卷01(天津卷)-2021届高考数学冲刺模拟测试卷(解析版)

卷01（天津卷数学）-2021届高考数学冲刺模拟测试卷
第I 卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+．
·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．
·球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．
一、单选题
1．已知全集{U x =是小于7的正整数}，集合{1,3,6}A =，集合{2,3,4,5}B =，则=U A B ⋂（ ）
A ．{3}
B ．{1,3,6}
C ．{2,4,5}
D ．{1,6}
【答案】D
【分析】 先求出U B ，再求U A B .
【详解】
{U x x =是小于7的正整数}{}1,2,3,4,5,6=，{}=1,6U B ∴，{}=1,6U A B ∴⋂. 故选：D.
2．设x ∈R .则“3x ≤”是“230x x -≤”的（ ）．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】 3x ≤时，例如1x =-，则2340x x -=>，不是充分的，
230033x x x x -≤⇒≤≤⇒≤，必要性成立．
因此应是必要不充分条件．
故选：B ．
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，解题方法是用充分必要条件的定义进行．本题也可从集合的包含角度求解．
3．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =（ ）
A ．4
B ．5
C ．2
D ．3
【答案】C
【分析】
根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得()0g x 的值.
【详解】
函数()ln 4f x x x =+-在(0,)+∞递增， 且(2)ln 220f =-<，(3)ln 310f =->，
所以函数()f x 存在唯一的零点0(2,3)x ∈，故()02g x =，
故选：C.
【点睛】
本题考查了零点存在定理的简单应用，由定义求函数值，属于基础题.
4．在101()2x x -
的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120
B ．120
C ．-15
D ．15 【答案】C
【分析】 写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2
r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数．
【详解】
101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22
r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C 【点睛】
本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．
5．函数 ()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值即可判断函数图象；
【详解】
解：∈()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
， ∈()()()221sin 1sin 11x x x e f x x x x e f e -⎛⎫⎛⎫-=--=--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
， ∈函数()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
为偶函数，其图像关于y 轴对称，故排除C 、D ；当2x =时， ()2221sin 201f e ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭
，故排除B ， 故选：A.
【点睛】
本题考查函数图象的识别，属于基础题.
6．过点()3,4P ，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )
A ．10x y -+=
B ．10x y -+=或430x y -=
C ．70x y +-=
D ．70x y +-=或430x y -=
【答案】D
【解析】 当直线过原点时，直线方程为y=43
x ，即4x ﹣3y=0； 当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a ．
则3+4=a ，得a=7．
∈直线方程为x+y ﹣7=0．
∈过点M （3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x ﹣3y=0或x+y ﹣7=0． 故选：D
7．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
()
22
sin sin sin sin sin B C A B C -=-，a =2b =，则ABC ∆的面积为（ ）
A ．2
B ．
C ．4
D ．【答案】B
【分析】
由正弦定理化简得222b c a bc +-=，再由余弦定理得1cos 2A =，进而得到sin 2A =，利用余弦定理，列出方程求得4c =，最后结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
在ABC ∆中，()2
2sin sin sin sin sin B C A B C -=-，
由正弦定理，可得()22b c a bc -=-，即222b c a bc +-=，
又由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，可得sin 2
A ==，
因为a =2b =，
由余弦定理，可得2222cos a b c bc A =+-，即22222c c =+-，
即2280c c --=，解得4c =，
所以三角形的面积为11sin 24222
S bc A ==⨯⨯⨯=. 故选：B .
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
8．在梯形ABCD 中，已知//AB CD ，2AB CD =，2DM MC =，2=CN NB ，若AM AC AN λμ=+，则1
1
λμ+=（ ）
A ．1312
B ．6413
C ．3512-
D ．4013
- 【答案】D
【分析】 根据向量的运算法则，化简得到131124AM AC AN =-，得到131,124
λμ==-，即可求解.
【详解】 由题意，根据向量的运算法则，可得：11()66AM AC CM AC AB AC AC CB =+=-
=-+ 515151131()666464124
AC CB AC CN AC AN AC AC AN =-=-=--=-， 又因为AM AC AN λμ=+，所以131,124λμ=
=-， 所以1
1
124041313
λμ+=-=-. 故选：D .
