湖南省浏阳二中、长沙怡雅中学高二数学平面向量及其应用练习试题

一、多选题1．题目文件丢失！
2．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）
A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+
B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b c
C ．若////a b c ，则a b c a b c =++++
D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 3．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤
B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
4．在ABC 中，AB =1AC =，6
B π
=，则角A 的可能取值为（ ）
A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
2
π 5．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°
D ．()
//2a a b +
6．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且
AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）
A ．1A
B CE ⋅=- B ．0OE O
C +=
C ．3OA OB OC ++=
D ．ED 在BC 方向上的投影为
76
7．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++ D ．AB AC BD CD -+- 8．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
9．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ）
A ．
B ．
23
C ．23
-
D ．
3
10．下列命题中，结论正确的有（ ）
A ．00a ⨯=
B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-
C ．若//AB C
D ，则A ､B ､C ､D 四点共线；
D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 11．设a 为非零向量，下列有关向量
||
a
a 的描述正确的是（ ） A ．|
|1||
a a =
B ．
//||
a a a
C ．
||
a a a =
D ．
||||
a a a a ⋅=
12．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b
B ．若a b ⊥，则a b a b +=-
C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a
D ．若存在实数λ使得λa
b ，则a b a b +=-
13．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）
A ．A
B D
C =
B ．AB D
C =
C ．AB DC >
D ．BC AD ∥
14．下列说法中错误的是( )
A ．向量A
B 与CD 是共线向量,则A ，B ，
C ，
D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线 C ．若,a b b c ==，则a c =
D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 15．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+- C ．OA OD AD -+
D ．NQ QP MN MP ++-
二、平面向量及其应用选择题
16．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与
AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）
A 62
B ．
1
(62)2
C 62
D ．
1
(62)2
17．已知非零向量AB 与AC 满足
0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪
⎝⎭
且1
2AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形
D ．以上均有可能
18．O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知
0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，若3a =边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为（ ）
A ．
23
π B ．
43
π C ．6π D ．3π
19．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若
lg lg lg sin 2a c B -==-，且0,2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则ABC 的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
20．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．等边三角形
21．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，42c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）
A ．
441
B ．
45
C ．
425
D ．
41
41
22．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且1
2
AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1
B ．23
-
C ．13
- D ．34
-
23．ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为（ ） A ．1:4
B ．4:5
C ．2:3
D ．3:5
24．下列命题中正确的是（ ）
A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a
B ．若(0)a c b c c ⋅=⋅≠，则a b =
C ．若,,,A B C
D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角
25．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（ ）
A ．3
B ．63
C ．12
D ．1826．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →
→
→
→
→
→
⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为（ ）． A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形
D ．不确定
27．已知ABC 的面积为30，且12
cos 13
A =，则A
B A
C ⋅等于（ ） A ．72
B ．144
C ．150
D ．300
28．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（ ） A ．4
B ．
72
C ．
258
D ．
259
29．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若
()2
2S a b c +=+，则cos A 等于（ ）
A ．
45
B ．45
-
C ．
1517
D ．1517
-
30．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ）
A B ．3
C
D
31．在矩形ABCD 中，3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若
AB AF 3→→=，则AE BF
→→的值为（ ）
A ．0
B ．
3
C ．-4
D ．4
32．ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
33．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3
C π
∠=
，且
sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：
①2a b =
②ABC ∆
③ABC ∆
的周长为4+ ④ABC ∆
外接圆半径3
R =
这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
34．已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，
4
7
AOB ABC S S ∆∆=，则实数m 为（ ） A ．2
B ．-2
C ．4
D ．-4
35．在ABC 中，若()()
0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．无法确定
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、多选题 1．无 2．BD 【分析】
假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】
假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；
B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以
//b c ，即B 正确；
C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出
a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；
D 选项，若0a b ⋅=，则(
)
2
2
2
2
2
2a b a b
a b a b a b
+=+=++⋅=
+，
()
2
2
2
2
2
2a b a b a b a b a b -=
-=+-⋅=
+，所以a b a b +=-，即D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.
3．AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知
解析：AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，
对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，
对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即
22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，
则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53
λ>-
， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5
3
λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
4．AD 【分析】
由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】 由余弦定理，得， 即，解得或.
