(优辅资源)四川省成都外国语高级中学高二10月月考文数Word版含答案

成都外国语学校2017-2018学年度高二上期十月
月考
数学试题(文科)
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。

2. 本堂考试120分钟，满分150分。

3．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密
封线内。

4．考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。

第Ⅰ卷（60分）
一．选择题:（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中
只
有一项是符合题目要求的）。

1.圆 2
2(2)5++=x y 关于原点对称的圆的方程是(
A )
A. 2
2(2)5-+=x y B. 22(2)5x y +-= C. 2
2(2)
(2)5+++=x y D. 22(2)5++=x y
2.设,、∈x y R 则“2≥x 且2≥y ”是“2
2
4+≥x y ”的( A ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
3．椭圆
22
1167
+=x y 的左右焦点分别为12,F F ,一直线过1F 交椭圆于A ，B 两点， 则 2∆ABF 的周长为 （ B ）
A.32
B.16
C. 8
D. 4
4. 已知命题:0,ln(1)0p x x ∀>+>；命题 22
:,q a b a b >>若则 ， 下列命题为
真命题的是（ B ）
A 、p ∧q
B 、p ∧￢q
C 、￢p ∧q
D 、￢p ∧￢q
5．已知点M （a,b ）（ab ≠0），是圆2
2
2
+=x y r 内一点，直线m 是以M 为中点的弦所在的
直线，直线l 的方程是2+=ax by r ，则（ C ） A. l ∥m 且l 与圆相交 B. l ⊥m 且l 与圆相切
C. l ∥m 且l 与圆相离
D. l ⊥m 且l 与圆相离
6. 已知椭圆C ：22
221x y a b
+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为
直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ A ）
A ．
3
B ．
3
C ．
3
D ．13
7．已知P 为椭圆
22
=12516x y +上的一点，M N 、分别为圆2231()x y ＋＋＝和圆2()3x －＋24y ＝上的点，则PM PN ＋的最小值为（ B ）
A ．5
B ．7
C ．13
D ．15
8．平面内到点（1，1）的距离为1且到点（1，4）的距离为2的直线有（ C ）条。

A. 1 B. 2 C.3 D.4
9．若关于x 320kx k -+=有且只有两个不同的实数根，则实数k 的 取值范围是 ( D ) A.5，+12⎡⎫∞⎪⎢
⎣⎭ B. 5，112⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 50，12⎛⎤
⎥⎝⎦
D. 53，124⎛⎤ ⎥⎝⎦ 10．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12
e =，右焦点为F （c ，0），方程20
ax bx c +-=的
两个实根分别为1x 和2x ，则点12,p x x （）的位置（ A ）
A ．必在圆222x y +=内
B ．必在圆222x y +=上
C ．必在圆222x y +=外
D ．以上三种情形都有可能
11.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=＞＞过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的
直线
与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（ B ）
12．已知椭圆 2
2:12
+=x C y ，点 125M ,M M 为其长轴 AB 的 6 等分点，分别过这
五点作斜率为 (0)k k ≠ 的一组平行线，交椭圆 C 于 12
10,P P P ，则10条直线
12
10,AP AP AP 的斜率乘积为（ D ）
A.
1
4 B.
116
C. 18
-
D. 132
-
【解析】设其中的任一等分点为
，过
的直线交椭圆于点
、
，不妨设直线
的方程为
，则与椭圆方程联立可得：
整理后可得
．
从中可以得到
所以
．
当 分别取
、
、
、
、
时，算出斜率的乘积为
．
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上的相应位置）.
13.若()21，-P 为圆()2
2125-+=x y 的弦AB 的中点,
则直线AB 的方程是 ▲ .
.
14．若命题“∃∈x R ,使得()2
110+-+<x a x ”是假命题,
则实数a 的取值范围是 ▲ .
15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A(-3,0)和C(3,0)，顶点B 在椭圆
2212516+=x y 上，则sin sin 2sin +=A C B ▲ . 5
6
16．已知以4T =
为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。

