2021年辽宁省朝阳市中考数学二模试卷(解析版).docx

2021年辽宁省朝阳市中考数学二模试卷
—、（每小题3分，共30分）
1.下列实数是无理数的是（）
A.- 2
B. £
C. ^9
D.
6
2.如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）
正面
A. V2+V3= /5
B. 2^3 - ■•/3=2
C. 2化X3/=6必
D.灰（血=旧
4,直线AB//CD,且AD1BC于点E,若ZABE=32°,则ZAD C的度数为（）
A.68°
B. 58°
C. 48°
D. 38°
k弓
5.已知正比例函数y=k\x和反比例函数y=—,在同一平面直角坐标系下的图象如图所示,
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
6.在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5, 9.4, 9.6, 9.9, 9.3,
9.7, 9.0 （单位：分）.若去掉一个最高分和一个最低分.则去掉前与去掉后没有改变的 一个统计量是（ ）
CD, OA,若ZADC=35° ,则ZABO 的度数为（
）
沈阳至长白山高速铁路2020年10月16日正式开工，新建铁路长428千米，原来沈阳到 长白山普通铁路长约是642千米，若高铁速度是普通列车平均速度的4倍，建成提速后 沈阳到长白山运行时间能缩短10小时.若设普通列车的运行平均速度是x 千米/时，可列 出方程为（ ）
10. 如图，正方形ABCD 的边长为4,点E 在边AB 上，BE=1, ZDAM^45a ，点F 在射 线渤上，MAF=V2＞过点F 作AQ 的平行线交位L 的延长线于点H, CF 与AD 相交 于点G,连接EC 、EG, EF.下列结论：①Z£FG=45° ；②zMEG 的周长为8；③、 CEG S ^AFG ；④ZXCEG 的面积为6.8.其中正确的个数是（
）
7. A.平均分
B.方差
C.中位数
如图，AB^jQO 的切线，点A 为切点，OB 交于点C,
D,极差
点。

在O 。

上，连接A 。

、 8. A. 25° C. 30° D. 35°
下列-次函数图象同时经过第三象限和第四象限的是（ A. y= - 2x
B. y=2x+l
C. y= - 2x+l
D. y=1x - 1
9. A.野=坚一10
x 4x C. 冬坚+10
4x
x
B. -^.=^.+10
x 4x D.冬竺10 4x x
B. 20°
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 因式分解：12 - 3x 2=.
12. 在-4, -1, 0, 2, 3五个数中随机选取一个数作为二次函数y=a?+4x - 2中a 的值, 则该二次函数图象开口向上的概率是.
13. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC, BD 相交于点O,已知ZBOC= 120° , DC=3cm, 则AC 的长为 cm. X ------------------------- D
B ---------------- 七
14. 在平面直角坐标系中，△ABC 和△AiBiG 的相似比等于!，并且是关于原点。

的位似 图形，若点A 的坐标为（2, 4）,则其对应点&的坐标是.
15. 如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3 个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律 排列下去，
第⑦个图形中菱形的个数为.
16. 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等 待与
老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点， 模型如图，ZABC=90° ,点M, N 分别在射线&4, BC
长度始终保持不变，
MN=4, E 为MN 的中点，点。

到&4, 3。

的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫 与老鼠的距离DE 的最小值为.
三、解答题（共9小题，满分72分）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
图①
o OO
图②
OOOO
图③
oo^> oo
图④
2
17.先化简，再求值：（丝?-1）一挡x坦,其中x= （1一方）。

一（£）-1.
x-1 X-1 2
18.为了纪念抗美援朝胜利七十周年，某校开展“新时代维承和弘扬伟大的抗美援朝精神”
的知识竞赛，经选拔后有50名学生参加了50个单项选择题的笔试，若答对一题得1分, 不答或错答不得分，低于30分为合格，不低于30分但低于45分为良好，不低于45分为优秀.根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图以及扇形统计图如
下:
扇形统计图
请把频数分布直方图和扇形图补充完整.
(2)
如果这50名同学成绩的众数有且只有35分，而恰好成绩中没有37、38、39分,
(3)
请你分析测试成绩的中位数是多少？
19,为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校准备开展"趣味运动会”比赛活动，比赛项目有：“两人三足”、“春种秋收”、“穿越火线”、“摸石过河”（分别用字母A, B,C, D依次表示这四个运动项目），将A, B, C,。

