河南省安阳市高一下学期数学阶段性测试(三)
河南省安阳市林州市第一中学高一下学期3月检测数学试题(含答案)
河南省安阳市林州市第一中学2023-2024学年高一下学期3月检测一数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合18018045,Z ,90,Z 24k k M x x k P x x k ⎧⎫⎧⎫⋅⋅==±∈==±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则M ，P 之间的关系为（ ）A ．M=P B ．M P ⊆C ．M P⊇D ．M P ⋂=∅2．三个数ln 3ln 2a =-，12b =，1tan 2c =的大小顺序是（ ）A ．a b c<<B ．c a b<<C ．a c b<<D ．b c a<<3．在ABC 中，“cos 0A >”是“ABC 为锐角三角形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数2cos ()e e x xx xf x --=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB 长为2，则莱洛三角形的面积是（ ）A．2πB．πC．2π-D．2π6．已知函数π()2sin(213f x x =+-的图象在区间[]a b ，上与x 轴有2024个交点，则b a-的最小值是（ ）A ．3034π3B ．3035π3C ．1011πD ．1012π7．在ABC 中，给出下列四个式子：①()sin sin A B C ++；②()cos cos A B C ++；③()sin 22sin 2A B C ++；④()cos 22cos 2A B C ++.其中为常数的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④8．已知函数()()ππsin 22f x x ωϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在3π7π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，3π8x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数π8y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，则7π24f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A．BC ．12-D ．12二、多选题9．钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（ ）A ．小赵同学说：“经过了5 h ，时针转了5π6-．”B ．小钱同学说：“经过了40 min ，分针转了7π6-．”C ．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12:35时，时针与分针所夹的钝角为67π72．”D ．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22次．”10．下列命题中正确的是（ ）A ．若t an 0α<且sin 0α>，则α为第二象限角B ．3π5πcos cos 022αα⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若sin sin αβ=，则2πk αβ=+（k ∈Z ）D ．若角α的终边在第一象限，则sincos tan 222sincostan222αααααα+-的取值集合为{}3,1-11．已知函数()()πcos 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有3个对称中心，则下列正确的是（ ）A ．ω的值可能是3B ．()f x 的最小正周期可能是2π3C ．()f x 在区间π0,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 图象的对称轴可能是3π8x =12．已知函数()()tan (0,0π)f x A x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（ ）A ．π6A ωϕ⋅⋅=B ．()f x 的图象过点11π6⎛ ⎝C ．函数()y f x =的图象关于直线5π3x =对称D ．若函数()()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则实数λ的取值范围是[]1,1-三、填空题13．若函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，函数2()2()3()1g x f x f x a =--+在区间π5π,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有零点，则实数a 的取值范围为 .14．若tan 3α=，则2cos(π)3sin(π)4cos()sin(2π)αααα--+=-+- .15．已知sin αcos α＝18，且π<α<54π，则cos α－sin α的值为 ．16．已知函数()2ππ2tan 1,,22f x x x θθ⎛⎫=+-∈- ⎪⎝⎭，若函数()f x 在⎡-⎣上单调递减，则θ的取值范围为.四、解答题17．已知α为第三象限角，且()()()()3sin cos 2tan 2cot sin f ππαπααααπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=+．(1)化简()f α并求()1860f -︒；(2)若31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值．18．已知3tan 4α=-．(1)求2sin 2cos sin 2sin cos sin 3cos ααααααα+++-的值；(2)若(0,π)α∈，且角β的终边与角α关于x 轴对称，求3πsin(π)2sin 2π2cos cos(5π)2ββββ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的值．19．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()y f x =在π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；(2)若函数()y f x =在区间π,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有5个零点，求实数a 的取值范围.20．已知函数π()2cos()3x x f ω=-（0ω>）的最小正周期为π．(1)求函数()f x 在区间ππ[,]64-上的最大值和最小值；(2)若函数5()()4g x f x =-在区间π(0,)2上恰有2个零点12,x x ，求12cos()x x -的值．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O 距离水面的高度为52米.以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t 秒后盛水筒P 到水面的距离为h 米（规定：若盛水筒P 在水面下，则h 为负数）.(1)写出h （单位：米）关于t （单位：秒）的函数解析式()sin()h t A t B ωϕ=++（其中0A >，0ω>，π2ϕ<）；(2)若盛水筒P 在1t ，2t 时刻距离水面的高度相等，求12t t +的最小值.22．已知函数()()sin (0,0π)f x wx w ϕϕ=+><<，相邻两条对称轴的距离为π2．(1)若()f x 为偶函数，设()π12g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求()g x 的单调递增区间；(2)若()f x 过点π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()2cos 2sin h x x a x =+，若对任意的12πππ,,0,222x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，都有()()123h x f x <+，求实数a 的取值范围．参考答案：1．B【分析】化简集合，根据集合的关系即得.【详解】因为(){}180|45,Z |2145,Z 2k M x x k x x k k ⎧⎫⋅==±∈==±⋅∈⎨⎬⎩⎭，(){}180|90,Z |245,Z 4k P x x k x x k k ⎧⎫⋅==±∈==±⋅∈⎨⎬⎩⎭，所以M P ⊆.故选：B.2．A 【分析】首先利用三角函数的几何意义判断,b c ，再利用对数函数的性质判断,a b ，即可判断选项.【详解】如图，角12的终边与单位圆交于点P ，单位圆与x 轴正半轴交于点A ，过点A 作单位圆的切线，与OP 的延长线交于点T ，则1tan2AT =， 12AP =，1122OAT S OA AT AT =⨯⨯= ， 1122OAP S OA AP AP =⨯⨯=扇形，OAT OAP S S > 扇形，所以 AT AP >，即11tan22>，则b c <又31ln22a b =<==，所以a b c <<故选：A 3．B 【分析】在ABC 中，找出cos 0A >的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】因为0πA <<，则cos 0A A >⇔为锐角，所以，“cos 0A >”⇒“ABC 为锐角三角形”，“cos 0A >”⇐“ABC 为锐角三角形”，所以，“cos 0A >”是“ABC 为锐角三角形”必要不充分条件.故选：B.4．A 【分析】由题意得函数()f x 为奇函数，排除C ，由零点存在定理可知函数()f x 的图象与x 轴有交点，结合排除法、检验法即可得解.【详解】因为()2cos e e x x x xf x --=-的定义域为{}0x x ≠，又()()2cos e e x x x x f x f x ---==--，可知函数()f x 为奇函数，故排除C 选项；当π2x =时，有22πcos 04x x -=>，e e 0x x -->，此时()0f x >，当π6x =时，有22πcos 036x x -=<，e e 0x x -->，此时()0f x <，所以函数()f x 的图象与x 轴有交点，故排除B ，D 选项.而A 选项满足上述条件.故选：A.5．C【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.【详解】由已知得2π3AB BC AC ===，则2AB BC AC ===，故扇形的面积为2π3，由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，∴所求面积为22π3222π3⨯-=-故选：C.6．A 【分析】求出方程()0f x =的根，再找到b a -取最小值时的零点,求得结果即可.【详解】由π()2sin(2103=+-=f x x 得π1sin(2)32x +=，解得ππ22π36+=+x k 或π5π22π,36x k k +=+∈Z ，所以ππ12x k =-+或ππ,4x k k =+∈Z ，令1π12=-x ,2π4x =,3π11ππ1212=-+=x ,4π5ππ=44=+x ,⋅⋅⋅,2023π1011π12=-+x ,2024π1011π4=+x ,当2023π1011π12==-+b x ,1π12==-a x 时，b a -取最小值，最小值为20241ππ103034π311π412⎛⎫-=+--= ⎪⎝⎭x x .故选：A.7．B 【分析】由诱导公式结合πA B C ++=对选项一一化简即可得出答案.【详解】①因为在ABC 中，πA B C ++=，所以()()sin sin sin πsin sin sin 2sin A B C C C C C C ++=-+=+=；②因为在ABC 中，πA B C ++=，()()cos cos cos πcos cos cos 0A B C C C C C ++=-+=-+=；③()()()sin 22sin 2sin 2sin 2sin 2πsin 2A B C A B C C C⎡⎤⎡⎤++=++=-+⎣⎦⎣⎦()sin 2π2sin 2sin 2sin 20C C C C =-+=-+=；④()()()cos 22cos 2cos 2cos 2cos 2πcos 2A B C A B C C C⎡⎤⎡⎤++=++=-+⎣⎦⎣⎦()cos 2π2cos 2cos 2cos 22cos 2C C C C C =-+=+=.故选：B.8．B 【分析】首先由函数的单调性转化函数周期的范围，即可求ω的范围，再结合函数的对称性列式，确定ω，再分别代入函数的解析数，由对称性求ϕ，并验证函数的单调性后，即可求解.【详解】因为函数()f x 在3π7π,88⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，所以7π3π17π3π12π882882T ω-≤⇒-≤⋅，得2ω≤，因为3π8x =是函数()f x 的一条对称轴，所以3ππ2π,Z 82k k ωϕ⋅+=+∈，①因为函数ππsin 88y f x x ωωϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，所以ππ,Z 8m m ωϕ+=∈，②，由①-②可得，()422k m ω=-+，而2ω≤，所以2ω=±当2ω=时，2ππ,Z 8m m ϕ+=∈，得ππ4m ϕ=-，m ∈Z ，因为ππ22ϕ-<<，所以π4ϕ=-，即()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当3π7π,88x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ3π2,422x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，显然此时函数单调递减，符合题意，所以7π7πππsin 2sin 242443f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2ω=-时，2ππ,Z 8m m ϕ-+=∈，得ππ+4m ϕ=，m ∈Z ，因为ππ22ϕ-<<，所以π4ϕ=，即()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当3π7π,88x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()π2π,2π4x +∈，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，所以7π24f ⎛⎫=⎪⎝⎭故选：B 9．ACD【分析】根据任意角的概念一一计算即可；【详解】解：经过了5 h ，时针转过的角度对应的弧度数为2π5π5126-⨯=-，故A 正确．经过了40 min ，分针转过的角度对应的弧度数为2π4π8123-⨯=-，故B 错误．时钟显示的时刻为12:35，该时刻的时针与分针所夹的钝角为2π72π67π512121272⨯+⨯=，故C正确．分针比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了t min ，第n 次和时针重合，则2π2π2π601260t t n ⋅-⋅=⨯，得()1101440720n t t =≤≤，故max 11144022720n =⨯=，故D 正确．故选：ACD 10．ABD【分析】根据三角函数值符号判断象限角得出A 选项，根据诱导公式求解B 选项，特殊值法确定C 选项，根据角的终边再确定半角范围确定函数值符号解决D 选项.【详解】若tan 0α<，则α为第二或四象限角，又sin 0α>，则α为第一或二象限角或终边为y 轴非负半轴，则α为第二象限角，故A 选项正确；()35πcos πcos π+sin cos +sin sin 0222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 选项正确；当π5π,66αβ==时，满足sin sin αβ=，此时παβ+=，不满足2πk αβ=+（k ∈Z ），故C 选项错误；角α的终边在第一象限，则角2α的终边在第一或第三象限，当角2α的终边在第一象限时，sincos tan 2221111sincostan222αααααα+-=+-=，当角2α的终边在第三象限时，sincos tan 2221113sincostan222αααααα+-=---=-，故则sin cos tan 222sincostan222αααααα+-的取值集合为{}3,1-，D 选项正确.故选：ABD 11．ABC 【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AD 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用正弦型函数的周期公式可判断B 选项.【详解】因为函数()()πcos 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有3个对称中心，且当0πx ≤≤时，ππππ444x ωω≤+≤+，所以，5ππ7ππ242ω≤+<，解得91344ω≤<，A 对；因为91344ω≤<，则函数()f x 的最小正周期为2π8π8π,139T ω⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，且2π8π8π,3139⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，B 对；当π016x ≤≤时，ππππ44164x ωω≤+≤+，因为91344ω≤<，则25ππππ296446461ω≤+<，所以，函数()f x 在区间π0,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，C 对；235π3ππ47π82433ω≤+<，所以，()f x 图象的对称轴不可能是3π8x =，D 错.故选：ABC.12．BCD 【分析】根据正切函数所经过的点，结合正切型函数的对称性、单调性逐一判断即可.【详解】A ：设该函数的最小正周期为T ，则有ππ5π166T ωω⎛⎫==--⇒= ⎪⎝⎭，即()()tan f x A x ϕ=+，由函数的图象可知：πππ623ϕϕ+=⇒=，即()πtan 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图象可知：()π0tan 23f A A ==⇒=，所以2π3A ωϕ⋅⋅=，因此本选项不正确；B ：11π11ππ13ππ2tan 2tan 2tan 266366f ⎛⎫⎛⎫=+==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以本选项正确；C ：因为5π5ππ2tan 2tan 333f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5π5ππ2tan 2tan 333f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π5π33f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于直线5π3x =对称，因此本选项正确；D ：()()ππ2tan 2tan 33y f x f x x x λλ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()ππππ2tan 2tan 2tan 2tan 3333y f x f x x x x x λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()π22tan 3x λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当5ππ,63x ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，()()ππππ2tan 2tan 2tan 2tan 3333y f x f x x x x x λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()π22tan 3x λ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当函数()()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调时，则有()()2222011λλλ+-+≤⇒-≤≤，故选：BCD【点睛】关键点睛：运用函数对称性、函数单调性的性质是解题的关键.13．1,68⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】求出()sin 26f x x π⎡⎛⎫=+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣，令()t f x =，将问题转化为y a =与2()231h t t t =-+在区间⎡-⎢⎣上有交点，利用二次函数求出值域，即可得到答案.【详解】由π5π,46x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π2π11π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()sin 26f x x π⎡⎛⎫=+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣，令()t f x =，则t ⎡∈-⎢⎣，故函数2()2()3()1g x f x f x a =--+在区间π5π,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有零点等价于22310t t a --+=在区间⎡-⎢⎣内有解，即2231a t t =-+，令y a =，2()231h t t t =-+，则y a =与2()231h t t t =-+在区间⎡-⎢⎣上有交点，由2231()231248h t t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以()min 3148h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，max ()(1)6h t h =-=，所以实数a 的取值范围为1,68⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：1,68⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14．