2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市师大附中高二上学期期末考试 数学(理) word版

哈师大附中2020-2021年度高二学年上学期期末考试
数学试卷（理科）
考试时间：120分钟 满分：150分
一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1.设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 2.若直线2-=x y 被圆2
2
()4-+=x a y
所截得的弦长为 a 的值为 （ ） A. 0或4
B. 1 或3
C. 2- 或6
D. 1- 或
3.若抛物线2
2(0)=>y px p 的焦点是椭圆
22
13x y p p
+=的一个焦点，则 p =（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
4.8
21⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x 的展开式中常数项为（ ）
A ．1635
B ．835
C ．4
35 D ．105
5.设双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>> 的左、右焦点分别为12,F F
，P 是C 上
一点，且12⊥F P F P ．若12PF F ∆的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
6.直线40x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22
(2)2x y -+=上，则ABP ∆
面积的取值范围是（ ） A ．[]8,16
B ．[]16,32
C
． D
．⎡⎣
7.已知双曲线
22
21(0)4x y b b
-=>，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的
两条渐近线相交于,,,A B C D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ） A. 22
3144
x y -= B.
224143x y -= C. 22144x y -= D. 22
1412
x y
-=
8.设12,F F 是椭圆 2222:1(0)x y E a b a b +=>> 的左、右焦点，P 为直线3
2
x a =上一点，
21F PF ∆ 是底角为30︒的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
A. 12
B. 23
C. 34
D.
45
9.设有下列四个命题：
1:p 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
2:p 过空间中任意三点有且仅有一个平面. 3:p 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. 4:p 若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.
则下述命题中所有真命题的个数是（ ）
① 14p p ∧ ②12p p ∧ ③23()⌝∨p p ④34()()⌝∨⌝p p
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.已知抛物线2
2(0)y px p =>，ABC ∆的三个顶点都在抛物线上，O 为坐标原点，设ABC ∆
三条边,,AB BC AC 的中点分别为,,M N Q ，且,,M N Q 的纵坐标分别为123,,y y y ，若直线AB ， BC ，AC 的斜率之和为1-，则
123
111
y y y ++的值为（ ） A ．12p - B ．1p - C. 1p D. 12p
11.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节
目不相邻的排法种数是（ ）
A. 144
B. 120
C. 72
D. 48
12.已知椭圆22
:143
x y C +=的左、 右顶点分别为A B ,，右焦点为F ，圆224x y +=上有一动点 P （P 不同于A B ,两点），直线 PA 与椭圆 C 交于点 Q ，则 PB QF k
k 的取值范围是 （ ）
A. 33(,)(0,)44-∞-
B. ()3
,0(0,)4
-∞ C. (,1)(0,1)-∞- D. (,0)(0,1)-∞
二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知实数 ,x y 满足条件002x y y x y -≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
， 则目标函数2z x y =+ 的最大值为_________．
14.设52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则012345+++++=a a a a a a
_________．（用数字作答）
15.某校安排5个班到3个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，
不同的安排方法共有_________种．（用数字作答）
16. 已知抛物线 2
:2(0)E y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于,A B 两点，过点,A B 分别作l 的垂线，垂足分别为,C D 两点，直线AB 交l 于G 点，若3AF FB =，则下述四个结论：
①CF DF ⊥；②直线AB 的倾斜角为4
π或34π
；③F 是AG 的中点；④ AFC ∆为等边三角
形，其中所有正确结论的编号是_________．
三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分） 已知,∈a b R ，
（1）求证：2
2
22()++≥+a b a b ；（2）若321+=a b ，求22+a b 的最小值．
18. （本题满分12分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 13sin x y α
α
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()236
π
ρθ+=．
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）射线OP 的极坐标方程为6
π
θ=
，若射线 OP 与曲线C 的交点为A ，与直线l 的交点为
B ，求线段AB 的长．
19.（本题满分12分）
A B 、分别是椭圆120
362
2=+
y x 长轴的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥. （1）求点P 的坐标；
（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到M 的距离d 的最小值.
