15°，∠ACE=∠ECN=∠1=25°，再由∠CEA1=∠1+∠2即可求得答案.
【详解】
(1)如图1所示：
∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，
∴∠ADC＝∠QAD＝30°，
∴∠PAD＝150°，
∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，
∴∠PAE＝75°，
∴∠CAE＝25°，
可得∠PAC＝∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECA＝25°，
∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；
(2)如图2所示：
∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，
∴∠PA1D1＝150°，
∵A1E平分∠AA1D1，
∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，
∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，
∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD1，
∴∠ACE＝25°，
∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；
(3)如图3所示：
过点E作FE∥PQ，
∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，
∴∠QA1D1＝30°，
∵A1E平分∠AA1D1，
∴∠QA1E＝∠2＝15°，
∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，
∴∠ACN＝50°，
∵CE平分∠ACD1，
∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，
∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．
【点睛】
本题考查了平行线性质，角平分线定义，熟练运用平行线性质和角平分线定义推出角的度数是解题的关键.。