2021年湖南省娄底市涟源第五中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2021年湖南省娄底市涟源第五中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在下列条件中，可判断平面α与β平行的是( )
A．α⊥γ，且β⊥γ
B．m，n是两条异面直线，且m∥β，n∥β，m∥α，n∥α
C．m，n是α内的两条直线，且m∥β，n∥β
D．α内存在不共线的三点到β的距离相等
参考答案：
B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】通过举反例推断A、C、D是错误的，即可得到结果．
【解答】解：A中：教室的墙角的两个平面都垂直底面，但是不平行，错误．
B中，利用平面与平面平行的判定，可得正确；
C中：如果这两条直线平行，那么平面α与β可能相交，所以C错误．
D中：如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到β的距离相等，这两个平面相交，B错误．故选B．
【点评】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力，是基础题．
2. 一个年级有12个班,每个班有50名学生,随机编号为1～50,为了了解他们课外的兴趣,要求每班第40号学生留下来进行问卷调查,这运用的抽样方法是( )
A．分层抽样 B．抽签法 C．随机数表法 D．系统抽样法
参考答案：
D
试题分析：当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，
在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，
在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号
考点：系统抽样方法
3. 幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f（x）=27的x的值是（）
A．B．﹣C． 3 D．﹣3
参考答案：
A
设幂函数为，代入，可得，由此解得.由解得.
4. “a=1”是函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既非充分条件也不是必要条件
参考答案：
A
5. 已知抛物线的准线方程是，则p的值为（）
A．2 B．4 C．－2 D．－4
参考答案：
B
，故选B.
6. 若，则的最小值为
A．1 B．2
C．3 D．4
参考答案：
D
略
7. 已知椭圆的左、右顶点分别为A1和A2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P1和P2，其中P1的纵坐标为正数，则直线A1P1与A2P2的交点M的轨迹方程（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
C
略
8. 已知,为双曲线左,右焦点,以双曲线右支上任意一点P为圆心,以为半径的圆与以
为圆心,为半径的圆内切,则双曲线两条渐近线的夹角是 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
9. 若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（）Ａ．1条Ｂ．2条Ｃ．3条Ｄ．4条
参考答案：
B
10. 复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB 的面积为________．参考答案：
12. “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的▲条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不必要又不充分”中的一个）
参考答案：
必要不充分
略
13. 已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“”是
的.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)
参考答案：
充要条件
∵，
∴，
整理得．
∴“”是“”的充要条件．
14. 等比数列的第5
项等于 .
参考答案：
8
15. 在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为120，所有偶数项的和为110，则该数列共有___项
参考答案：
23
16. 不等式在R上恒成立,则的取值范围是_________________.
参考答案：
[，1）
17. 如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，对于下列说法：
①|CA|≥|CA1|
②经过点A、E、A1、D的球的体积为2π
③一定存在某个位置，使DE⊥A1C
④|BM|是定值
其中正确的说法是．
参考答案：
①④
【考点】棱锥的结构特征．
【分析】在①中，在△ADE翻转过程中，始终有|CA|≥|CA1|；在②中，A，D，E是定点，A1是动点，经过点A、E、A1、D的球的体积不是定值；在③中，AC与DE不垂直，从而DE与A1C不垂直；在④中，取DC中点N，连MN，NB，根据余弦定理得到|BM|是定值．
【解答】解：在①中，在△ADE翻转过程中，始终有|CA|≥|CA1|，故①正确．
在②中，∵AD=AE=A1D=A1E=1，A，D，E是定点，A1是动点，
∴经过点A、E、A1、D的球的体积不是定值，故②错误；
在③中，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，
∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确，故③不正确．
在④中，取DC中点N，连MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，
∴面MNB∥面A1DE，MB?面MNB，∴MB∥面A1DE，故④正确；
∠A1DE=∠MNB，MN=是定值，NB=DE是定值，
根据余弦定理得到：MB2=MN2+NB2﹣2MN?NB?cos∠MNB，
∴|BM|是定值，故④正确．
故答案为：①④．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）若在(1,+∞)为增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，函数在(1,+∞)上的最小值为，求的值域.
参考答案：
（1）在上恒成立，
设在为增函数；
（2），
可得在上是增函数，又，
，
则存在唯一实数，使得即
则有在上递减；在上递增；
故当时，有最小值
则的最小值，
又，
令，求导得，故在上递增，
而，故可等价转化为
故求的最小值的值域，可转化为：求在上的值域.
易得在上为减函数，则其值域为.
19. 设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．
参考答案：
设焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)
∵k l＝tan60°＝
∴l的方程为y＝(x－c)
即：x－y－c＝0
∵F1到直线l的距离为2
∴＝c＝2
∴c＝2
∴椭圆C的焦距为4
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题可知y1＜0，y2＞0
直线l的方程为y＝(x－2)
由消去x得，
(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b2(a2－4)＝0 由韦达定理可得
∵＝2，∴－y1＝2y2，代入①②得
得＝·
＝⑤
又a2＝b2＋4⑥
由⑤⑥解得a2＝9b2＝5
∴椭圆C的方程为＋＝1.
20. （本小题满分13分）
设是椭圆上的两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）当时，过点P（0，1）且倾斜角为的直线与椭圆相交于E、F两点，求的长；
（Ⅱ）确定的取值范围，并求直线CD的方程.
参考答案：
解：（Ⅰ）当时，椭圆即 ,
直线EF的方程为：, ……………………2分
设E（x1,y1）,F(x2,y2)
…………………………4分
…………………………5分
…………………………6分
（Ⅱ）依题意，可设直线AB的方程为，
代入，整理得
①……………………8分设，，则是方程①的两个不同的根
∴，且②………10分
由是线段AB的中点，得
∴
解得代入②得，即的取值范围是……………12分
于是，直线CD的方程x-y+2=0 ……………………13分
略
21. (12分)求经过的交点, 方向向量为的直线方程.参考答案：
解析: 设所求的直线方程为即
因为其方向向量为,所以其斜率
, 又所以解之得代入所设方程整理得
为所求.
另解: 解方程组得两直线的交点为 (1,-3) 又由已知得所求的直线的斜率
所以, 所求的直线的方程为即
22. (本题满分10分)
已知直线l：y＝x＋m，m∈R.
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．
参考答案：
解：解法一：(1)依题意，点P的坐标为(0，m)．因为MP⊥l，所以×1＝－1，
解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)从而圆的半径
r＝|MP|＝＝2.
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝
8.
(2)因为直线l的方程为y＝x＋m
所以直线l′的方程为y＝－x－m.
由得x2＋4x＋4m＝0.
Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．
①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；
②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．
综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切，当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．解法二：
(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.
依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则
解得
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
(2)同解法一．。