这四个字母分别写在4张完全相
同的不透明卡片的正面上，把这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.小艺和小文参加
趣味比赛项目，比赛时小艺先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，
再由小文从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上内容进行趣味运动项目比赛.
(1)小文参加“穿越火线”的概率是.
(2)请用列表法或画树状图法求小艺和小文参加两个不同项目的概率.
20.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调
查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
21.如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房AB的楼顶，测量对面的乙栋楼房
CQ的高度.已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CQ的水平距离AC=18方米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部。

点的仰角是30°,底部C点的俯角是45°,求乙栋楼房CD的高度(结果保留根号).
22.已知：如图，在RtAABC中，ZC=90° , 平分ZBAC交BC于点O,。

为AB上
一点，经过点A、D的。

分别交A3、AC于点E、F.
(1)求证：BC是的切线；
(2)若AF=4, AB= 12,求AQ 的长.
23,某团体设计生产了一批运动服，每套的成本是65元，为了合理定价，先投放市场进行试销，要求批发价不得低于成本.据市场调查，每天的销售量)(件)与批发价x (元) 之间的关系如图所示：
（1）设批发价为X （元），每天的销售量为〉（件），请写出＞与》的函数关系式，并求出当批发价为80元时，每天的销量是多少？
（2）求出每天的销售利润w （元）与批发价x （元）之间的函数关系式；如果该企业每天的成本不超过39000,那么批发价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（每天的成本=每套成本X每天的销售量）.
24.如图：△ABC是直角三角形，ZBAC=90° ,经过点A的直线MN//BC,。

是直线
上的一个动点，射线D3绕点。

逆时针旋转90°交直线AC于点E.
（1）若ZABC=45° .
①如图1,当点E在线段AC上时，直接写出线段AB, AE, AD之间的数量关系，不用证明；
②如图2,当点E在线段AC的延长线上时，①中的结论是否成立？若成立，请证明：若不
成立，请写出正确结论，并证明.
（2）如图3,若ZABC=60° , BC=8, AE=2旧,其他条件不变，直接写出AD的长.
图1 图2 图3
25.如图，抛物线y=ax2+bx+8（a/0）与x轴交于点A （ - 2, 0）和点B（8, 0）,与〉
轴交于点C,顶点为D,连接AC, BC, BC与抛物线的对称轴/交于点E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB, PC,当S APBC=%S AABC时，求点P
5
的坐标；
(3)点N是对称轴/右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M,使得以点M,
N,£为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点Af的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、（每小题3分，共30分）
1.下列实数是无理数的是（）
A. - 2
B. £
C. V9
D.
6
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可.
解：而=3,
则由无理数的定义可知，属于无理数的是JU.
故选：D.
2.如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中.
解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形.
故选：A.
3.下列运算正确的是（）
A. V2+V3= /5
B. 2^3-73=2
C. 2必X3‘E=6必
D.据：也=构
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别计算判断得出答案.
解：A，V2+V3>不是同类二次根式，不能合并，故此选项不合题意；
B2旧-厄=，摭,故此选项不合题意；
C.2-/3X3>/3=18,故此选项不合题意；。