7【分析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】因为tan 3α=，所以2cos(π)3sin(π)4cos()sin(2π)αααα--+-+-2cos 3sin 4cos sin αααα-+=-23tan 23374tan 43αα-+-+⨯===--.故答案为：715【分析】求出cos α－sin α平方的值，再判断其正负，开方即得.【详解】∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，且π<α<54π，∴cos α<sin α，∴cos α－sin α<0，∴cos α－sin α16．3π,2π⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】由二次函数单调性可知对称轴tan x θ=-在⎡-⎣的右侧，可解.【详解】()()2222tan 1tan 1tan f x x x x θθθ=+-=+--，函数()f x 为开口向上，对称轴为tan x θ=-的抛物线，若函数()f x在⎡-⎣上单调递减，则tan θ-≥，即tan θ≤，又 ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ππ,23θ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.故答案为：3π,2π⎛⎤-- ⎥⎝⎦17．(1)()αcos αf =-，()118602f -︒=-(2)()f α=【分析】（1）利用诱导公式化简求得()f α，再代入求值；（2）先根据诱导公式求得sin α的值，然后根据同角之间的关系求出cos α的值，即可求解.【详解】（1）()()()()()3sin cos 2tan sin cos cot 2cos cot sin cot sin f ππαπααααααααπααα⎛⎫---+ ⎪⋅⋅⎝⎭===-+⋅-，()()()()11860cos 1860cos 1860cos 603605cos 602f ∴-︒=--︒=-︒=-︒+︒⨯=-︒=-（2）因为31cos cos 3sin 225ππααα⎛⎫⎛⎫-=⋅-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 5α=-，又因为α是第三象限角，所以cos α==，所以()cos f αα=-=.18．(1)1415-(2)1110-【分析】（1）根据题意结合齐次式问题分析求解；（2）根据对称性可得3tan 4β=，结合齐次式问题分析求解.【详解】（1）原式22222sin 2cos sin 2sin cos tan 2tan 2tan sin 3cos sin cos tan 3tan 1αααααααααααααα++++=+=+-+-+22333221444431533144⎛⎫⎛⎫-+⨯--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭，即2sin 2cos 14sin 2sin cos sin 3cos 15ααααααα+++=--.（2）因为(0,π)α∈，且3tan 04α=-<，可知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则3ππ,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan 4β=，所以3π3sin(π)2sin 2sin 2cos tan 211243π2sin cos 2tan 110212cos cos(5π)42ββββββββββ⎛⎫---+ ⎪++⎝⎭====-----⎛⎫-⨯-+++ ⎪⎝⎭19．(1)ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)117π,π63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据题意，求得π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦型函数的性质，即可求解；（2）由π,2x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得到2πππ22333x a -≤+≤+，根据题意，结合正弦函数的性质，得出不等式，即可求解.【详解】（1）解：由函数()f x 的图象，可得2A =，7ππ4()π123T =⨯-=，则2π2πω==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+．将点7π(,2)12-代入函数解析式可得7π3π22π,(Z)122k k ϕ⨯+=+∈，解得π2π(Z)3k k ϕ=+∈，因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,Z 232k x k k -≤+≤+∈，解得5ππππ,Z 1212k x k k -≤≤+∈，所以函数()y f x =在π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）解：因为π,2x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2πππ22333x a -≤+≤+，当2ππ2033x -≤+<无零点；当π203x +=时，有第一个零点，正弦函数周期为2π，每一个周期内有两个零点，要满足有5个零点，则π4π25π3a ≤+<，解得117ππ63a ≤<，所以实数a 的取值范围是117π,π63⎡⎫⎪⎢⎣⎭．20．(1)最大值和最小值分别为2,1-；(2)58.【分析】（1）求出函数()f x 的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得.（2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算12cos()x x -.【详解】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，得2ππω=，解得π2,()2cos(2)3x f x ω==-，当ππ[,64x ∈-时，π2ππ2[,336x -∈-，则当π2π233x -=-，即π6x =-时，min ()1f x =-，当π203x -=，即π6x =时，max ()2f x =，所以函数()f x 在区间ππ[,]64-上的最大值和最小值分别为2,1-.（2）由()0g x =，得5()4f x =，即π5cos(2)38x -=，由函数5()()4g x f x =-在区间π(0,)2上恰有2个零点12,x x ，得π5cos(2)38x -=在π(0,)2上恰有2个根12,x x ，而当π(0,)2x ∈时，ππ2π2(,333x -∈-，显然余弦函数cos y x =在π(,0]3-上递增，在2π[0,)3上递减，且cos y x =在ππ(,)33-上的图象关于直线0x =对称，因此函数πcos(23y x =-在π(0,]6上单调递增，在ππ[,62上单调递减，在(0,π3)上的图象关于直线线π6x =对称，因此12π3x x +=，12111ππ5cos()cos[()]cos(2)338x x x x x -=--=-=.21．(1)ππ5()5sin 3062h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞(2)40【分析】（1）根据图形，利用几何知识和三角函数求解函数解析式；（2）根据正弦方程，求解12,t t 的关系，通过分类讨论得到12t t +的最小值.【详解】（1）如图，过O 作OC PB ⊥交PB 于点C ，设筒车与水面的交点为M ，N ，连接OM .因为筒车转一周需要1分钟，所以筒车每秒钟转2ππrad 6030=，则π30MOP t ∠=.又因为COM OMA ∠=∠，512sin 52OA OMA OM ∠===，所以π6COM ∠=，则ππ306COP t ∠=-.ππ5sin 5sin 3062PB OP COP CB t ⎛⎫=⋅∠+=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞，即ππ5()5sin 3062h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞.（2）不妨设120t t >≥，由题意得12ππ5ππ55sin 5sin 30623062t t ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12ππππsin sin 306306t t ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①121ππππ2π306306t t k -=-+，*1k ∈N ，解得12160t t k =+，*1k ∈N ，故122126060t t t k +≥=+，当且仅当20t =，11k =时，等号成立，②122πππππ2π306306t t k -+-=+，2k ∈N ，解得1224060t t k +=+，显然当20k =时，12t t +取得最小值，最小值为1240t t +=.综上，12t t +的最小值为40.【点睛】思路点睛：几何中的三角函数模型, 一般应按下面几个步骤进行：一是要认真分析题意，借助已知或画出的示意图，弄清已知量和未知量，二是找出有关的数学模型，找出直角三角形或通过添加辅助线构造有关的直角三角形，把问题转化为求直角三角形的边或角有关问题，三是选择合适的三角函数表示出相应的角或线段，建立起函数模型.22．(1)7πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦(2)55,44⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）由ππ2ω=得2ω=，进而写出()f x 解析式， 根据条件确定()g x 解析式，应用余弦型函数的单调性求递增区间；（2）由题设有()1max 15322h x <-+=，设[]1sin 1,1t x =∈-，结合二次函数性质、分类讨论研究()221()g t a t a =+--的最值，即可求参数范围.【详解】（1）由题设ππ222T ωω==⇒=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，由题设知()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<为偶函数，且0πϕ<<，所以2ϕπ=，所以()cos 2f x x =，则()ππcos 2126g x f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 π2ππ22π6k x k -≤+≤，Z k ∈，即7ππππ1212k x k -≤≤-，Z k ∈，所以()g x 单调递增区间为7πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦；（2）因为()f x 过点π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以πsin 1,(0π)3ϕϕ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，可得π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()22π1sin 2,162f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，对任意的12πππ,,0,222x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，都有()()123h x f x <+成立，所以()()12max min 3,h x f x <+即()1max 15322h x <-+=，()2222cos 2sin sin 2sin 11(sin )h x x a x x a x a x a =+=-++=+--，由1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设[]1sin 1,1t x =∈-，则有()221()g t a t a =+--图象是开口向下，对称轴为t a =的抛物线，当1a ≥时()g t 在[]11t ,∈-上单调递增，()max ()12g t g a ==，即522a <，解得54a <，所以514a ≤<；当1a ≤-时()g t 在[]11t ,∈-上单调递减，()max ()12g t g a =-=-，即522a -<-，解得54a >-，所以514a -<≤-；当11a -<<时，()2max ()1g t g a a ==+，所以2512a +<，解得a <<所以11a -<<，综上所述：实数a 的取值范围为55,44⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
河南省高一下学期检测(三)数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线不共面，那么与在平面上的投影不可能是（ ） ,a b a b A ．两条平行线B ．两条相交直线C ．一直线一个点（点不在直线上）D ．两个点【答案】D【分析】利用长方体中的线段，可得A 、B 、C 的正误，根据线面垂直的性质，可得D 的正误. 【详解】由题意，可作下图：对于A ，异面直线与在平面上的投影分别是与，显然； 1CB 11A D ABCD BC AD //BC AD 对于B ，异面直线与在平面上的投影分别是与，显然； 1CB 11C D ABCD BC CD CD BC C ⋂=对于C ，异面直线与在平面上的投影分别为与点，显然； 1CB 1DD ABCD BC D D BC ∉对于D ，投影为点，说明两条直线垂直于同一平面，而这两条直线平行， 故选：D.2．若复数满足（i 是虚数单位），则的模长等于（ ） z (1i)i 3z ⋅+=+i z ⋅A．1 BC D 【答案】D【分析】给两边同除，然后根据复数的除法运算求出，再求出 (1i)i 3z ⋅+=+i 1+z i z ⋅根据复数的模运算求解即可. 【详解】因为 (1i)i 3z ⋅+=+所以 ()()()()1i i 3i 342i2i 1i 1i 1i 2z -++-====-++-所以2i z =+所以 ()i i 2i 2i 1z ⋅=⋅+=-故 i z ⋅故选：D3．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）1),2e a =-=a eA ．B ．C ．D ．e - e a 1-【答案】B【分析】根据条件可求出，然后根据投影向量的求法即可得出向量在向量上的投影向量． a e ⋅a e【详解】向量，1),2e a =-=，1112a e ∴⋅=⨯-=向量在向量上的投影向量为：．∴a e||a e e e e ⋅⋅=故选：B4．欧拉公式（i 为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数i e cos isin x x x =+x ∈R 函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（ ） 3i i e -+A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】直接代入给定的公式即可求解.【详解】由题知，，()3ii+e i cos3isin 3cos3sin 31i -=-++=+-，3357.3171.9rad ≈⨯= ，，∴cos30<sin 310-<在复平面内对应的点位于第三象限.∴3i i e -+()cos3,sin 31-故选：C.5．如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则ABC A D BC E AD A BE =（ ）A ．B ．5166AB AC -+u uu r u u u r 2133AB AC -+C ．D ． 5166AC AB -+2133AC AB -+【答案】A【分析】依题意根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为是线段的靠近的三等分点，所以，E AD A 13AE AD =又是线段的中点，所以， D BC ()12AD AB AC =+ 所以．1151()3666BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-++=-+故选：A ．6．设，为平面内任意两个非零向量,则下列不正确的是（ ）a bA ．的充要条件是存在唯一实数λ，使得a //b a b λ=B ．⊥的充要条件是a b ()2a b b b λλ+⋅=C ．的充要条件是a b a b +≥+ a //b D ．的充要条件是 a b a b ⋅≥ a //b 【答案】C【分析】根据向量的概念及运算，判断选项正误.【详解】两个非零向量，，的充要条件是存在唯一实数，使，A 正确；a b //a b r rλa b λ= ，则，即，B 正确； 22()a b b a b b b λλλ+⋅=⋅+= 0a b ⋅= a b ⊥当与共线，但是方向相反时，，C 错误；a ba b a b +<+ 设两个非零向量，夹角为，，即，或，即，D a bθcos a b a b a b θ⋅=⋅≥ cos 1θ=0θ=π//a b r r 正确. 故选：C.7．纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图，有着广大宽阔的直线，看起来就像机场跑道一样，描绘的大多是动植物，位于南美洲西部的秘鲁南部的纳斯卡荒原上，是存在了2000年的谜局：究竟是谁创造了它们并且为了什么而创造，至今仍无人能解，因此被列入“十大谜团”.在这些图案中，最清晰的图案之一是一只身长50米的大蜘蛛(如图)，据说这是一种学名为“节腹目”的蜘蛛的形状.这种蜘蛛十分罕见，只有亚马逊河雨林中最偏远隐秘的地区才能找到.现用视角为的摄像头(注：当摄30︒像头和所拍摄的圆形区域构成一个圆锥时，该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头的视角)在该蜘蛛的上方拍摄，使得整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，则该摄像头距地面的高度的最小值是（ ）A ．50米B ．米C ．米D ．米50(2+【答案】B【分析】由题意要使整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，即拍摄区域的圆的直径最小为. 2r =【详解】由题设知：要使整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，则拍摄区域的圆的直径最小为a ，2r =∴由余弦定理知：，即，2222cos305000a a -⋅︒=25000(2a =∴该摄像头距地面的高度最小值米. (25h ===故选：B.8．已知复数，那么（ ）7112(sin πi cos π)66z =+222121z z z z +-++A ．B ．C ．D ．53-3535-53【答案】D【分析】先计算，再根据复数的运算法则计算代数式的值. z【详解】由题，则， ππ2(sini cos 166z =-+=-22(12z =-=--所以. 22215213z z z z +-==++故选：D.9．下列有五个命题：①若直线a 平面，a 平面，则a m ；②若直线a 平面//α//βm αβ= ////α，则a 与平面内任何直线都平行；③若直线α平面，平面平面β，则α平面β；④如α//αα////果a b ，a 平面，那么b 平面；⑤对于异面直线a 、b 存在唯一一对平面、β使得a ⊂平////α//αα面， b ⊂平面β，且β.其中正确的个数是（ ） αα//A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据空间中直线，平面间的位置关系判断命题正误.【详解】对于①，直线平面，直线平面，，过a 作平面交平面于c ，作//a α//a βm αβ= γα平面交平面于d ，则，，所以，因为平面，所以平面，因为δα//a c //a d //c d c ⊂α//d α，所以，所以，①正确；m αβ= //m d //a m 对于②，直线平面，则直线与平面内的直线平行或异面，所以②错误； //a αa α对于③，直线平面，平面平面，可能平面，所以③错误； //a α//αβa ⊂β对于④，，直线平面，可能平面，所以④错误；//a b //a αb ⊂α对于⑤，一对异面直线a ，b ，过a 作与b 平行的平面，过b 作与a 平行的平面，使得，αβ//αβ所以⑤正确； 故选：C.10．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中不正确的是（ ）A ．多面体有12个顶点，14个面B ．多面体的表面积为3C ．多面体的体积为56D ．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球） 【答案】B【分析】由题得该多面体的各顶点为正方体每条棱的中点，判断选项正误. 【详解】由题，连接正方体每条棱的中点可得到该多面体，共12个顶点， 该多面体表面为有8个三角形面和6个正方形面，共14个面，A 项正确；多面体表面每个三角形面积为，12=12=，B 项错误； 18632+⨯=将多面体看作由正方体切去顶点处8个三棱锥得到，每个三棱锥体积为，1111113222248⨯⨯⨯⨯=所以多面体体积，C 项正确； 31518486V =-⨯=，为半径的圆即多面体的外接圆，D 项正确； 故选：B.11．已知平面向量，，，，那么()1cos ,sin OP a a =+ ()1cos ,sin OQ ββ=+ ()1,0OC = 2OP OQ OM +=（ ）A ．B ．OP OQ ≠ 0OM PQ ⋅= C ．D ．与夹角等于0CM PQ ⋅= OP OQ 1()2αβ-【答案】C【分析】由题意可知：点在以为圆心，半径为1的圆上，点为弦的中点，且,P Q C M PQ ，结合圆的性质逐项分析判断.,POx QOx αβ∠=∠=【详解】∵，则，()()cos ,sin ,cos ,sin CP a a CQ ββ==u u r u u u r1CP CQ ==u u r u u u r ∴点在以为圆心，半径为1的圆上，点为的中点，如图所示：,P Q C M PQ 对A ：当点关于x 轴对称或重合时，，A 错误； ,P Q OP OQ =u u u r u u u r对B ：与不一定垂直，故数量积不一定为0，B 错误；OM PQ OM PQ ⋅u u u r u u u r对C ：由垂径定理可得，则，且当点重合，即时也成立，C 正OM PQ ⊥0CM PQ ⋅= ,P Q 0PQ =u u u r r确；对D ：∵由圆的性质可得与夹角，但题中没有明确的范围以及OP OQ [)10π2,POQ PCQ ∠=∠∈,αβ大小关系，故与夹角等于不一定成立，D 错误.OP OQ 1()2αβ-故选：C.12．