富兰克林方阵

富兰克林方阵
在公元 1769 年英国伦敦出版的「富兰克林与哲学有关的信函和论文集」中列出了两个分别是 8 和 16 阶的方阵，现在通称为富兰克林方阵，其中的 8 阶方阵如图 1 ， 16 阶方阵如图 2 。

(图 1 )富兰克林 8 阶方阵
(图 2 )富兰克林 16 阶方阵
富兰克林方阵并不是魔方阵，因为对角在线的各数之和不是定和，但却具有
以下四个特点：
行和及列和全部相等；若将行或列分成二段，每段的数字和每段的数字和也
相等。

例图 1 中：
1.52 + 61 + 4 + 13 = 130 ， 20 + 29 + 36 + 45 = 130
2.50 + 63 + 2 + 15 = 130 ， 18 + 31 + 34 + 47 = 130
3.29 + 35 + 28 + 38 = 130 ， 26 + 40 + 31 + 33 = 130
4.52 + 14 + 53 + 11 = 130 ， 55 + 9 + 50 + 16 = 130 由左下到右上画一条和对角线平行的线，但过中线之后则反向由左上到右下，在线的 8 个数字之和必为定和。

同理，将这条线旋转 90。

或 180。

、 270。

也仍具有这种性质。

例图 1 中：
1.16 + 63 + 57 + 10 + 23 + 40 + 34 + 17 = 260
2.14 + 61 + 64 + 15 + 18 + 33 + 36 + 19 = 260
3. 4 + 51 + 21 + 38 + 26 + 41 + 15 + 64 = 260
4.16 + 61 + 62 + 12 + 21 + 35 + 36 + 17 = 260
任何一个 2 阶小方阵的数字和相等。

例图 1 中：
1. 4 + 13 + 62 + 51 = 130
2.31 + 34 + 33 + 32 = 130
3.42 + 24 + 55 + 9 = 130
4.45 + 17 + 52 + 16 = 130
任意作一个偶数阶的正方形，角上的四个数字之和相等。

例图 1 中：
1.61 + 20 + 6 + 43 = 130
2. 5 + 44 + 64 + 17 = 130
3.36 + 27 + 61 + 6 = 130
4. 4 + 29 + 57 + 40 = 130
在班森 ( Benson ) 和贾可贝 ( Jacoby ) 的「魔方阵新探( New
recreations with magic squares )」一书中提到一种十分巧妙又简便的富兰克林方阵填制法，下面以 8 阶方阵为例，余类推。

把 8 阶方阵划分为 4 个 4 阶方阵，并在每个 4 阶方阵的对角在线作注记。

由左而右、由上而下将数字填入方阵中，但略过没有注记的部份。

由右而左、由下而上将数字填入方阵中，但略过有注记的部份。

把方阵的直行依 1、6、8、3、4、7、5、2 的顺序重排。

把方阵的横列也依 1、6、8、3、4、7、5、2 的顺序重排。

经以上程序完成的方阵不但是富兰克林方阵，也是鬼方阵；如果以田字形将方阵分成 4 个 4 阶方阵，每个 4 阶方阵也是鬼方阵。

(只不过每个 4 阶方阵的数字并非由 1 到 16 了)
第 1 步：把 8 阶方阵划分为 4 个 4 阶方阵，并在每个 4 阶方阵的对角在线作
注记：
第 2 步：由左而右、由上而下将数字填入方阵中，但略过没有注记的部份：
第 3 步：由右而左、由下而上将数字填入方阵中，但略过有注记的部份
第 4 步：把直行依 1 6 8 3 4 7 5 2 的顺序重排
第 5 步：把横列也依 1 6 8 3 4 7 5 2 的顺序重排。

富籣克林鬼方阵完成了！
另外四个富兰克林鬼方阵：
1 号方阵
2 号方阵
3 号方阵
4 号方阵
数学传播第卷第期，民，富兰克林方阵，林克瀛，p30-p33。