若方程
3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为 ▲ .
三、解答题：(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)
17．（本小题满分10分）已知 ()()0,:1-50,:1-1>+≤≤≤+m p x x q m x m .
（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；
（2）若m=5，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数x 的取值范围． 解：（1） 由题知 ：
．
因为 是 的充分条件，所以
是
的子集，
所以 解得 ．所以实数 的取值范围是 ．
（2） 当 时，：，依题意得， 与 一真一假．
当 真 假时，有 无解；
当 假 真时，有 解得 或 ．
所以实数 的取值范围为 ．
18.（本小题满12分）已知 ∆ABC 的顶点()
5，1A ，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为
250--=x y ，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 250--=x y ．求：
（1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程．
解： （1）
，
，
直线 的方程为 ，整理得 ．
由 解得 顶点 的坐标为 ．
（2） 设顶点 的坐标为
，点 在直线 上，
线段 的中点 的坐标为 ，点 在中线 上，
，整理得
由 联立，解方程组得 ，，即点 的坐标为 ．
又 ， 直线 的方程为
，整理得 ．
19．（本小题满分12分）椭圆2
2
1+=ax by 与直线10+-=x y 相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB|＝22，OC 的斜率为
2
2
，求椭圆的方程． 解析 方法一：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差，得
a(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝2
2，
代入上式可得b ＝2a.
再由|AB|＝1＋k 2
|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， 其中x 1，x 2是方程(a ＋b)x 2
－2bx ＋b －1＝0的两根．
故(2b a ＋b )2－4·b －1a ＋b ＝4.将b ＝2a 代入，得a ＝13，∴b ＝2
3. ∴所求椭圆的方程是x 2
3＋2y 23
＝1.
方法二：由⎩
⎪⎨⎪⎧ax 2
＋by 2
＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b)x 2
－2bx ＋b －1＝0.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝（k 2＋1）（x 1－x 2）
2
＝
2·
4b 2
－4（a ＋b ）（b －1）
（a ＋b ）
2
. ∵|AB|＝22，∴
a ＋
b －ab
a ＋b
＝1.①
设C(x ，y)，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a
a ＋
b .
∵OC 的斜率为
22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23
. ∴椭圆方程为x 2
3＋23y 2
＝1.
方法三：中点弦的斜率结论
20. （本小题满分12分） 平面上两点)0,1(),0,1(B A -，在圆4
)4()3(:2
2
=-+-y x C 上取一点P ，求 ：①0≥+-c y x 恒成立，求c 的范围 ②求2
2
PB PA +的最值。

解析：①由0≥+-c y x ，得x y c -≥，由圆的参数方程的
θθc o s 23s i n 24--+≥c ，所以122+≥c ②设
),(b a P ，则
22
22222
PA PB a b +=++，此为圆
4)4()3(:22=-+-y x C
上的点到原点的距离平方，所以最小值为20，)5
12
,
59(P ；最大值为100，)5
28
,521(
P 。

21. （本小题满分12分）求过两圆 2
2
28-80+++=x y x y ， 2
2
-4-4-20+=x y x y
的交点且面积最小的圆的方程．
解： 两圆圆心坐标分别为
，
，半径分别为 ，
，
两圆圆心所在直线方程为 ，
即
公共弦所在直线方程为
解 组成的方程组得面积最小的圆的圆心坐标为 ，
又点
到
的距离为
，
该圆的半径为 ，
所以所求圆系中面积最小的圆的方程为 ．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：22
22=1x y a b
+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），
P 4（1，
2
）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，
求证：l 过定点.
试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.
又由
2222
1113
4a b a b
+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此2
221
11314b a
b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2
241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.
故C 的方程为2
214
x y +=.
（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，
如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，
可得A ，B 的坐标分别为（t
，（t
，）.
则121k k +-=-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2
214
x y +=得
222(41)8440k x kmx m +++-= 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841
km
k -+，x 1x 2=224441m k -+.
而121212
11
y y k k x x --+=+
121211
kx m kx m x x +-+-=+
121212
2(1)()
kx x m x x x x +-+=
.
由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.
即222448(21)(1)04141m km
k m k k --+⋅+-⋅=++.
解得1
2
m k +=-.
当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即1
1(2)2
m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）。