•旗：，'应=，'/^，故此选项符合题意；
故选：D.
4.直线
A8〃CZ）,且AD_LBC于点、E,若ZABE=32° ,则ZADC的度数为（）
A. 68°
B. 58°
C. 48°
D. 38°
【分析】根直线A8〃CZ),可得ZABE= ZDCE=32° ,再根据AD_LBC于点E,可得匕
CED=90° , ZADC= 180°- ZDCE - ZCED f由此解答即可.
解：•:AB//CD f
・.• ZABE= ZDCE=32° ,
•:AD±BC于点E,
.\ZCED=90° ,
・.・ ZADC=1SO° - ZDCE - AC ED
= 180° - 32° - 90°
=58°・
故选：B.
5.已知正比例函数y=k lX和反比例函数y=些,在同一平面直角坐标系下的图象如图所示,
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
【分析】根据各个小题中的函数图象，可以得到化和化的正负情况，从而可以判断妇•处的正负情况，从而可以解答本题.
解：①中ki>0, fe>0,故化*2>0,故①符合题意；
②中化<0, k2>0,故妇咔2<0,故②不符合题意;
③中化>0, fo<0,故化峨2<0,故③不符合题意;
④ 中kl<0, fe<0,故k!-k2>Q,故④符合题意; 故选：B.
6.
在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5, 9.4, 9.6, 9.9, 9.3, 9.7, 9.0 （单位：分）.若去掉一个最高分和一个最低分.则去掉前与去掉后没有改变的 一个统计量是（ ）
【分析】根据中位数的实际意义，通过比较去掉最高分和最低分前后的数据变化进行判 断即可.
解：原来7个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后 剩下的5个数中间位置的那个数是相同的, 因此中位数不变, 故选：C. 7.
如图，A3为。

的切线，点A 为切点，。

3交。

于点C, CD, OA,若 ZADC=35° ,则 ZABO 的度数为（
）
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论. 解：•.•AB 为圆。

的切线, :.ABVOA,即 ZOAB=90° , V ZADC=35° , ZAOB=2ZADC=10° , ZABO=90° - 70° =20° . 故选：B. 8.
下列一次函数图象同时经过第三象限和第四象限的是（
【分析】根据一次函数y=kx+b （^0）中，k 和。

的符号分析函数图像所经过的象限,
从而作出判断.
解：A 、y=-2x 中，k= - 2<0,函数图象经过第二、四象限，故此选项不符合题意； B 、 y=2x+l 中上=2>0,。

=1>0,函数图象经过第一、二、三象限，故此选项不符合题 息；
A,平均分
B.方差
C.中位数
D.极差
点D 在。

上，连接AQ 、
A. 25°
C. 30°
D. 35°
A. y= - 2x
B. y=2i+l
C. y= - 2x+l
D. y=2x - 1
B. 20°
C、y= - 2x+l中k= - 2<0,力=1>0,函数图象经过第一、二、四象限，故此选项不符合题意；
D、y=2x - 1中k=2>0, b= - 1<0,函数图象经过第一、三、四象限，故此选项符合题意；
故选：D.
9.沈阳至长白山高速铁路2020年10月16日正式开工，新建铁路长428千米，原来沈阳到
长白山普通铁路长约是642千米，若高铁速度是普通列车平均速度的4倍，建成提速后沈阳到长白山运行时间能缩短10小时.若设普通列车的运行平均速度是尤千米/时，可列出方程为（）
A. 642 = 428-10
B. -^2 = 428+10
x 4x x 4x
C.丝=坚+10
D.丝=坚+10
4x x 4x x
【分析】设普通列车的运行平均速度是X千米/时，根据建成提速后沈阳到长白山运行时间能缩短10小时列方程即可得到结论.
解：设普通列车的运行平均速度是x千米/时，
可列方程为学+10=业，
4x x
故选：B.
10.如图，正方形ABCZ）的边长为4,点E在边上，BE=\, ZDAM=45°,点F在射线AM上，且
AF=桓，过点F作AZ）的平行线交BA的延长线于点H, CF与AO相交
于点G,连接EC、EG, EF.下列结论：①/EFG=45°；②的周长为8；③左
CEGs^AFG；④的面积为6.8.其中正确的个数是（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【分析】由“SAS”可证△ EHF竺^CBE,可得EF=EC, ZHEF=ZBCE,可证ZiCEF
是等腰直角三角形，可得ZEFG=45。