当时，此时为等腰三角形，，所以； 当时，，此时为直角三角形，所以. 故选：AD 【点睛】 本题考查余弦
解析：AD 【分析】
由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】
由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，
即2132BC BC =+-，解得1BC =或2BC =. 当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6
A B π
==
；
当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2
π. 故选：AD 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.
5．AC 【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 由向量，， 则，故A 正确； ，故B 错误；
解析：AC 【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的
坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】
由向量()1,0a =，()2,2b =，
则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；
222222b =+=，故B 错误；
2222
2cos ,1022a b a b a b
⋅<>=
=
=
⋅+⋅+，
又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确； 由()1,0a =，()25,4a b +=，140540⨯-⨯=≠，故D 错误. 故选：AC 【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
6．BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，，
解析：BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，123
(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -，
设1(0,),(1,),(,33
O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ，
所以133y y -
=-，解得：2
y =
， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；
3
2OA OB OC OE OC OE ++=+==
，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；
1
(3ED =，(1,BC =，
ED 在BC 方向上的投影为12
7326BC BC
ED +⋅==，所以选项D 正确.
故选：BCD 【点睛】
此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.
7．BD 【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】
对于选项：，选项不正确； 对于选项： ，选项正确； 对于选项：，选项不正确； 对于选项： 选项正确. 故选：
解析：BD 【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】
对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确； 对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确； 对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；
对于选项D ：()()
0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.
故选：BD 【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.
8．ABCD 【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】 根据正弦定理 , 即. , 或. 即或
解析：ABCD 【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2
A B π
+=，进而有
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】
根据正弦定理
sin sin a b A B
= cos cos a A b B =
sin cos sin cos A A B B =, 即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,
22A B =或22A B π+=. 即A B =或2
A B π
+=
,
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形. 故选：ABCD 【点睛】
本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°
9．AD 【分析】
利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值.
【详解】
由正弦定理，可得， ，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与同
解析：AD 【分析】
利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】
由正弦定理sin sin b a B A
=，可得1
20sin 22sin 153
b A B a ⨯
===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.
因此，cos B ==. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.
10．BD 【分析】
根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】
解：对于A ，，故A 错误；
对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确； 对于C ，，则或与共线，故C 错误； 对于D ，在四边形中，若
解析：BD 【分析】
根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】
解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误； 对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222
||2a b a b a b a b +=
++⋅=+，
2
2
2
2
||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；
对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；
对于D，在四边形ABCD中，若0
AB CD
+=，即AB DC
=，所以四边形ABCD是平行四边形，又0
AC BD
⋅=，所以AC BD
⊥，所以四边形ABCD是菱形，故D正确；
故选：BD
【点睛】
本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.
11．ABD
【分析】
首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.
【详解】
表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB正确，当不是单位向量时，不正确，
，所以D正确.
故选：ABD
解析：ABD
【分析】
首先理解a
a表示与向量
a同方向的单位向量，然后分别判断选项.
【详解】
a
a表示与向量a同方向的单位向量，所以1
a
a
=正确，//
a
a
a正确，所以AB正确，当
a不是单位向量时，a
a
a
=不正确，
cos0a
a a
a a a a
a a a
⋅==⨯=，所以D正确.故选：ABD
【点睛】
本题重点考查向量a
a的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解
a
a
表示与向量a同方向的单位向量.
12．AB
【分析】
根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A、C、D选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当时，则、方向相反且，则存在负实数
解析：AB
【分析】
根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A
选项正确，D 选项错误；
若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.
13．BD 【分析】
根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】
解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误； 与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故
解析：BD 【分析】
根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】
解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；
AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误； 等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确； 故选：BD . 【点睛】
本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.
14．AD 【分析】
利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出
结论. 【详解】
向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B
解析：AD 【分析】
利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】
向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B 正确； 若,a b b c ==，则a c =，故C 正确； 温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误. 故选：AD 【点睛】
本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.
15．ABCD 【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】 ; ; ; .
故选：ABCD 【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
解析：ABCD 【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】
0AB BC CA AC CA ++=+=;
()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=; ()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=; 0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.
