山东省泰安市新泰第四中学高三数学文月考试卷含解析

山东省泰安市新泰第四中学高三数学文月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图象是
参考答案：
A
试题分析：因为函数只有1个零点，所以排除CD两项，由,可知函数在处取得极小值，所以不是定义域上的单调增函数，所以B不对，只能选A．
2. 已知数列为等差数列，且，则（）
A．16 B．4 C．8 D．不能确定
参考答案：
C
3. 为了解某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系，统计了（ｘ，ｙ）
的10组值，并画成散点图如图１，则其回归方程可能是
A. B.
C. D.
参考答案：
B
略
4. （08年全国卷Ⅰ）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（）
参考答案：
【解析】 A
根据汽车加速行驶，匀速行驶，减速行驶结合函数图象可知.
5. ，则的值为（）
A．B． C．D．
参考答案：
A
因为，所以，
所以．故选A．
6. 函数的零点属于区间
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
7. 正数满足，则的最大值为
A． B． C．1 D．
参考答案：
.
试题分析：因为，所以运用基本不等式可得，所以，当且仅当
时等号成立，故应选.
考点：1、基本不等式的应用；
8. 已知函数则=
A. B.e C.-
D.-1
参考答案：
D
9. 偶函数在上为增函数,若不等式恒成立,则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
10. （5分）复数i（1﹣2i）=（）
B
∵复数i（1﹣2i）=i﹣2i2=2+i，
故选B．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数的导数仍是的函数，就把的导数叫做函数
二阶导数，记做。

同样函数的n-1阶导数叫做的n 阶导数，表示.在求的n 阶导数时，已求得
根据以上推理，函数的第阶导数为
参考答案：
[（n-1）!写成1·2·3·……n的给满分]
【知识点】函数综合
【试题解析】由题知：当n为奇数时，函数的n阶导数为正，n为偶数时，函数的n阶导数为负。

