2018年四川省遂宁市高考数学一诊试卷(文科)

2018年四川省遂宁市高考数学一诊试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|﹣3＜x＜6}，B={x|2＜x＜7}，则A∩（∁R B）=（）
A．（2，6） B．（2，7） C．（﹣3，2]D．（﹣3，2）
2．（5分）已知复数z=a+i（a∈R），若z+=4，则复数z的共轭复数=（）
A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i
3．（5分）已知α满足cos2α=，则cos（+α）cos（﹣α）=（）
A．B．C．﹣D．﹣
4．（5分）已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：∃x∈R，e x＜lnx，则（）A．￢p∨q为真命题B．p∧￢q为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题5．（5分）向量=（2，﹣1），=（﹣1，2），则（2+）•=（）
A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．6
6．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
7．（5分）已知x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）=﹣lnx的两个零点，若a∈（x1，1），b∈（1，x2），则（）
A．f（a）＜0，f（b）＜0 B．f（a）＜0，f（b）＞0 C．f（a）＞0，f（b）＞0 D．f（a）＞0，f（b）＜0
8．（5分）执行如图所示的程序，若输入的x=3，则输出的所有x的值的和为（）
A．243 B．363 C．729 D．1092
9．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=2处有极值，则ab的最大值等于（）
A．72 B．144 C．60 D．98
10．（5分）在数列{a n}中，a2=8，a5=2，且2a n+1﹣a n+2=a n（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（）
A．210 B．10 C．50 D．90
11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，且焦点与椭
圆的焦点相同，离心率为，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N为MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于（）
A．B．1 C．2 D．4
12．（5分）已知函数f（x）=，且有f（x）≤a﹣2恒成立，则实数a的取值范围为（）
A．[0，2e2]B．[0，2e3]C．（0，2e2]D．（0，2e3]
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）曲线f（x）=x3﹣x+3在点P（1，f（1））处的切线方程为．
14．（5分）已知{a n}是等比数列，若=（a2，2），=（a3，3），且∥，则=．
15．（5分）甲、乙两人参加歌咏比赛的得分（均为两位数）如茎叶图所示，甲的平均数为b，乙的众数为a，且直线ax+by+8=0与以A（1，﹣1）为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，则圆C的标准方程为．
16．（5分）若两曲线y=x2﹣1与y=alnx﹣1存在公切线，则正实数a的取值范围是．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在各项均不相等的等差数列{a n}中，已知a4=5，且a3，a5，a8成等比数列
（1）求a n；
（2）设数列{a n}的前n项和为S n，记b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
18．（12分）已知函数，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c
（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的取值范围；
（2）若对任意的x∈R都有f（x）≤f（A），c=2b=4，点D是边BC的中点，求的值．19．（12分）2017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会（简称党的“十九大”）在北京召开．一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在[75，100]内，按成绩分成5组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、
丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习．
（1）求这100人的平均得分（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；
（3）若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．
20．（12分）已知点M（x，y）与定点F2（1，0）的距离和它到直线x=4的距离的比是常数（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）若点F1的坐标为（﹣1，0），过F2的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A，B，求△F1AB面积的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）的单调区间和极值点；
（2）当x≥1时，f（x）≤a（1﹣）恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求x+y的取值范围．23．已知函数f（x）=|1﹣x﹣a|+|2a﹣x|