20.（本题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==,
1
12
BC AD =
=，3CD =． （1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
（2）若M 为棱PC 的中点，求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值； （3）若二面角M BQ C --大小为30，求QM 的长．
21. （本题满分12分）
已知O 为坐标原点，过点 (1,0)M 的直线l 与抛物线 2
:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，
3OA OB ⋅=- ．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）过点 M 作直线l l '⊥ 交抛物线 C 于,P Q 两点，记 ,OAB OPQ ∆∆的面积分别为12,S S ，
证明： 2212
11
S S +为定值．
22.（本题满分12分）
如图，椭圆2222:1(0)x y W a b a b
+=>>的离心率为3，其左顶点A 在圆22
:16O x y +=上．
(1)求椭圆W 的方程；
(2)直线AP 与椭圆W 的另一个交点为P ，与圆O 的另一个交点为Q ． （i ）当82
||5
AP =
时，求直线AP 的斜率； （ii ）是否存在直线AP ，使得
||
3||
PQ AP =? 若存在，求出直线AP 的斜率； 若不存在，说明理由．
哈师大附中2020-2021年度高二学年上学期期末考试
数学答案（理科）
一．选择题
A A D
B A A D
C C B B D
二．填空题
13. 4 14. 243 15. 150 16.① ③④ 三．解答题
17.解：（1）2
2
12,12+≥+≥a a b b ，2
2
222∴++≥+a b a b
—————————————————— 5分 （2）因为2
2
2
2
2
()(32)(32)1++≥+=a b a b
故22113+≥a b ，当且仅当32321
⎧=⎪
⎨⎪+=⎩a b
a b ，即32,1313==a b 取等
故22min 1
()13
+=a b —————————————————— 10分
18.解：（1） 由 {
x =√3cosα,
y =1+√3sinα,
所以 x 2+(y −1)2=3cos 2α+3sin 2α=3，
所以曲线 C 的普通方程为 x 2+(y −1)2=3． —— —————— 3分 由 ρsin (θ+π
6)=2√3，可得 ρ(√3
2sinθ+1
2
cosθ)=2√3，
所以直线 l 的直角坐标方程为 x +√3y −4√3=0． —— —————— 5分 （2） 方法一：
曲线 C 的方程可化为 x 2+y 2−2y −2=0，
所以曲线 C 的极坐标方程为 ρ2−2ρsinθ−2=0． —— —————— 7分 由题意设 A (ρ1,π
6)，B (ρ2,π
6)，
将 θ=π
6 代入 ρ2−2ρsinθ−2=0，可得：ρ12
−ρ1−2=0，
所以 ρ1=2 或 ρ1=−1（舍去）， —— —————— 9分 将 θ=π
6 代入 ρsin (θ+π
6)=2√3，可得：ρ2=4， —— —————— 11分 所以 ∣AB ∣=∣ρ1−ρ2∣=2． —— —————— 12分 方法二：
因为射线 OP 的极坐标方程为 θ=π
6，
所以射线 OP 的直角坐标方程为 y =
√3
3
x (x ≥0)，
由 {x 2+(y −1)2=3,
y =√3
3
x,x 》0
，解得 A(√3,1)， 由 {x +√3y −4√3=0,y =√3
3x,x 》0，解得 B(2√3,2)， 所以 ∣AB ∣=√(2√3−√3)2
+(2−1)2=2． 19.解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
设点(,)P x y 则(6,)=+AP x y ,(4,)=-FP x y ,由已知可得
22
213620
(6)(4)0⎧+=⎪
⎨⎪+-+=⎩
x y x x y —————————————————— 3分 则229180+-=x x ，3
2=x 或6=-x .
由于y >0,只能32=x
，于是=y ∴点P 的坐标是
3(2 —————————————————— 6分
(2) 直线AP
的方程是60-+=x . 设点(,0)M m ,则M 到直线AP 的距离是2
6+m .
于是
2
6+m =6m -,又66-≤≤m ,解得2=m ——————————————————9分
椭圆上的点(,)x y 到点M 的距离d 有 222222549
(2)4420()15992
d x y x x x x =-+=-++-=-+, ∴当9
2
=
x 时,d 取得最小值
——————————————————12 20. （1）证明：
//AD BC ，12
BC AD =，Q 为AD 的中点，
∴四边形BCDQ 为平行四边形，//CD BQ ∴
90,90ADC AQB ︒∠=∴∠=︒，即QB AD ⊥
平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，
BQ ∴⊥平面PAD ，
BQ ⊂平面PQB
∴平面PQB
⊥平面PAD —————————————————— 4分
（2）
PA PD =，Q 为AD 的中点，PQ AD ∴⊥
平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD = PQ ∴⊥平面ABCD
如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系，
则(0,0,0)Q ，(1,0,0)A ，(0,0,3)P ，(0,3,0)B ，(1,3,0)C -
M 是PC 的中点，133
(,
,)2M ∴- (1,0,3)AP =-，133(,,)2BM =--
设异面直线AP 与BM 所成角为θ，
27cos cos ,AP BM AP BM AP BM
θ⋅=<>=
=
， ∴异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为27
. —————————————————— 8分 （3）解：由（Ⅱ）知平面BQC 的法向量为(001)n =，，
， 设CM CP λ=，且01λ≤≤， 从而有(13(1)3)QM λλλ=--，，， 又(030)QB =，，，设平面MBQ 法向量为()m x y z =，，，
由00m QM m QB ⋅=⋅=及可取130m λλ-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，，． ∵二面角M −BQ −C 为30°，∴3cos302||||
n m n m ⋅︒=
=
，∴14λ=，∴||QM =394
． —————————————————— 12分 21.解：（1） 设直线 的方程为：，
与抛物线 联立，消去 得：
；
设 ，，
则 >0, ； —— —————— 1分
由
，得
2
2
2
1
212121224212324y y p
x x y y y y p p p p
+=+=-=-=- 解得 ，所以抛物线 的方程为
． —— —————— 5分
（2） 由（）知，点
是抛物线 的焦点，
所以
，
又原点到直线 的距离为 ，
所以
的面积为
，————— 8分
又直线 过点 ，且
，
所以 的面积为 ； —— —————— 10分
所以
为定值． —— —————— 12分
22. 解：(1)
32c e a =
=, 4a = 23c ∴=, 2b = W ∴的方程为22
1164
x y +
= —————————————————— 4分 （2）（i ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，显然直线AP 斜率存在， 设直线AP 的方程为(4)y k x =+，
22
(4)
1164
y k x x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，2222
(14)3264160k x k x k +++-= 21232(4)14k x k -+-=
+，2
12
41614k x k -∴=+ 2182
||1|(4)|AP k x =+--=
， 代入得到2
8182||k AP +==，解得1k =±，
所以直线AP 的斜率为1,1-． —————————————————— 8分 （ii ）圆心到直线AP 的距离241
k d k =
+，22221622
11AQ r d k k
∴=-==++
3PQ AQ AP AP AP -==4AQ AP ∴= 22222
1414181k k k k
++∴==++ ∴不存在直线AP ，使得3PQ
AP
=. —————————————————— 12分。