【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟练应用平面向量的基本定理，熟练应用向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．设函数()()()()221122x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭
⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为
（ ）
A ．(),2-∞
B ．13,8⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．()0,2 D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】B
【分析】
根据()f x 在R 上的单调递减，所以分段函数的两段都是各自定义域内的减函数，即
20a -<，且()2
11222a ⎛⎫-≥-⨯ ⎪⎝⎭
，即可求解.
【详解】
因为()f x 在R 上的单调递减， 所以()22011222a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≥-⨯ ⎪⎪⎝⎭
⎩ ，即2138a a <⎧⎪⎨≤⎪⎩，所以实数a 的取值范围为13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 故选：B
【点睛】
本题主要考查了分段函数的单调性，求参数的取值范围，属于中档题.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．不论k 为何实数，直线(21)(3)(11)0k x k y k --+--=通过一个定点，这个定点的坐标是______.
【答案】(2,3)
【详解】
将直线方程变形为()()311210x y k x y +----=，它表示过两直线3110
x y +-=和210x y --=的交点的直线系，解方程组3110210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得2,3x y =⎧∴⎨=⎩
上述直线恒过定点()2,3，故答案为()2,3.
【方法点睛】
本题主要考查待定直线过定点问题. 属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：∈ 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为
()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ∈ 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
11．由曲线y =2y x =-+以及x 轴围成的封闭图形面积为______． 【答案】76
【分析】
首先求得交点坐标，然后求解封闭图形的面积即可.
【详解】
联立直线方程：2
y y x ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩可得：11x y =⎧⎨=⎩，故交点坐标为()1,1P ，
故封闭图形的面积：()2012S x dx =+-+⎰⎰312021217|1132326x ⎛⎫=+⨯⨯=+= ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题主要考查定积分的应用与几何意义，求解封闭图形面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．已知0x >，1y >-，且1x y +=，则22
31
x y x y +++最小值为__________．
【答案】2
【分析】
首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.
【详解】
22331111x y x y x y x y ⎛⎫+⎛⎫+=++-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
， 结合1x y +=可知原式311
x y =++， 且()()13131311411221x y y x x y x y x y +++⎡⎤⎛⎫+=+⨯=++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦
1422⎡≥+=+⎢⎢
⎣
当且仅当32x y ==-+.
即22
31
x y x
y +++最小值为2+. 【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
13．某大学安排4名毕业生到某企业的三个部门,,A B C 实习，要求每个部门至少安排1人，其中甲大学生不能安排到A 部门工作，安排方法有______种(用数字作答)．
【答案】24
【解析】
【分析】
根据题意，设4名毕业生为甲、A 、B 、C ，分2种情况讨论：1（）甲单独一人分配到B 或C 部门，2（）
甲和其他人一起分配到B 或C 部门，由加法原理计算可得答案． 【详解】
根据题意，设4名毕业生为甲、A 、B 、C ，分2种情况讨论：
（1）甲单独一人分配到B 或C 部门，则甲有2种情况，
将A 、B 、C 分成2组，有13C 3=种分组方法，再将2组全排列，分配到其他2个部门，
有22A 2=种情况，
则此时有23212⨯⨯=种安排方法；
2（）甲和其他人一起分配到B 或C 部门，
在A 、B 、C 中任选1人，与甲一起分配到B 或C 部门，有1
3C 26⨯=种情况，
将剩余的2人全排列，分配到其他2个部门，有2
2A 2=种情况，
则此时有6212⨯=种安排方法；
则一共有121224+=种不同的安排方法； 故答案为：24 【点睛】
本题主要考查分类计数原理与排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，认真审题、分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．
14．若经过抛物线24y x =焦点的直线l 与圆22(4)4x y -+=相切，则直线l 的斜
率为__________．
【答案】 【解析】
抛物线的焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为，()1y k x =-，即kx y k 0--=，直线l 与圆()2
2
44x y -+=
相切，2=
，解得k =
，故答案为.
