黑龙江省宾县第二中学2020-2021学年高二下学期第二次月考数学(文科)试卷

宾县第二中学2020-2021学年度下学期第二次月考
高二数学（文科）试卷
考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案规范填写在答题卡上。

一、选择题：（本大题共12题，每题5分共60分。

） 1、已知复数
i
i
z +=
1，其中是虚数单位，则在复平面上对应的点在第几象限？（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2、已知点的极坐标为⎪⎭
⎫
⎝
⎛32,2π，则它的直角坐标是（ ）
A ．()3
,
1
B ．()3,1-
C ．()3,1-
D ．()3,1--
3、已知变量x ,y 具有线性相关关系，测得),(y x 的一组数据如下：(0,1),(1,2),(2,4),(3,5),其回归方程为a x y +=∧
4.1，则a 的值等于（ ） A ．0.9
B ．0.8
C ．0.6
D ．0.2
4、极坐标方程6sin ρθ
=-化为直角坐标方程是（ ）
A ．
60x -=
B ．60y -
= C ．22(3)9x y ++=
D ．22(3)9x y ++=
5、参数方程)(sec 2tan 为参数θθθ
⎩
⎨⎧==y x 表示的曲线的离心率等于（ ）
A B C D ．2
6、欲将曲线变换成曲线，需经过的伸缩变换为（ ）
A. B. C. D.
7、曲线{
x =−1+cosθ
y =2+sinθ
(θ为参数)的对称中心( ) A ． 在直线y ＝2x 上B ． 在直线y ＝－2x 上C ． 在直线y ＝x －1上D ． 在直线y ＝x ＋1上
8、将参数方程⎩⎨⎧=+=θ
θ
2
2sin sin 1y x (θ为参数)化为普通方程为（ ） A ．1-=x y B ．1+=x y C ．1-=x y (21≤≤x ) D ．1+=x y (10≤≤y )
9、直线⎪⎩⎪⎨
⎧+=--=t
y t
x 2322(t 为参数)上与点)3,2(-A 的距离等于2的点的坐标是（ ） A ．)5,4(- B ．)4,3(- C ．)4,3(-或)2,1(-
D ．)5,4(-或)
1,0( 10、若曲线（为参数）与曲线，两点，则的值为（ ）
A B C D
11、在极坐标系中，已知两点)6,2(π
A ，)6
,2(π-B ，则||AB 等于( )
A ．3
2
B ．3
C ．4
D ．2
12、张、王、李三个同学在看a ，b ，c 三位运动员进行“乒乓球冠军争夺赛”赛前，对于谁
会得冠军进行预测，张说：不是b ，是c ；王说：不是b ，是a ；李说：不是c ，是b .比赛结果表明，他们的话有一人全对，有一人对一半错一半，有一人全错，则冠军是.（ ） A ．a
B ．b
C ．c
D ．不能预测
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、直线⎩
⎨
⎧+-=+=t y t
x 311（t 为参数）的斜率为 .
14、在直角坐标系xoy 中，点M(−√3,−1).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系
（02θπ≤<），则点M 的极坐标为 .
15、在直角坐标系中，点到直线（为参数）的距离是__________．
16、点上，求点到直线的最大距离是_______________．
三、解答题：（17题10分，18-22每题12分，共70分）
z A 22143
x y +=22
1x y ''+=ϕ2x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩12x x y y
⎧'=⎪⎪⎨⎪
'=
⎪⎩43x x y y '=⎧⎨'=⎩1413x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩
21x t
y t
=-=-+⎧⎨⎩t ρ=B C BC ()21-，2:x t
l y t =-⎧⎨=⎩t P P 3424x y -=
17、（10分）在极坐标系下，已知曲线：和曲线：．
（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；（2）当时，求曲线和曲线公共点的一个极坐标．
18、（12分）已知曲线C 上任意一点到点()0,1F 的距离与到直线1-=x 的距离相等，在直角坐标
系中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
0224sin =+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-πθρ
（1）求直线l 与曲线C 的普通方程；
（2）已知()2,1--P ，直线l 与曲线C 交于
A 、
B 两点，求
PB
PA -.
19、（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄
y i (单位：千元)的数据资料，算得
8010
1
=∑=i i
x
，20101
=∑=i i y ，184101
=∑=i i i y x ，72010
1
2=∑=i i x .
(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^
＝∧b x ＋∧
a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^
＝∧b x ＋∧
a 中，
∧
b ＝
∑∑=-=-
---n
i i n
i i
i
x
n x y
x n y
x 1
2
2
1，∧
a ＝y －
－∧b x －
，其中x －，y －
为样本平均值.
20、（12分）我国从2021年开始，部分省份高考取消文理分科，实行“3＋1＋2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目，某校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，随机抽取了100名学生进行问卷调查，如下表是根据调查结果得到的2
（1）求m ，b ，c 的值；
（2）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由.
有，其中.
21、（12分）在直角坐标系中，圆1C 1:22=+y x 经过伸缩变换⎩⎨
