计数原理与排列组合复习

计数原理
1.分类计数原理与分步计数原理
(1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2 +…+m n种不同的方法
注意：○1分类计数原理又称为加法原理；
○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容；
○3解决“分类”问题，用分类计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B，可以单独完成；
○4每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重).
(2)分步计数原理: 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.
注意：○1分步计数原理又称为乘法原理；
○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤；
○3解决“分步”问题，用分步计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性；
○4每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤之间的方法是无关的，不能相互替代.
2.分类计数原理和分步计数原理的区别
辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事。

类型一分类计数原理
例1：王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？
[解析]从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类，第一英：从左边口袋取一张英语单词卡片，有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片，有20种不同的取法，上述任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片的事件，应用分类计数原理，所以从口袋里任取一张英语单词卡片有30+20=50种不同取法.
练习1：用10元、5元和1元来支付20元钱的书款,不同的支付方法有()种
A.3
B.5
C.9
D.12
[答案]Ｃ
[解析]只用一种币值有2张10元,4张5元,20张1元,共3种;用两种币值的有1张10元,2张5元;1张10元,10张1元;3张5元,5张1元;2张5元,10张1元;1张5元,15张1元,共5种;用三种币值的有1张10元,1张5元,5张1元,共1种.由分类计数原理得,共有3+5+1=9种.
练习2：把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有（）
A.4种
B.5种
C.6种
D.7种
[答案]A
[解析]按每堆苹果的数目可分为4类,即1,4,5;2,3,5;3,3,4;2,4,4,且每类中只有一种分法.
类型二分步计数原理
例2：要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？
[解析]从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班这两个步骤完成.先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数原理，所求的不同的选法数是：N=3×2=6.
练习1：有四名同学同时参加了学校的100 m, 800 m, 1 500 m三项跑步比赛,则获得冠军(无并列名次)的可能性有()
A.43种
B.34种
C.12种
D.24种
[答案]Ａ
[解析]第一步,100 m冠军有4种可能;第二步,800 m冠军也有4种可能;第三步,1 500 m冠军有4种可能,根据分步计数原理,共有4×4×4=43种可能.
练习2：将5封信投入3个邮筒中,不同的投法有()种
A.53
B.35
C.15
D.5
[答案]Ｂ
[解析]第1封信有3种投法,第2封信也有3种投法……第5封信同样有3种投法,完成5封信投入3个邮筒这件事,按分步计数原理共有3×3×3×3×3=35种方法.
类型三分类计数原理与分步计数原理的区别
例3：设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，问：
(1)从中取一幅画布直房间，有多少种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有多少种不同的选法？
[解析](1)分三类：第一类从国画中选一幅，共5种；第二类从油画中选一幅，共有2种；第三类从水彩画中，选一幅，共有7种，由分类加法计数原理，共有5+2+7=14种不同的选法.
(2)分三步：第一步从国画中选一幅共5种；第二步从油面中选一幅共有2种；第三步从水彩画中选一幅共：7种，由分步乘法计数原理，共有5×2×7=70种不同的选法.
练习1：已知集合若从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,
则在直角坐标系的第一、第二象限不同点的个数为()
A.18
B.16
C.14
D.10
[答案]Ｃ
[解析]取法可分为两类.
(1)以集合M中的元素为横坐标,N中的元素为纵坐标,从集合M中取一个元素的方法有3种,要使点在第一、第二象限内,则从N集合中只能取5,6两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理有3×2=6个点.
(2)以集合N中的元素为横坐标,M中的元素为纵坐标,从集合N中任取一个元素的方法有4种,要使点在第一、第二象限内,则从M中只能取1,3两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理有4×2=8个点,综上,利用分类计数原理,共有6+8=14个点.
类型四两个原理的综合应用
例4：有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同英的书，共有________种不同的取法.
[答案]242
[解析]任取两本不同类的书，有三类：一、取数学、语文各一本，
二、取语文、英语各一本，
三、取数学、英语各一本.然后求出每类取法，利用分类加法计数原理即可得解.
取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9=90种不同取法；
取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8 = 72种不同取法；
取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8=80种不同取法.
综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90+72+80=242种不同取法.