故选：ABCD 【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
二、平面向量及其应用选择题
16．A 【分析】
由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB
=︒︒
，化简求得
AE =-． 【详解】
由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝
DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°
＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故
∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．
再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45
°=， △ABE 中，由正弦定理可得
sin30sin105AE AB
=︒︒
，
∴1
2
4
AE
=，∴
AE =）， 故选:A ． 【点睛】
本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题． 17．C 【分析】
AB
AB 和AC
AC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫
⎪+⋅= ⎪
⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由1
2
AB AC AB
AC
⋅
=
可求出A ∠，即得三角形形状。

【详解】
由题的，∵0AB AC BC AB AC ⎛⎫
⎪+⋅= ⎪⎝⎭
，∴A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形.又12AB AC AB
AC
⋅
=
，∴1cos 2A =，∴3
A π
=，故ABC 为等边三角形. 故选：C 【点睛】
本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档
难度的综合题。

18．A 【分析】 根据题意得出
tan tan tan A B C
a b c
==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ∆为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧
长. 【详解】
0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，a b
OC OA OB c c
∴=--，
同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c C
b B
c C ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，
tan tan tan A B C
a b c
∴
==， 由正弦定理得
tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111
cos cos cos A B C
==， cos cos cos A B C ∴==，
由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3
A B C π
===
， 设ABC ∆的外接圆半径为R
，则22
sin a
R A
=
==，1R ∴=， 所以，边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为222133
R A ππ⨯=⨯=. 故选：A. 【点睛】
本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 19．C 【分析】
化简条件可得sin 2
a B c ==
，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】
lg lg lg sin a c B -==-，
sin a B c ∴
==
0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
4
B π∴=
.
由正弦定理，得
sin sin 2
a A c C ==
，
3
sin cos sin 422C A C C C π⎫⎛⎫
∴==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
， 化简得cos 0C =.
()0,C π∈， 2
C π
∴=
， 则4
A B C π
π=--=
，
∴ABC 是等腰直角三角形. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题. 20．D 【分析】
先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】
因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ， 所以()sin 0B A -=，所以A B =， 又因为2B A C B π=+=-，所以3
B π
=，
所以3
A B π
==，所以ABC 是等边三角形.
故选：D. 【点睛】
本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 21．B 【分析】
在三角形ABC 中，根据1a =，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦
定理
sin sin b c
B C =求解. 【详解】
在三角形ABC 中， 1a =，42c =，45B =︒， 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，
2
132214225=+-⨯⨯⨯
=， 所以5b =， 由正弦定理得：
sin sin b c
B C
=， 所以
2
42sin 42sin 55
c B
C b
⨯
=
==， 故选：B 【点睛】
本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 22．B 【分析】
选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果. 【详解】
13BE AE AB AD AB =-=
-，1
()2
AD AB AC =+ ， 51
66
BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+，
56λ∴=-，1
6μ=，23
λμ∴+=-.
故选：B. 【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 23．A 【解析】
分析：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．
详解：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，
由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ∆∆∆=，所以:3:121:4BOC ABC S S ∆∆==， 故选A ．
点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 24．C
【分析】
根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】
因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ⋅=⋅≠，但a b ≠，故B 不正确；
,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形
ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且
||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ⋅>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正
确. 故选：C 【点睛】
本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积. 25．A 【分析】
由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值 【详解】
由题意，可得如下示意图
令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33
b CM CB =
= ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠
2221216()332333
a a
b ab ab ab
b =+-⨯≥-=，当且仅当3a b =时等号成立
∴有48ab ≤
∴113sin 48123222
ABC S ab C ∆=≤⨯⨯=故选：A 【点睛】
本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值 26．B 【分析】
根据向量运算可知三角形中中线与垂线重合，可知三角形为等腰三角形，即可确定三角形形状. 【详解】
因为AB AC BA BC →→→→
⋅=⋅，所以0AB AC BC →
→→
⎛⎫
⋅+= ⎪⎝⎭
，
即0AB CA CB →
→→⎛⎫
⋅+= ⎪⎝⎭
，
所以在ABC 中，AB 与AB 边上的中线垂直，则CA CB →→
=，
同理0BC AC AB →
→→⎛⎫
⋅+= ⎪⎝⎭
，AC AB →→
=，
所以AC AB CB →→→
==，ABC 是等边三角形． 故选：B 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积，向量垂直，考查了运算能力，属于中档题. 27．B 【分析】
首先利用三角函数的平方关系得到sin A ，然后根据平面向量的数量积公式得到所求． 【详解】
解：因为ABC 的面积为30，且12cos 13A =
，所以5
sin 13
A =，所以1
||||sin 302
AB AC A ⨯=，得到||||626AB AC ⨯=⨯， 所以12
|||||cos 62614413
AB AC AB AC A =⨯=⨯⨯=； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题． 28．C 【分析】
在ABC 中，根据5AB AC ==，6BC =，由余弦定理求得7
cos 25
A =，再由平方关系得到sin A ，然后由正弦定理2sin BC
R A
=
求解.