15．近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数．环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染．现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究，则抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率为________；记X 表示抽取的3天中空气质量为优的天数，则随机变量X 的数学期望为________．
【答案】
57 127
【分析】
第一空，先求抽取的3天空气质量都不为良的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可；
第二空，随机变量X 服从超几何分布，计算即可. 【详解】
解：设事件A 表示“抽取3天中至少有一天空气质量为良”， 事件B 表示“抽取的3天空气质量都不为良”， 则事件A 与事件B 互为对立事件，
所以()()3
53
75
117
C P A P B C =-=-=； 随机变量X 的可能取值为0,1,2,3，概率为()()343
3
7
0,1,2,3k k C C P X k k C -===， 所以随机变量X 分布列为：
随机变量X 的数学期望为()112184120123353535357
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯= 故答案为：
57；12
7
【点睛】
本题考查利用古典概型求事件的概率，超几何分布，是中档题.
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分14分）
设函数2
()sin cos sin ()4
f x x x x π
=--.
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）求函数()6f x π
-
在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值与最小值.
【答案】（1）最小正周期π；（2）最大值是
12，最小值是 【分析】
（1）由三角恒等变换化简()f x ，利用周期公式即可求最小正周期.
（2）求()6f x π
-
解析式，1()sin(2)632f x x ππ-=--，然后根据0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
求出其值域后，，即可得到最大最小值. 【详解】
（1）2
1
()sin cos sin ()sin 24
2
f x x x x x π
=--
=-
，∴函数()f x 的最小正周期T π=； （2）由（1）得1
()sin(2)632
f x x π
π-
=--，
[0x ∈，
]2
π
，223
3
3x π
π
π∴-
-
，sin(2)[3x π∴-∈1]
，
()[6
f x π
∴-∈，1]
2，
()6f x π∴-在[0，]2
π
上的最大值是1
2，最小值是 【点睛】
本题考查三角函数的周期性和三角函数的值域，以及三角函数平移变换和三角恒等变换，属于中档题.
17．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2PA AB ==，60BAD ∠=︒．
（∈）求证：直线BD ⊥平面PAC ；
（∈）求直线PB 与平面PAD 所成角的正切值；
（∈）设点M 在线段PC 上，且二面角C MB A --的余弦值为
5
7
，求点M 到底面ABCD 的距离．
【答案】(∈)证明见解析；(∈)
5
；(∈)12.
【分析】
(∈)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(∈)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正切值即可；
(∈)设PM PC λ=，由题意结合空间直角坐标系求得λ的值即可确定点M 到底面
ABCD 的距离．
【详解】
(∈)由菱形的性质可知BD AC ⊥，
由线面垂直的定义可知：BD AP ⊥，且AP AC A ⋂=， 由线面垂直的判定定理可得：直线BD ⊥平面PAC ；
(∈)以点A 为坐标原点，AD ,AP 方向为y 轴,z 轴正方向，如图所示，在平面ABCD 内与
AD 垂直的方向为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，
则：(
))
()()0,0,2,,0,0,0,0,2,0P B
A D ，
则直线PB 的方向向量(
)
3,1,2PB =
-，很明显平面PAD 的法向量为()1,0,0m =，
设直线PB 与平面PAD 所成角为θ，
则3sin 8PB m
PB m
θ⋅=
=
⨯
，sin cos tan cos 5θθθθ====
. (∈)设(),,M x y z ，且()0
1PM PC λλ=≤
≤， 由于()))
()0,0,2
,,,0,0,0P C
B
A ，
故：()
)
,,22x y z λ
-=-，据此可得：322x y z λλ⎧
=⎪
=⎨⎪=-+⎩
，
即点M 的坐标为)
,3,22M
λλ-+，
设平面CMB 的法向量为：()1111,
,x n y z
=，则：
()()())
111111
111,,0,2,020,,,13,220n CB x y z y n MB x y z λλ⎧⋅=⋅-=-=⎪
⎨
⋅=
⋅--=⎪⎩，
据此可得平面CMB 的一个法向量为：(12,n =，
设平面MBA 的法向量为：()2222,,n x y z =，则：
(
)
)
(
))
2222222222,,0,,,13,220n AB x y z y n MB x y z λλ⎧⋅=⋅=+=⎪
⎨
⋅=⋅--=⎪⎩
， 据此可得平面MBA
的一个法向量为：21,n ⎛= ⎝⎭
，
二面角C MB A --的余弦值为5
7
3257λ+
=
，
整理得214196=0λλ-+ ， 解得：16=27
λλ=
或. 由点M 的坐标易知点M 到底面ABCD 的距离为1或者2
7
.