正棱锥有以下四个命题: ①所有棱长都相等的三棱锥的外接球、内切球、棱切球（六条棱均与球相切）体积比是②侧面是全等的等腰三角形顶点在底面射影为底面中心的四棱锥是正四棱锥；③经过正五棱锥一条侧棱平分其表面积的平面必经过其内切球球心；④正六棱锥的侧面不可能是正三角形，其中真命题是（ ） A ． ①④ B ．③④C ． ①③④D ． ②③④【答案】C【分析】对①：将三棱锥转化为正方体，结合正方体求三棱锥的外接球、内切1111ABCD A B C D -球、棱切球的半径，即可得结果；对②③④：根据正棱锥的定义与性质分析判断.【详解】对①：如图，将三棱锥转化为正方体，设正方体的的边长为，则三棱1111ABCD A B C D -a，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，故半径， R =三棱锥的棱切球即为正方体的内切球，故半径，112R a =三棱锥的体积，设三棱锥的内切球的半径为，则有331114323V a a a a a =-⨯⨯⨯⨯⨯=r，31114332a r =⨯⨯⨯=r故三棱锥的外接球、内切球、棱切球的体积比是①为假命题；3331::27:1:R r R =对②：侧面是全等的等腰三角形顶点在底面射影为底面中心的四棱锥是正四棱锥，②为真命题； 对③：正五棱锥的内切球的球心在顶点与底面中心的连线上，由对称可得，若平面经过正五棱锥一条侧棱且平分其正五棱锥的表面积，则该平面必过顶点与底面中心的连线，即过正五棱锥一条侧棱平分其表面积的平面必经过其内切球球心，③为真命题；对④：如图所示：为正六棱锥的中心，连接，则平面，且O P ABCDEF -,PO AD PO ⊥ABCDEF 平面，故，AD ⊂ABCDEF PO AD ⊥若正六棱锥的侧面是正三角形，则，故，此时不能构成锥体，④为AO PA =0PO ==真命题.故选：C.二、填空题13．若复数，则复数的模是________. i z =i2iz z ⋅+【分析】先根据复数的四则运算可得，再求其模长. i 1i 2i 2z z ⋅=+【详解】由题意可得：， i1i 2i 2z z ⋅====+=14．已知复数z 满足，那么的取值范围为_________. |i ||i |2z z ++-=|3|z -【答案】【分析】先得出复数对应的点的轨迹为复平面内连接点(0,1)和(0,−1)的线段，根据的几何意z |3|z -义，利用数形结合思想可得出的范围.|3|z -【详解】设，由可得()i ,z x y x y R =+∈|i ||i |2z z ++-=()()|1i ||1i |2x y x y ++++-=，表示点到点，的距离之和为2.2+=(),x y (0,1)-()0,1又点，之间的距离为2，所以表示z 对应的点的轨迹是以，(0,1)-()0,1||||2z i z i ++-=(0,1)-()0,1为端点的线段z 对应的点与 的距离，|3|z -=()3,0如图在z 取时有最小值3，z 取或， ()0,0(0,1)-()0,1故取值范围为. 故答案为：15．已知为平面内任意两个非零向量，且他们夹角等于，若存在使得,a b 120m ∈R 2a b mb += ，则实数m 的取值范围为___________. 【答案】)+∞【分析】由平面向量数量积的运算结合已知得出，参变分离根据二次函222224a a b b m b -+=数值域得到，通过题意得出，即可得出答案.23m ≥0m >【详解】为平面内任意两个非零向量，且他们夹角等于， ,a b120 ，1cos1202a b a b a b ∴⋅==-，2a b m b +=则，2222a b m b += ，222244a a b b m b +⋅+=，222224a a b b m b -+=， 2224a am b b ⎛⎫⎪=-+ ⎪⎝⎭，22133am b ⎛⎫⎪=-+≥ ⎪⎝⎭，，20a b +>b > ，0m ∴>，)m ∴∈+∞故答案为：.)+∞16．△ABC 中，内角A 、B 、C 对应边长为a 、b 、c 下有命题:()()()2222223:sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 0,:p A A B C B B A C C C B A q a b a c b c b -+-+-=+-=，那么p 是q 的________条件.（从“充要条件”、“充分不必要”、“必要不充分”和“既不充分也不必要”中选一个写在横线上） 【答案】充分不必要【分析】利用正弦定理可化简命题得：； p a b c ==通过变形可化简命题得：；由此即可求解. q a b =【详解】由题知，对于命题：p()()()222sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 0A A B C B B A C C C B A -+-+-=由正弦定理可得：，∴()()()2220a a bc b b ac c c ab -+++-=整理得：，3333a b c abc ++=又，当且仅当时取等号，3333a b c abc +≥+a b c ==；∴a b c ==对于命题：q ，2223a b a c b c b +-=，∴()()22a b c b b c +=+在三角形中，都为正数，,,a b c ；∴a b =所以推出，但不能推出， p q q p 所以是的充分不必要条件. p q 故答案为：充分不必要条件.三、解答题17．已知复数.2(1i)(3i 4)2i 5()=++-+-∈R z m m m (1)若z 为纯虚数，求m 的值；(2)若复数的实部与虚部之和为14，求m 的值.i z 【答案】(1)5(2)1【分析】（1）先将复数进整理，得出其实部和虚部，由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案.z (2)先化简复数，得出实部与虚部，从而求出答案.iz 【详解】（1） ()()222(1i)(3i 4)2i 54532i z m m m m m m =++-+-=--+++由z 为纯虚数，则，解得（舍去） 22450320m m m m ⎧--=⎨++≠⎩5m =1m =-（2） ()()()()22224532i i i i3245i m m m m m m z z m m ⎡⎤=-=-⋅--+++⎣+--⎦+-=所以，解得 ()()22324514m m m m ++---=1m =18．，，为平面内不同的三点，，，.A B C ()4,3AB =u u u r ()12,BC m m =+ ()5,3CD =-- (1)若，，三点共线，求实数的值；A C D m (2)若，的夹角为钝角，求实数的取值范围.AB BC m 【答案】(1) 0m =(2) 334,,2211⎛⎫⎛⎫-∞--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由，，三点共线，可得，又，利用平面向量共线的坐A C D AC A CD AC AB BC =+ 标表示即可求解；（2）由题意，，且与不共线，由平面向量共线的坐标表示及平面向量数量积的0BC AB ⋅< AB BC 坐标表示即可求解.【详解】（1）解：因为，，，()4,3AB =u u u r ()12,BC m m =+ ()5,3CD =-- 所以，()()()12,25,,433m m AC AB C m B m =+=+=+++u u u r u u u r u u u r 因为，，三点共线，所以，A C D AC A CD所以，解得；()()()()533250m m -⨯+--⨯+=0m =（2）解：因为，的夹角为钝角，AB BC 所以，且与不共线，0BC AB ⋅< AB BC 所以，解得且， ()()412304312m m m m ⎧++<⎪⎨≠+⎪⎩411m <-32m ≠-所以实数的取值范围为. m 334,,2211⎛⎫⎛⎫-∞--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 19．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知.cos 23cos()1=++B A C (1)求B ；(2)若△ABC 的面积,a = 10，求sin A sin C 的值.S =【答案】(1)3π(2)528【分析】（1）利用倍角公式和诱导公式变形可求得的值，即可求解；cos B B （2）利用面积公式求出，利用余弦定理求出，再用正弦定理即可求解.c b 【详解】（1）由题知，， cos 23cos()1=++B A C ，,2cos 22cos 1B B =-()cos cos A C B +=-∴22cos 3cos 20B B +-=∴()()2cos 1cos 20B B -+=解得：或（舍去）， 1cos 2B =cos 2B =-，.0B π<<∴3B π=（2）△ABC 的面积S =∴1sin 2ac B =110sin 23c π⨯⨯⨯=解得：，2c =由余弦定理得：，2222cos b a c ac B =+-即，()2221022102cos 843b π=+-⨯⨯⨯=b ∴=由正弦定理知：， sin sin sin a b c A B C ==. ∴225sin sin sin 28ac A C B b ==20．如图，一个圆锥的底面半径，高，在其内部有一个高为的内接圆柱（圆3cm R =4cm H =cm x 柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上）．(1)求圆锥的侧面积；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．【答案】(1)215cm π(2)当时，圆柱的侧面积最大，最大面积为2x =26πcm【分析】(1)由条件求圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解；(2)由圆柱的侧面积公式求圆柱的侧面积的表达式，再根据二次函数性质求其最值.【详解】（1）圆锥的母线长为，5cm ===L 所以圆锥的侧面积为．23515cm =⋅⋅=⨯⨯=侧S R L πππ（2）设圆柱的底面半径为r ， 如图可得，即， -=x R r H R 343-=x r 得． 33(04)4=-<<r x x 所以圆柱的侧面积． ()223324=(2)4(04)22S r x x x x x πππ⎡⎤=⋅⋅=⋅-+⋅--+<<⎣⎦所以当时，S 取得最大值．2(0,4)x =∈6π即当时，圆柱的侧面积最大，最大面积为．2x =26πcm21．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 、Q 、S 分别是被AB 、BC 、C 1D 1、D 1A 1的中点.(1)求证：MN //QS ；(2)记MNQS 确定的平面为α,作出平面α被该正方体所截的多边形截面，写出作法步骤.并说明理由，然后计算截面面积；(3)求证：平面ACD 1//平面α.【答案】(1)证明见解析(2)作法见解析，面积为(3)证明见解析【分析】（1），，，证得；//MN AC 11//SQ A C 11//AC A C //MN SQ （2）取、中点、，则为平面被该正方体所截的多边形截面，求截面面积即1AA 1CC E F SQFNME 可；（3）根据平面与平面平行的判定定理证明即可．【详解】（1）证明：连接，，，如图，SQ MN AC 11A C正方体中，，四边形为平行四边形，则有， 11//AA CC 11=AA CC 11ACC A 11//AC A C 、、、分别是被、、、的中点，M N Q S AB BC 11C D 11D A ，，．//MN AC ∴11//SQ A C //MN SQ ∴（2）取、中点、，连接、、、、、，如图， 1AA 1CC E F S Q F N M E 则正六边形为平面被该正方体所截的多边形截面，SQFNME α． MN ==16sin 602SQFNME S ∴=⨯︒=（3），平面，平面， //MN AC AC ⊂/αMN ⊂α平面，//AC ∴α又、分别、的中点，，S E 11A D 1AA 1//SE AD ∴平面，平面，平面，SE ⊂ α1AD ⊂/α1//AD ∴α又，平面，平面，1AD AC A = AC ⊂1ACD 1AD ⊂1ACD 平面平面． ∴1//ACD α22．已知复数，集合，集合， 11i 1iz -=+{}1|||1S z z z =-={}0|||1T z z z =-=(1)若使得（为虚单位），求的最小值；*N n ∃∈1i n z =i n (2)若当时，集合有两个子集．0C z ∈S T①求的取值范围；0z ②求集合中复数对应点形成的复平面区域的面积．T z Z 【答案】(1)3(2)①；②013z ≤≤8π【分析】（1）计算得，则，讨论的4种情况即可得解；1i z =-1(i)n n z =-n （2）①满足条件的复数对应点的集合是以对应的点为圆心，以1为半径的圆M ，满1||1z z -=z 1z 足条件的复数对应点的集合是以对应的点为圆心，以1为半径的圆N ，根据题意两圆0||1z z -=z 0z 外切，即可求解；②集合中复数对应点形成的复平面区域是以为圆心，以1及3为半T z Z (0,1)-径的两个圆所夹的圆环，计算面积即可．【详解】（1）因为，所以， 211i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2z ---====-++-1(i)n n z =-当时，；当时，；41,(N)n k k =+∈1i n z =-42,(N)n k k =+∈11n z =-当时，；当时，，43,(N)n k k =+∈1i n z =44,(N)n k k =+∈11n z =由题意，则，1(i)i n n z =-=43,(N)n k k =+∈所以的最小值为3；n （2）①满足条件即的复数对应点的集合是以对应的点为圆心，以1为1||1z z -=1|z |1z -=z 1z (0,1)-半径的圆M ，满足条件的复数对应点的集合是以对应的点为圆心，以1为半径的圆N ， 0||1z z -=z 0z 因为有两个子集，所以圆M 与圆N 仅有一个公共点，即两圆外切， S T 则，即，102z z -=0i 2z +=令，则，0i,(,R)z a b a b =+∈22(1)4a b ++=，2222204(1)23z a b b b b =+=-++=-+由可知，即， 22(1)4a b ++=212b -≤+≤31b -≤≤，；1239b ∴≤-+≤013z ∴≤≤②因为，所以对应的点在以为圆心，以2为半径的圆上，0i 2z +=0z (0,1)-所以集合中复数对应点形成的复平面区域是以为圆心，以1及3为半径的两个圆所夹T z Z (0,1)-的圆环，其面积为． 22π3π18πS =⋅-⋅=。
河南省安阳市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析
河南省安阳市2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若111tan tan tan A B C+=，则2223a b c ++的最小值是（ ） A ．5B ．8C ．7D ．62．在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 没有公共点，则三角形1PBB 面积的最小值为（ ）A ．1B ．12C ．22D ．243．已知()()()3,0,0,3,cos ,sin A B C αα，若·1AC BC =-，则sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于() A ．23B ．1C ．2D ．634．如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是( )A ．B ．C ．D ．5．设变量x ，y 满足约束条件4,{4,2,y x y x y ≤+≥-≤-则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A ．4B ．-5C ．-6D ．-86．根据如下样本数据可得到的回归方程为y bx a ∧=+,则（ ） A ．0,0a b ><B ．0,0a b >>C ．0,0a b <<D ．0,0a b <>7．若2a =，2b =，且()-⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 8．已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为3π，则此圆锥的侧面积为（ ）A ．B ．2πCD ．π9．设集合{}22(,)|(4)1A x y x y =-+=，{}22(,)|()(2)1B x y x t yat =-+-+=，若存在实数t ，使得A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[0,2]10．已知()2,1a =，()1,1b =-，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．2-B ．2C ．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
河南省安阳市2023届高三三模文科数学试题(含答案)
河南省安阳市2023届高三三模文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．83B ．8．已知0,0a b >>，则下列命题错误的是（A ．若1ab ≤，则112a b +≥B ．若4a b +=，则19a b+的最小值为C ．若224a b +=，则ab 的最大值为三、解答题(1)求直方图中t 的值；(2)根据频率分布直方图估计该市60%的居民年用水量不超过(3)已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过过50吨，则超出的部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少.（每组数据以所在区间的中点值为代表）18．已知数列{}n a 满足111,12nn n a a a a +==+.(1)证明：BC ME ⊥；(2)求点M 到平面PBE 的距离.20．已知函数()()()ln 1f x x x a a =-+∈R .(1)证明：曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过坐标原点；参考答案：故选：C.5．D【分析】根据一组数据同乘以一个数后的平均数以及方差的性质计算，即可得答案【详解】由题意知这些商品的价格如果按人民币计算，价格是按美元计算的价格的故按人民币计，则平均数和方差分别为易知该正方体的棱长为50故选：D. 11．B【分析】由椭圆离心率为6 3可得22233bm n+=，由AF⊥【详解】由椭圆离心率为612．A【分析】由12T f A ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ，再根据ππ42f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的几何意义求出ω【详解】因为0ω>，【详解】2y +，得322z y x =-+，作出不等式组对应的可行域（阴影部分）322z y x =-+，由平移可知当直线y =时，直线322z y x =-+的截距最大，此时，解得(1,1)A ，）ABC 中，因为//,DE BC -DBCE 中，,DE PD DE ⊥平面PDB ，从而BC ⊥平面上取一点F ，使得2CF =（2）设00(,)P x y ，因为PF 又点P 在抛物线上，所以根据对称性，不妨设点P 设直线AB 的方程为x my =。
河南省高一下学期阶段性测试(三)数学试题(解析版)