⎧==y
y x
x 3'2'后得到曲线.2C 以坐
标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为+
θρcos 2()sin 3θ9=.
（1）求曲线2C 的直角坐标方程及直线l 的直角坐标方程； （2）设点M 是2C 上一动点，求点M 到直线l 的距离的最大值．
22、（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原
点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于，两点，求的面积．
1C cos sin ρθθ+＝2C (sin )4ρθπ-1C 2C ()0θ∈π，1C 2C ()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++xOy l 212
x y ==-+⎧⎪⎪⎨⎪
⎪⎩t x C 223
2cos 1
ρθ=+C l C M N MON △
宾县第二中学2020-2021学年度下学期第二次月考
高二数学（文科）答案
13
14、72,
6
π
⎛⎫ ⎪⎝⎭
15、
16三、解答题：
17、【答案】（1）：，：；（2）．
【解析】（1）圆：，即， 曲线的直角坐标方程为：，即， 曲线：
， 则曲线的直角坐标方程为：，即． （2）由，得，
则曲线和曲线公共点的一个极坐标为．
18、（1）由已知，曲线是以()0,1F 为焦点，直线1-=x 为准线的抛物线，其标准方程为x y 42=
0102
2cos 22sin 220224sin =--⇒=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒=+⎪⎭⎫
⎝
⎛
-
y x θθρπθρ 即直线l 的普通方程为01=--y x ......5分
（2）点P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为()为参数t t y t
x ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+-=+-=2
2222
1，代入x y 42=得 016282=+-t t ，设点B A 、对应的参数分别为21t t 、，则16,282121==+t t t t
()842
12212121=-+=
-=-=-t t t t t t t t PB PA ......10分
19、解 (1)由题意知n ＝10，＝110∑i ＝1n x i ＝80
10＝8，
＝110∑i ＝1
10y i ＝20
10＝2，
＝＝184－10×8×2720－10×82＝2480＝0.3，
＝－＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为＝0.3x －0.4.
(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关. (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).
20、试题分析：（1）根据样本容量为100可以先计算出，再依次计算出；
（2）利用题目所给公式计算出的值，与比较，若的值大于，则认为有的把握认为选择科目与性别有关.
1C 220x y x y +--＝2C 10x y -+＝1,2
π⎛⎫
⎪⎝⎭
O cos sin ρθθ+＝2cos sin ρρθρθ+＝1C 22x y x y ++＝220x y x y --＋＝2C sin 4ρθπ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
sin cos 1ρθρθ-＝
2C 1y x -＝10x y -+＝22010x y x y x y ⎧-⎨-+⎩
+-＝＝0
x y ⎧⎨⎩＝＝11C 2C 1,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
60m =,b c 2
K 7.8792
K 7.87999.5%
详解：解：（1）随机抽取的名学生中女生为人，则男生有人， 所以；
则K 2的观测值：，
因为12.7＞7.879，
所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关.
21、由122=+y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y
y x x 3'2'可得曲线2C 的方程为1)3(
)2(2
2=+y x ， 即13
42
2=+y x ，由极坐标方程9
)sin 3cos 2(=+θθρ，可得直线l 的直角坐标方程为 .0932=-+y x ……………………………………………………………………6分
⑵因为椭圆的参数方程为⎩⎨
⎧==α
α
sin 3cos 2y x (α为参数)，所以可设点)sin 3,cos 2(θθM ，
由点到直线的距离公式，点M 到直线l 的距离为=-+=
7
|
9sin 3cos 4|ααd
(其中53
cos ,54sin ==ϕϕ)，由三角函数性质知，当sin()1αφ+=-时，
点M 到直线l 的距离有最大值.72…………………………………………12分
22、【答案】（1）；
（2）． 【解析】（1）因为， 所以曲线的直角坐标方程为．
（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程，
得，设，两点对应的参数分别为，，则，， 于是， 直线的普通方程为，则原点到直线的距离，
所以．
100
401004060-=60,10,20m b c ===2
2
100(502010
20)12.7
70306040K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯22
13
y
x +=3
4()2222
3
2cos 132cos 1
ρρθθ=⇒
+=+C 2
2
13
y x +=l 21x y ==-+⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩t
C 250t -
+=M N 1t 2t 12t t +=125t t ⋅=MN =
=
l 10x y +-=O l d =
=
1324
MON S MN d =
⋅=△。