高考数学压轴专题最新备战高考《平面解析几何》真题汇编及答案

【最新】高中数学《平面解析几何》专题解析
一、选择题
1．倾斜角为45︒的直线与双曲线22
214x y b
-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x 轴
上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）
A ．2
B ．2
C 1
D 1
【答案】B 【解析】 【分析】
方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且
245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：1c =.方法二：等腰
2Rt QOF △中，可得2
2b QF a
=，且2b c a =.又根据222b a c =-，联立可解得1c =. 【详解】
方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒，
则122F F c =，2QF c =，1QF =.
由双曲线的定义可得：122QF QF a
-=，
41c c -==，，
故22c =.
方法二：等腰2Rt QOF △中，22b
QF a
=，
∴2b c a
=. 又222b a c =-， ∴2240c c --=，
得1c =.
∴22c =. 故选：B . 【点睛】
本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.
2．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，
2BC CD AD ===，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A
．
4
B
．
2
C
D
．【答案】B 【解析】 【分析】
不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果. 【详解】
不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>
，可设(1,),(2,C m B m ，
则123242(pm p p m =⎧⎪∴==⎨=+⎪⎩
B. 【点睛】
本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.
3．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y
轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且
5
3
OA a =，则||||FB FC =（ ） A ．
4
5
B ．
23
C ．
34
D ．
13
【答案】A 【解析】 【分析】
设出直线AB 的方程，联立直线AB 方程和渐近线方程，由此求得,A B 两点的坐标，以及
求得C 点的坐标，根据5
3
OA a =列方程，求得,,a b c 的关系，由此求得||||FB FC 的值.
【详解】
由于双曲线渐近线为b y x a =±
，不妨设直线AB 的斜率为a
b
-，故直线AB 的方程为()a y x c b =--.令0x =，得0,ac C b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由()a y x c b
b y x
a ⎧
=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,a ab B c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由()a y x c b
b y x
a ⎧
=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
解得22222,a c abc A a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，由53OA a =得
2
2
222222259a c abc a a b a b ⎛⎫-
⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭
⎝⎭，化简得()()2222
440a b a b --=，解得12b a =或2b a =.由于C 位于,A B 之间，故1
2b a =舍去，所以2b a
=，即2b a =.故
22222222||44||45
B C ab
y FB b b a c ac FC y c a b a a b
======++. 故选：A.
【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
4．已知双曲线22
21(0)2x y b b
-=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为
y x =，点0(3,)P y 在该双曲线上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r
=( )
A ．12-
B ．2-
C ．0
D ．4
C
由题知
，故
，
∴12(23,1)(23,1)34
10PF PF ⋅=--±⋅-±=-+=u u u r u u u u r ，故选择C ．
5．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若||23MN ≥．则k 的取值范围是（ ） A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
B ．30,4
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．3,0⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．2,03
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【答案】A 【解析】 【分析】
可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解 【详解】
如图所示，设弦MN 中点为D ，圆心C(3,2),330y kx kx y =+⇒-+=Q
∴弦心距2
2
2
(1)
1
CD k k =
=
+-+，又2||23||
33MN DN DN 厖?，
∴由勾股定理可得2
22222
231DN CN CD k ⎛⎫
=-=-+…，22223
1|31|
1(31)1(43)004
1
k k k k k k k k ⇒++++⇒+⇒-+剟剟
答案选A 【点睛】
圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。

处理过程中，直线需化成一般式
6．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是（ ）
A ．
125 B ．6
5
C ．2
D ．55
【答案】A
试题分析：根据抛物线的定义可知抛物线2
4y x =上的点P 到抛物线的焦点距离1PF d =,所以122d d MF d +=+,其最小值为()1,0F 到直线3490x y -+=的距离，由点到直线的距离公式可知()()
122min min
22
3912
5
34d d MF d ++=+=
=
+，故选A. 考点：抛物线定义的应用.
7．如图，设椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第
二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．
1
2
B ．
23
C ．
13
D ．
14
【答案】C 【解析】
如图，设AC 中点为M ，连接OM ，
则OM 为△ABC 的中位线， 于是△OFM ∽△AFB ，且
OF OM 1FA
AB
2
=
=
， 即
c c a -=12可得e=c a =13
． 故答案为
1
3
． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
8．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：
22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【解析】 【分析】
根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值. 【详解】
如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =
当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=-
Q 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C
415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.