一、单选题1．（ ）PA BC BA +-=A ．B ．C ．D ．PBCP ACPC 【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可求解.【详解】根据向量的线性运算法则，可得. PA BC BA PA AC PC +-=+=故选：D.2．已知向量，的夹角为，，，则（ ）a b π33a b ⋅=2b = a = A ．2 B ．3C ．6D ．12【答案】B【分析】直接利用向量的数量积运算即可求解． 【详解】依题意，.π1cos 2332a b a b a a ⋅=⋅⋅=⋅⋅==故选：B.3．已知向量与的方向相反，，（ ）a b ()2,3b =-r a =a = A ． B ．C ．D ．()6,4-()4,6-()4,6-()6,4-【答案】C【分析】根据共线定理，可得两向量的数乘关系，设出向量坐标，建立方程，可得答案.【详解】∵与的方向相反，∴（）．设，则， a ba b λ= 0λ<(),a x y = ()(),2,3x y λ=-于是由，即，∴，2,3.x y λλ=-⎧⎨=⎩a =2252x y +=222491352λλλ+==24λ=∴，∴．2λ=-()4,6a =-故选：C.4．已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，，则（ ）ABC A a =12b =60B =︒A =A ．30° B ．45°C ．150°D ．30°或150°【答案】A【分析】运用正弦定理，结合三角形大边对大角的性质进行求解即可. 【详解】因为，，，所以由正弦定理可得，所以a =12b =60B =︒sin 1sin 2a B A b===或150°．因为，所以，所以．30A =︒b a >B A >30A =︒故选：A5．已知在中，，，，则（ ） ABC A 5AB =4BC =4cos 5B =cos A =A ．B ．C D ．353425【答案】A【分析】直接利用余弦定理可解得，由此可知为直角三角形，所以. 3AC =ABC A 3cos 5AC A AB ==【详解】由余弦定理可得， 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅解得，所以， 3AC =222AB AC BC =+所以为直角三角形， ABC A 则在中，． Rt ABC △3cos 5AC A AB ==故选：A.6．如图，在中，，E 为AB 边的中点，F 为BC 边上的点，且，ABC A π3ABC ∠=34BF BC = ，，则（ ）2AB =4BC =AC EF ⋅=A ．6B ．9C ．10D ．19【答案】B【分析】运用向量运算法则将转化为，再代入向量数量积公式AC EF ⋅ 51224AC EF BA BC ⋅-⋅+=即可求解.πcos 3BA BC BA BC ⋅⋅⋅= 【详解】依题意，()()()3142AC EF BC BA BF BE BC BA BC BA ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭223131512242424BC BA BC BA BC BA BA BC =-⋅-⋅+=-⋅+．5π5114cos 142494342BA BC =-⋅⋅=-⨯⨯⨯=故选：B.7．如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上靠近点A 的三等分点，F 为AB 边上靠近点B 的四等分点，且线段EF 交AC 于点P ．若，，则（ ）AB a=AD b = AP =A ．B ．3344a b + 331313a b +C ．D ．51142a b + 19416a b + 【答案】B【分析】，将用表示，再根据E ，F ，P 三点共线，求得，从而可的答案. AP AC λ= AP ,AE AFλ【详解】∵E 为AD 边上靠近点A 的三等分点，F 为AB 边上靠近点B 的四等分点，∴，，13AE AD = 34AF AB = 设，()433AP AC AB AD AF AE λλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭∵E ，F ，P 三点共线，∴，解得，4313λλ+=313λ=于是． ()()333131313AP AB AD AB AD a b λ=+=+=+故选：B.8．已知锐角中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若，ABC A ()2cos cos cos A B C B +=，则（ ） a =6bc =b c +=A ．9 B ．8 C ．5 D ．4【答案】C【分析】利用诱导公式、两角和的余弦公式化简已知条件，求得，利用余弦定理求得. A b c +【详解】∵，，()2cos cos cos A B C B +=πA B C ++=∴，， ()2cos cos 2cos πA B A B B +--=()2cos cos 2cos A B A B B -+=∴．2sin sin A B B =∵为锐角三角形，∴，∴，∴．ABC A sin 0B ≠sin A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =由余弦定理可得，∴，∴，222π2cos 3a b c bc =+-2276b c =+-2213b c +=则．5b c +====故选：C二、多选题9．已知向量，则（ ）()()2,1,2,4a b ==-A B ．1//()4a ab + C ．D ．a b ⊥ a b a b +=+ 【答案】AC【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，结合向量的平行坐标表示和数量积的坐标运算公式，逐项判定，即可求解.【详解】由A 正确； ()2,1a =由，可得，()()2,1,2,4a b ==- 13(,2)42a b += 因为，所以与不共线，所以B 错误；322102⨯-⨯≠a 14a b + 由，所以，故C 正确；2(2)140a b ⋅=⨯-+⨯=r r a b ⊥由，可得，可得与的方向不相同，()()2,1,2,4a b ==- 241(2)0⨯-⨯-≠a b所以，故D 错误． a b a b +≠+ 故选：AC.10．下列说法中正确的有（ ）A ．若与是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上ABCD B ．若向量，，则()1,3a = ()1,3a b -=--a b ∥C ．若平面上不共线的四点O ，A ，B ，C 满足，则 320OA OB OC -+=2AB BC= D ．若非零向量，满足，则与的夹角是a b a b a b ==- a a b + π3【答案】BC【分析】对于A ，根据向量共线的定义，可得其正误；对于B ，利用向量共线定理，可得其正误； 对于C ，根据向量减法，结合共线定理，可得其正误；对于D ，根据向量模的求解以及夹角公式，可得答案.【详解】与是共线向量，也可能是，故A 错误；ABCD ABCD A 设，∵，，∴解得∴， (),b x y = ()1,3a = ()1,3a b -=--11,33,x y -=-⎧⎨-=-⎩2,6,x y =⎧⎨=⎩()2,6b = 又∵，∴，故B 正确；16320⨯-⨯=a b∥由已知得，∴，∴，故C 正确； ()()220OA OB OC OB BA BC -+-=+= 2AB BC =2AB BC= 由整理可得，设与的夹角是，()22a a b =-22b a b =⋅a ab +θ则，∴与的夹角是，故D 错误．cosθ=a a b + π6故选：BC.11．已知向量，的夹角为，，，，则（ ）a b π63a = 1b = t R ∈A ．在b aB ．在a +aC ．的最小值为ta b + 14D ．取得最小值时，ta b +()a tab ⊥+ 【答案】AD【分析】AB 选项，利用投影的定义求解判断；CD 选项，利用数量积的运算律求解判断.【详解】因为在方向上的投影向量的模为A 正确；b aπcos6b 因为在，故a a 92===B 错误；，当时，2222222129219194ta b t a ta b b t t t t ⎛+=+⋅+=++=++=+ ⎝t =ta b + 取得最小值，此时，所以，故12()2990a ta b ta a b t ⎛⋅+=+⋅==⨯= ⎝ ()a tab ⊥+ C 错误，D 正确． 故选：AD12．已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，则下ABC A ()sin sin sin sin a A B c C b B -=-列说法正确的是（ ） A ． π6C =B ．若c 的最小值为2 ABC A C ．若，，则1a =5π12B =ABCA D ．若，有且仅有一个 3b =c =ABC A 【答案】BC【分析】由正、余弦定理及已知得，再根据选项综合应用正、余弦定理和三角形面积公式求π3C =解．【详解】∵，()sin sin sin sin a A B c C b B -=-∴由正弦定理可得，即，22()a a b c b -=-222a b c ab +-=对于A 选项，由余弦定理可得，2221cos 22a b c C ab +-==∵，∴，故A 错误；0πC <<π3C =对于B 选项，由题可知∴，1sin 2ab C ==4ab =由余弦定理可得， 222222cos 24c a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+-≥-==∴，当且仅当时等号成立，故c 的最小值为2，故B 正确；2c ≥2a b ==对于C 选项，由题可知，由正弦定理得，∴π4A =sin sin a c A C=sinsin a C c A ===∴的面积为C 正确； ABC A 115πππsin 1221246ac B =⨯=+=对于D 选项，由余弦定理可得，即，， 2222cos c a b ab C =+-2793a a =+-2320a a -+=解得或，故D 错误． 1a =2a =故选：BC ．三、填空题13．已知向量，，，若，则实数x 的值为______． ()1,3a =- (),0b x =()2,1c = ()c a b ⊥+ 【答案】##12-0.5-【分析】利用平面向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示求解作答.【详解】因为向量，，则，又，且，()1,3a =- (),0b x = ()1,3a b x +=-()2,1c = ()c a b ⊥+ 因此，解得，2(1)30x -+=12x =-所以实数x 的值为.12-故答案为：12-14．已知，且，则实数______．14AB BC = BA mAC =m =【答案】##-0.215-【分析】利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：∵，()1144BA AB BC BA AC =-=-=-+∴，15BA AC mAC =-= ∴．15m =-故答案为：15-15．如图所示，向量与的夹角为，向量与的夹角为，，OA OB 5π6OP OB π62OA OP ==4OB = ，若，（m ，），则______．OP mOA nOB =+ n R ∈m n +=【答案】1【分析】建立直角坐标系，利用共线向量坐标表达公式进行求解即可.【详解】以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 且向上的方向为y轴建立平面直角坐标系，则．设，，于是，， ()4,0B ()11,P x y ()22,Ax y 1π2cos 6x ==1π2sin 16y ==且． 25π2cos6x ==25π2sin 16y ==由得，OP mOA nOB =+)()()4,0m n =+∴解得∴4,1,n m =+=⎪⎩1,m n =⎧⎪⎨=⎪⎩1m n +=故答案为：116．已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，，则ABC A π4A =22222b a c =+sin C =______．【分析】综合运用正、余弦定理求解即可．【详解】由得，22222b a c =+2222c a b =-而，由余弦定理可得， π4A =222222cos a b c bc A b c =+-=+即，整理可得，22222c b b c -=+b =所以，于是222222952828c c a b c c =-=-=a c =由正弦定理可得sin sin a A c C ==πsin 4C ==．四、解答题17．已知向量，（）．()1,2a =r()1,b t = R t ∈(1)若，求t 的值；()()a b a b +-A (2)若，与的夹角为锐角，求实数m 的取值范围．1t =a a mb +【答案】(1) 2t =(2) ()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示即可求t 值；（2）根据平面向量夹角的定义及其坐标表示即可求m 的取值范围． 【详解】（1）由题可知，(1,2)(1,)(2,2)a b t t +=+=+(1,2)(1,)(0,2)a b t t -=-=-∵，()()a b a b +- A ∴，∴．2(2)0t -=2t =（2）若，则，， 1t =()1,1b = (1,2)a mb m m +=++ ∵与的夹角为锐角，a a mb +∴，且与不共线，()0a a mb ⋅+> a a mb +∴，解得且，12(2)02(1)2m m m m+++>⎧⎨+≠+⎩53m >-0m ≠∴m 的取值范围是．()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭18．已知，为单位向量，且，的夹角为120°，向量，．1e 2e 1e 2e 122a e e =+ 21b e e =-(1)求；a b ⋅ (2)求与的夹角．a b【答案】(1)32-(2) 23π【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算律求解；（2）先求得，再利用夹角公式求解. a b ，cos a b a bθ⋅=⋅【详解】（1）解：∵，为单位向量，且，的夹角为120°，1e 2e 1e 2e∴．12111cos1202e e ⋅=⨯⨯︒=- ∴．()()1221122113222112122a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=⋅-+-⋅=--++=-（2）设与的夹角为．abθ∵a===b ====∴． 31cos 22a b a b θ⋅==-=-⋅ 又∵，[]0,θπ∈∴， 23πθ=∴与的夹角为．a b 23π19．已知在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，． ABC A sin 2sin B B =(1)求B ；(2)若，且，证明：． a c >a c +=2a c =【答案】(1) π3B =(2)证明见解析【分析】（1）由正弦二倍角公式进行求解即可； （2）根据余弦定理，结合已知进行运算证明即可. 【详解】（1）因为，即， sin 2sin B B =2sin cos sin B B B =所以．因为，所以；1cos 2B =()0,πB ∈π3B =（2）由余弦定理得，所以，222cos 2a c b B ac +-=222122a c b ac +-=即．① 222ac a c b =+-因为，所以② a c +b =将②代入①，得， ()2222123ac a c a ac c =+-++整理得．因为，所以．()()220a c a c --=a c >2a c =20．已知的外心为点O ，且（），P 为边AB 的中点．ABC A ()CO CA CB λ=+ R λ∈(1)求证：； CP AB ⊥(2)若，求的余弦值． 514λ=ACB ∠【答案】(1)证明见及解析 (2) 25【分析】（1）连接OB ，OC ，OP ，CP ，由的外心为点O ，P 为边AB 的中点，得到ABC A OP AB ⊥，再由C ，O ，P 三点共线即可； ()CO CA CB λ=+ ，得到（2）由（1）知，P 为边AB 的中点，得到，结合，得到CP AB ⊥CA CB =OB OC =．再由，求解. 2POB PCB ACB ∠=∠=∠cos OP OP POB OB OC ∠==514λ=【详解】（1）如图，连接OB ，OC ，OP ，CP ．∵的外心为点O ，P 为边AB 的中点，ABC A ∴．OP AB ⊥∵，∴， 2CA CB CP += ()2CO CA CB CP λλ=+= ∴C ，O ，P 三点共线，∴．CP AB ⊥（2）由（1）知．CP AB ⊥又P 为边AB 的中点，∴，∴．CA CB =PCA PCB ∠=∠∵，∴，OB OC =PCB OBC ∠=∠∴．2POB PCB ACB ∠=∠=∠∵，， cos OP OP POB OB OC ∠==514λ=∴， ()5577CO CP CO OP ==+ ∴，即， 2577CO OP = 25CO OP = ∴，即． 25OP OC =2cos 5ACB ∠=21．已知E 为内一点，F 为AC 边的中点．ABC A (1)若，求证：；30EA EB EC ++= 52BE BF = (2)若，，的面积分别为，S ，求证：．230EA EB EC ++= EBC A ABC A S '6S S ='【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用平面向量的加减数乘运算的几何意义，结合三角形中几何性质，可得答案； （2）利用三角形线段的比例关系，结合三角形面积的等积变换，可得答案.【详解】（1）∵，∴．30EA EB EC ++= 3EA EC EB +=-又F 为AC 边的中点，∴．233EF EB BE =-= ∵，∴，∴． BE EF BF += 32BE BE BF += 52BE BF = （2）如图，设BC 边的中点为P ，连接EF ，EP ．∵，∴， 230EA EB EC ++= ()2EA EC EB EC +=-+ ∴，即，∴F ，E ，P 三点共线．24EF EP =- 2EF EP =- 设点E ，F 到BC 的距离分别为，，则． 1d 2d 12:1:3d d =设点A 到BC 的距离为．∵F 是AC 的中点，∴， 3d 23:1:2d d =∴，∴，即．13:1:6d d =13::1:6S S d d =='6S S ='22．如图，已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC A． 222sin sin sin sin sin A C B A B C +-=⋅(1)求B ；(2)若，，点D 在边AC 上，且在和上的投影向量的模相2223a c c b ++=152BA BC ⋅=- BD BC BA 等，求线段BD 的长．【答案】(1) 2π3B =(2)158【分析】（1）综合运用正、余弦定理即可求解；（2）由（1）及已知可求得，，又由在和上的投影向量的模相等，知BD 为5c =7b =BD BC BA 的平分线，由角平分线定理得，再在和中应用正弦定理求解即可． ABC ∠358AD =ABC A ABD △【详解】（1）∵， 222sin sin sin sin sin A B C A C B +-=∴由正弦定理可，222sin a c b B =+-由余弦定理可得， 222cos 2a c b B ac+-=∴即2cos s ac B inB =tan B =∵，∴． ()0,πB ∈2π3B =（2）由（1）知， 2π3ABC ∠=∴又，2222cos ac ABC ac a c b ∠=-=+-2223a c c b ++=∴，解得．∵， 2222(3)ac a c a c c -=+-++3a =152BA BC ⋅=- ∴，可得， 15cos 22ac ac ABC ∠=-=-5c =由可得，解得．2223a c c b ++=292515b ++=212559b ++=7b =∵在和上的投影向量的模相等，BD BC BA ∴BD 为的平分线，ABC ∠由角平分线的性质知，即，解得， AD c b AD a =-573AD AD =-358AD =在中，由正弦定理可得，∴ABC A sin sin a b A ABC =∠sin A 在中，，ABD △π3ABD ∠=由正弦定理可得． sin sin BD AD A ABD =∠=158BD =。
河南省大联考2021-2022学年高一下学期阶段性测试(三)数学试题(含答案解析)
河南省大联考2021-2022学年高一下学期阶段性测试（三）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}1,3,A m =，{B =，B A ⊆，则m =（ ） A ．9B ．0或1C ．0或9D ．0或1或92．函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是（ ）A ．π3x =- B ．π12x = C ．π4x =D ．π3x =3．已知向量()2,3a =，()1,4b =，(),4c k =，若()2a b c -∥，则实数k 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．64．ABC 的三边长之比为4:5:6，则最小角和最大角之和的余弦值为（ ）A ．18-B ．18C ．916-D ．9165．对于平面向量a ，b ，c ，下列叙述正确的是（ ） A ．若a b =，则a b =± B ．若a 与b 是单位向量，则1a b ⋅≤ C ．若a b ∥，则a b a b ⋅=D ．若a b ∥，b c ∥，则a c ∥6．如图，在等腰梯形ABCD 中，2AB CD =，BC AB AD λμ=+，则λμ-=（ ）A ．32-B ．32C ．54-D ．547．在ABC 中，若25a =，30b =，42A =︒，则此三角形解的情况为（ ） A ．无解B ．有两解C ．有一解D ．有无数解8．已知角θ以坐标原点为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，终边经过点()21,2a a -+，且3cos 5θ=，则实数a 的值是（ ） A ．2B ．112C ．211-D ．12-9．已知2log 3a =，1lg 3b =，0.42c =，则下列结论正确的是（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>10．已知奇函数()f x 在R 上单调递增，()()1g x f x =-，则关于x 的不等式()()3270g x g x -+->的解集为（ ）A ．()4,+∞B ．(),4-∞C ．()4,5D ．(11．若函数()()sin f x x ϕ=+π02ϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭在5π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有3个零点，则ϕ的取值范围是（ ） A ．π5π0,312⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭B ．π5π0,312⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭C ．πππ0,,632⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．πππ0,,632⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12．在ABC 中，30B ∠=︒，45C ∠≤︒，点D 在边BC 上，满足2ADC C ∠=∠且BD AC =，则C ∠=（ ）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°二、填空题13．已知函数()lg 1f x ，则()2f =______.14．已知tan 2α=，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.15．如图所示，OA 是一座垂直与地面的信号塔，O 点在地面上，某人（身高不计）在地面的C 处测得信号塔顶A 在南偏西70°方向，仰角为45°，他沿南偏东50°方向前进20m 到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高OA 为______m .16．在Rt ABC 中，CA CB ⊥，1AB =，点D 为边AB 的中点，则()()BA BC CA CD ⋅⋅的最大值是______. 三、解答题17．已知向量a ，b 满足1b =，1a b ⋅=-，()52a b a b ⎛⎫+⊥- ⎪⎝⎭.(1)求a ；(2)求a 与2a b -的夹角.18．已知函数()()cos f x A x ωϕ=+π0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当ππ,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.19．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2cos cos c B a C b C =-. (1)求C ；(2)若2sin B C =，求sin A .20．已知函数()24x m xf x +=-.(1)当0m =时，求关于x 的不等式()2f x >-的解集；(2)若对[]0,1x ∀∈，不等式()22xf x m >-⋅恒成立，求实数m 的取值范围.21．