练习1：有不同的中文书9本,不同的英文书6本,不同的法文书5本,从其中取出不是同一国文字的书2本,则不同的取法有()种.
A.40
B.56
C.124
D.129
[答案]Ｄ
[解析]取出的书为中文、英文的有9×6=54种;取出的书为中文、法文的有9×5=45种;取出的书为英文、法文的有6×5=30种.共有54+45+30=129种．
1.从A地到B地每天有直达班车4班，从A地到C地，每天有5个班车，从C地到B地，每天有3个班车，则从A地到B地，每天共有()种不同乘车方法.
A.12
B.60
C.19
D.17
[答案]C
[解析]从A地到B地共分两类方法，第一类：直达班车4班；第二类，转车从A到C再到B，共有5×3=15种乘车方法，根据分类加法计数原理，共有4+15=19种不同的乘车方法.
2.将6个苹果投入4个袋子里，不同的投法共有()
A.64种
B.46种
C.4种
D.24种
[答案]B
[解析]每个苹果有4种不同的投法，所以共有46种不同的投法
３.从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是()
A.100个
B.90个
C.81个
D.72个
[答案]C
[解析]要使得点不在x轴上，则纵坐标不能为0，故纵坐标上的数字只能有9种选择，纵坐标选好后，横坐标不能与之相同，故也有9种情况，故共可确定9×9=81个符合题意的点.
４.书架上原来并排放者5本不同的书，现在要插入3本不同的书，那么不同的插法有()
A.336种
B.120种
C.24种
D.18种
[答案]A
[解析]我们可以一本一本的插入，先插第一本，可在原来的5本书形成的6个空中插入，共有6种插入的方法；然后再插第二本，这时书架上有6本书形成7个空，有7种插入方法；再插最后一本，有8种插法，所以共有6×7×8=336种不同的插法.
５.某校会议室有四个进入门，若从一个门进，另一个门出，不同的走法有________种.
[答案]12
[解析]根据分步计数原理，共有4×3=12种不同的走法.
６.由三个数码组成的号码锁，每个号码可取0，1，2……９中任意一个数字，不同的开锁号码设计共有________个.
[答案]1000
[解析]由每个号码可取0到9中任意一个数字，有10种取法，根据分步计数原理，共有10×10×10=1000个不同的开锁号码.
基础巩固
1.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有)
A.4种
B.5种
C.6种
D.7种
[答案]Ａ
2.一个包内有7本不同的故事书,另一个包内有5本不同的教科书,从两个包内任取一本的取法有()
A.7种
B.5种
C.12种
D.35种
[答案]Ｃ
[解析](1)从有7本不同故事书的包内任取一本书的取法有7种;(2)从有5本不同教科书的包内任取一本书的取法有5种.综上,共有12种取法．
3.从甲地到乙地每天有火车10班,汽车15班,飞机3班,轮船2班,一天内乘不同班次的运输工具由甲地到乙地,不同的走法有()
A.10种
B.20种
C.30种
D.40种
[答案]Ｃ
[解析]由于每班火车、汽车、飞机、轮船都能完成从甲地到乙地这件事,因此这是一个分类问题,应采用分类计数原理,有10+15+3+2=30种,即一天内乘不同班次的运输工具由甲地到乙地共有30种不同的走法.
4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法数为()
A.42
B.30
C.20
D.12
[答案]Ａ
[解析]原定的5个节目共有6个空位,将其中1个新节目插入有6种插法,然后6个节目形成7个空位,将另一新节目插入,由分步计数原理共有7×6=42种方法．
5.4名学生报名参加地理探宝、人与自然、航模课外兴趣小组,每人选报一种,则不同报名种数有()
A.34
B.43
C.12
D.4
[答案]Ａ
7.有不同的中文书9本,不同的英文书6本,不同的法文书5本,从其中取出不是同一国文字的书2本,则不同的取法有()种.
A.40
B.56
C.124
D.129
[答案]Ｄ
[解析]取出的书为中文、英文的有9×6=54种;取出的书为中文、法文的有9×5=45种;取出的书为英文、法文的有6×5=30种.共有54+45+30=129种.
8.用1,2,…,9九个数字,可组成的四位数共有______个,可组成的七位数共有______个.
