数学期望ExDxPPT学习教案

b
x
1
dx a b
a ba
2
e x x 0 f (x)
0 x0
证：E( X )
xf ( x)dx
e xdx
1
。
0
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3.随机变量的函数的数学期望
定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)，
(1) X是离散型随机变量，它的分布律为P{X=xk}=pk ， k=1，2，…，
(2)E(X)作为刻划X的某种特性的数值 ，不应 与各项 的排列 次序有 关。所 以，定 义中要 求级数 绝对收 敛。
E( X ) xk pk k 1
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例1: 设有某种产品投放市场，每件产品投放可能发生三 种情况：按定价销售出去，打折销售出去，销售不出 去而回收。根据市场分析，这三种情况发生的概率分 别为0.6，0.3，0.1。在这三种情况下每件产品的利 润分别为10元，0元，－15元（即亏损15元）。问厂 家对每件产品可期望获利多少？
度为f(θ( x>)0)1 e x/ x 0
0 x 0
若将这5个 电子装 置串联 工作组 成整机 ，求整 机 寿命N的 数学期 望；
解: Xk(k= 1，2， 3，4， 5)的分 布函数 为
1 e x / x 0 F(x)
0 x0
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(1) 由第三章知N=min(X1,X2,X3,X4,X5)的 分布函 数为
二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)则有
E(Z) E[g(X ,Y )]
g( x, y) f (x, y)dxdy
这里设上式右边 的积分 绝对收 敛，又 若(X，Y )
为离散型 随机变 量。其 分布律 为 P{X=xi,Y=yj}=pij , i,j=1,2,….
则有
E(Z ) E( g( X ,Y ))
(柯西 分布)。
11 f (x) 1 x2
因为
| x|
f ( x)dx 2
0
1
x 1 x2
dv
1
ln(1
x2)
|0
所以E(X) 不存在 。
发散。
ห้องสมุดไป่ตู้
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三、数学期望的性质 数学期望具有以下几条重要性质(设以下所遇到的 随机变量的期望是存在的)：
(1) C为常数,则有E(C)=C； (2) 设X是一个随机变量，C常数，则有E(CX)=CE(X)； (3) 设X，Y是两个随机变量，则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y)
B.在计算一些分布较复杂甚至难以确定的随机变量的期 望时，如能将X表示成有限个简单随机变量之和，那 么利用期望的性质计算就可大大简化我们的问题。
这也是计算期望的一个技巧。
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C.上述定理还可以推广到二个或二个以上随机变量的函 数情况。例如，设Z是随机变量X，Y的函数Z=g(X， Y)(g是连续函数)，那么，Z也是一个随机变量，若
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例14 解
即
P{ X i 0} (9 / 10)20 , P{ X i 1} 1 (9 / 10)20 , i 1,2,,10.
pkqnk
n
np
k 1
k
n 1! 1!(n
k )!
p k1q nk
n
np
C p q k 1 k 1 nk n1
np( p q)n1
np
.
k 1
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iii.若XP(λ)，则E(X)=λ。 证明：X的分布律为 P{ X k} ke
k!
k 0,1,2,.....
E( X ) k k e k e
现在来求 E( X ). 按题意, 任一旅客不在第 i 站
下车的概率为9 / 10, 因此 20 位旅客都不在第i 站下车的概率为 (9 / 10)20 , 在第 i 站有人下车的
概率为1 (9 / 10)20 , 即
P{ X i 0} (9 / 10)20 , P{ X i 1} 1 (9 / 10)20 , i 1,2,,10.
解 根据随机变量函数数学期望的计算公式, 有
E(
X
)
2
,
E
(sin
X
)
2
,
E( X 2 )
x2 f ( x)dx
0
x2
1
dx
2
3
,
E[ X
E( X )]2
E
X
2
2
0
x
2
2
1
dx
2.
12
完
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例1: 有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命
Xk(k=1，2，3，4，5)服从同一指数分布，其概率密
(5) 若X≥ 0,则E( X)≥0. 由此性质 可推得 下面性 质: 若X≥Y ,则E(X )≥E(Y )；|E( X)|≤E (|X|).
E( X1 X2 Xn ) E( X1)E( X2 )E( Xn ) X1, X2 ,, Xn 相互独立。
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证：只对连续型随机变量证明(3)和(4)。
这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情 况: E(X1 X2 Xn) E(X1) E(X2) E(Xn)
E[ X - E( X )] ？
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(4) 设X，Y是相互独立的随机变量，则 有:E(XY)=E(X)E(Y)
这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变 量之积的情况
解: 设X表 示一件 产品的 利润（ 单位元 ），X 是随机 变量， 且X的分 布律为
X 10 0
-15
P 0.6 0.3 0.1
依题意， 所要求 的是X的 数学期 望 E(X)=10 ×0.6+0 ×0.3+ (-15) ×0.1=4 .5(元)
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(2)几种典型的离散型随机变量的数学期望
E( X ) E(Y )
E( XY ) ( xy) fX ( x) fY ( y)dxdy
xfX ( x)dx
yfY
(
y)dy
E( X )
E(Y
)
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例 一民航送客车载有 20 位旅客自机场开出, 旅客有 10 个车站可以下车. 如到达一个车站没 有旅客下车就不停车, 以 X 表示停车的次数, 求 E( X ) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).