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 2sin 0a B b A -=. (1)求B ；(2)若角B 的平分线交AC 于点D ，2BD =，且2AD CD =，求b .22．如图所示，在ABC 中，D 是边BC 的中点，E 是线段AD 的中点.过点E 的直线与边AB ，AC 分别交于点P ，Q .设PB AP λ=，QC AQ μ=，λ，0μ≥.(1)化简：2EA EB EC ++； (2)求证：λμ+为定值；(3)设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，求12S S 的取值范围.参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据B A ⊆3=m =，根据集合元素的互异性求得答案. 【详解】由B A ⊆3=m =，3=时，9m = ，符合题意；m =时，0m =或1m =，但1m = 时，{}1,1B =不合题意， 故m 的值为0或9, 故选：C 2．D 【解析】 【分析】由余弦函数的对称轴为,2x k ππ=+k ∈Z ，应用整体代入法求得对称轴为23k x ππ=+，k ∈Z ，即可判断各项的对称轴方程是否正确.【详解】由于正弦函数的性质，有2,62x k πππ-=+k ∈Z ，即,23k x k ππ=+∈Z ， 当0k =时，3x π=，故选：D 3．D 【解析】 【分析】先求出2a b -的坐标，然后由()2a b c -∥，列方程求解即可 【详解】因为()2,3a =，()1,4b =， 所以22(2,3)(1,4)(3,2)a b -=-=，因为(),4c k =， ()2a b c -∥， 所以432k =，解得6k =， 故选：D 4．C 【解析】 【分析】利用余弦定理求出中间角的余弦值，再利用诱导公式可求得结果 【详解】由题意不妨设4,5,6a m b m c m ===，则22222222163625279cos 22464816a cb m m m m B ac m m m +-+-====⋅⋅， 所以9cos()cos()cos 16A CB B π+=-=-=-，所以最小角和最大角之和的余弦值为916-， 故选：C 5．B 【解析】 【分析】对于ACD ，举例判断，对于B ，利用数量积公式计算判断， 【详解】对于A ，若(1,0),(0,1)a b ==，此1a b ==，而a b ⊥，所以A 错误，对于B ，因为a 与b 是单位向量，,[0,]a b π∈，所以cos ,cos ,1a b a b a b a b ⋅==≤，所以B 正确，对于C ，当a b ∥，若,a b π=，则a b a b ⋅=-，所以C 错误，对于D ，当0b =时，满足a b ∥，b c ∥，而不一定有a c ∥，所以D 错误， 故选：B 6．A 【解析】 【分析】利用向量的三角形法则可求解. 【详解】BC BD DC BA AD DC =+=++又2AB CD =，12DC AB ∴=1122BC AB AD AB AB AD ∴=-++=-+ 1,12λμ∴=-=，32λμ∴-=-故选：A 7．B 【解析】 【分析】根据正弦定理可得6sin sin 5B A =，从而判断sin B 的范围，再根据边角关系，可得答案.【详解】 由正弦定理可得，,sin sin a b AB=sin 6sin sin sin 5b A B B A a ∴=⇒=， sin 30sin sin 45A <<，1sin 2A <<36sin 55A <<3sin 15B ∴<<<， ,b a >得B A >，B 可能为锐角，也可能为钝角，∴B 有两个值，故选:B. 8．A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】由题意有23cos 1120405a a θ==⇒--=，解得2a =或211a =-， 由于3cos 05θ=>，则210a ->，所以2a =满足题意. 故选：A 9．C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较即可 【详解】因为2log y x =在(0,)+∞4<<，所以22log log log 4，所以322222log 2log 3log 2<<， 所以23log 322<<，即322a <<， 31log 10lg 3b ==，因为3log y x =在(0,)+∞上为增函数，且109>， 所以33log 10log 92>=，即2b >， 因为2x y =在R 上为增函数，且100.42<<， 所以100.42222 1.5<<，即1 1.5c <<， 所以b a c >>， 故选：C 10．A 【解析】 【分析】由已知得出()()34g x f x -=-，()()2728g x f x -=-，将所求不等式变形为()()284f x f x ->-，结合函数()f x 的单调性可得出关于x 的不等式，即可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得()()34g x f x -=-，()()2728g x f x -=-， 由()()3270g x g x -+->可得()()4280f x f x -+->，因为奇函数()f x 在R 上单调递增，则()()()2844f x f x f x ->--=-， 所以，284x x ->-，解得4x >. 故选：A. 11．C 【解析】 【分析】令()0f x =，得到sin()x ϕ+=sin y x =5π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点及()f x 在5π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有3个零点，列不等式组，求出ϕ的取值范围. 【详解】令()()sin f x x ϕ=+，得()sin x ϕ+=. 当5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5π,2x ϕϕϕ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦.又02πϕ≤≤，所以55322ππϕπ≤+≤.因为sin y x =[]0,3π上的零点为3π，23π，73π，83π，且()f x 在5π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有3个零点，所以03758323πϕπππϕ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩或328532ππϕππϕ⎧<≤⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得06πϕ≤<或32ππϕ<≤解得：πππ0,,632⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.故选：C 12．B 【解析】 【分析】由题中角的关系及正弦定理可求解. 【详解】在ABC 中，如图所示：其中30B ∠=︒，2ADC C ∠=∠，45C ∠≤︒，且BD AC =. 记BD AC b ==， 在ABC 中，由正弦定理得2sin sin sin 30AB bAB b C C ︒=⇒=， 又BD AC b ==，在ABD △中，30230BAD ADC C ︒︒∠=∠-=∠-， 由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD=∠∠，即2sin sin(2)sin(230)b C b C C π︒=--，化简得cos sin(230)C C ︒=-，因为45C ∠≤︒且sin()cos 2πθθ-=或sin()cos 2πθθ+=，因此+2302C C π︒-=或2302C C π︒--=，解得40C ︒=或120C ︒=（舍）.故选：B 13．11 【解析】 【分析】根据函数的解析式，可令100x = ，即求得答案. 【详解】令100x =，则()lg100111f =， 即()211f =， 故答案为：11 14．35【解析】 【分析】根据诱导公式及二倍角的余弦公式，利用同角三角函数的基本关系转化为正切求解.【详解】tan 2α=22222222cos sin 1tan 143sin 2cos 2cos sin =2cos sin 1tan 1+45παααααααααα---⎛⎫∴+==-===- ⎪++⎝⎭， 故答案为：3515．20 【解析】 【分析】若设塔高m OA x =，则可得m,m OC x OD =，而OCD 中，120,20m OCD CD ∠=︒=，所以利用余弦定理可求得结果【详解】 设塔高m OA x =，由题意得在直角AOC △中，45ACO ∠=︒，所以m OA OC x ==,由题意得在直角AOD △中，30ADO ∠=︒，所以m OD =， 由题意得在OCD 中，120,20m OCD CD ∠=︒=， 所以由余弦定理得2222cos OD OC CD OC CD OCD =+-⋅∠，所以22134002202x x x ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，化简得2102000--=x x ，解得20x 或10x =-（舍去），所以塔高OA 为20m ， 故答案为：2016．18【解析】 【分析】由条件可得0CA CB ⋅=,()12CD CA CB =+，结合向量的加法将()()BA BC CA CD ⋅⋅化为2212CA BC ⨯=，结合均值不等式可得答案. 【详解】在Rt ABC 中，CA CB ⊥，1AB =,设,CA b CB a ==则221a b +=，0CA CB ⋅=,()12CD CA CB =+ ()()()()12BA BC CA CD BC CA CA CB BC CA ⎡⎤⎡+⎤⋅⋅=+⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()2212C BC CA A C CB B CA ⎛⎫=+⋅⋅ ⎪⎝+⎭ 222221112228a b a b ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭=，当且仅当a b ==. 故答案为：1817．(1)2； (2)6π.【解析】【分析】（1）由向量垂直的条件，以及向量数量积运算可求得答案；（2）由向量的数量积运算求得223a b -=，再由向量的夹角公式可求得答案.(1)解：因为()52a b a b ⎛⎫+⊥- ⎪⎝⎭，所以()502a b a b ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，即2235022a a b b +⋅-=， 又1b =，1a b ⋅=-，所以()2351022a +⨯--=，即24a =，解得2a =； (2)解：由（1）得2a =，所以()()2222224+4241+4112a ba ab b =-⨯-⨯-==-⋅，所以223a b -=，又()()22222126a a b a a b ⋅-⋅=-=-⨯-=，设a 与2a b -的夹角为θ，0θπ≤≤，则()26cos 2223a ab a a b θ===⨯⋅⋅--， 所以a 与2a b -的夹角为6π. 18．(1)()2cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (2)[1,2]-【解析】【分析】（1）根据图象先确定2A =，再由周期确定ω，最后根据点的坐标确定π6ϕ=-，即可求得函数解析式；（2）根据ππ,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，确定2ππ2,632x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合余弦函数的性质，求得答案. (1)由图象可知2A = ,(),41264T T ππππ=--== ， 故22πωπ== ， 将12x π= 代入解析式中得：2cos()26πϕ+= ， 故2,6k k Z πϕπ+=∈ ,而π2ϕ<，所以π6ϕ=-， 故()2cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； (2)当ππ,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2ππ2,632x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则1cos 2[,1]62x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 故()2cos 2[1,2]6f x x π⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的值域为[1,2]- .19．(1)3π【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化为角，结合两角和正弦公式，求得答案;（2）由2sin B C =求出sin B ，判断B 的范围，确定其余弦值，再利用两角和的正弦公式求得答案.(1)由cos 2cos cos c B a C b C =-可得:sin cos 2sin cos sin cos C B A C B C =-,sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=,故sin()sin 2sin cos C B A A C +==,而(0,),sin 0A A π∈≠ ,所以1cos 2C =， 由(0,)C π∈,故3C π=; (2)2sin B C =,即3sin 4B C ==，又sin sin B C <，故C 为锐角，则cos C =，故sin sin()sin()3A B C B π=+=+3142=⨯=. 20．(1)(,1)-∞(2)(1,)+∞【解析】【分析】（1）利用换元法，解一元二次不等式，可得答案;（2）换元，将不等式()22x f x m >-⋅变为一元二次不等式在给定区间上恒成立的问题，列出相应的不等式组，求得答案.(1)当0m =时，()2f x >-即242x m x +->-，即22(2)20x x -<-，令2,0x t t => ，则220t t --<，解得02t << ，故022,1x x <<< ，所以关于x 的不等式()2f x >-的解集为(,1)-∞ ；(2)对[]0,1x ∀∈，不等式()22x f x m >-⋅恒成立，即2422m x x x m +>-⋅-恒成立，令2,[1,2]x t t =∈ ，则2(2)20m t m t -++<恒成立，需满足1(2)1204(2)220m m m m ⎧-+⨯+<⎨-+⨯+<⎩ ，即23m m +> ， 而函数3x y x =+ 是单调递增函数，且1x = 时，3y = ，故由23m m +>可知：1m ，即求实数m 的取值范围为(1,)+∞ .21．(1)3π (2)3【解析】【分析】(1)利用正弦定理,边化角,结合二倍角公式,求得答案;(2)利用角平分线性质定理求得2c a =,再根据ABC ABD BCD S S S =+△△△a c =+, 即可求出,a c ,利用余弦定理求得b .(1)由sin 2sin 0a B b A -=可得: sin sin 2sin sin 0A B B A -=,因为(0,),sin 0A A π∈≠ ,故sin 2sin 0,2sin cos sin 0B B B B B -=-=, 又(0,),sin 0B B π∈≠,故12cos 10,cos 2B B -==, 所以3B π=;(2) 由角平分线性质定理可得2AB AD BC CD == ,即2c a = , 又ABC ABD BCD S S S =+△△△ ,即111sin 2sin 2sin 22222B B ac B c a =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ,a c =+,联立2c a =,解得a c ==,故22212cos 312292b ac ac B =+-=+-= , 故3b = .22．(1)(2)证明见解析； (3)11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用向量的运算法则求解；（2）设,AB a AC b ==，利用向量的运算法则可知111()414PE PA AE a b λ=+=-++， 111()414EQ EA AQ a b μ=+=-+-+，然后利用P E Q 、、三点共线可知2λμ+=. （3）利用三角形的面积公式可计算求得12214(1)S S λ=-+，然后根据0,2λμλμ≥=、+，可求出12S S 的取值范围. (1)解：由题意得： D 是边BC 的中点，E 是线段AD 的中点2220EA EB EC EA ED ++=+=(2)证明：设,AB a AC b == 于是11()24AE AD a b ==+ 又P PB A λ=，QC AQ μ=，λ，0μ≥(1)AC AQ QC AQ μ=+=+ ，()1AB AP PB AP λ=+=+11,11AP a AQ b λμ∴==++ 根据向量的运算法则可知11111()()14414PE PA AE a a b a b λλ=+=-++=-+++ 11111()()41414EQ EA AQ a b b a b μμ=+=-++=-+-++ P E Q 、、三点共线11111111414=111411416414PE EQ λωλμμ-⎛⎫⎛⎫+∴⇒=⇒-⋅-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭--+ 整理可得：111111()(2)1411114λμλμλμ+=⋅⇒++=++++，即2λμ+= 故λμ+为定值，定值为2.(3)设BAC θ∠=11,,211AP a AQ b λμλμ==+=++ 11111sin sin 2211APQ S SAP AQ a b θθλμ∴==⋅=⋅⋅⋅++ 211sin sin 22ABC S S AB AC a b θθ==⋅=⋅⋅ 1222111sin 11111211111(1)(3)234(1)sin 2a b S S a b θλμλμλλλλλθ⋅⋅⋅⋅++∴==⋅===+++--++--⋅⋅⋅ 0,+2λμλμ≥=、02λ∴≤≤()122111,4341S S λ⎡⎤∴=∈⎢⎥⎣⎦--。
2023-2024学年河南省安阳市殷都区高一下学期3月月考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年河南省安阳市殷都区高一下册3月月考数学试题一、单选题1．复数i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】D【分析】先利用复数的除法化简，再得到其共轭复数，利用复数的几何意义求解.【详解】因为()()()()i 1i 11i 1i 1i 2z -==++-，所以1122z i =-，所以对应的点位于第四象限．故选：D2．下列命题正确的是()A ．向量a 与b 共线，向量b 与c 共线，则向量a 与c共线B ．向量a 与b 不共线，向量b 与c 不共线，则向量a 与c不共线C ．向量AB 与CD是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点一定共线D ．向量a 与b 不共线，则向量a 与b都是非零向量【正确答案】D【分析】直接利用向量共线的充要条件以及反例判断即可．【详解】解：对于A ，如果0b =，则选项A 不正确；对于B ，向量a 与b 不共线，向量b 与c 不共线，则向量a 与c 可能共线也可能不共线；如图a AB =、b BD = 、c BC =，显然a 与b 不共线，向量b 与c 不共线，但是a 与c 共线；所以B 不正确；对于C ，在ABCD Y 中，向量AB 与CD是共线向量，但是A ，B ，C ，D 四点不共线，所以C 不正确．对于D ，若向量a 与b 不都是非零向量，即至少有一个为零向量时，向量a 与b共线，根据逆否命题的等价性可知，D 正确．故选：D ．3．如图，四边形ABCD 中，22BC AE ED == ，34BF BE = ，则CF =（）A ．3548BA CB+B ．3143BA BC-C ．1548BA BC-+D ．3548BA BC+【正确答案】A【分析】依据图形，结合向量的加法，减法，数乘运算的运算律利用BA ，BC表示CF .【详解】3313344248BF BE BA BC BA BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，3348CF BF BC BA BC BC =-=+-= 35354848BA BC BA CB -=+．故选：A.4．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2cos 3A =，2B A =．则b a =()A ．43B ．54C ．32D ．65【正确答案】A【分析】利用正弦定理并结合已知条件即可求解.【详解】由正弦定理可得，sin sin 22sin cos 42cos sin sin sin 3b B A A A A a A A A =====.故选：A.5．对于任意两个向量a 和b，下列命题中正确的是（）A ．若,a b 满足||||a b < ，且a 与b 反向，则a b>B ．||||||a b a b -- C ．||||||a b a b ⋅≥ D ．|||||a b a b +≤+ ∣【正确答案】D【分析】利用向量的概念以及向量的平行四边形法则、三角形法则、向量的数量积，判断选项的正误即可.【详解】A ，因为向量不能比较大小，故A 错误；B ，由向量的三角形法则可知，||||||a b a b -≥-，故B 错误；C ，|||||||cos |||||a b a b a b θ⋅=≤，故C 错误；D ，由向量的平行四边形法则可得|||||a b a b +≤+∣，故D 正确.故选：D6．定义：若()2i ,z a b a b =+∈R ，则称复数z 是复数i a b +的平方根.根据定义，复数940i -的平方根为（）A ．34i -，34i -+B ．43i +，43i -C ．54i -，54i -+D ．45i -，45i-+【正确答案】C【分析】设复数940i -的平方根为i(,)x y x y +∈R ，然后平方后根据复数相等即可得出结论.【详解】设复数940i -的平方根为i(,)x y x y +∈R ，则2(i)940i x y +=-，化简222i 940i x y xy -+=-，所以229x y -=，240xy =-，解得5x =，4y =-或5x =-，4y =，即复数940i -的平方根为54i -或54i -+，故选：C7．一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原米在轮船的南偏东32°方向上，经过10分钟的航行，则灯塔与轮船原来的距离为（）A ．