，故①正确；
由勾股定理可求FC的长，通过证明左FPGs^FQC,可求PG=M，由勾股定理可求EG
5
的长，则可求AAEG的周长=46+£6+4£=言+马+3 = 8,故②正确；
5 5
利用勾股定理可求FG长，可得GC的长，利用相似三角形的判定可证△ CEG S^AFG,故③正确；
先求出△EEC的面积，即可求ACEG的面积为6.8,故④正确.
解：如图，在正方形ABCZ)中，AD//BC, AB=BC=AD=4f ZB=ZBAD=90° ,
:.ZHAD=90° ,
•:HF〃 AD,
・.・ZH=90° ,
V ZHAF=90°- Z£>AM=45° ,
ZAFH^ ZHAF^45° .
・.•时=归
・.・AH=HF=1=BE.
:.EH=AE+AH=AB - BE+AH=4=BC,
「.△EHF丝△C8E (SAS),
・・・EF=EC, ZHEF= /BCE,
VZBCE+ZBEC=90° ,
：・HEF+ZBEC=90° ,
A ZFEC=90° ,
:./\CEF 是等腰直角三角形, :.ZEFG=45° ,故①正确； 在 RtACBE 中，BE=1, BC=4, .-.£C 2=BE 2+BC 2=17,
•■-CF= VcE 2+EF 2= V34,
过点F 作FQ1BC 于Q,交AQ 于P, /. ZAPF=90° =ZH=ZHAD, 四边形APFH 是矩形， •: AH=HF,
矩形AHEP 是正方形, :.AP=PF=AH=1,
同理：四边形ABQF 是矩形,
:.PQ=AB=4, BQ=AP=1, FQ=FP+PQ=5, CQ=BC - BQ=3, •: AD//BC, :.AFPG^AFQC,
.FP PG "FQ "CQ' .1 PG • • — . 5 3
:.PG =£,
5
:.AG=AP+PG=—,
5
在RtAE4G 中，根据勾股定理得，£G=7A G 2
+X ^E
2=
-¥
D
:.AAEG 的周长=46+砍；+人£=¥+马+3 = 8,故②正确;
5 5
,9 =辰 1方 5 '
又■: ZFAG=ZECF=45° ,
：.4CEG S £AFG,故③正确;
..顼—15— 17 FG 1
・ S^EFC —=EC ---- ， —
2 2 GC 4
"FG =V F P 2+PG 2=
5
业近5^2 •.•AG 旦=号
5
8
.AF EC • • — , AG GC
5A /2
矿垣"丁，
5
.*.S ACEG=—故④正确;
1+4 2
故选：D.
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11.因式分解：12-3/= 3 (2-x) (2+x)
【分析】直接提取公因式3,再利用平方差公式分解因式即可.
解：原式=3 (4 - %2)
=3 (2+x) (2 - x).
故答案为：3 (2+x) (2-x).
12.在-4, -1, 0, 2, 3五个数中随机选取一个数作为二次函数y=3+4x - 2中a的值,
则该二次函数图象开口向上的概率是4
—5—
【分析】二次函数图象开口向上得出a>0,从所列5个数中找到a>0的个数，再根据概率公式求解可得.
解：.••从-4, - 1, 0, 2, 3五个数中随机选取一个数，共有5种等可能结果，其中使该二次函数图象开口向上的有2、3这2种结果,
该二次函数图象开口向上的概率为£■,
5
故答案为：-p
5
13.如图，在矩形A3CZ）中，对角线AC, BQ相交于点。

，已知ZBOC= 120°, DC=3cm,
则AC的长为6 cm.
【分析】根据矩形的性质即可求出答案.
解：在矩形ABCD中，
：.OB=OC,
:.ZOCB=ZOBC,
V ZBOC=120° ,
:.ZOCB=30° ,
9 * DC—3cm,
.\AB=CD=3cm,
在RtAACB 中，
AC= 2AB=6cm,
故答案为：6
14.在平面直角坐标系中，AABC和△AiBiG的相似比等于号，并且是关于原点。