9．已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（ ） A ．8 B ．11 C ．13 D ．16
【答案】C 【解析】 【分析】
设点A 、B 的坐标，利用线段AB 中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得12y y +的值，即可得结果； 【详解】
抛物线2
:6C x y =中p ＝3， 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3， 又线段AB 中点M 的横坐标为
12
2
y y +=5，
∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13； 故选：C . 【点睛】
本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．
10．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若
121
cos 4
F MF ∠=
,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( ) A
．y = B
．3
y x =±
C ．y x =±
D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】
Q 双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 1212
22MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:
∴ 1212
122
2
122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅
可得:2
2
2
1
(2)(4)(2)2424
c a a a a =+-⋅⋅⋅ 化简可得:2c a =
由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-= 可得
:b =
Q 双曲线渐近线方程为:b y x a
=±
则双曲线渐近线方程为
: y = 故选:A. 【点睛】
本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.
11．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别
为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为
A B
C ．
3
D ．
13
【答案】A 【解析】
以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为
222x y a +=，
直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
d a =
=，
整理可得223a b =，即(
)2
22
3,a a c
=-即2
223a
c =，
从而22
22
3
c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ===
， 故选A.
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于
,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
12．过点(11)M ， 的直线与椭圆22
143
x y += 交于A ，B 两点，且点M 平分AB ，则直
线AB 的方程为（ ） A ．3470x y +-= B ．3410x y -+=
C ．4370x y +-=
D ．4310x y --=
【答案】A 【解析】
设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的方程可得2222
1122
1,14343
x y x y +=+=，
两式相减可得
12121212()()()()
044
x x x x y y y y +-+-+=，
又12
121212
2,2,
y y x x y y k x x -+=+==-，
即为12123()3
4()4
x x k y y +=-
=-+，
则直线AB 的方程为：3
1(1)4
y x -=-
-，化为3470x y +-=，故选A ． 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，注意运用“点差法”的应用，考查了学生的推理与计算能力，试题比较基础，属于基础题，解答此类问题的关键在于把握弦的中点，恰当的选择“点差法”是解答的关键．
13．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则
POF V 的面积为
A
B
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
由抛物线的标准方程2
4y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1
||2
S y OF =可得. 【详解】
由2
4y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为1x =-,
如图:过点P 作准线1x =- 的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,
设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x = 代入2
4y x =
可得y =±,
所以△POF 的面积为1||2y OF ⋅
=1
12
⨯= 故选B .
【点睛】
本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.
14．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发
出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线
()2
2
27136
64
x y --=的左支上，若船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs （已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs ，1海里 1.852km =），则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）
A ．9011,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭
B ．135322,77⎛⎫
± ⎪ ⎪⎝⎭
C ．3217,3⎛⎫±
⎪⎝⎭
D
．(45,±
【答案】B 【解析】 【分析】
根据双曲线的定义求出点P 所在的双曲线的标准方程()22
11522564
x y x -=>，将方程与
()
2
227136
64
x y --=联立，求解即可. 【详解】
设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22
221x y x a a b
-=≥，
因为船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs ，
则船P 到B 台和到A 台的距离差为185.20.3
2301.852
a PB PA ⨯===-海里，
故15a =，又=17c ，故8b =，
故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()22
11522564
x y x -=>，
联立()()()22
22
27121366411522564x y x x y x ⎧--=<⎪
⎪⎨⎪-=>⎪⎩，
解得135,77P ⎛⎫
± ⎪ ⎪⎝⎭
，
故选：B . 【点睛】
本题考查了双曲线的定义、圆锥曲线在生活中的应用，考查了理解转化能力，属于中档题.
15．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H
，直线
2p y =-
与C 交于A ，B
两点，若||3
AH =，则||AF =（ ） A ．3 B ．8
3
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
注意到直线32p
y x =-
过点H ，利用
||||AM AH =tan 3,AHM ∠=43||AH =，可得||2AM =，再利用抛物线的定义即可得到答案.
【详解】
连接AF ，如图，过A 作准线的垂线，垂足为M ，易知点0,,0,22p p F H ⎛
⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
．易知直 线32p y x =
-
过点H ，tan 3,3AHM AHM π∠=∠=，则||3
,||AM AH =又43||3
AH =
， 所以||2AM =，由抛物线的定义可得||AF =||2AM =.