2海里B ．3海里C ．4海里D ．5海里【正确答案】A【分析】如图，设A 为轮船原来的位置，B 为轮船10分钟后的位置，C 为灯塔的位置，然后在ABC 中利用余弦定理求解即可.【详解】如图，设A 为轮船原来的位置，B 为轮船10分钟后的位置，C 为灯塔的位置，由题意知1018360AB =⨯=，BC =1803228120BAC ∠=-︒-︒=︒︒．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠，所以21993AC AC =++，化简得23100C AC +-=，解得2AC =或5AC =-（舍去），所以灯塔与轮船原来的距离为2海里，故选：A8．在梯形ABCD 中，AB //CD 且AB =3CD ，点P 在边BC 上，若23AP AB AD λ=+，则实数λ=（）A ．23B ．13C ．14D ．12【正确答案】D【分析】延长AD ，BC 交于点E ，则,,B P E 三点共线，运用(1)AP x AB x AE =+-可求解.【详解】延长AD ，BC 交于点E ，则,,B P E 三点共线，于是可得2133AP AB AE =+，因AB CD ∥且3AB CD =，所以32AE AD = ，于是2132133232AP AB AD AB AD =+⨯=+ ，12λ=.故选：D9．已知向量a ，b 不共线，若向量43p a mb =+ 与向量3q b ma =+共线，则m 的值为（）A ．12±B ．0或12C ．0或1D ．0或3【正确答案】A【分析】根据向量共线的条件p q λ=,代入化简,对应系数相等【详解】因为43p a mb =+ 与3q b ma =+共线，可设p q λ= ，即()433a mb b ma λ+=+ ，因为a ，b 不共线，所以31,4,3m m λλ=⎧⎪⎨=⎪⎩所以12m =±.故选:A.10．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断正确的是（）A ．60B =︒，4c =，5b =，有两解B ．60B =︒，4c =， 3.9b =，有一解C ．60B =︒，4c =，3b =，有一解D ．60B =︒，4c =，2b =，无解【正确答案】D【分析】已知60B =︒，4c =的前提下，利用直角ADB 构造出关于b 的不等式，即可得出三角形的个数解.【详解】因为60B =︒，4c =，如图AD BD ⊥于D ，由直角ADB可得sin60AD c =⨯︒=当b =4b ≥时，有一解；当b <时，无解；当4b <<时，有两解.结合四个选项，可知，选项A ，B ，C 三项错误.故选：D11．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（）A ．sin :sin :sin 4:5:8A B C =B ．ABC 的最小内角是最大内角的一半C ．ABC 是钝角三角形D ．若6c =，则ABC【正确答案】B【分析】利用已知条件求出三边的比例，结合正余弦定理验证各选项的结论是否正确.【详解】由()()()::9:10:11a b a c b c +++=，不妨设9a b m +=，10a c m +=，11b c m +=，0m >，解得4a m =，5b m =，6c m =.由正弦定理知sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，即A 选项错误；∵c b a >>，∴最大的内角为C ，最小的内角为A ，由余弦定理知，2222222536163cos 22564b c a m m m A bc m m +-+-===⨯⨯，2222221625361cos 022458a b c m m m C ab m m +-+-===>⨯⨯，2231cos 22cos 121cos 48A A C ⎛⎫=-=⨯-== ⎪⎝⎭，角A 和角C 都为锐角，故12A C =，即B 选项正确；最大的内角为C ，∵cos 0C >，∴C 为锐角，ABC 是锐角三角形，即C 选项错误；∵1cos 8C =，∴sin 8C =，由正弦定理2sin c R C =，∴ABC的外接圆直径27R ==，即D 选项错误.故选：B12．若O 为坐标原点，4(,),(),OA n m OB p n== ()4,0F ，1,1AF m BF p =+=+ ，，则m p +的最小值是（）A ．1B ．2C ．3D ．6【正确答案】C【分析】根据平面向量的坐标表示以及模长公式，可得出m p +的表达式，通过整体代换利用基本不等式和二次函数单调性即可求得最小值.【详解】由题意知，4(4,),(4,)AF n m BF p n=--=-- ，又1,1AF m BF p =+=+ 可得，222222(4)214421n m m m p p p n ⎧-+=++⎪⎨⎛⎫-+=++⎪ ⎪⎝⎭⎩整理得()221642830m p n n n n ⎛⎫+=+-++ ⎪⎝⎭，令4t n n =+，则222168n t n+=-，且(][),44,t ∈-∞-⋃+∞，∴()()222822466m p t t t +=-+=-+≥，∴3m p +≥，即m p +的最小值是3.故选：C 二、填空题13．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数()1i i z a =+为“等部复数”，则实数=a __________．【正确答案】1-【分析】根据复数的乘法计算i z a =-+，由实虚部相等即可得解.【详解】()1i i=i z a a =+-+，由实部和虚部相等可得1a -=，所以1a =-，故答案为.1-14．已知向量()2,1a =- ，()3,0b = ，e 是与b 方向相同的单位向量，则a 在b上的投影向量为______.【正确答案】2e-【分析】a 在b 上的投影向量为cos ,a a b e，求出两向量夹角的余弦值，代入即可.【详解】设a 与b 所成角为θ，则cosa b a b θ⋅==-故a 在b 上的投影向量为cos 2a e e θ=- .故2e-15．已知1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+ ，且a 与b是一组基，则实数λ的取值范围是___________.【正确答案】11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】先由a 与b 共线，求得λ，再由a 与b 是一组基底，则a 与b不共线，取补集即可.【详解】因为1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，若a 与b共线，则a b μ=，即()12122a e e e e μλ=+=+ ，所以12λμμ=⎧⎨=⎩，解得122λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为a 与b是一组基底，所以若a 与b不共线，所以实数λ的取值范围是11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．若ABC 的内角A ，B ，C满足sin sin sin A C B +，则tan B 的最大值为______.【正确答案】【分析】先由正弦定理得到三边的关系，然后由余弦定理求角的余弦的最小值，再求得结果.【详解】已知sin sin A C B +=，由正弦定理可知a c +=，则()222222cos 1122a c b a c b b B ac ac ac+-+-==-=-，因为a c +≥243b ac ≥，所以1cos 3B ≥，则0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且当1cos 3B =时，角B 最大，而tan x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，此时sin 3B =，所以()max sin tan cos B B B ==故答案为.三、解答题17．已知复数()()2i z m m m m =-+∈R 是纯虚数．（1）求实数m 的值；（2）若复数ω满足z ω=，2ωω+=，求复数ω．【正确答案】（1）2m =；（2）1ω=或1ω=．【分析】（1）由复数z 为纯虚数，可得()20m m m ⎧-=⎨≠⎩，从而可求出m 的值；（2）由（1）知2i z =，令()i ,a b a b ω=+∈R ，由z ω=，2ωω+=，列方程可求出,a b 的值，从而可求出复数ω【详解】解：（1）由复数z 为纯虚数，有()200m m m ⎧-=⎨≠⎩，得2m =．（2）由（1）知2i z =，令()i ,a b a b ω=+∈R，有2ω==．又由()()i i 22a b a b a ωω+=++-==，得1a =，有b =．由上知1ω=或1ω=．18．已知平面内三个向量()7,5a = ，()3,4b =- ，()1,2c =．（1）求23a b c -+ ；（2）求满足a mb nc =-的实数m ，n ；（3）若()()//ka c b c -+，求实数k ．【正确答案】（1；（2）943,1010m n =-=-；（3）526k =.【分析】（1）根据向量坐标运算法则求出()2316,3a b c -+= 求出模长；（2）根据a mb nc =-得()()7,53,42m n m n =---，建立方程组即可求解；（3）求出()71,52ka c k k -=--，()2,6b c +=- ，根据向量平行的坐标表示即可得解.【详解】（1）∵()()()()237,523,431,216,3a b c -+=--+=，∴23a b c -+= （2）由a mb nc =-得()()7,53,42m n m n =---，∴3,42 5.7m m n n ⎧⎨-=--=⎩解得9,1043.10m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（3）()71,52ka c k k -=--，()2,6b c +=- ．∵()()//ka c b c -+ ，∴()()6712520k k -+-=，解得526k =．19．设向量,a b 满足1,||||1a b == ，且a 与b具有关系|||ka b a kb +=-r r r r (k ＞0)．(1)a 与b能垂直吗？(2)若a 与b夹角为60°，求k 的值．【正确答案】(1)不能(2)k ＝1【分析】（1）将|||ka b a kb +=-r r r r 两边平方，整理可得214k a b k+⋅= ，判断其是否能为零，可判断a与b能否垂直；（2）根据数量积的定义计算结合（1）中数量积结果，求得k 的值即可.【详解】（1）∵|||ka b a kb +=-r r r r，∴22||3||ka b a kb +=- ，∵1,||||1a b == ,∴22(12·312·)k ka b k ka b ＋＋＝＋－ ,∴214k a b k+⋅= ,∵0k >，∴2104k a b k+⋅=≠ ，即a 与b不垂直；（2）∵a 与b夹角为60°，且1,||||1a b == ,∴1||||cos 602a b a b ⋅=⋅⋅=,由（1）知214k a b k+⋅= ，∴21142k k +=,∴k =1.20．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin2cos cos A B Ca b c=+.(1)求证：tan 2sin sin A B C =；(2)若22232c bc a b -=-，求cos cos B C 的值.【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据正弦定理，正弦倍角公式，两角和的正弦公式即可求解；（2）根据余弦定理，同角的三角函数基本关系式，两角和的余弦公式即可进一步求解.【详解】（1）∵sin2cos cos cos cos A B C c B b Ca b c bc⋅+⋅=+=，sin 22sin cos A A A =，∴()2sin cos cos cos bc A A a c B b C ⋅=⋅+⋅，由正弦定理，得()()2sin sin sin cos sin sin cos sin cos sin sin B C A A A C B B C A B C =+=+，∵ABC 中，()sin sin 0B C A +=>，∴2sin sin cos sin B C A A =，∴sin 2sin sin cos A B C A=，∴tan 2sin sin A B C =.（2）由22232c bc a b -=-，∴22232b c a bc +-=，由余弦定理，得2223cos 24b c a A bc +-==，而ABC 中，sin 0A >，∴sin A =∴tan A =，由（1）知sin sin B C =∵()cos cos cos sin sin B C B C B C +=-，()3cos cos 4B C A +=-=-，∴39cos cos 6412B C =-=.21．设G 为ABC 的重心，过G 作直线l 分别交线段,AB AC (不与端点重合)于,P Q ．若,AP AB AQ AC λμ== ．（1）求11λμ+的值；（2）求λμ⋅的取值范围．【正确答案】（1）113λμ+=；（2）41,92⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）连结AG 并延长交BC 于M ，则M 是BC 的中点，设,AB b AC c ==，根据,AP AB b AQ AC c λλμμ===⋅=⋅ ，用,b c 表示PQ ，PG ，再由,,P G Q 三点共线求解；（２）由（1）得到()0,131λμλ=∈-，进而得到2211331λλμλλλ==--+，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）如图所示：连结AG 并延长交BC 于M ，则M 是BC 的中点，设,AB b AC c == ，则11()()22AM AB AC b c =+=+ ，21()33AG AM b c ==+ ①又,AP AB b AQ AC c λλμμ===⋅=⋅ ，②PQ AQ AP uc b λ∴=-=- ，111()()333PG AG AP b c b b c λλ=-=+-=-+ ，,,P G Q 三点共线，故存在实数t ，使PG tPQ = ，11()33b c t c t b λμλ∴-+=- ，则1313t t λλμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消t 得：13λλμ-=-，即113λμ+=.（２）(),0,1λμ∈ ，()0,131λμλ∴=∈-，1,12λ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，即()11,2λ∈，222111313931()24λλμλλλλ⋅===--+--+，其中132λ=时，213λλ-+有最大值94，112λ=，时，213λλ-+有最小值2，所以λμ⋅的取值范围是41,92⎡⎫⎪⎢⎣⎭22．如图，在扇形AOB 中，圆心角AOB 等于60°，半径为4，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设AOP θ∠=.(1)若点C 为OA 的中点，试求θ的正弦值；(2)求POC △面积的最大值及此时θ的值.【正确答案】(1)3938sin θ-=(2)POC △433o 30θ=.【分析】（1）（2），做，CD OB PF OB ⊥⊥，因CP OB ∥，则可得CD PF =，有()6060o o sin sin CO PO θ=-，再借助三角恒等变换、三角函数性质求解得答案.【详解】（1）如图，做，CD OB PF OB ⊥⊥，因CP OB ∥，CD PF ∥，则四边形CDFP 为平行四边形，则CD PF =，有()6060o o sin sin CO PO θ=-.当点C 为OA 的中点，又4PO =，则()260460o o sin sin θ=-⇒132323sin cos sin cos θθθ-=⇒=+，又2210sin cos ，sin θθθ+=>，则221123sin sin θ⎛⎫++=⇒⎪⎭2164390sin sin θθ+-=.解得：3938sin θ-=（2）因()6060o o sin sin CO PO θ=-，则4PO =，则()()608360360o o o sin sin sin PO θCO θ-==-，则()11636023o sin sin sin POC S OC OP θθθ=⋅=- ，其中060o o θ<<.216331163311223223422cos sin cos sin sin θθθθθ⎫⎛⎫-=-=-⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1631116311432303243243o sin θ⎡⎤⎛⎫=+-≤-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭23090o o θ+=，即o 30θ=时取等号.故POC △o 30θ=.。
2021学年河南省高一(下)第三次月考数学试卷有答案
2021学年河南省高一（下）第三次月考数学试卷（文科）学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 如果角α的终边过点(2sin60∘, −2cos60∘)，则sinα的值等于（）A.1 2B.−12C.−√32D.−√332. 已知1+sinαcosα=−12，则cosα1−sinα的值是（）A.1 2B.−12C.2D.−23. 函数y=2+√1−cos2x2的值域是（）A.{3, −1}B.{1, 3}C.{−3, −1, 1}D.{−1, 1, 3}4. 已知角α是第二象限角，且|cosα2|＝−cosα2，则角α2是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角5. 若sin(π6−α)=13，则cos(π3+α)等于（）A.−79B.−13C.13D.796. 下列四个函数中，既是(0, π2)上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是()A.y=tan xB.y=|sin x|C.y=cos xD.y=|cos x|7. 为得到函数y=cos(2x+π3)的图象，只需要将函数y=sin2x的图象向（）个单位．A.左平移5π12B.右平移5π12C.左平移5π6D.右平移5π68. 已知f(x)=a sin(πx+α)+b cos(πx+β)+4（a，b，α，β为非零实数），f(2013)=5，则f(2014)=()A.1B.3C.5D.不能确定9. 函数y=sin(π3−2x)的单调递减区间是（）A.[−kπ+π6, −kπ+2π3]，k∈ZB.[2kπ−π12, 2kπ+5π12]，k∈ZC.[kπ−π6, kπ+π3]，k∈ZD.[kπ−π12, kπ+5π12]，k∈Z10. 函数y=−52sin(4x+2π3)的图象与x轴各个交点中离原点最近的一点是（）A.(π12, 0) B.(−π12, 0) C.(−π6, 0) D.(π6, 0)11. 函数y=A sin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为()A.y=2sin(2x+2π3) B.y=2sin(2x+π3)C.y=2sin(x2−π3) D.y=2sin(2x−π3)12. 关于函数f(x)=4sin(2x+π3)，(x∈R)有下列命题：其中正确的是（）①由f(x1)=f(x2)=0可得x1−x2必是π的整数倍；②f(x)的表达式可改写为f(x)=4cos(2x−π6)；③f(x)的图象关于点(−π6，0)对称；④f(x)的图象关于直线x=π3对称；⑤f(x)在区间(−π3，π12)上是增函数．A.②③⑤B.①②③C.②③④D.①③⑤13. 扇形的周长是4，面积是1，则扇形的圆心角α的弧度数是________．14. 在区间[−2π, 2π]上满足sin x =cos x2的x 的值有________个．15. 化简√1−2sin 2cos 2的结果是________．16. 当x ∈[π6, 7π6]时，函数y =3−sin x −2cos 2x 的值域为________．17. 已知tan (π−α)=2，计算： （1）sin α+2cos αsin α−2cos α （2）3sin 2(π+α)−2cos 2(π−α)+sin (2π−α)cos (π+α)1+2sin 2α+cos 2α．18. 已知α∈(0, π)，sin α+cos α=13计算：（1）sin αcos α（2）sin α−cos α19. 已知函数y =a −b cos (2x +π6)(b >0)的最大值为32，最小值为−12． （1）求a ，b 的值；（2）已知函数g(x)=−4a sin (bx −π3)，当g(x)≥−1时求自变量x 的集合．)，x∈R20. 已知函数f(x)=3sin(2x−π3)，x∈[0, π]（1）在给定的平面直角坐标系中，利用五点法画函数f(x)=3sin(2x−π3的简图；)，x∈[−π, 0]的单调增区间；（2）求f(x)=3sin(2x−π3, 0]上有实根，求m的取值范围．（3）若方程f(x)=m在[−π2参考答案与试题解析2021学年河南省高一（下）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】B【考点】任意角的三角函数【解析】求出点的坐标，利用三角函数的定义求解即可．【解答】解：角α的终边过点(2sin60∘, −2cos60∘)，即(√3,−1)，由任意角的三角函数的定义可知：sinα=√(√3)2+(−1)2=−12．故选B．2.【答案】B【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】利用同角三角函数间的基本关系得到sin2α+cos2α=1，变形后计算即可求出所求式子的值．【解答】解：∵sin2α+cos2α=1，∴cos2α=1−sin2α=(1+sinα)(1−sinα)，∴1+sinαcosα=cosα1−sinα=−12．故选：B．3.【答案】A【考点】同角三角函数基本关系的运用三角函数值的符号【解析】函数解析式分母被开方数利用同角三角函数间的基本关系及二次根式的化简公式变形，根据x所在的象限分类讨论即可确定出值域．【解答】解：函数y=cos x|cos x|+sin x|sin x|+tan x|tan x|，当x为第一象限时，y=1+1+1=3；当x为第二象限时，y=−1+1−1=−1；当x为第三象限时，y=−1−1+1=−1；当x为第四象限时，y=1−1−1=−1，综上，y的值域为{3, −1}．故选：A．4.【答案】C【考点】三角函数值的符号【解析】根据α的范围判断出α2的范围，再由含有绝对值的式子得到角的余弦值的符号，根据“一全正二正弦三正切四余弦”再进一步判断α2的范围．