根据题中条件得到规律。

故答案为：
12. 在△ABC中，AB=4，AC=6，且，则BC= ．
参考答案：
7
13. 如图，圆O：内的正弦曲线与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分）随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M 内的概率为
．
参考答案：
14. 从某电线杆的正东方向的A 点处测得电线杆顶端的仰角是，从电线杆两偏南的B
处测得电
线杆顶端的仰角是
，A,B 间的距离为35米，则此电线杆的高度是_____米．
参考答案：
略
15. （本小题满分12分）
在△ABC 中，角，，的对边分别为，，，若．（Ⅰ）求证：、、成等差数列；
（Ⅱ）若，，求的面积．
参考答案：
解：证明：（Ⅰ）证法一：
即
由正弦定理得：
即∴
由正弦定理得：
整理得：
故a、b、c成等差数列．…… 6分
证法二：
∵
∴
∴
整理得：
故、、成等差数列．
解：（Ⅱ）由，及余弦定理得：
∴
又由（1）知，代入上式得，解得
∴ 的面积．…… 12分
略
16.
已知实数，则的最大值是________.
参考答案：
答案： 0
17. 将a,b,c三个字母填写到3×3方格中，要求每行每列都不能出现重复字母，不同的填写方法有_________种.(用数值作答)
参考答案：
12
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 2017年5月,来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”:高铁、扫码支付、共享单车和网购.为发展业务,某调研组对
两个公司的扫码支付准备从国内
个人口超过
1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计,若一次抽取2个城市,全
是小城市的概率为.
(I)求的值;
(Ⅱ)若一次抽取4个城市,则:
①假设取出小城市的个数为X ,求X 的分布列和期望; ②取出4个城市是同一类城市,求全为超大城市的概率.
参考答案：
（Ⅰ）共
个城市，取出个的方法总数是
，其中全是小城市的情况有
，
故全是小城市的概率是，
∴，∴
，故
.
（Ⅱ）①
.
；
；
；
；
.
故
的分布列为
3.0
.
②若4球全是超大城市，共有
种情况；若4球全是小城市，共有
种情况；
故全为超大城市的概率为.
19. （12分）如图，在四棱锥ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，顶角D 1在底面ABCD 内的射影恰好为点C ．
（1）求证：AD 1⊥BC ；
（2）若直线DD 1与直线AB 所成角为，求平面ABC 1D 1与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值函数值．
参考答案：
【考点】： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．
【专题】： 空间位置关系与距离；空间角．
【分析】： （Ⅰ）证明：连接D 1C ，证明BC⊥平面AD 1C ，利用直线与平面垂直的性质定理证明
AD 1⊥BC．
（Ⅱ）解法一：连接D 1M ，则D 1M⊥AB，说明∠D 1MC 为平面ABC 1D 1与平面ABCD 所成角的一个平面角，
在Rt△D 1CM 中，求出，得到平面ABC 1D 1与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦函数值为
．
解法二：
由（Ⅰ）知AC 、BC 、D 1C 两俩垂直，建立如图空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面ABC 1D 1
的一个法向量，平面ABCD 的法向量．通过向量的数量积求解平面ABC 1D 1和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值．
解：（Ⅰ）证明：连接D 1C ，则D 1C⊥平面ABCD ， ∴D 1C⊥BC
在等腰梯形ABCD中，连接AC
∵AB=2，BC=CD=1，AB∥CD
∴BC⊥AC
∴BC⊥平面AD1C
∴AD1⊥BC…（6分）
（Ⅱ）解法一：
∵AB∥CD∴
∵CD=1∴
在底面ABCD中作CM⊥AB，连接D1M，则D1M⊥AB，所以∠D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角
在Rt△D1CM中，，
∴∴
即平面ABC1D1与平面ABCD所成角（锐角）的余弦函数值为…（12分）
解法二：
由（Ⅰ）知AC、BC、D1C两俩垂直，
∵AB∥CD∴∴
在等腰梯形ABCD中，连接AC因AB=2，BC=CD=1AB∥CD，
所以，建立如图空间直角坐标系，
则，B（0，1，0），设平面ABC1D1的一个法向量
由得
可得平面ABC1D1的一个法向量．
又为平面ABCD的一个法向量．
因此
所以平面ABC1D1和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为．
【点评】：本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的性质定理的应用，向量法求解二面角的方法，考查空间想象能力以及计算能力．
20. (本题满分15分)
如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，
（1）求证：面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求三棱锥的体积．
参考答案：
解：（1）证明：取的中点，连结
∵分别为的中点
∵
∴面，面
∴面面∴面
（2）设为的中点∵为的中点∴∴面
作，交于，连结，则由三垂线定理得，从而为二面角的平面角。

在中，，从而
在中，
故：二面角的的余弦值为
（3）
作，交于，由面得∴面
∴在中，
∴
21. （本小题满分14分）如图，在斜三棱柱中，侧面⊥底面，侧棱与底面成的角，．底面是边长为2的正三角形，其重心为点，是线段
上一点，且．
（Ⅰ）求证：//侧面；
（Ⅱ）求平面与底面所成锐二面角的正切值．
参考答案：
解法1：（1）延长B1E交BC于点F，∽△FEB，BE=EC1，∴BF=B1C1=BC，
从而点F为BC的中点．
∵G为△ABC的重心，∴A、G、F三点共线．且，
又GE侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B．
（2）在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，
∴B1H⊥底面ABC．又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，∴∠B1BH=60°，BH=1，B1H=
在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B1T，由三垂线定理有B1T⊥AF，
又平面B1CE与底面ABC的交线为AF，∴∠B1TH为所求二面角的平面角．
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=AH．在Rt△B1HT中，，
从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为．
解法2：（1）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，∴∠A1AB=60°，
又AA1=AB=2，取AB的中点O，则AO⊥底面ABC．
以O为原点建立空间直角坐标系O—如图，则，，，，，．
∵G为△ABC的重心，∴．，∴，
∴．又GE侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B．
（2）设平面B1GE的法向量为，则由得
可取又底面ABC的一个法向量为
设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为，则．
由于为锐角，所以，进而．
故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为．
22. 在平面直角坐标系中，点，点在轴上，点在轴非负半轴上，点满足：
（Ⅰ）当点在轴上移动时，求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设为曲线上一点，直线过点且与曲线在点处的切线垂直，与的另一个交点为，若，求直线的方程
参考答案：。