故选：C. 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到利用抛物线的定义求焦半径，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
16．已知双曲线222:41(0)x C y a a -=>3
2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-距离之和的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】
分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出2
3
4
a =
，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M 到直线2l 的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解．
详解：由双曲线方程2
2241(0)x y a a
-=>可得，
双曲线的右顶点为(,0)a ，渐近线方程为1
2y x a
=±，即20x ay ±=． ∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于
3， ∴
2
34
14a =
+，解得2
34a =，
∴双曲线的方程为2
24413
x y -=，
∴双曲线的焦点为(1,0)．
又抛物线2
:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合， ∴2p =，
∴抛物线的方程为2
4y x =，焦点坐标为(1,0)F ．如图，
设点M 到直线1l 的距离为||MA ，到直线2l 的距离为||MB ，则MB MF =， ∴MA MB MA MF +=+．
结合图形可得当,,A M F 三点共线时，MA MB MA MF +=+最小，且最小值为点F 到直线1l 的距离2
2
416243
d ⨯+==+．
故选B ．
点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形：
（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．
17．已知椭圆2
221(1)x y a a
+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆在第一象限上的
一个动点，圆C 与1F A 的延长线，12F F 的延长线以及线段2AF 都相切，且()3,0M 为其
中一个切点．则椭圆的离心率为（ ） A ．
3 B ．
22
C ．
2 D ．
6 【答案】B 【解析】 【分析】
设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等和椭圆的定义，解方程得出3a =，求出c ，进而可得离心率. 【详解】
设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等，得
AN AT =，
11F N F M =，22F T F M =，1(,0)F c -，2(,0)F c ，
由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，
()111223+22+F N F M c AF AN a AF AN a AN AT TF ==+==-+=+-
222(3)a F M a c =-=--，
则26a =，即3a =，
又1b =，所以2222c a b =-=， 因此椭圆的离心率为22
c e a ==
. 故选：B.
【点睛】
本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.
18．过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点F ，作渐近线b y x a =的垂线与双曲线左
右两支都相交，则双曲线离心率e 的取值范围为( ) A ．()1,2
B ．(2
C ．
)
2,+∞
D ．()2,+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
设过双曲线的右焦点F 与渐近线b
y x a
=
垂直的直线为AF ,根据垂线与双曲线左右两支都相交，得AF 的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率 ,由此建立关于,a b 的不等式，解之
可得22b a >，从而可得双曲线的离心率e 的取值范围 . 【详解】
过双曲线的右焦点F 作渐近线b
y x a
=
垂线，设垂足为A ， Q 直线为AF 与双曲线左右两支都相交，
∴直线AF 与渐近线b
y x a
=-
必定有交点B ， 因此，直线b
y x a
=-
的斜率要小于直线AF 的斜率， Q 渐近线b y x a =
的斜率为b a
， ∴直线AF 的斜率a k b =-，可得b a
a b
-<-，
即
2
2,b a b a a b
>>，可得222c a >， 两边都除以2a ，得22e >，解得2e >
双曲线离心率e 的取值范围为)
2,+∞，故选C.
【点睛】
本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.
19．若函数1()ln (0,0)a a f x x a b b b
+=-
->>的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝1相
切，则a ＋b 的最大值是( ) A ．4 B ．2
C ．2
D ．
【答案】D 【解析】
()1
ln (0,0)a a f x x a b b b
+=-->>，
所以()'a f x bx ＝－，则f ′(1)＝－a
b
为切线的斜率， 切点为(1，－
1a b
+)， 所以切线方程为y ＋1a b +＝－a
b
(x －1)， 整理得ax ＋by ＋1＝0.
因为切线与圆相切，所以
2
2
a b
+＝1，即a 2＋b 2＝1.
由基本不等式得a 2＋b 2＝1≥2ab ， 所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 所以a ＋b ≤，即a ＋b 的最大值为
.
故选D.
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点
00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切
线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．
20．已知曲线C 的方程为22
121x y m m
+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线
C 为双曲线的充要条件，q ：1
2
m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的
是（ ）
A ．()()p q ⌝∧⌝
B ．()p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．p q ∧
【答案】C 【解析】 【分析】
根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假． 【详解】
若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102
m << 若1
02
m <<
，则()210m m -<，所以命题p 为真命题 若曲线C 为椭圆，则1
2
m >且m≠1，所以命题q 为假命题 因而()p q ∧⌝为真命题 所以选C 【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．。