2019-2020学年山东省新泰市第一中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)

山东省新泰市第一中学2019-2020学年
高一下学期期中考试试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将『答案』正确填写在答题卡上
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则1
2z z 的虚部为（ ）
A ．1-
B ．1
C ．i
D ．i -
2．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．
3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB AC D ．13
44
+AB AC 3．某校共有学生3 000名,各年级男、女生人数如表所示,已知高一、高二年级共有男生1 120人,现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生,则应在高三年级抽取的学生人数为( ) 高一年级 高二年级 高三年级 女生 456 424 y 男生 644
x
z A ．16
B ．18
C ．20
D ．24
4．已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( ) A ．0.4
B ．0.6
C ．0.8
D ．1
5．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问
米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛
6．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1120BAD BAA ∠=∠=︒，160DAA ∠=︒，则1AC =（ ）
A ．1
B ．2
C D
7．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为
11A C 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为
7
10
时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ）
A ．
5
B C D 8．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x 上，线段AB 为圆C 的
直径，则PA PB ⋅的最小值为（ ） A ．2
B ．
52
C ．3
D ．
72
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．已知直线10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）
A ．直线l 的倾斜角是
6
π
B ．若直线:10,m x -+=则l m ⊥
C ．点到直线l 的距离是2
D ．过2)与直线l 40y --=
10．在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的
频率分布直方图，其中分组的区间为)[4050，
，)[5060，，)[6070，，)[7080，，)[8090，，[90]100，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说
法中正确的是（ ）
A ．成绩在)[7080，
的考生人数最多 B ．不及格的考生人数为1000 C ．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D ．考生竞赛成绩的中位数为75分
11．如图,在棱长均相等的四棱锥P ABCD -中, O 为底面正方形的中心, M ,N 分别为侧
棱PA ,PB 的中点,有下列结论正确的有：( )
A ．PD ∥平面OMN
B ．平面PCD ∥平面OMN
C ．直线P
D 与直线MN 所成角的大小为90 D ．ON PB ⊥ 12．设点M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A ．若11
22
AM AB AC =
+，则点M 是边BC 的中点
B ．2AM AB A
C =-若，则点M 在边BC 的延长线上 C ．若AM BM CM =--，则点M 是ABC 的重心
D ．若AM x AB y AC =+，且12x y +=，则MBC △的面积是的ABC 面积的12
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，在ABC 中，BAC 120∠=，
AB AC 2==，D 为BC 边上的点，且AD BC 0⋅=，CE 2EB =，则AD AE ⋅=______．
15．在空间直角坐标系中，点(0,0,1)P 为平面ABC 外一点，其中11
0()23,)0(A B ，，，，，若平面ABC 的一个法向量为(1,),1m ，则点P 到平面ABC 的距离为
16．已知空间四边形ABCD 中，2AB BD AD ===，1BC =，CD =若平面ABD ⊥平面BCD ，则该几何体的外接球表面积为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17．（本小题10分）已知直线310mx y m +--=恒过定点A .
（1）若直线l 经过点A 且与直线250x y +-=垂直，求直线l 的方程； （2）若直线l 经过点A 且坐标原点到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程.
18．（本小题12分）如图，在OAB ∆中，已知P 为线段AB 上的一点，OP x OA y OB =⋅+⋅.
（1）若BP PA =，求x ，y 的值；
（2）若3BP PA =，4OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60︒时，求OP AB ⋅的值.
19．（本小题12分）如图，在△ABC 中，A （5，–2），B （7，4），且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．
（1） 求点C 的坐标；（2）求△ABC 的面积．
-中，平面SBC⊥平面ABC，
20．（本小题12分）如图，在三棱锥S ABC
BC=，若O为BC的中点.
SB SC AB AC
====2
（1）证明：SO⊥平面ABC；
（2）求异面直线AB和SC所成角；
（3）设线段SO上有一点M，当AM与平面SAB所成角的正弦值为
时，求OM的长.
15
21．（本小题12分）某校两个班级100名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区如下表：
（1）求频率表分布直方图中a的值；
（2）根据频率表分布直方图，估计这100名学生这次考试成绩的平均分；
（3）现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.
22．（本小题12分）如图所示的几何体中，BE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，AB AF，点M，N分别在棱FD，ED上.
==
2
（1）若//BF 平面MAC ，设FM
FD
λ=，求λ的值； （2）若1
,
2
EN AB AD ND ⊥=，平面AEN 平面EDC 所成的锐二面角为60︒，求BE 的长.