（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；
水秀中华（2）若a≥，x∈R，判断f（x）与1的大小关系并证明．
2018年四川省遂宁市高考数学一诊试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|﹣3＜x＜6}，B={x|2＜x＜7}，则A∩（∁R B）=（）A．（2，6） B．（2，7） C．（﹣3，2]D．（﹣3，2）
【解答】解：∵B={x|2＜x＜7}，
∴∁R B）={x|x≤2或x≥7}，
∴A∩（∁R B）=（﹣3，2]，
故选：C．
2．（5分）已知复数z=a+i（a∈R），若z+=4，则复数z的共轭复数=（）
A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i
【解答】解：∵z=a+i，
∴z+=2a=4，得a=2．
∴复数z的共轭复数=2﹣i．
故选：B．
3．（5分）已知α满足cos2α=，则cos（+α）cos（﹣α）=（）
A．B．C．﹣D．﹣
【解答】解：∵α满足cos2α=，则cos（+α）cos（﹣α）=cos（+α）cos[﹣（+α）] =cos（+α）sin（+α）=sin（+2α）=cos2α=，
故选：A．
4．（5分）已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：∃x∈R，e x＜lnx，则（）A．￢p∨q为真命题B．p∧￢q为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题
【解答】解：命题p：“a＞b”⇔“2a＞2b”，是真命题．
q：令f（x）=e x﹣lnx，f′（x）=．x∈（0，1]时，f（x）＞0；x＞1时，f（x）单调递增，∴f（x）＞f（1）=e＞0．
∴不存在x∈R，e x＜lnx，是假命题．
∴只有p∨q为真命题．
故选：D．
5．（5分）向量=（2，﹣1），=（﹣1，2），则（2+）•=（）
A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．6
【解答】解：，；
∴．
故选：D．
6．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：
在坐标系中画出可行域△ABC，A（﹣6，﹣3），B（0，1），C（6，﹣3），
由图可知，当x=﹣6，y=﹣3时，则目标函数z=2x+y的最小，最小值为﹣15．
故选：A．
7．（5分）已知x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）=﹣lnx的两个零点，若a∈（x1，1），b∈（1，x2），则（）
A．f（a）＜0，f（b）＜0 B．f（a）＜0，f（b）＞0 C．f（a）＞0，f（b）＞0 D．f（a）＞0，f（b）＜0
【解答】解：令f（x）=0，则lnx=，
分别作出y=lnx和y=的图象，
可得0＜x1＜1，1＜x2，
由a∈（x1，1），b∈（1，x2），
可得lna＞，即f（a）=﹣lna＜0，
lnb＜，即f（b）=﹣lnb＞0，
故选：B．
8．（5分）执行如图所示的程序，若输入的x=3，则输出的所有x的值的和为（）
A．243 B．363 C．729 D．1092
【解答】解：模拟程序的运行可得：当x=3时，y是整数；
当x=32时，y是整数；
依此类推可知当x=3n（n∈N*）时，y是整数，
则由x=3n≥1000，得n≥7，
所以输出的所有x的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，
故选：D．
9．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=2处有极值，则ab的最大值等于（）
A．72 B．144 C．60 D．98
【解答】解：由题意，求导函数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，
∵在x=2处有极值，
2a+b=24，
∵a＞0，b＞0
∴2ab≤（）2=144，当且仅当2a=b时取等号
所以ab的最大值等于72，
故选：A．
10．（5分）在数列{a n}中，a2=8，a5=2，且2a n+1﹣a n+2=a n（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（）
A．210 B．10 C．50 D．90
【解答】解：∵2a n
+1﹣a n
+2
=a n（n∈N*），即2a n+1=a n+2+a n（n∈N*），
∴数列{a n}是等差数列，
设公差为d，则a1+d=8，a1+4d=2，
联立解得a1=10，d=﹣2，
∴a n=10﹣2（n﹣1）=12﹣2n．
令a n≥0，解得n≤6．
S n==11n﹣n2．
∴|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+a2+…+a6﹣a7﹣…﹣a10
=2S6﹣S10
=2（11×6﹣62）﹣（11×10﹣102）
=50．
故选：C．
11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，且焦点与椭
圆的焦点相同，离心率为，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N为MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于（）
A．B．1 C．2 D．4
【解答】解：椭圆的焦点
为（±，0），
可得双曲线的c=，
离心率为，可得a=5，
由双曲线左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，
N是MF2的中点，
连接MF1，
ON是△MF1F2的中位线，
可得ON∥MF1，
|ON|=|MF1|，
由双曲线的定义知，|MF2|﹣|MF1|=2×5，
∴|MF1|=8．
∴|ON|=4，
故选：D．
12．（5分）已知函数f（x）=，且有f（x）≤a﹣2恒成立，则实数a的取
值范围为（）
A．[0，2e2]B．[0，2e3]C．（0，2e2]D．（0，2e3]