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理，空间向量在立体几何中的应用，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 18．（本小题满分15分）
已知椭圆C ：2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）的离心率
e =P
，1）在椭圆C
上.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若椭圆C 的左焦点为F ，右顶点为A ，点M （s ，t ）（t ＞0）是椭圆C 上的动点，直线AM 与y 轴交于点D ，点E 是y 轴上一点，EF ∈DF ，EA 与椭圆C 交于点G ，若∈AMG 的面积为
AM 的方程.
【答案】（1）22
142
x y +=（2）
x ﹣2＝0
【分析】
（1）利用离心率和椭圆经过的点建立方程组，可以求解方程；
（2）设出直线方程，联立方程组，结合三角形的面积为可得直线斜率，从而可得方程. 【详解】
（1）由题意得e 2
c a =
=，2
2211a b +=，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝2， 所以椭圆的方程：22
142
x y +=.
（2）由（1）得左焦点F （0），A （2，0），设直线AM ：y ＝k （x ﹣2），由题意
得D （0，﹣2k ），∈k DF
=
=，
∈EF ∈DF ，∈k EF
=
，∈直线EF 的方程：x =， 令x ＝0，则y 1k
=，所以点E （0，1
k ），所以k EA 1
122k
k
==--， 所以直线EA ：x ＝﹣2ky +2，联立与椭圆的方程整理得：∈y 22
842412k k
k k =
=++，x
2
2
2412k k
-=+，所以点G （222412k k -+，2412k k +）； 联立直线AM 与椭圆的方程整理得：（1+2k 2）x 2﹣8k 2x +8k 2﹣4＝0，解得：x 1＝2，x 2
22
42
12k k
-=+，∈y 22412k k =-+，所以点M （224212k k -+，2412k k -+）， 所以点M ，G 关于原点对称，即直线MG 过原点，
∈S ∈AMG 12OA =
⋅⋅2|y M |22881
221212k k k k =⋅⋅=++，由题意得：2812k k
=+，
解得：
k 2
=±
， 由点M （s ，t ）（t ＞0）得，
k 2=-
AM 为：
y 2
=-（x ﹣2）， 即直线AM ：x
2y ﹣2＝0.
【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系，明确三角形面积的转换方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 19．（本小题满分15分）
已知数列{}n a 满足()()()
12311412316
n n n n n a a a n a na -+-+++
+-+=
．
（1）求2a 的值；
（2）若1
1
1
n
n i i i T a a =+=∑
，则求出2020T 的值； （3）已知{}n b 是公比q 大于1的等比数列，且11b a =，35b a =，
设1n n c b λ+=，
若{}n c 是递减数列，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）3；（2）
2020
4041；（3）1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭
. 【分析】
（1）首先根据已知条件求出21n a n =-，再求2a 即可.
（2）利用裂项求和得到21
n n
T n =
+，再求2020T 即可. （3）根据题意得到1
3n n b -=，23n n n c λ=-⋅，又因为{}n c 是递减数列，得到1n n c c +<，
从而得到*N n ∀∈，1223n λ⎛⎫>⋅ ⎪⎝⎭
恒成立，再求1223n
⎛⎫
⋅ ⎪⎝⎭的最大值即可得到答案.