的位似图
形，若点A的坐标为（2, 4）,则其对应点Ai的坐标是（4,8）或（-4, -8）.
【分析】利用关于原点对称的点的坐标，把A点横纵坐标分别乘以2或-2得到其对应点Ai 的坐标.
解：,「△ABC和AAiBiCi的相似比等于号，并且是关于原点。

的位似图形，而点A的坐标为（2, 4）,
.•.点A对应点Ai的坐标为（2X2, 2X4）或（-2X2, -2X4）,
即（4, 8）或（-4, -8）.
故答案为（4, 8）或（-4, -8）.
15.如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3 个菱
形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为57 .
【分析】根据图形的变化规律即可得第⑦个图形中菱形的个数
. 解：第①个图形中一共有3个菱形，即2+1 XI =3； 第②个图形中一共有7个菱形，即3+2X2 = 7； 第③个图形中一共有13个菱形，即4+3X3 = 13；
按此规律排列下去，
所以第⑦个图形中菱形的个数为：8+7X7=57. 故答案为：57. 16.
有一架竖直靠在直角墙
面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等 待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点， 模型如图，ZABC=90°，点N 分别在射线&4, BC ±,
长度始终保持不变，
MN=4, E 为MN 的中点，点D 到BA, 3C 的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫 与老鼠的距离DE 的最小值为2、任-2 .
【分析】如图，连接3E, BD.求出BE, BD,根据DENBD - BE 求解即可. 解：如图，连接BE, BD.
由题意 BD=yJ 22 + 42=2V5' ,: ZMBN=90° , MN=4, EM=NE, :.BE=—MN=2,
o
o o
图①
<><>
图② oo o<><> o o <> oooo
图③ o o o。

ooo
ooo
o o oo^> oo
2
.•.点E的运动轨迹是以3为圆心，2为半径的弧，
当点E落在线段BQ上时，QE的值最小，
.•.QE的最小值为2 ^5-2.（也可以用DE^BD - BE,即DE22脂-2确定最小值）故答案为2^5 - 2.
三、解答题（共9小题，满分72分）
2
17.先化简，再求值：（空也-1）:土照坦，其中x= （1 一店）。

-（当
r. x-1 x-1 2 【分析】根据分式的加减运算法则，乘除运算法则进行化简，然后将X的值代入化简后的式子即可求出答案.
解：原式=（斗一 Q）:冬之
x-1 X-1 X-1
_2x+l-x+l. x-1
x-1 （x+2）2
_ x+2 x-1
一M（X+2）2
1
一就’
当x= （1 - V3）0 -（号）-1 = 1 -2= - 1 时，
18.为了纪念抗美援朝胜利七十周年，某校开展“新时代维承和弘扬伟大的抗美援朝精神” 的
知识竞赛，经选拔后有50名学生参加了50个单项选择题的笔试，若答对一题得1分, 不答或错答不得分，低于30分为合格，不低于30分但低于45分为良好，不低于45分为优秀.根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图以及扇形统计图如
下：
频数分布表
45Wx<50
如果这50名同学成绩的众数有且只有35分，而恰好成绩中没有37、38、39分, 请你分析测试成绩的中位数是多少？ 【分析】（1）根据各组频数之和等于样本容量可求出。

的值;
（2）根据各组的频数即可补全频数分布直方图，计算出“优秀” “良好”所占的百分比 即可补全扇形统计图;
（3）根据中位数的意义以及各组的频数进行判断即可.
解：(1) a=50-4-8-16-10=12 (人)， 答：a=12； （2）根据各组的频数即可补全频数分布直方图, 样本中“优秀”所占的百分比为10；50X100%=20%, 样本中“良好”所占的百分比为（8+16+12） ；50X100%=72%, 补全扇形统计图如下:
（3）根据各组的频数可知，中位数一定在第3组（35Wx<40）中,
10
(3) 频数分布直方图
扇形统计图
请把频数分布直方图和扇形图补充完整.
(2) 频数分布直方图
扇形统计图
又因为该组成绩中没有37、38、39分，
所以该组成绩只有35分和36分，
又因为这50名同学成绩的众数有且只有35分，
所以35分的至少有13人，
当35分的人数正好是13人时，中位数是西祟=35.5 （分），
当35分的人数大于13人时，中位数是36分，
答：中位数是35.5分或36分.
19.为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校准备开展“趣味运动会”比赛活动，比赛项
目有：“两人三足”、“春种秋收”、“穿越火线”、“摸石过河”（分别用字母A, B, C,。