【解答】解：当x＞0时，f（x）=alnx﹣x2﹣2，
若a＜0时，f（x）在（0，+∞）为减函数，此时函数无最大值，即不满足题意，
当a=0时，f（x）≤a﹣2，即为﹣x2﹣2≤a﹣2，即x2≥0恒成立，满足题意，
当a＞0时，f（x）=alnx﹣x2﹣2，f′（x）=﹣2x=，
令f′（x）=0，解得x=，或x=﹣舍去，
当f′（x）＞0，解得0＜x＜，此时函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0，解得x＞，此时函数f（x）单调递减，
∴f（x）max=f（）=aln﹣﹣2=ln﹣﹣2，
∴ln﹣﹣2≤a﹣2，
即0＜a≤2e3，
x＜0时，f（x）=x++a，此时函数f（x）在（﹣∞，﹣1）为减函数，在（0，1）为增函数，∴f（x）max=f（﹣1）=﹣2+a≤a﹣2恒成立，
综上所述a的取值范围为[0，2e3]，
故选：B
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）曲线f（x）=x3﹣x+3在点P（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y+1=0．
【解答】解：根据题意，对于f（x）=x3﹣x+3，其导数f′（x）=3x2﹣1，
当x=1时，f′（1）=3﹣1=2，即切线的斜率k=2，
f（1）=1﹣1+3=3，即切点P的坐标为（1，3），
则曲线在点P处的切线方程为y﹣3=2（x﹣1），
变形可得2x﹣y+1=0；
故答案为：2x﹣y+1=0．
14．（5分）已知{a n}是等比数列，若=（a2，2），=（a3，3），且∥，则=．【解答】解：=（a2，2），=（a3，3），且∥，
∴3a2﹣2a3=0，
∴=；
又{a n}是等比数列，∴q=；
∴===．
故答案为：．
15．（5分）甲、乙两人参加歌咏比赛的得分（均为两位数）如茎叶图所示，甲的平均数为b，
乙的众数为a，且直线ax+by+8=0与以A（1，﹣1）为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，则圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=．
【解答】解：由题意知，甲的平均数b为：=20，
乙的众数a是：40，
∴直线ax+by+8=0，即10x+5y+2=0，
A（1，﹣1）到直线的距离为=，
∵直线ax+by+8=0与以A（1，﹣1）为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，
∴r=，
∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=，
故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2=．
16．（5分）若两曲线y=x2﹣1与y=alnx﹣1存在公切线，则正实数a的取值范围是（0，2e] ．【解答】解：两曲线y=x2﹣1与y=alnx﹣1存在公切线，
y=x2﹣1的导数y′=2x，y=alnx﹣1的导数为y′=，
设y=x2﹣1相切的切点为（n，n2﹣1）与曲线y=alnx﹣1相切的切点为（m，alnm﹣1），
y﹣（n2﹣1）=2n（x﹣n），即y=2nx﹣n2﹣1，
y﹣（alnm﹣1）=（x﹣m），即：y=
∴
∴，
∵a＞0，
∴
即有解即可，
令g（x）=x2（1﹣lnx），
y′=2x（1﹣lnx）+=x（1﹣2lnx）=0，可得x=，
∴g（x）在（0，）是增函数；（，+∞）是减函数，g（x）的最大值为：g（）=，又g（0）=0，
∴0，∴0＜a≤2e．
故答案为：（0，2e]．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在各项均不相等的等差数列{a n}中，已知a4=5，且a3，a5，a8成等比数列
（1）求a n；
（2）设数列{a n}的前n项和为S n，记b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）∵{a n}为等差数列，设公差为d，
由题意得，
解得d=1或d=0（舍），a1=2，
∴a n=2+（n﹣1）×1=n+1．
（2）由（1）知S n=，
∴b n==﹣，
∴=
故Tn=．
18．（12分）已知函数，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c
（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的取值范围；
（2）若对任意的x∈R都有f（x）≤f（A），c=2b=4，点D是边BC的中点，求的值．【解答】解：（1）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，
sin（2x﹣）∈[﹣，1]，
所以函数的取值范围是[0，3]；
（2）由对任意的x∈R，都有f（x）≤f（A），得
2A﹣=2kπ+，k∈Z，解得A=kπ+，k∈Z，
又∵A∈（0，π）∴，
∵
=（c2+b2+2bccosA）=（c2+b2+bc）=×（16+4+8）=7，
所以．
19．（12分）2017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会（简称党的“十九大”）在北京召开．一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在[75，100]内，按成绩分成5组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习．
（1）求这100人的平均得分（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；
（3）若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）这100人的平均得分为：
×
=71.5．…（3分）
（2）第3组的人数为0.06×5×100=30，
第4组的人数为0.04×5×100=20，
第5组的人数为0.02×5×100=10，故共有60人，
