二次函数知识点汇总和相关例题参考答案

部分参考答案
10、解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）． 设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0）， 由04)334
(2
=+++x a ax ，解得 31-=x ，a
x 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a
34
-，0）． ∴ |334
|+-
=a
AB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 22
4|34|+-
a
． ∴ 98
91693432916|334|2222
+-=+⨯⨯-=+-
=a
a a a a AB ， 252
=AC ，169162
2+=a
BC ． 〈ⅰ〉当2
2
2
BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由2
2
2
BC AC AB +=，
得
)16916
(25989162
2++=+-a
a a ． 解得 41
-=a ．
∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252
=AC ，9
4002=BC ．
于是2
2
2
BC AC AB +=． ∴ 当4
1
-
=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当2
2
2BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由2
2
2
BC AB AC +=，得)16916
()98916(2522+++-=a
a a ． 解得 9
4
=a ． 当94=
a 时，39
4
3434-=⨯=-a
，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．
〈ⅲ〉当2
22
AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°．
由2
22AB AC BC +=，得)98
916(251691622+-+=+a
a a ． 解得 9
4
=
a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当4
1
-
=a 时，△ABC 为直角三角形． 11、解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;
又AB ＝∣x 1 — x 2
= ,
∴m 2－4m ＋3=0 .
解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,
∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②
①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.
∴a = .
这时M 、N 到y
又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×
1
2
×（2－m ）
. ∴解得m=－7 . 12、解法一：
（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），
∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）． （2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0）， ∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．
∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(2
1＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21
＝＋a ．
∴ a±1．
∴ 所求抛物线的解析式为342
＋＋＝x x y 或342
---ax x y ＝． （3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ，
且
2
5
00
＝x y ．∴ 0025x y ＝－．
①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，
∴3402
00＋＋＝x x y ．
解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，4
5）．
设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0），
∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．
设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
.23,2
1＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得2
1＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，
2
1）． ②设点E 在抛物线342
---x x y ＝上，∴ 3402
00---x x y ＝．
解方程组⎪⎩⎪⎨⎧
---.
34,250200
00x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 02
0＝＋+．
∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，2
1
），使△APE 的周长最小． 解法二：
（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42
与x 轴的一个交点为A （－1，0）， ∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342
＋＋＝． 令 y ＝0，即0342
＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ．
∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．
（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线
a ax ax y 342＋＋＝上，
∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(2
1
＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a±1．
∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．
（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．
∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．
由PF ∥EQ ，可得EQ
PF BQ BF ＝．∴ 4
5251PF
＝．∴ 21＝PF ．
∴ 点P 坐标为（－2，2
1
）．
以下同解法一．
13、解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，
∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ． 其顶点M 的坐标是⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
4921
，． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），
∴ ⎪⎩⎪
⎨⎧+=-+=.2
14920b k b k ，
．解得23=k ，3-=b ．
∴ 线段BM 所在的直线的解析式为32
3
-=
x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=12
1
432+-=t t ．
∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是22
1
<<t ．
（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫
⎝⎛4725，，⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
45232，P ．
设点P 的坐标为P )(n m ，，则22
--=m m n ．
222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．
分以下几种情况讨论：
i ）若∠PAC ＝90°，则2
22AC PA PC +=．
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.
5)1()2(222222n m n m m m n ，
解得：251=
m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭
⎫
⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则2
2
2
AC PC PA +=．
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.
5)2()1(22
2222n m n m m m n ，
解得：02343==
m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛452
3
2，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是
直角．
（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），
以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫
⎝⎛-5251，，F ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-5854，．
图一 图二
14、解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为
109
2
＋
＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25
，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得125
18＝－a ．
因此所求函数解析式为)25
25(109125182≤≤-x x y ＋＝－． （2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以
109125182092＋－x =，得245
±＝x ． 所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，20
9）．
所以2
2
5)245(245＝
－＝
-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为
385227501.0110002
2
5≈⨯⨯＝（米）
． 15、解:
（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．
（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜． ∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．
据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ a
c x x =
⋅21． 由题意，得2
OC OB OA ＝⋅，即2
2
c c a
c ＝＝．
所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数． （3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a
a b x x ，∴ a ＞0．
解法一：AB ＝OB －OA ＝212
21124)(x x x x x x -＋＝－，
∴ a
a ac a c a
AB 3
2416)(4)4(2
2
=-=
=－． ∵ 34=AB ， ∴
343
2＝a
．得21=a ．∴ c ＝2.
解法二：由求根公式，a
a a ac x 3
22416424164±-±-±＝
＝＝
， ∴ a
x 3
21-＝
，a x 322+＝．
∴ a
a a x x OA OB AB 3
2323212＝－－＝
－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴
343
2＝a
，得21＝a ．∴ c ＝2．。