设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，其边缘概
率密度为fX(x)，fY(y)。因为
E(X Y )
( x y) f ( x, y)dxdy
xf ( x, y)dxdy
yf ( x, y)dxdy
(3)得证。 又若X和Y相互独立，此时f(x,y)=fX(x) fY(y), 故有
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(1) 几个常见连续型随机变量的数学期望 i.若XU(a,b),则E(X)=(a+b)/2. 证：X的概率密度为
ii. 若XN(µ,σ2)，则E(X)=μ。 iii.若X服从指数分布
，则E(X)=1/。
f
(
x)
b
1
a
x (a,b)
0 x (a, b)
E(X )
xf ( x)dx
X 8 3 91 10 6 9.3 ; 10
Y 8 2 9 5 10 3 9.1 10
结果：甲平均击 中的环 数9.3, 乙平均 击中的 环 数9.1,甲 水平较 高。
根据概率的统计定义作分析：击中 次数Ni与N的比 值，是 这 N次试验中 射中环 数的频 率，按 概率的 统计定 义，当 N很大 时, Ni/N接近于射中环数的概率。
若
gxk pk
绝对收敛，则有
k 1
E(Y ) E( g( X )) gxk pk
k 1
(2) X是连续型随机变量，它的概率密度为f( x)，若 绝对收敛 ，则有
E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx
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注释
A.在计算随机变量的函数Y=g(X)的期望时，我们可以先 确定Y=g(X)的分布进而计算函数Y的期望E(Y)。但由 前两章的讨论可以看出，确定Y=g(X)的分布并不容 易。因此在计算随机变量函数的期望时，我们一般 利用定理的结论去计算。定理的重要意义在于当我 们求E(Y)时，不必知道Y的分布而只需知道X的分布 就可以了。
g( xi , y j ) pij
j1 i1
这里设上 式右边 的级数 绝对收 敛。
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例 设随机变量 X 在[0, ] 上服从均匀分布, 求
E( X ), E(sin X ), E( X 2 ) 及 E[ X E( X )]2 .
解 根据随机变量函数数学期望的计算公式, 有
E( X )
k0
k! k1 k 1 !
e
k 1
e e
k1 k 1 !
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2． 连续型随机变 量的数 学期望
(1)定义 设连 续型随 机变量 X的概 率密度 为f(x) ，
若积分
绝对 收敛， 则称此 积分的 值为随
机变量X 的数学 期望， 记为E( X)。即
xf (x)dx
E(X ) xf (x)dx
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例1．若X N(µ,σ2)，求E(X)。
解：X的概率密度为：
f (x)
1
x 2
e 2 2
2
E( X ) xf ( x)dx x
1
e
x 2
2 2
dx
2
令 x t，
E(X) 1
t2
t e 2 dt
t2
e 2 dt .
2
2
特别地，若XN(0,1)，则E(X)=0。
例如
(1)随机变量X的取值为
易验证
满足分 布律的 两个条 件，但
xk
(1)k
2k k
k 1,2,
pk
1 2k
k 1,2,
pk
1 2k
k 1,2,
| x | p | (1) 2 | 1 | (1) | k k 2 k k1
k k 1
k k
k k 1
k
发散。所以E( X) 不存在。
(2)随机变量X的 概率密 度为
i. X服从参数为p的(0,1)分布：
X0
1
P 1-p p
E(X)=0×(1-p)+1×p=p；
ii. 若XB(n,p),则E(X)=np；
证明：X的分布律为
P{ X
k
}
C
k n
pk q nk
k 0,1,2,...., n.
E( X )
n
k
C
k n
k0
pkqnk
n
k
k0
n! k !(n k)!
解 根据随机变量函数数学期望的计算公式, 有
E( X )
2
,
E(sin X )
2
,
E( X 2 )
x
2
f
(
x)dx
0
x2
1
dx
2
3
,
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例 设随机变量 X 在[0, ] 上服从均匀分布, 求
E( X ), E(sin X ), E( X 2 ) 及 E[ X E( X )]2 .
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1. 离散型随机变量的数学期望
(1)定义 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk ， k=1,2,…,若级数 xk pk 绝对收敛，则称此级数的和 k 1
为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即
注释 (1)X的期望E(X) 是一个 数，它 形式上 是X的 可能值 的加权 平均， 其权重 是其相 应的概 率，实 质上它 体现了X 取值的 真正平 均，为 此我们 又称它 为X的 均值。 因为它 完全由X 的分布 所决定 ，所以 又称 为分布 的平均 值。
数学期望ExDx
会计学
1
一、数学期望
问题：随机变量的均值应如何定义？
例如，甲、乙两射手，各射击十次，X,Y分别表示他们射中
的环数，如表：
X甲
8
9
10
击中次数 3
P
0.3
1
6
0.1
0.6
Y乙 8
9
10
击中次数 2
P
0.2
5
3
0.5
0.3
评价这两 射手的 水平？
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解：现求在这十次射击中，平均击中的环数：
Fmin ( x)
1 [1
F( x)]5
1 e5 x/ 0
x
x 0
0
因而N的概 率密度 为
fmin
(
x)
5
e5
x /
x0
0 x 0
于是N的数 学期望 为
E(N )
xfmin ( x)dx
x 5 e 5 x / dx
0
5
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注 对任意的随机变量，其数学期望不一定存在。
xf ( x)dx
0
x
1
dx
2
,
E(sin X )
sin xf ( x)dx
sin x 1 dx
0
1
(
cos
x
)
|0
2
,
E( X 2 )
x
2
f
(
x)dx
0
x2
1
dx
2
3
,
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例 设随机变量 X 在[0, ] 上服从均匀分布, 求
E( X ), E(sin X ), E( X 2 ) 及 E[ X E( X )]2 .
解 引入随机变量
Xi
0, 1,
易知
在第 i 站没有人下车 , i 1,2,,10. 在第 i 站有人下车 X X1 X2 X10 .
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例14
解 引入随机变量
0, X i 1,
在第 i 站没有人下车 , i 1,2,,10. 在第 i 站有人下车
易知
X X1 X2 X10 .