∴用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2，1．…（7分）
（3）记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，
则所有选取的结果为（甲、乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（甲、戊）、（甲、己）、
（乙、丙）、（乙、丁）、（乙、戊）、（乙、己）、（丙、丁）、（丙、戊）、（丙、己）、
（丁、戊）、（丁、己）、（戊、己）共15种情况，…（9分）
其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况，
故甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率为．…（12分）
20．（12分）已知点M（x，y）与定点F2（1，0）的距离和它到直线x=4的距离的比是常数（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）若点F1的坐标为（﹣1，0），过F2的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A，B，求△F1AB面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意可有=，
化简可得点M的轨迹方程为+=1．
其轨迹是焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴△F1AB面积S=|F1F2|•|y1﹣y2|，
由题意知，直线l的方程为x=my+1，
由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，
则y1+y2=，y1y2=，
又因直线l与椭圆C交于不同的两点，故△＞0，
即（6m）2+36（3m2+4）＞0，
则S=|y1﹣y2|==
令，
令，
上是单调递增函数，
即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，
因此有，
，
故当t=1，即m=0，三角形的面积最大，最大值为3．
21．（12分）已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）的单调区间和极值点；
（2）当x≥1时，f（x）≤a（1﹣）恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）=，求导得f′（x）=，
令f'（x）=0，解得x=e，…（2分）
又函数的定义域为（0，+∞），当x∈（0，e）时，f'（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，
所以函数f（x）在（0，e）单调递增；在（e，+∞）单调递减，
有极大值点x=e；无极小值点．…（4分）
（2）由f（x）≤a（1﹣）恒成立，得≤a（1﹣），（x≥1）恒成立，
即xlnx≤a（x2﹣1）（x≥1）恒成立．令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1）
g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（）=lnx+1﹣2ax，则F′（x）=，…（5分）
①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）递增，g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，
故有g（x）≥g（1）=0不符合题意．…（7分）
②若，∴，
从而在上，g′（x）＞g′（1）=1﹣2a＞0，同（1），不合题意…（9分）
③若a≥，F′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，
∴g′（x）在[1，+∞）递减，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，
从而g（x）在[1，+∞）递减，故g（x）≤g（1）=0 …（11分）
综上所述，a的取值范围是[，+∞）．…（12分）
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求x+y的取值范围．【解答】（本小题满分10分）
解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣），
∴，
又∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，…（5分）
∴，
∴圆C的普通方程为=0．
（2）设z=，
圆C的方程=0．即（x+1）2+（y﹣）2=4，
∴圆C的圆心是C（﹣1，），半径r=2，
将直线l的参数方程为（t为参数）代入z=，得z=﹣t，
又∵直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，
∴﹣2≤t≤2，∴﹣2≤﹣t≤2，即的取值范围是[﹣2，2]．…（10分）
23．已知函数f（x）=|1﹣x﹣a|+|2a﹣x|
（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；
（2）若a≥，x∈R，判断f（x）与1的大小关系并证明．
【解答】解：（1）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3，
①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得：a＞﹣，所以﹣＜a≤0；
②当0＜a＜时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以0＜a＜；
③当a≥时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得：a＜，
所以≤a＜；
综上所述，实数a的取值范围是（﹣，）．…（5分）
（2）f（x）≥1，因为a≥，
所以f（x）=|1﹣x﹣a|+|2a﹣x|≥|（1﹣x﹣a）﹣（2a﹣x）|=|1﹣3a|=3a﹣1≥1…（10分）。