[答案]组成四位数:个位数有9种选法,十位数有9种选法,百位数也有9种选法,千位数同样有9种选法,根据分步计数原理,四位数共有9×9×9×9=94个.同理,七位数共有97个.故第一个空填94,第二个空填97.
能力提升
1.(有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()
A．60种B．70种C．75种D．150种
[答案]Ｃ
2.卷航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ) A．12种B．16种C．24种D．36种
[答案]Ｄ
3.满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()
A．14B．13C．12D．9
[答案]Ｂ
4.用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()
A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5
B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5
C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)
D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)
[答案]Ａ
5.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()
A．9B．14C．15D．21
【答案】B
6.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10
中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个
号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要()
A．3360元B．6720元C．4320元D．8640元
[答案]Ｄ
7.集合A、B的并集A B ={a，b，c}，当A≠B时(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A、B)对的个数有多少？
[答案]因为A B={a，b，c}，所以对于元素a而言，有但但
三种情况，同样b和c也有三种情况，由分步乘法计数原理可知，这样的集合对的个数共有3×3×3=27个.
8.已知在区间(400,800]上,问:(1)有多少个能被5整除且数字允许重复的整数?(2)有多少个能被5整除且数字不重复的整数？
[答案](1)分三步:第一步,排个位有2种方法;第二步,排百位有4种方法;第三步,排十位有10种方法,又考虑到800符合题意,故共有2×4×10+1=81个能被5整除,且数字允许重复的整数.
(2)分两类:第一类,当个位数字为0时,百位数字是4,5,6,7中的一个,十位是其余8个数字中的一个,此类共有4×8=32个;第二类,当个位数字是5时,百位是4,6,7中的一个,十位是其余8个中的一个,此类共有3×8=24个.故共有32+24=56个能被5整除且数字不允许重复的整数.
排列组合
1.排列与组合的概念:
(1)排列:一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.
○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.
○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.
○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.
○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.
○6如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列.
(2)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.
注意：○1如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关.
○2当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，就是不同的组合.
○3组合与排列问题的共同点，都要“从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素”；不同点：前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”.
○4根据定义区分排列问题、组合问题.
2.排列数与组合数：
(1)排列数的定义:一般地，我们把从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m
n A 表示.
(2)组合数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.
3.排列数公式与组合数公式：
(1)排列数公式：
(1)(2)(1),m n A n n n n m =--⋅⋅⋅-+其中m ，n *∈N ，且m ≤n . (2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示.
○
1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列. ○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.n n
A n = ○3由此排列数公式(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+
(1)(2)(1)()21()21
n n n n m n m n m ⋅-⋅-⋅⋅-+⋅-⋅
⋅⋅=-⋅⋅⋅!.()!n n m =- 所以!.()!
m n n A n m =- (3)组合数公式:!.!()!
m n n C m n m =- (4)组合数的两个性质:
性质1：.m n m n n
C C -= 性质2：11.m m
m n n n C C C -+=+
类型一.排列的定义
例1：判断下列问题是不是排列，为什么？
(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.
(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.
[解析] (1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关.
(2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关.
练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？
(1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.
(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的
椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程22
22 1.x y a b
-= [解析] (1)是排列问题，一个为幂底数，一个为幂指数，两个数字一旦交换顺序，产生的结果不同，即与顺序有关.
(2)第一问不是第二问是.若方程22
221x y a b
+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线22221x y a b -=中，不管a >b 还是a <b ，方程22
221x y a b
-=均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故这是排列.
类型二.组合的定义
例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)设集合A ={a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？
(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
[解析] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.
(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.
练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？
(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？
[解析] (1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题.
(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题. 类型三.排列数与组合数
例3：计算下列各式.
(1)57;A (2)212;A
(3)77.A [解析] [答案] (1)57A =7×6×5×4×3=2520；
(2)213A =13×12=156；
(3)77A =7×6×5×4×3×2×1=5040.
练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( )
A.2m A
B.21m A
C.2020m A +
D.21
20m A + [答案] D
[解析] 排列的顺序为由小到大，故n =m +20，而项数是21故可表示为2120.m A +
例4：计算98100C
[答案] 98100982100100100100994950.21
C C C -⨯====⨯
练习2：计算972959898982C C C ++
[答案] 原式1231223298989898989898992()()C C C C C C C C =++=+++=3399100161700.C C +==
类型四.排列问题
例５：3个女生和5个男生排成一排.