——★ 参 考 答 案 ★——
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将『答案』正确填写在答题卡上
二、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则1
2z z 的虚部为（ A ）
A ．1-
B ．1
C ．i
D ．i -
解：11211,
1,z i
z i i z i
-=-==--虚部为-1，故选A. 2．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ A ） A ．
3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB AC D ．13
44
+AB AC 解：根据向量的运算法则，可得
()
111111
222424BE BA BD BA BC BA BA AC =
+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以31
44EB AB AC =-，故选A. 3．某校共有学生3 000名,各年级男、女生人数如表所示,已知高一、高二年级共有男生1 120人,现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生,则应在高三年级抽取的学生人数为( C )
高一年级 高二年级 高三年级 女生 456 424 y 男生
644
x
z
A ．16
B ．18
C ．20
D ．24
解：根据题意得,高一、高二学生总数是1120+(456+424)=2000,∴高三学生总数是3000-2000=1000.用分层抽样法在高三年级抽取的学生数为
1?000
3?000
×60=20.故选C . 4．已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( B ) A ．0.4
B ．0.6
C ．0.8
D ．1
解：5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，
(),c d ，(),c e ，(),d e ，恰有一件次品，有6种，分别是(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，设事件A =“恰有一件次品”，则()6
0.610
P A =
=，故选B ． 5．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ B ）
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛
解：试题分析：设圆锥底面半径为r ，则
1
2384r ⨯⨯=，所以163
r =，所以米堆的体积为21116
3()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209
÷1.62≈22，故选B. 6．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1120BAD BAA ∠=∠=︒，160DAA ∠=︒，则1AC =（D ）
A ．1
B ．2 C
D
解：
11AC AB AD AA =++，
2
2
2
1111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA ∴=+++⋅+⋅+⋅
1111112112112112222⎛⎫⎛⎫
=+++⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,1AC ∴=故选：D
7．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为
11A C 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为
7
10
时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ B ） A
B
C
D
解：设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立
空间直角坐标系，则31,,(0,0,0),,22A E t B F t ⎫⎫
⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，
(AE =-
，12，)t ，3(BF =12，)
t ，AE ∵和BF 所成角的余弦值为710， 2221
||
||72|cos ,|10
|
|||11t AE BF AE BF AE BF t -∴<>===+， 解得2t =．∴(AE =
-
，12，2)
，平面11BCC B 的法向量(1,0,0)n =， AE ∴与平面11BCC B 所成角α
的正弦值为：3
||2sin ||||5
AE n AE n α===．
故选：B ．
8．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x 上，线段AB 为圆C 的
直径，则PA PB ⋅的最小值为（B ） A ．2
B ．
52
C ．3
D ．
72
()()()()
PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2
222||||||22
PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．已知直线10l y -+=，则下列结论正确的是（ CD ） A ．直线l 的倾斜角是
6
π
B ．若直线:10,m x -+=则l m ⊥
C ．点到直线l 的距离是2
D ．过2)与直线l 40y --=
解：对于A ．直线10l y -+=的斜率k ＝tanθ=l 的倾斜角是3
π
，故A 错误；
对于B ．因为直线10m x -+=：的斜率k ′=kk ′＝1≠﹣1，故直线l 与直线m 不垂直，故B 错误；
对于C
．点)到直线l的距离d
==2，故
C正确；
对于D．过()
与直线l平行的直线方程是y﹣2
=x﹣
，整理得：40
y
--=，故D正确．综上所述，正确的选项为CD．故选：CD．
10．在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为)
[4050
，，)
[5060
，，)
[6070
，，)
[7080
，，)
[8090
，，[90]
100
，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ABC）
A．成绩在)
[7080
，的考生人数最多B．不及格的考生人数为1000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D．考生竞赛成绩的中位数为75分
解：由频率分布直方图可得，成绩在[7080
，）的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；成绩在[4060
，）的频率为0.01100.015100.25
⨯+⨯=，因此，不及格的人数为
40000.251000
⨯=，故B正确；
考生竞赛成绩的平均分约为
450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C正确；
因为成绩在[4070
，）的频率为0.45，在[7080
，）的频率为0.3，
所以中位数为
0.05
701071.67
0.3
+⨯≈，故D错误.故选：ABC.
11．如图,在棱长均相等的四棱锥P ABCD
-中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧
棱PA,PB的中点,有下列结论正确的有：( ABD )
A ．PD ∥平面OMN
B ．平面PCD ∥平面OMN
C ．直线P
D 与直线MN 所成角的大小为90 D ．ON PB ⊥
解：选项A,连接BD ，显然O 为BD 的中点，又N 为PB 的中点，所以PD ∥ON,由线面平行的判定定理可得，PD ∥平面OMN ；选项B, 由M ,N 分别为侧棱PA ,PB 的中点,得MN ∥AB,又底面为正方形，所以MN ∥CD ，由线面平行的判定定理可得，CD ∥平面OMN,又选项A 得PD ∥平面OMN ，由面面平行的判定定理可得，平面PCD ∥平面OMN ；选项C,因为MN ∥CD ，所以∠ PDC 为直线PD 与直线MN 所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC=60，故直线PD 与直线MN 所成角的大小为60；选项D ，因底面为正方形，所以222AB AD BD +=,又所有棱长都相等，所以222PB PD BD +=,故PB PD ⊥,又PD ∥ON ，所以ON PB ⊥，故ABD 均正确.