【详解】
（1）由题意，数列{}n na 的前n 项和()()
1416
n n n n S +-=
．
当1n =时，有1111a S ⋅==，所以11a =．
当2n ≥时，()()()()114114566
n n n n n n n n n na S S -+---=-=
-
()()()()()141145216
n
n n n n n n =
+----=-⎡⎤⎣⎦． 所以，当2n ≥时，21n a n =-
又11a =符合2n ≥时n a 与n 的关系式，所以21n a n =-．
故2a 的值为3．
（2）由（1）可知21n a n =-．
则()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪⋅-+-+⎝⎭
，
所以122331
1
4
1
1111
1
n
n i i i n n T a a a a a a a a a a
++==
++
=
++∑ 1111111
112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
11122121n n n ⎛⎫=
-= ⎪
-+⎝⎭．所以2020T 的值为2020
4041
． （3）由111b a ==，359==b a 得2
9q =．又1q >，所以3q =．
所以11
13n n n b b q --==，123n n n n c b λλ+=
=-⋅．
因为{}n c 是递减数列，所以1n n c c +<，
即112323n n n n λλ++-⋅<-⋅．化简得232n n λ⋅>．
所以*N n ∀∈，1223n
λ⎛⎫
>⋅ ⎪⎝⎭
恒成立．
又1223n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是递减数列，所以1223n
⎧⎫⎪⎪
⎛⎫⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
的最大值为第一项1121233a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭．
所以13λ>
，即实数λ的取值范围是1,3⎛+∞⎫
⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题为数列综合题，主要考查了裂项求和，同时考查了数列的单调性，属于中档题. 20．（本小题满分15分） 20.（本小题满分15分）
已知函数ln ()x f x x
=
，2
()2g x x x =-． （1）求()f x 在点P(1，(1)f )处的切线方程；
（2）若关于x 的不等式2
()()0f x tf x +>有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围；
（3）若()()4()h x g x xf x =+存在两个正实数1x ，2x 满足22
1212()()0h x h x x x +-=，求证：123x x +≥．
【答案】（1）10x y --=；（2）ln 2ln 5
25
t -<≤-；（3）见解析. 【分析】
（1）求出P （1，0），x ＞0，()2
1'lnx
f x x -=
，f′（1）=1，利用导数的几何意义能求出f （x ）在点P （1，f （1））处的切线方程．
（2）求出()2
1'lnx f x x -=
，x ＞0，则f′（x ）=0，得x=e ，列表讨论能求出实数t 的取值范围． （3）h （x ）=x 2﹣2x+4lnx ，从而（x 1+x 2）2﹣2（x 1+x 2）﹣4lnx 1x 2，令t=x 1x 2，()t ϕ=t 2+2t ﹣4lnt ，（t ＞0），…（11分）则()'t ϕ=2t+2﹣
4t =()()12t t t -+，由此利用导数性质能证明x 1+x 2≥3．
【详解】
（1）()ln x f x x =
，()10f =，所以P 点坐标为()1,0； 又()21ln 'x f x x
-=，()'11f =，则切线方程为01y x -=-， 所以函数()f x 在点()()1,1P f 处的切线方程为10x y --=．
（2）()21ln '(0)x f x x x
-=>
由()()20f x tf x +>， 得()()0f x f x t ⎡⎤+>⎣⎦；
0t >时，()0f x >或()f x t <-，满足条件的整数解有无数个，舍；
0t =时，()0f x ≠，得0x >且1x ≠，满足条件的整数解有无数个，舍；
0t <时，()0f x <或()f x t >-，当()0f x <时，无整数解；
当()f x t >-时，不等式有且仅有三个整数解，又()ln333f =，()()ln2242f f ==，()ln555
f = 因为()f x 在()0,e 递增，在(),e +∞递减；所以()()54f t f ≤-<，
即ln5ln252t ≤-<，即ln2ln525
t -<≤-； 所以实数t 的取值范围为ln2ln525t -
<≤-． （3）()2
24ln h x x x x =-+， 因为()()22
12120h x h x x x +-=， 所以22221112221224ln 24ln 0x x x x x x x x -++-+-=，
即()()2
221212*********ln x x x x x x x x x x +-+=+-， 令12t x x =，()224ln (0)t t t t t ϕ=+->，
则()()()212422(0)t t t t t t t
ϕ-++-'==>， 当()0,1t ∈时，()0t ϕ'<，所以函数()224ln (0)t t t t t ϕ=+->在()0,1上单调递减；
当()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'>，所以函数()2
24ln (0)t t t t t ϕ=+->在()1,+∞上单调递增．
所以函数()2
24ln (0)t t t t t ϕ=+->在1t =时，取得最小值，最小值为3． 因为存在两个正实数12,x x ，满足()()22
12120h x h x x x +-=，所以()()2121223x x x x +-+≥，
即()()21212230x x x x +-+-≥，所以123x x +≥或121x x +≤-．
因为12,x x 为正实数，所以123x x +≥．
【点睛】
本题考查函数的切线方程的求法，考查实数取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数的几何意义、导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。