【解答】由α是第二象限角知，α2是第一或第三象限角．又∵|cosα2|＝−cosα2，∴cosα2<0，∴α2是第三象限角．5.【答案】C【考点】运用诱导公式化简求值【解析】用诱导公式可得cos(π3+α)=cos[π2−(π6−α)]=sin(π6−α)，即可得答案．【解答】解：cos(π3+α)=cos[π2−(π6−α)]=sin(π6−α)=13，故选：C．6.【答案】B【考点】函数的周期性函数单调性的判断与证明【解析】根据函数单调性，周期性和奇偶性分别进行判断即可得到结论．【解答】解：A，函数y=tan x为奇函数，不满足条件，B，函数y=|sin x|满足既是(0, π2)上的增函数，又是以π为周期的偶函数，C，y=cos x的周期为2π，不满足条件，D，y=|cos x|在(0, π2)上是减函数，不满足条件．故选B．7.【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用诱导公式将y=sin2x转化为y=cos(2x−π2)，再利用函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换即可求得答案．【解答】解：∵y=f(x)=sin2x=cos(2x−π2)，∴f(x+5π12)=cos[2(x+5π12)−π2]=cos(2x+π3)，∴为了得到函数y=cos(2x+π3)的图象，只需要将函数y=sin2x的图象向左平移5π12个单位，故选A．8.【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值【解析】将x=2013代入解析式表示出f(2013)，代入f(2013)=5值计算得到a sinα+b cosβ的值，再将x=2014代入即可求出f(2014)的值．【解答】解：当x=2013时，f(2013)=a sin(2013π+α)+b cos(2013π+β)+4=−a sinα−b cosβ+4=5，即a sinα+b cosβ=−1，当x=2014时，f(2014)=a sin(2014π+α)+b cos(2014π+β)+4=a sinα+b cosβ+4=−1+4=3．故选：B．9.【答案】D【考点】正弦函数的图象【解析】利用诱导公式可得本题即求函数y=sin(2x−π3)的单调递增区间．令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，求得x的范围，可得函数y=sin(π3−2x)的单调递减区间．【解答】解：函数y=sin(π3−2x)=−sin(2x−π3)的单调递减区间，即函数y=sin(2x−π3)的单调递增区间．令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，求得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈z，故函数y=sin(2x−π3)的单调递增区间，即函数y=sin(π3−2x)的单调递减区间为[kπ−π12, kπ+5π12]，k∈Z，故选：D．10.【答案】A【考点】正弦函数的图象【解析】由4x+2π3=kπ(k∈Z)可求得x=kπ4−π6，对k赋值分析即可．【解答】解：由4x+2π3=kπ(k∈Z)得x=kπ4−π6，当k=0时，得点A(−π6, 0)，当k=1时，得点(π12, 0)，显然π12<π6，∴函数y=−52sin(4x+2π3)的图象与x轴各个交点中离原点最近的一点是(π12, 0)．故选A．11.【答案】A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】根据已知中函数y=A sin(ωx+ϕ)在一个周期内的图象经过(−π12, 2)和(−5π12, 2)，我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A，ω，φ值后，即可得到函数y=A sin(ωx+ϕ)的解析式．【解答】解：由已知可得函数y=A sin(ωx+ϕ)的图象经过(−π12, 2)点和(5π12, −2).则A=2，T=π即ω=2，则函数的解析式可化为y=2sin(2x+φ)，将(−π12, 2)代入得，−π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，即φ=2π3+2kπ，k∈Z，当k=0时，φ=2π3，此时y=2sin(2x+2π3).故选A.12.【答案】A【考点】命题的真假判断与应用正弦函数的对称性【解析】利用三角函数的图象和性质分别判断．【解答】解：①由f(x1)=f(x2)=0，得2x1+π3=kπ，2x2+π3=mπ，所以2x1−2x2=(k−m)π，即x1−x2=(k−m)π2，k，m∈Z，所以①错误．②f(x)=4cos(2x−π6)=4cos(π6−2x)=4sin[π2−(π6−2x)]=4sin(2x+π3)，所以②正确．③因为f(−π6)=4sin[2(−π6)+π3]=4sin0=0，所以f(x)的图象关于点(−π6，0)对称，所以③正确．④因为f(π3)=4sin(2×π3+π3)=4sinπ=0不是函数的最大值，所以f(x)的图象关于直线x=π3不对称，所以④不正确．⑤由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，得−5π12+kπ≤x≤π6+kπ，当k=0时，得−5π12≤x≤π6，即函数的一个单调增区间为[−5π12，π6]，所以函数f(x)在区间(−π3，π12)上是增函数，所以⑤正确．故选A．二、填空题（本题共计 4 小题，每题 3 分，共计12分）13.【答案】2【考点】扇形面积公式【解析】设扇形的圆心角的弧度数为α，圆的半径为r ，利用扇形的周长为4，面积为1，即可求得扇形的圆心角的弧度数． 【解答】解：设扇形的圆心角的弧度数为α，圆的半径为r ，则{2r +αr =412αr 2=1解得：α=2 故答案为：2． 14.【答案】 4【考点】求二倍角的正弦 【解析】由条件利用二倍角公式可得cos x2=0，或sin x2=12．再结合角的范围求得x 的值．【解答】解：∵ sin x =cos x2，∴ 2sin x2cos x2=cos x2，∴ cos x2=0，或sin x2=12． 由cos x2=0．可得x2=kπ+π2，解得 x =2kπ+π，k ∈z ． 由sin x2=12，可得x2=2kπ+π6，或x2=2kπ+5π6，解得x =4kπ+π3，或x =4kπ+5π3，k ∈z ．再根据x ∈[−2π, 2π]，求得x =−π，π，π3，5π3，共计4个值， 故答案为：4． 15.【答案】 sin 2−cos 2 【考点】求二倍角的正弦 【解析】利用sin 22+cos 22=1，及sin 2>0，cos 2<0即可求得√1−2sin 2cos 2的化简结果． 【解答】解：√1−2sin 2cos 2=√(2=sin 2−cos 2， 故答案为：sin 2−cos 2． 16. 【答案】 [78, 2] 【考点】三角函数的最值 【解析】利用同角三角函数间的关系与二次函数的配方法可求得y =2(sin x −14)2+78，x ∈试卷第11页，总15页[π6, 7π6]⇒−12≤sin x ≤1，从而可求函数y =3−sin x −2cos 2x 的值域．【解答】解：∵ y =3−sin x −2cos 2x =2sin 2x −sin x +1 =2(sin x −14)2+78，∵ x ∈[π6, 7π6]时， ∴ −12≤sin x ≤1，∴ 当sin x =14时，y min =78；当sin x =−12时，y max =2；∴ 函数y =3−sin x −2cos 2x 的值域为[78, 2]． 故答案为：[78, 2]．三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ） 17.【答案】 解：（1）∵ tan (π−α)=2=−tan α，∴ tan α=−2． ∴ sin α+2cos αsin α−2cos α=tan α+2tan α−2=−2+2−2−2=0． （2））3sin 2(π+α)−2cos 2(π−α)+sin (2π−α)cos (π+α)1+2sin 2α+cos 2α=3sin 2α−2cos 2α−sin α(−cos α)2+sin 2α=3sin 2α−2cos 2α+sin αcos α3sin2α+2cos 2α=3tan 2α−2+tan α3tan 2α+2=12−2−212+2=47．【考点】同角三角函数基本关系的运用 【解析】（1）由条件利用诱导公式求得tan α=−2，再根据sin α+2cos αsin α−2cos α=tan α+2tan α−2，计算求得结果．（2）利用诱导公式化简要求的式子为 3sin 2α−2cos 2α+sin αcos α3sin 2α+2cos 2α，再根据同角三角函数的基本关系化为3tan 2α−2+tan α3tan 2α+2，从而求得结果．【解答】 解：（1）∵ tan (π−α)=2=−tan α，∴ tan α=−2． ∴ sin α+2cos αsin α−2cos α=tan α+2tan α−2=−2+2−2−2=0． （2））3sin 2(π+α)−2cos 2(π−α)+sin (2π−α)cos (π+α)1+2sin 2α+cos 2α=3sin 2α−2cos 2α−sin α(−cos α)2+sin 2α=3sin 2α−2cos 2α+sin αcos α3sin 2α+2cos 2α=3tan 2α−2+tan α3tan 2α+2=12−2−212+2=47．18.解：（1）∵α∈(0, π)，sinα+cosα=13，∴1+2sinαcosα=19，∴sinαcosα=−49．（2）由(1)sinαcosα<0可得α为钝角，sinα>0，cosα<0，∴sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα=√1+89=√173．【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】（1）把所给的等式平方，化简可得sinαcosα的值．（2）由题意可得sinα>0，cosα<0，再根据sinα−cosα=√(sinα−cosα)2，计算求得结果．【解答】解：（1）∵α∈(0, π)，sinα+cosα=13，∴1+2sinαcosα=19，∴sinαcosα=−49．（2）由(1)sinαcosα<0可得α为钝角，sinα>0，cosα<0，∴sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα=√1+89=√173．19.【答案】解：（1）∵函数y=a−b cos(2x+π6)，cos(2x+π6)∈[−1,1]，∵b>0，∴−b<0，由题意可得{y max=b+a=32y min=−b+a=−12；解得：a=12，b=1．（2）由（1）知：g(x)=−2sin(x−π3)，∵g(x)=−2sin(x−π3)≥−1，∴sin(x−π3)≤12，∴2kπ−7π6≤x−π3≤2kπ+π6(k∈Z)，故x的集合为{x|2kπ−56π≤x≤2kπ+12π，k∈Z}．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】（1）根据条件可得cos(2x+π6)∈[−1,1]，−b<0，再根据{y max=b+a=32y min=−b+a=−12求得a、b的值．（2）根据g(x)=−2sin(x−π3)≥−1，求得sin(x−π3)≤12，从而求得x的集合．试卷第12页，总15页解：（1）∵函数y=a−b cos(2x+π6)，cos(2x+π6)∈[−1,1]，∵b>0，∴−b<0，由题意可得{y max=b+a=32y min=−b+a=−12；解得：a=12，b=1．（2）由（1）知：g(x)=−2sin(x−π3)，∵g(x)=−2sin(x−π3)≥−1，∴sin(x−π3)≤12，∴2kπ−7π6≤x−π3≤2kπ+π6(k∈Z)，故x的集合为{x|2kπ−56π≤x≤2kπ+12π，k∈Z}．20.【答案】解：（1）列表：∵x∈[0, π]，∴2x−π3∈[−π3, 5π3]，22作图：（2）令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈z，求得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，故函数f(x)的增区间为[kπ−π12, kπ+5π12]，k∈z．再结合x∈[−π, 0]，可得函数的增区间为[−π, −7π12]、[−π12, 0]．（3）∵方程f(x)=m在[−π2, 0]上有实根，∴函数y=f(x)的图象和直线y=m在[−π2, 0]上有交点．试卷第13页，总15页由x∈[−π2, 0]可得，2x−π3∈[−4π3, −π3]，sin(2x−π3)∈[−1, √32]，f(x)∈[−3, 3√32]．故m的取值范围为[−3, 3√32]．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】（1）由条件利用五点法做函数函数y=3sin(2x−π3)在一个周期上的简图．（2）根据正弦函数的定义域和值域，令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈z，求得x的范围，可得函数f(x)的增区间．（3）由题意可得，函数y=f(x)的图象和直线y=m在[−π2, 0]上有交点．由x∈[−π2, 0]，利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的范围，即为m的范围．【解答】解：（1）列表：∵x∈[0, π]，∴2x−π3∈[−π3, 5π3]，22作图：（2）令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈z，求得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，故函数f(x)的增区间为[kπ−π12, kπ+5π12]，k∈z．再结合x∈[−π, 0]，可得函数的增区间为[−π, −7π12]、[−π12, 0]．（3）∵方程f(x)=m在[−π2, 0]上有实根，∴函数y=f(x)的图象和直线y=m在试卷第14页，总15页[−π2, 0]上有交点．由x∈[−π2, 0]可得，2x−π3∈[−4π3, −π3]，sin(2x−π3)∈[−1, √32]，f(x)∈[−3, 3√32]．故m的取值范围为[−3, 3√32]．试卷第15页，总15页。
河南省安阳市龙安高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷
河南省安阳市龙安高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量(3,4)a =-r ，(6,)b x =r ，若//a b r r ，则x =（ ）A ．92-B ．92C ．8-D ．82．已知正方形ABCD 的边长为1,则AB AD +u u u v u u u v =A ．2B ．3C D ．3．已知点()2,2A ，()6,1B -，则与向量AB u u u v同向的单位向量为（ ）A ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭4．在△ABC 中，sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形中的最大角的大小为（ ） A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒5．在△ABC 中，a ＝7，c ＝3，∠A ＝60°，则△ABC 的面积为（ ）A B C ．D ．6．已知向量,a b r r 不共线，满足||||a b a b +=-r r r r ，则a b -r r 在b r 方向上的投影向量为（ ）A ．a rB ．b rC ．a -rD ．b -r 7．已知D 为ABC V 所在平面内一点，3DC CB =u u u r u u u r ，则AD =u u u r（ ）A ．1433AB AC -+u u u r u u u r B ．1332+u u u r u u u r AB AC C ．4133AB AC -u u u r u u u r D ．1344AB AC +u u ur u u u r8．在ABC V 中，点D 是线段BC (不包括端点)上的动点，若=+u u u r u u u r u u u rAB xAC yAD ，则（ ） A ．1x > B ．1y > C ．1x y +> D ．1xy >二、多选题9．设21,e e u r u u r 是平面内两个不共线的向量，则以下,a b r r 可作为该平面内一组基底的是（ ） A ．121,e a e b e =+=ur u u r u r r rB ．1212112,42a b e e e e =+=+u r u u r u r u u r r rC ．1212,a b e e e e =-+=-u r u u r u r u u r r rD ．12122,4e a e b e e =-=-+ur u u r u r u u r r r10．下列说法不正确的是（ ）A ．已知,a b r r 均为非零向量，则//a b r r ⇔存在唯一的实数λ，使得b a λ=r rB ．若向量,AB CD u u u r u u u r共线，则点,,,A B C D 必在同一直线上C ．若a c b c ⋅=⋅r r r r 且0c ≠r ，则a b =r rD ．若点G 为ABC V 的重心，则0GA GB GC ++=u u u r u u u ru u u rr11．已知向量(1,2),(,1)a b λ=-=r r ，记向量,a b r r的夹角为θ，则（ ）A ．2λ>时θ为锐角B ．2λ<时θ为钝角C ．2λ=时θ为直角D ．12λ=-时θ为平角12．已知向量(1,2),(,1)(0)a b m m ==<r r ，且向量b r满足()3b a b ⋅+=r r r ，则（ ）A ．||b rB ．(2)(2)a b a b ++r r r r ∥C ．向量2a b -r r 与2a b -r r 的夹角为π4D ．向量a r 在向量b r上的投影向量的模为三、填空题13．设平面向量()2,1a =-r ，(),4b x =r ，若a b ⊥r r ，则x 的值为.14．已知点()2,3A ，()6,3B -，若点P 满足3AB AP =u u u r u u u r，则点P 的坐标为．15．设(3,4),(2,1)AB AC =-=u u u r u u u r，则cos A =．16．已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()1cos 2cos b A a B +=-，2b c ==，则ABC V 外接圆的半径为．四、解答题 17．化简：(1)AB BC DC +-u u u ru u u ru u u r； (2)AB BC DC DE EA +-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；(3)()OA O BC B --u u u r u u u r u u u r ．18．已知(2,4),(4,6)A B -，若32AC AB =u u u r u u u r ，43BD BA =u u u r u u u r ，求CD u u u r的坐标．19．已知向量,,a b c r r r是同一平面内的三个向量，其中(1,1)a =-r ．(1)若c =r //c a r r ，求向量c r的坐标；(2)若b r 是单位向量，且(2)a a b ⊥-r r r ，求a r 与b r的夹角θ.20．在ABC V 中，已知120A =o ，7a =，8+=b c ，求,b c .21．如图，在ABC V 中，已知2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，M ，N 分别为AC ，BC上的两点12AN AC =u u u r u u u r ，13BM BC =u u u u r u u u r，AM ，BN 相交于点P ．(1)求AM u u u u r的值；(2)求证：AM PN ⊥．22．ABC ∆，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos cos 2cos a B b AC c+=．（1）求角C 的大小；（2）若ABC S ∆=4a =，求c ．。
河南省安阳市龙安高级中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试卷