12．设点M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ACD ） A ．若11
22
AM AB AC =
+，则点M 是边BC 的中点 B ．2AM AB AC =-若，则点M 在边BC 的延长线上 C ．若AM BM CM =--，则点M 是ABC 的重心
D ．若AM x AB y AC =+，且12x y +=，则MBC △的面积是的ABC 面积的12
解：
A 中：1122AM A
B A
C =+,111111
222222
AM AB AC AM AB AC AM ⇒=+⇒-=-即：
BM MC =,则点M 是边BC 的中点
B. 2AM AB AC =-,AM AB AB AC BM CB ⇒-=-∴=则点M 在边CB 的延长线上，所以B 错误.
C.
设BC 中点D,则AM BM CM =--,2AM BM CM MB MC MD =--=+=，由重心性质可知C 成立.
D ．AM x AB y AC =+且12
x y +=222,221AM xAB y AC x y ⇒=++=设2AD AM =，所以22,221AD xAB y AC x y =++=，可知,,B C D 三点共线，所以
MBC △的面积是ABC 面积的
1
2
，故选择ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，在ABC 中，BAC 120∠=，
AB AC 2==，D 为BC 边上的点，且AD BC 0⋅=，CE 2EB =，则AD AE ⋅=_1_____．
解：∵0AD BC ⋅=
∴AD BC ⊥，且D 为BC 的中点，30B C ∠=∠=︒
∴在直角三角形ADB 中可求得1AD =，0AD DE ⋅=
∵2()()AD AE AD AD DE AD AD DE ⋅=⋅+=+⋅∴1AD AE ⋅=，故『答案』为1.
15．在空间直角坐标系中，点(0,0,1)P 为平面ABC 外一点，其中11
0()23,)0(A B ，，，，，若平面ABC 的一个法向量为(1,),1m ，则点P 到平面ABC
的距离为6 解:在空间直角坐标系中，11
0()23,)0(A B ，，，，， 所以()1,1,3AB =-，而平面ABC 的一个法向量为(1,,1)n m =， 所以0AB n ⋅=，即130m -++=，解得2m =-， 所以(1,2,1)n =-，点(0,0,1)P ，则()1,1,1AP =--， 则由点到平面距离公式可得36AP n d n
⋅=
=
=，故『答案』为：
3
. 16．已知空间四边形ABCD 中，2AB BD AD ===，1BC =，CD =若平面ABD ⊥平面BCD ，则该几何体的外接球表面积为__163
π
________． 解:
如图：由于ABD △是等边三角形，所以到A,B,D 三点距离相等的点在重心O 且垂直是平面ABD 的直线上，又因为Rt BCD ，所以到B,C,D 三点距离相等的点在过BD 中点E 且与平面BCD 垂直的直线上，两直线的交点是O,所以球心为O.半径
，163S π=．填16π3．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17．（本小题10分）已知直线310mx y m +--=恒过定点A .
（1）若直线l 经过点A 且与直线250x y +-=垂直，求直线l 的方程； （2）若直线l 经过点A 且坐标原点到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程. 解:直线310mx y m +--=可化为()310m x y -+-=，
由30
10x y -=⎧⎨
-=⎩
可得31x y =⎧⎨=⎩，所以点A 的坐标为()3,1.
（1）设直线l 的方程为20x y n -+=，
将点A ()3,1代入方程可得1n =-，所以直线l 的方程为210x y --=, （2）①当直线l 斜率不存在时，因为直线过点A ，所以直线方程为3x =， 符合原点到直线l 的距离等于3.
②当直线l 斜率不存在时，设直线l 方程为31y kx k =-+，即310kx y k --+=
因为原点到直线的距离为3，所以
2
313k ，解得4
3
k =-
所以直线l 的方程为43150x y +-=
综上所以直线l 的方程为3x =或43150x y +-=.
18．（本小题12分）如图，在OAB ∆中，已知P 为线段AB 上的一点，OP x
OA y OB =⋅+⋅.