依次表示这四个运动项目），将A, B, C,。

这四个字母分别写在4张完全相同的不透明卡片的正面上，把这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.小艺和小文参加趣味比赛项目，比赛时小艺先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小文从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上内容进行趣味运动项目比赛.
（1）小文参加“穿越火线”的概率是 4 .
—4—
（2）请用列表法或画树状图法求小艺和小文参加两个不同项目的概率.
【分析】（1）共有4个不同的比赛项目，小文参加“穿越火线”的只有1种，可求出相应的概率；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，再得出"两人参加不同项目”的结果情况, 进而求出概率即可.
解：（1）一共有4个不同的比赛项目，小文参加“穿越火线”的只有1种，
所以小文参加“穿越火线”的概率为
4
故答案为：-y;
4
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
12种,
所以两人参加不同项目的概率为4f-=4-
16 4
20.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调
查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利X日销售量，依题意得方程求解即可.
解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：(500 - 20x) (10+x) =6000,
整理，得必-15x+50=0,
解这个方程，得xi = 5, X2=10.
要使顾客得到实惠，应取x=5.
答：每千克水果应涨价5元.
21.如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房A3的楼顶，测量对面的乙栋楼房
CD的高度.已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CD的水平距离AC=18方米，小丽在甲栋楼房顶部3点，测得乙栋楼房顶部。

点的仰角是30°,底部。

点的俯角是45°,求乙栋楼房CQ的高度(结果保留根号).
【分析】由三角函数定义求出DE=BEXtan30° =18,证出ZxABC是等腰直角三角形, 得出CE=AB=AC=18^进而得出答案.
解：如图所示：
由题意得：B£=AC= 18^3- CE=AB, ZDBE=30° , ZCBE=45° ,
DF
在RtZXEDB 中，ZDBE=3O° , —=tan30° ,
BE
.•.D£=BEXtan30° = 18 旧X 写=18,
在RtZXABC 中，ZABC=90° - 45° =45° ,
:.AABC是等腰直角三角形，
CE=AB=AC= 18-^3，
:.CD=DE+CE= 18+18如；
答：乙栋楼房CQ的高度为(18+18%与)米.
22.已知：如图，在RtAABC中，ZC=90° , AD平分NBAC交BC于点。

，。

为A3上一点，经
过点A、。

的。

分别交AB、AC于点E、F.
(1)求证：BC是。

的切线；
(2)若AF=4, AB=12,求AO 的长.
【分析】(1)先判断出OD//AC,得出ZODB=90°,即可得出结论；
(2)通过证明左DAB^AFAD,可得—,所以AD2=AB-AF=12X4=48,可得结
AB AD
论.
解：(1)如图，连接OD,
图1
则OA=OD,
:.ZODA=ZOAD,
'：AD是ZBAC的平分线,
:.ZOAD=ZCAD,
：.ZODA=ZCAD,
C.OD//AC,
：.ZODB=ZC=90° ,
..•点。

