湖北省黄冈市武穴连山中学高三数学文模拟试卷含解析

湖北省黄冈市武穴连山中学高三数学文模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. .在等差数列{a n}中，，是方程的两根，则数列{a n}的前11项和等于
（）
A. 66
B. 132
C. -66
D. -132
参考答案：
D
【分析】
由根与系数的关系可求出，再根据等差中项的性质得，利用等差数列的求和公式即可求解.
【详解】因为，是方程的两根
所以，
又，所以
，故选D.
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题.
2. 若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）
A．0 B．1 C．D．2
参考答案：
D
【考点】简单线性规划．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z 取得最大值．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=0+2×1=2．
故选：D．
3. 已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B等于( )
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x≤﹣1或1≤x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|1≤x＜2}参考答案：
D
考点：交集及其运算．
专题：不等式的解法及应用．
分析：先分别求出集合A和集合B，然后再求出集合A∩B．
解答：解：∵集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，
B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，
∴A∩B={x|﹣1＜x＜2}∩{x|x≥1}={x|1≤x＜2}
故选D．
点评：本题是基础题，考查集合的基本运算，不等式的解法，考查计算能力．
4. 已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（）
A． B. C. D.
参考答案：
【知识点】指数函数的图像与性质．
A 解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，
A．当x＞y时，x3＞y3，恒成立，
B．当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立．
C．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立．
D．若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．
故选：A．
【思路点拨】不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质依此判断即可.
5. 设集合，，若，则（）
A．{－3,1,2} B．{1,2} C．{－3,1} D．{1,2,3}
参考答案：
A
6. 在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）
A．11πB．7πC．D．
参考答案：
D
考点：球的体积和表面积；球内接多面体．
专题：空间位置关系与距离．
分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．
解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，
∴BC==，
∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，
∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，
则有该三棱锥的外接球的半径R═=，
∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．
故选：D．
点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．
7. 已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）
A．3 B．4 C． D．
参考答案：
B
8. 等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（）
A．9 B．15 C．18 D．30
参考答案：
D
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】设等比数列{a n}的公比为q＞0，由2S3=8a1+3a2，可得2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q，进而得出．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，
∴2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2a3=6a1+a2，可得=6a1+a1q，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q=2．又a4=16，可得a1×23=16，解得a1=2．
则S4==30．
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9. 设双曲线C：（）的左、右焦点分别为 F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得 |PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）
A． (1,2] B. C. D. (1,2)参考答案：
B
10. 若对任意实数都有.且,则实数的值等于( )
A. B. C.或
1 D.或3
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在如图所示的程序框图中，若输出的，则输入的的
最大值为 .
参考答案：
108
当输出的时，，设输入的值为,, 且,解得.最大值为.
12. 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOB的面积为．参考答案：
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题．
分析：设∠AFx=θ（0＜θ＜π，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．
解答：解：设∠AFx=θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，
∵|AF|=3，
∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3
∴2+3cosθ=3
∴cosθ=，
∵m=2+mcos（π﹣θ）
∴
∴△AOB的面积为S=×|OF|×|AB|×sinθ=
故答案为：．
点评：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．
13. △ABC 中B=120°,AC=2,AB=2,则△ABC 的面积为_________.
参考答案：
14. 设等比数列
的各项均为正数，其前项和为
．若
，
，
，则
______． 参考答案： 6
设公比为，因为，所以，则，所以，又，
即
，所以。

15. 已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成的角
的正弦值等于
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参考答案：
16. 若常数b 满足|b|>1，则 .
参考答案：
答案：
17. 若向量
,
,则
的最大值为 .
参考答案：
因为向量
,
,所以
，所以
，所以的最大值为9，因
此的最大值为4.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 等差数列
的前项和为；等比数列
中，．若
，
（I ）求与
；（Ⅱ）设，数列
的前项和为
．若对一切
不等式
恒成立，求
的最大值．
参考答案：
解: （Ⅰ）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为，
则，由题意得：，
解得
， ∴
（Ⅱ） ∵
∵
是递增数列，∴
的最小值为
， 又∵恒成立，∴
，故所求的
的最大值为
略
19. 如图，正方体
中，
与异面直线都垂直相交.
求证：
.
参考答案：
证明：如图所示，连接
因为，
所以
又因为，
所以
所以
同理可证
又
所以…………………………………………8分.
因为，又
所以
因为，
所以
所以……………………………………………12分
略
20. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角为45°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的大小．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【专题】证明题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）推导出AC⊥BD，AC⊥DE，由此能证明AC⊥平面BDE．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BE﹣D的大小．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AC⊥BD，
∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDE．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
∵BE与平面ABCD所成角为45°，∴DE=BD=，
则D（0，0，0），B（2，2，0），E（0，0，2），F（2，0，），
=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣2，），=（2，2，0），
设平面BDE的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，﹣1，0），
设平面BEF的法向量=（a，b，c），
则，取c=，得=（1，1，），
∴=1﹣1+0=0，
∴二面角F﹣BE﹣D的大小为．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
21. 如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3。

（1）证明：BC∥平面PDA；
（2）证明：BC⊥PD；
（3）求点C到平面PDA的距离。

参考答案：
（1）因为四边形ABCD为长方形，
所以BC∥AD。

又BC平面PDA，AD平面PDA，
所以BC∥平面PDA。

（2）因为BC⊥CD，PDC⊥平面ABCD且PDC ABCD=CD，BC平面ABCD，
所以BC⊥平面PDC。

因为PD平面PDC，
所以BC⊥PD。

（3）取CD的中点E，连接PE，AC。

因为PD=PC，
所以PE⊥CD
所以PE=。

因为PDC⊥平面ABCD且PDC ABCD=CD，PE平面PDC，
所以PE⊥平面ABCD。

由（2）知BC⊥平面PDC。

又AD∥BC，
所以AD⊥平面PDC。

又PD平面PDC，
所以AD⊥PD。

设点C到平面PDA的距离为h，则V C-PDA=V P-ACD，
所以S△PDA·h=S△ACD·PE，
所以h===，
故点C到平面PDA的距离为。

22. 在等差数列{a n}中，a2=6，a3+a6=27．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}的通项公式为，求数列{a n?b n}的前n项的和T n．参考答案：
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可知．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）?d．
由a2=6，a3+a6=27，可得解得．
从而，a n=3n．
（2）由（1）可知a n=3n，
∴．①
②
①﹣②，得：
故．。