（1）若BP PA =，求x ，y 的值；
（2）若3BP PA =，4OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60︒时，求OP AB ⋅的值. 解:(1)∵BP PA =,∴BO OP PO OA +=+,即2OP OB OA =+, ∴11OP OA OB 22=
+,即x=12,y=12
. (2)∵BP =3PA ,∴BO OP +=3PO +3OA ,即4OP OB =+3OA , ∴31OP OA OB 44=
+.∴x=34,y=14
. 31OP?AB OA OB 44⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
·(OB OA -)
=
131OB?OB OA?OA OA?OB 442-+=14×22-34×42+12×4×2×1
2
=-9. 19．（本小题12分）如图，在△ABC 中，A （5，–2），B （7，4），且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．
（1）求点C 的坐标；（2）求△ABC 的面积． 解:（1）由题意，设点(),C x y ，
根据AC 边的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，
根据中点公式，可得5
02
402
x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得54x y =-⎧⎨
=-⎩，所以点C 的坐标是()5,4-
-．
（2）因为()5,2A -，()7,4B
得AB ==42
375
AB k +=
=-， 所以直线AB 的方程为23(5)y x +=-，即3170x y --=，
故点C 到直线AB 的距离
d =
=
，
所以ABC ∆的面积1128
22S AB d =
⋅=⨯=． 20．（本小题12分）如图，在三棱锥S ABC -中，平面SBC ⊥平面ABC ，
SB SC AB AC ====2BC =，若O 为BC 的中点.
（1）证明：SO ⊥平面ABC ； （2）求异面直线AB 和SC 所成角；
（3）设线段SO 上有一点M ，当AM 与平面SAB 求OM 的长. 解:（1）∵SB SC =，BO OC =，∴SO BC ⊥， ∵平面SBC ⊥平面ABC ， 平面SBC
平面ABC BC =，SO ⊂平面SBC ，∴SO ⊥平面SBC .
（2）∵SB SC AB AC ====2BC =，
∴BS CS ⊥，BA CA ⊥，
如图，分别以OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴的非负半轴，建立空间直角坐标系, ∵()0,1,0A ，()1,0,0B ，()0,0,1S ，()1,0,0C -， ∴()1,1,0AB =-，()1,0,1SC =--，
∵1
cos ,22AB SC AB SC AB SC
⋅=
=
=⋅， ∴异面直线AB 和SC 所成角为
3
π.
（3）设(),,m a b c =为平面SBA 的法向量， ∵()1,1,0AB =-，()1,0,1SB =-，
∴00a b a c -=⎧⎨-=⎩
，即()1,1,1m =，设()0,0,M t ，[]()0,1t ∈，
∴()0,1,AM t =-，
设AM 与平面SAB 所成角为θ，
∵
sin cos ,m AM m AM m AM
θ⋅==
⋅，∴
15=，
()22661521t t t +=-+，231030t t -+=，()()3310t t --=，
3t =（舍）
，13t =，∴OM 的长为1
3
. 21．（本小题12分）某校两个班级100名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区如下表：
（1）求频率表分布直方图中a的值；
（2）根据频率表分布直方图，估计这100名学生这次考试成绩的平均分；
（3）现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.
解：（1）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．
（2）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5
（3）由直方图，得：
第3组人数为0.3×100=30，第4组人数为0.2×100=20人，
第5组人数为0.1×100=10人．
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为：第3组：30
63
60
⨯=人，第4组：
20
62
60
⨯=人，第5组：
10
61
60
⨯==1人．所
以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），
其中恰有1人的分数不低于9（0分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为51153=. 22．（本小题12分）如图所示的几何体中，BE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，2==AB AF ，点M ，N 分别在棱FD ，ED 上.
（1）若//BF 平面MAC ，设
FM FD λ=，求λ的值； （2）若1,2
EN AB AD ND ⊥=，平面AEN 平面EDC 所成的锐二面角为60︒，求BE 的长. 解:（1）解：连接AC ，BD ，设AC BD P =，
因为四边形ABCD 为菱形，所以P 为AC 与BD 的中点，
连接MP ，因为BF ∥平面MAC ，且平面BFD ⋂平面MAC MP =，
所以BF ∥MP ，因为P 为BD 的中点，所以M 为FD 的中点， 即12
FM FD λ==； （2）AB AD ⊥，又四边形ABCD 为菱形，
则四边形ABCD 为正方形，
AB BC ∴⊥，又因为BE ⊥平面ABCD ，可如图建立空间直角坐标系，
则(2,0,0)C ，(2,2,0)D ，(0,2,0)A ，
设BE a =，则)(0,0,E a ， 因为12
EN ND =，所以13EN ED =，
所以2)3a N ，设平面AEN 的法向量为()1111,,n x y z =， 又()()0,2,,2,2,a E E a A D =-=-，
由 11
00n AE n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111120220y az x y az -+=⎧⎨+-=⎩，取()10,,2n a =， 设平面ECD 的法向量为()2222,,n x y z =， 又()()0,2,0,2,2,DC ED a =-=-
由22
00n DC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得222220220y x y az -=⎧⎨+-=⎩，取()2,0,2n a =， 因为平面AEN 与平面EDC 所成的锐二面角为60， 所以112
21c os602
n n n n
a ⋅===， 解得2a =，即BE 的长为2.。