在。

上，
.•.BC是。

的切线；
(2)连接EF,
图2
LAE是直径，
A ZAFE=90 °= ZACB,
:.EF//BC,
ZAEF= ZB,
又,: ZAEF= ZADF,
:.ZB=ZADF,
又'：ZOAD=ZCAD,
:.ADAB^AFAD,
• AD= AF
,, AB-AD,
:.AD2=AB-AF= 12X4=48,
23.某团体设计生产了一批运动服，每套的成本是65元，为了合理定价，先投放市场进行试
销，要求批发价不得低于成本.据市场调查，每天的销售量y （件）与批发价x （元）之间的关系如图所示：
(1)设批发价为X (元)，每天的销售量为y (件)，请写出 > 与X的函数关系式，并求出当批发价为80元时，每天的销量是多少？
(2)求出每天的销售利润w (元)与批发价x (元)之间的函数关系式；如果该企业每天的成本不超过39000,那么批发价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(每天的成本=每套成本X每天的销售量).
【分析】(1)设y=kx+b,把(105, 600) (110, 500)代入即可得到解析式；再把x =80代入解析式可得销量；
(2)根据巧=每件服装的利润X销售量可得解析式；根据成本计算x的取值范围再利用二次函数的性质可得答案.
解：(1)设y=kx+b,把(105, 600) (110, 500)代入可得
(105k+b=6。

,解得户2。

1110k+b=500 lb=2700
所以y与x的函数关系式是>=-20x+2700,
当x=80 时，- 20X80+2700=1100 (件).
(2) w= (x - 65) ( - 20x+2700) = - 20必+4000工-175500,
..•成本不超过39000,
.•.65 ( - 20x+2700) W39000,解得xN105,
'：w= (x- 65) ( - 20x+2700) = - 20 (x - 100) 2+24500,
对称轴是x=100,开口向下，
.,.当x= 105时，w最大是24000元.
答：批发价为105元时，每天的销售利润最大，最大利润是24000元.
24,如图：△ABC是直角三角形，ZBAC=90°,经过点A的直线MN//BC, Q是直线
上的一个动点，射线QB绕点。

逆时针旋转90°交直线AC于点E.
(1)若ZABC=45° .
①如图1,当点E在线段AC上时，直接写出线段仙，AE, AQ之间的数量关系，不用
证明；
②如图2,当点E在线段AC的延长线上时，①中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出正确结论，并证明.
(2)如图3,若ZABC=60°, BC=8, AE=2旧,其他条件不变，直接写出AQ的长.
【分析】(1)①结论：AB - AE=/2^D.如图1中，过点。

作DFLMN交A3于点F, 设DE交AB于点
O.证明(AAS),推出AE=BF,可得结论.
②结论不成立.结论：AE-AB=-/!2AD.过点D作DTLMN交的延长线于T,设AC 交BD于点J.证明△ ADE#于TDB (AAS),推出AE=BT,可得结论.
(2)如图3中，过点。

作DK1AD交&4的延长线于点K设AE交位)于点0证明
△BDKsZDA,推出辱=^§=、/2推出BK=gE=6,求出AK,可得结论.
AE AD
解：(1)①结论：AB - AE=4Q AD.
理由：如图1中，过点。

作DF9MN交A8于点设QE交A8于点O.
图1
V ZBAC=90° , ZABC=45
:.ZABC= ZACB=45° , 9：DF_LAD,
A ZADF=90° ,
A ZAFD=ZFAD=45° ,
:.DA=DF, AF=y[^D,
9： ZEAO^ZODB=90° , /AOE=ZDOB,
:.ZAED=ZFBD,
「.△ADE丝△FD8 (AA5),
:.AE^BF,
:.AB - AE^AB - BF=AF=y[^D.
②结论不成立.结论：AE - AB=yf2^D.
理由：过点。

作DTLMN交酗的延长线于T,设AC交于点，
•: BC//MN,
:.ZDAT= ZABC=45° ,
,: DT_LDA,
:.ZADT^90° ,
:.ZT= ZDAT=45° ,
:.DA=DT, AT=y[^D,
V ZBDE= ZADT=90° ,
・.. /ADE=ZTDB,
V ZEDJ= ZJAB=90° , ZDJE= ZAJB,
:.ZDEJ= ZABJ,
「.△ADE丝△7D8 (AAS),
・.・AE=BT,
:.AE=AB=BT- AB=AT=y/2AD-
(2)如图3中，过点。