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
[解析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634320A A ⋅=种不同的排法.
(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把3个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有5
5A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有
36A 种不同排法，因此共有535614400A A ⋅=种不同的排法. 练习1：3个女生和5个男生排成一排.
(1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
(2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
[解析] (1)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有2656A A ⋅=14400种不同的排法.
(2)3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中减去两端都是女生的排法2636A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636000A A A -⋅=种不同的排法.
类型五.组合问题
例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？
[解析] 本题实质上可以看作把2件相同的礼品分到8个小组去，共有1288C C +36=种方案. 练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？
[解析] 共分三步完成，第一步满足甲任务，有210C 种选法，第二步满足乙任务有1
8C 种选法，
第三步满足丙任务，有17C 种选法，故共有21110872520C C C =种不同选法.
类型六.排列与组合综合问题
例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？
[答案] 362880
[解析] 从10名男运动员中选3名有310C 种，从9名女运动员中选3名有39C 种；选出的6名运动员去配对，这里不妨设选出的男运动员为A ，B ，C ；先让A 选择女运动员，有3种不同选法；B 选择女运动员的方法有2种；C 只有1种选法了，共有选法3×2×1=6种；最后这3对男女混合选手的出场顺序为33A ，根据分步计数原理，共有33310936362880C C A ⨯⨯=种不同参赛方法.
练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )
A.36个
B.24个
C.18个
D.6个
[答案] Ａ
[解析] 由各位数字之和为偶数，可知所求三位数由2个奇数和1个偶数组成，由乘法原理，各位数字之和为偶数的数共有21332336C C A ⋅⋅=个．
1.89×90×91×…×100可表示为( )
A.10100A
B.11100A
C.12100A
D.13100A [答案] C
2.已知123934,n n A A --=则n 等于( )
A.5
B.6
C.7
D.8
[答案] C
３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( )
A.36
B.120
C.720
D.140
[答案] C
４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( )
A.720种
B.360种
C.240种
D.120种
[答案] C
５.若266,x C C =则x 的值是( )
A.2
B.4
C.4或2
D.0 [答案] C
６.1171010
r r C C +-+可能的值的个数为( ) A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个 [答案] B
7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( )
A.222574C C C ++
B.222574C C C
C.222574A A A ++
D.216C [答案] A
8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有( )
A.90种
B.180种
C.270种
D.540种
[答案] D
基础巩固
1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( )
A.10人
B.8人
C.6人
D.12人
[答案] Ａ
2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( )
A.1334A A
B.2343C A
C.3242C A
D.132442C C C [答案] Ｂ
3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( )
A.3538A A
B.5354A A
C.5355A A
D.53
56A A [答案] Ｃ
4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片.
[答案] 56
5.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种.
[答案] 86400
6.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.
[答案] 300
7.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的分配方案.
[答案] 126
8.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.
[答案] 140
能力提升
1.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）
A.144个
B.120个
C.96个
D.72个 [答案] B
2.方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A.60条
B.62条
C.71条
D.80条 [答案] B
3.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A ．144
B ．120
C ．72
D ．24
[答案] D
4.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )
A.56个
B.57个
C.58个
D.60个
[答案] Ｃ
5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)
【答案】 ９６
6.把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有__________种.
[答案] ３６
7.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．
[答案] 120
8.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0？其中有实根的方程有多少个？
[答案] 先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定a ，只能从1，3，5，7中选一个，有14A 种，然后从余下的4个数中任选两个作b 、c ，有24A 种.所以由分步计数原理，共组成一元二次方程：124448A A ⋅=个.方程更有实根，必须满足240.b ac -≥ 分类讨论如下：当c =0时，a ，b 可在1，3，5，7中任取两个排列，有2
4A 个；当c ≠0时，分析判别式知b 只能取5，7.当b 取5时，a ，c 只能取1，3这两个数，有22A 个；当b 取7时a ，c 可取1，3或1，5这两组数，有222A 个，此时共有22222A A +个.由分类计数原理知，有实根的一元二次方。