在ABC 中，5AB AC ==，6BC =， 由余弦定理得：2222225567cos 225525
AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，
所以24sin 25
A ==， 由正弦定理得：625224sin 425
BC R A ===， 所以258
R =， 此三角形的外接圆半径是
258
故选：C
【点睛】 本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 29．D
【分析】
由22
()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：1sin 2cos 22
bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可．
【详解】
解：22()S a b c +=+，
2222S b c a bc ∴=+-+， ∴1sin 2cos 22
bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=，
因为22sin cos 1A A +=． 解得15cos 17
A =-或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．
15cos 17
A ∴=-． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
30．A
根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解.
【详解】 因为1a =，3b =，a 与b 的夹角为60︒， 所以222
4424697a a b b a b =-⋅+=-+=-，则27a b -=.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
31．C
【分析】
先建立平面直角坐标系，求出B,E,F 坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果.
【详解】
如图所示，AB AF
2232,3cos 1133BE EC BE BC AF DF α=⇒==→→=⇒=⇒=．以A 为原点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则()()
230,3,3,1,,33B F E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，
因此()BF AE BF 233,2,3232643
→=-→→=⨯-⨯=-=-，故选C.
【点睛】
平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进
32．D
【分析】
由已知22:tan :tan a b A B =，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．
【详解】
∵22:tan :tan a b A B =， 由正弦定理可得，2
2sin sin tan sin cos sin sin sin tan sin cos cos A
A A A
B B B B B B A
B
===， ∵sin sin B 0A ≠， ∴sin cos sin cos A B B A
=， ∴sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =，∵()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈， ∴22A B =或22A B π+=，
∴A B =或2A B π+=
，即三角形为等腰或直角三角形， 故选D ．
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．
33．C
【分析】 由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简2A π
=或
sin 2sin B A =，即2b a =；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论．
【详解】
4c =，3C π∠=
，可得42sin sin 3
c R C π===，可得ABC ∆
外接圆半径R =④正确； ()sin sin 2sin2C B A A +-=，即为()()sin sin 2sin2A B B A A ++-=，
即有sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 4sin cos A B A B B A B A B A A A ++-==， 则cos 0A =，即2A π=
或sin 2sin B A =，即2b a =； 若2A π
=，3C π
=，6B π
=，可得2a b =，①可能成立；
由4c =可得833a =，433b =，则三角形的周长为443+
；面积为18323
bc =； 则②③成立； 若2b a =，由2222222cos 316c a b ab C a b ab a =+-=+-==，
可得433a =，833
b =， 则三角形的周长为443a b
c ++=+；面积为
11438383sin sin 223S ab C π==⋅⋅⋅=； 则②③成立①不成立；
综上可得②③④一定成立,故选C ．
【点睛】
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
34．D
【分析】
将已知向量关系变为：1
2333m OA OB OC +=，可得到3
m OC OD =且,,A B D 共线；由AOB ABC O S S D CD
∆∆=和,OC OD 反向共线，可构造关于m 的方程，求解得到结果. 【详解】
由2OA OB mOC +=得：1
2333
m OA OB OC += 设3m OC OD =，则1233
OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线 如下图所示：
OC 与OD 反向共线 3
OD
m m CD ∴=-
7
34AOB ABC OD m m C S S D ∆∆∴==-= 4m ⇒=- 本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.
35．C
【分析】
利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 22
22)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，从而可得答案．
【详解】
解：在ABC 中，(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=， a b ∴=，
ABC ∴为等腰三角形，
故选：C ．
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题．。