河南省安阳市龙安高级中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量(),1a x =r，()4,b x =，且向量a 与b 方向相同，则x 的值为（ ）A ．－2B ．2C ．0D ．852．四边形ABCD 中，AB DC =，且AD AB AD AB −=+，则四边形ABCD 是（ ） A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形3．已知向量()2,1,3a =−，()1,4,2b =−−，(),6,7c γ=，若a 、b 、c 共面，则实数γ=（ ） A ．112B ．212C ．12D ．112−4．已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若cos cos a B b A =，则该三角形一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5．在ABC 中，已知2220,b bc c a −−==7cos 8A = ，则ABC 的面积S 为（ ）A B C D ．66．已知平面四边形ABCD 满足13AD BC =，平面内点E 满足52BE CE =，CD 与AE 交于点M ，若BM xAB y AD =+，则yx等于（ ） A ．52B ．52−C ．43D ．43−7．如图在△ABC ， 13AN NC =， P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m的值为（ ）A ．511 B ．14C ．311 D ．348．在平面直角坐标系中，已知向量(1,0)m =，(0,1)n =，定点A 的坐标为12（，），点M 满足22OM OA m n −=+，曲线{}cos sin ,02C N AN m n θθθπ==+≤≤，区域{},0U P r MP R r R =≤≤＜＜，曲线C 与区域U 的交集为两段分离的曲线，则A ．11r R ＜＜＜B ．11r R ≤＜＜C ．11r R ≤＜＜D ．11r R ＜＜＜二、多选题9．已知点()01,2,3P 在平面α内，平面{}00P n P P α=⋅=，其中()1,1,1n =是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是（ ） A ．()2,4,8−B ．()3,4,5C ．()3,2,1D ．()2,5,4−10．下列说法正确的有（ ）A ．已知()1,2a =−，()2,b x =，若a b ⊥，则1x =B ．已知0b ≠，若a b ∥，b c ∥，则a c ∥C ．若a b ≠，则a 一定不与b 共线D ．若()3,1AB =，()1,AC m m =−，BAC ∠为钝角，则实数m 的范围是34m < 11．已知直线:0l Ax By C ++=（,A B 不同时为0），则（ ）A ．当0,0AB =≠时，l 与x 轴垂直 B ．当0,0,0A BC ≠==时，l 与y 轴重合 C ．当0C =时，l 过原点D ．当0,0A B >>时，l 的倾斜角为锐角12．已知空间中三点()1,2,1A −，()1,3,1B ，()2,4,2C −，则（ ）A ．向量AB 与AC 互相垂直B ．与BC 方向相反的单位向量的坐标是⎝⎭C ．AC 与BCD ．BC 在AB三、填空题13．设平面向量()2,1a =−，(),4b x =，若a b ⊥，则x 的值为 .14．已知,x y 满足不等式组2202100x y x y x +−≤⎧⎪−−≤⎨⎪≥⎩，则点(),P x y 所在区域的面积等于 .15．已知向量(1,2),(,1)a b m =−=，若向量a b +与a 垂直，则m = . 16．在ABC 中，60A ∠=︒，1b =，ABCS=则ABC 的外接圆半径R 的值为 .四、解答题17．如图所示，ABC 的三边均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的所有有向线段表示的向量中：(1)写出与EF 相反的向量； (2)写出与EF 的模相等的向量； (3)写出与EF 相等的向量.18．已知向量()2,3a =，()1,2b =−． (1)求2a b +的坐标及2a b +；(2)若a b λ+与a b λ+共线，求实数λ的值． 19．已知平面向量,a b 是单位向量，且()2a a b ⊥−. (1)求向量,a b 的夹角；(2)若1,22a b ⎛−=− ⎝⎭，向量c 与向量a b −共线，且||||c a b =+，求向量c . 20．在ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，若2BD DC =，()AE AC AB λλ=−∈R ，且4AD AE ⋅=−．(1)求向量AB 在向量CA 方向上的投影． (2)求实数λ的值．21．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2222cos 3cos 2a b c a B A c c +−⋅+=. （1）如sin 2cC =，求a ；（2）若ABCS=3b c +=，求ABC 外接圆的面积.22．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()22222cos b c b a c abc C −−+=.（1）求角A 的大小.（2）若3ABC π∠=，D 为ABC 外一点，2BD =，1CD =，四边形ABDC 的面积是24+，求BDC ∠的大小.。
河南省安阳市2024届高三第三次模拟考试数学试题
河南省安阳市2024届高三第三次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知抛物线22(0)y ax a =>的焦点到准线的距离为1，则=a （ ） A ．2B ．1C ．12D ．142．已知i 为虚数单位，复数31(1i)nn z ==+∑，则z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在ABC V 中，13BD BC =，点E 是AD 的中点，记AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则BE =u u u r （ ）A ．1133a b -+r rB ．2136a b -+r rC ．1133a b --r rD ．2136a b -rr4．已知等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，116a =，公比12q =，则n T 取最大值时n 的值为（ ） A ．3B ．6C ．4或5D ．6或75．已知双曲线的方程为()2255R,0mx my m m -=∈≠，则不因m 的变化而变化的是（ ）A ．顶点坐标B ．渐近线方程C ．焦距D ．离心率6．已知函数()sin xf x x=，其中,A B 是锐角ABC V 的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()()sin sin f A fB > B ．()()cos cos f A f B >C ．()()cos sin f A f B >D ．()()sin cos f A f B >7．如图，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为,A B ，过原点的直线与椭圆E 交于,M N 两点，椭圆上异于,M N 的点P 满足0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，122PM PN F F c +==u u u u r u u u r u u u u r ，2NM AB ac ⋅=u u u u r u u u r，则椭圆E 的离心率为（ ）A1 B．4-CD8．现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（ ） A ．27π8B ．33π8C ．45π8D ．55π8二、多选题9．已知甲乙两人进行射击训练，两人各试射5次，具体命中环数如下表（最高环数为10.0环），从甲试射命中的环数中任取3个，设事件A 表示“至多1个超过平均环数”，事件B 表示“恰有2个超过平均环数”，则下列说法正确的是（ ）A ．甲试射命中环数的平均数小于乙试射命中环数的平均数B ．甲试射命中环数的方差大于乙试射命中环数的方差C ．乙试射命中环数的的25%分位数是9.2D ．事件A ，B 互为对立事件10．已知定圆A 的半径为1，圆心A 到定直线l 的距离为d ，动圆C 与圆A 和直线l 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为1p ，2p ，则（ ）A ．1d >B ．12p p d +=C ．212p p d =D ．12112p p d+> 11．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）A ．勒洛四面体ABCD 被平面ABC 截得的截面面积是(8πB ．勒洛四面体ABCD 内切球的半径是4C ．勒洛四面体的截面面积的最大值为2π-D ．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2三、填空题12．已知集合{}2|20A x x x a =--+>，R B =，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是 ．13．重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游平原的过渡地带．东邻湖北、湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西．现用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则共有 种涂色方式．14．如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，数阵中各项均为正数，1,22,33,41,43,13,10,a a a a a ===⨯，则,n n a = ；在数列{},1n a 中的任意,1k a 与1,1k a +两项之间，都插入()*N k k ∈个相同的数1(1)k k +-，组成数列{}n c ，记数列{}n c的前n 项和为n T ，则70T = ．四、解答题15．某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：(1)从这9天的数据中任选4天的数据，以X 表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求X 的分布列和数学期望；(2)由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y 关于天数x 的线性回归方程. （参考数据：999221111190,()60,()55482,9i i i i i i y y x x y y =====-=-=∑∑∑()()911800iii x x y y =--=∑，附：对于一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，L ，(,)n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆˆˆ,()n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybay bx x x xnx ====---⋅===---∑∑∑∑）. 16．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足6cos 2C c b +=，3a =. (1)证明：ABC V(2)若()2222211ABC S t a b c ≤++V 恒成立，求实数t 的取值范围.17．类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA ，PB ，PC 构成的三面角-P ABC ，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，二面角A PC B --的大小为θ，则cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（1）当α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，平行六面体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C ⊥平面ABCD ，160AAC ∠=︒，45BAC ∠=︒，①求1A AB ∠的余弦值；②在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DAC ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．18．已知函数()ln f x x x ax =+.（1）若()f x 在()1,e 上存在极小值，求a 的取值范围；（2）设()()()g x f x f x '=-（()f x '为()f x 的导函数），()g x 的最小值为()0g x ，且()032g x >-，求0x 的取值范围.19．已知双曲线C 上的所有点构成集合()(){}22,10,0P x y axby a b =-=>>和集合()(){}22,010,0Q x y axby a b =<-<>>，坐标平面内任意点()00,N x y ，直线00:1l ax x by y -=称为点N 关于双曲线C 的“相关直线”．(1)若N P ∈，判断直线l 与双曲线C 的位置关系，并说明理由； (2)若直线l 与双曲线C 的一支有2个交点，求证：N Q ∈；(3)若点N Q ∈，点M 在直线l 上，直线MN 交双曲线C 于A ，B ，求证：MA MBAN BN=．。
2021年高一下学期第三次阶段测试数学试题 含答案
饶平一中xx 年高一级第三次阶段测试2021年高一下学期第三次阶段测试数学试题 含答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分）1. 在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ）（1） （2） （3） （4）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（4）D ．（2）（3）2.在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性（ ） A.与第几次抽样无关，第一次抽中的可能性要大些 B.与第几次抽样无关，每次抽中的可能性相等C.与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性大些D.与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一样3.把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（ ）A. B. C. D.4. 下面为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为（ ）A. i>20B. i<20C. i>=20D. i<=205.袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A.至少有一个白球；都是白球B.至少有一个白球；至少有一个红球C.恰有一个白球；一个白球一个黑球D.至少有一个白球；红、黑球各一个 6. 在区域内任意取一点，则的概率是（ ）A ．0B ．C ．D ． 7. 在右面的程序框图表示的算法中，输入三个实数 ，要求输出的是这三个数中最大的数， 那么在空白的判断框中，应该填入（ ） A ． B ．C ．D ．8. 用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选S=0 i=1WHILE_____ INPUT x S=S+x i=i+1 END a=S/20 PRINT a20人进行评教，某男生被抽到的机率是（）A、B、C、D、二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分)13.投掷一枚均匀的骰子，则落地时，向上的点数是2的倍数的概率是_________，落地时，向上的点数为奇数的概率是________.14.在抽查某产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干个组，［a,b］是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m，该组上的直方图的高度为h，则|a-b|=________.15.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台报时，则他等待的时间不多于6分钟的概率是_________.16. 在区间上随机取一个数x，则的概率为 .三、解答题（本题共52分，解答应写出文字说明）17. (本题满分112分)如右图求的算法的程序框图。
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河南省安阳市高一下学期数学阶段性测试（三）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）在程序框图中，图形符号”平行四边形”可用于（）
A . 输出
B . 赋值
C . 判断
D . 结束算法
2. （2分）(2018·宣城模拟) 函数的部分图像如图所示，为了得到的图像，只需将函数的图象（）
A . 向左平移个单位长度
B . 向右平移个的单位
C . 向右平移个单位长度
D . 向左平移个单位长度
3. （2分）在右侧程序框图中，输入n=60，按程序运行后输出的结果是（）
A . 0
B . 3
C . 4
D . 5
4. （2分） (2018高二上·凌源期末) 如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的位置的概率为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）(2020·肇庆模拟) 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）
A . 45
B . 50
C . 55
D . 60
6. （2分） (2017高一下·卢龙期末) 现从编号为1～31的31台机器中，用系统抽样法抽取3台，测试其性能，则抽出的编号可能为（）
A . 4，9，14
B . 4，6，12
C . 2，11，20
D . 3，13，23
7. （2分） (2019高一下·三水月考) 下图是2019年我校高一级合唱比赛中，七位评委为某班打出的分数的茎叶统计图，去掉最高分和最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）
A . 84，4.84
B . 84，1.6
C . 85，4.84
D . 85，1.6
8. （2分） (2016高一下·成都开学考) =（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）向量，，且∥，则（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2018高二下·四川期中) 已知，则不等式成立的概率是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2016高二上·孝感期中) 某公司过去五个月的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据：
x24568
y 40605070
工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失．已知y对x呈线性相关关系，且回归方程为 =6.5x+17.5，则下列说法：
①销售额y与广告费支出x正相关；
②丢失的数据（表中处）为30；
③该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元；
④若该公司下月广告投入8万元，则销售额为70万元．
其中，正确说法有（）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
12. （2分）(2017·邢台模拟) 已知奇函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的导函数的部分图象如图所示，E是最高点，且△MNE是边长为1的正三角形，那么 =（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高一下·北京期中) 袋中有大小相同的黑球和白球各1个，每次从袋中抽取1个，有放回的随机抽取3次，则至少抽到1个黑球的概率是________.
14. （1分）已知函数f（x）=2sin（ϖx+φ）对任意x都有f（ +x）=f（﹣x），
则|f（）|=________．
15. （1分）(2017·成都模拟) 在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s2可能的最大值是________．
16. （1分）老师要求学生写一个“已知一正项数列{an}，满足a1=1，a2=1，an=an﹣1+an﹣2（n≥3，n∈N），计算an ．”的算法框图．右图是王华同学写出的框图，老师检查后发现有几处错误．其错误的序号是________ （写出所有错地方的序号）．
三、解答题 (共6题；共55分)
17. （15分） (2018高一下·包头期末) 设的内角，，所对的边分别为，，，且 .
（1）求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求面积的最大值.
18. （10分）某校初三（1）班、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下表：
（1）请你对下面的一段话给予简要分析：
高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算上上游了！”
（2）请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议．
19. （15分）(2016·海口模拟) 汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：
A型车
出租天数1234567
车辆数51030351532
B型车
出租天数1234567
车辆数1420201615105
（1）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；
（2）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（3）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．
20. （5分）抛掷一枚骰子，当它每次落地时，向上一面的点数称为该次抛掷的点数，可随机出现1到6点中的任一个结果．连续抛掷两次，第一次抛掷的点数记为a，第二次抛掷的点数记为b．
（1）求直线ax+by=0与直线x+2y+1=0平行的概率；
（2）求长度依次为a，b，2的三条线段能构成三角形的概率．
21. （5分） (2016高一上·金华期末) 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜，x∈R）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当x∈[﹣， ]时，求函数g（x）的值域．
22. （5分）(2018·南阳模拟) 随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图.
(Ⅰ)由折线图得，可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系.求关于的线性回归方程，并预测公司2017年5月份（即时）的市场占有率；
(Ⅱ)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不形同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表见上表.
经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
（参考公式：回归直线方程为，其中）
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共55分)
17-1、
17-2、
17-3、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
19-3、
20-1、
21-1、
22-1、。