作DKLAD交8A的延长线于点K,设AE交3D于点0
图3
•: BC//MN,
:.ZDAK= ZABC^60° ,
•.・DK_LAD,
A ZADK=90° ,
:・DK=y^D,
•； ZEDB=ZADK=90° ,
:.ZEDA=ZKDB f
V ZEQD= ZBQA, ZEDQ= ZQAB=90° ,
・・・ ZDEA= ZDBK,
:4BDK S\EDA,
.BK DK r-
..云=而=柜’
・・・BK=7^AE=6,
V ZBCA=90° - ZABC=30° , BC=8, ZCAB=90° ,
・・・旭=与。

=4, 2
:.AK^BK- BC^2,
V ZK=90° - ZDAK=30° ,
.・.AD=X1K=1. 2
25.如图，抛物线y=ax2+bx+8 (a#0)与x轴交于点A ( - 2, 0)和点B (8, 0),与y
轴交于点C,顶点为D,连接AC, BC, BC与抛物线的对称轴/交于点E.
(1)求抛物线的表达式；
Q
(2)点F是第一象限内抛物线上的动点，连接F3, PC,当S OBC=¥&ABC时，求点F
5的坐标;
(3)点N是对称轴/右侧抛物线上的动点，在射线EQ上是否存在点肱，使得以点
N, E为顶点的三角形与△03。

相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【分析】(1)直接将A ( - 2, 0)和点B (8, 0)代入y=ax2-+bx+S (a^O),解出a, b的值即可得出答案；
(2)先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形F3C的面积；过点P作PGLx轴，交x轴于点G,交BC于点、F,设P(t, -4t2+3x+8)-根据三角形PBC的面积列关于，的方程，解出f的值，即可得出点P的坐标；
(3)由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN=EM, MN=NE, NE=EM 三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案.
解：(1) •.•抛物线y=ax2-^-bx+8 (。

公0)过点A ( - 2, 0)和点8 (8, 0),
.(4a_2b+8=0
I64a+8b+8=0
解得｛ap.
b=3
.l抛物线解析式为：y=—^-x^+3x+8； (2)当x=0时，y=8,
:.C (0, 8),
直线BC解析式为:y=-x+8,
S AABC 10 x 8=40,
. 3
S APBC^^ABC =24，
过点F作PG±x轴，交x轴于点G,交BC于点、F,
设P(t, -yt2+3t+8)>
F (，，-什8),
1 2 •••PF=-yt +4t，
••• S^Bc 号PF・0B=24，
即(-|t2+4t)X8=24,
.•"i=2, £2=6,
・.・Fi (2, 12) , P2 (6, 8)；
图1
(3)存在，点肱的坐标为：(3, 8) , (3, 5+顼无)或(3, 11) . •: C (0, 8) , B (8, 0) , ZCOB=90° , .•.△03。

为等腰直角三角形，
1=_ b __ 3 心
抛物线y=-^x，+3x+8的对称轴为'-由-二,1、7,
22X J
..•点E的横坐标为3,
又..•点E在直线3。

上，
.,.点E的纵坐标为5,
:.E (3, 5),
设M(3, m), N(n, -^n2+3n+8)-
①当MN=EM, ZEMN=90° ,
m-5=n _
3
4NME S 4COB,贝M 1 2 ， -^■n +3n+8=m
解得仲*或f=-2（舍去），
I m=8 I m=0
此时点M 的坐标为（3, 8）,
此时△MNE 与△COB 相似, 此时的点M 与点E 关于①的结果（3, 8）对称,
则 m - 8=8 - 5,
解得m=ll,
②当 ME=EN,当ZMEN=9Q° 时,
m -5=n -3
1 2
-^-n +3n+8=5
解得: m=5+辰或 n=3+V15^
ln=3-V15
（舍去）， ③当 MN=EN, ZMNE=90°
时,
:.M（3, 11）；
此时点M的坐标为（3, 11）；
图4
故在射线EQ上存在点使得以点M, N, E为顶点的三角形与△OBC相似，点Af的坐标为：（3, 8） , （3, 5+V15）或（3，11）.。