四川省宜宾三中高一数学下学期期末试卷(含解析)

2015-2016学年四川省宜宾三中高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为（）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．∅C．R D．{x|﹣3＜x＜1}
2．在平行四边形ABCD中， ++=（）
A．B．C．D．
3．在等差数列{a n}中，a2+a3=5，a1=4，则公差d等于（）
A．﹣1 B．0 C．D．1
4．已知数列{a n}满足：a1=﹣1，，则数列{a n}是（）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不能确定
5．已知正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的中点，则的值为（）
A．1 B．2 C．4 D．6
6．数列{a n}的通项公式为，其前n项和为S n，则S2016=（）
A．1008 B．﹣1008 C．﹣1 D．0
7．下列四个命题，其中正确命题的个数（）
①若a＞|b|，则a2＞b2
②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
③若a＞b，c＞d，则ac＞bd
④若a＞b＞o，则＞．
A．3个B．2个C．1个D．0个
8．从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为α，β，如果这时气球的高是100米，则河流的宽度BC为（）
A． B．
C．D．
9．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n 达到最大值的n是（）
A．21 B．20 C．19 D．18
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若角A，B，C成等差数列，边a，b，c成等比数列，则sinA•sinC的值为（）
A．B．C．D．
11．若x1，x2是函数f（x）=x2+ax+b（a＜0，b＞0）的两个不同的零点，且x1，﹣2，x2成等比数列，若这三个数重新排序后成等差数列，则a+b的值等于（）
A．1 B．﹣1 C．9 D．10
12．在△ABC中，D为BC边中点，G为AD中点，直线EF过G与边AB、AC相交于E、F，且
=m， =n，则m+n的最小值为（）
A．4 B．C．2 D．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．等比数列{a n}中，a2=18，a4=8，则{a n}的公比q的值为．
14．已知，，，则与的夹角为．
15．不等式≥1的解集为．
16．在△ABC中，
①A＜B⇔sinA＜sinB；
②若a，b，c为△ABC的三边且a=，B=2A，则b的取值范围是（）；
③若O为△ABC所在平面内异于A、B、C的一定点，动点P满足=+λ
（）（λ∈R），则动点P必过△ABC的内心；
④△ABC的三边构成首项为正整数，公差为1的等差数列，且最大角是最小角的两倍，则最
小角的余弦值为．
其中所有正确结论的序号是．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚．
17．已知函数f（x）=x2+13x+36．
（Ⅰ）求h（x）=的定义域；
（Ⅱ）对任意x＞0，＞m恒成立，求m的取值范围．
18．已知等差数列{a n}中a1=19，a4=13，S n为{a n}的前n项和．
（Ⅰ）求通项a n及S n；
（Ⅱ）令c n=b n﹣a n，且数列{c n}是前三项为x，3x+3，6x+6的等比数列，求b n．
19．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且5asinB=3b．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=3，b+c=5，求△ABC的面积．
20．平面内给定三个向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1）
（Ⅰ）求满足的实数m，n；
（Ⅱ）若（∥（2，求实数k；
（Ⅲ）若满足（﹣）⊥（+），且||=2，求的坐标．
21．已知a1=1，点（a n，a n+1）在函数y=2x+3的图象上．
（Ⅰ）求证：{a n+3}是等比数列；
（Ⅱ）求{a n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{n（a n+3）}的前n项和T n．
22．已知正数数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=（）（n≥2，n∈N*），a1=1．
（Ⅰ）求证：{是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅲ）令b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求使得T n＜对于所有n∈N*都成立的最小正整数m．
2015-2016学年四川省宜宾三中高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为（）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．∅C．R D．{x|﹣3＜x＜1}
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】利用二次不等式的解法，求解即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣3=0，可得方程的解为：x=﹣1，x=3．
不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为：{x|﹣1＜x＜3}．
故选：A．
2．在平行四边形ABCD中， ++=（）
A．B．C．D．
【考点】向量的加法及其几何意义．
【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的加法运算法则进行运算即可．【解答】解：画出图形，如图所示；
++=（+）+
=+
=+
=．
故选：D．
3．在等差数列{a n}中，a2+a3=5，a1=4，则公差d等于（）
A．﹣1 B．0 C．D．1
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由等差数列的性质利用等差通项公式能求出公差d．
【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2+a3=5，a1=4，
∴4+d+4+2d=5，
解得d=﹣1，
∴公差d等于﹣1．
故选：A．
4．已知数列{a n}满足：a1=﹣1，，则数列{a n}是（）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不能确定
【考点】数列的函数特性．
【分析】先求出通项公式，再根据数列的函数特征即可得到答案．
【解答】解：∵a1=﹣1，，
∴a n=﹣1×（）n﹣1=﹣（）n﹣1，
∵函数y=（）x为递减函数，
∴函数y=﹣（）x为递增函数，
∴数列{a n}是递增数列，
故选：A．
5．已知正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的中点，则的值为（）A．1 B．2 C．4 D．6
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】以B点为原点，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算即可求出答案．【解答】解：以B点为原点，建立如图所示的坐标系，
∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的中点，
∴E（0，1），D（2，2），C（0，2），
∴=（﹣2，﹣1），=（﹣2，0），
∴=﹣2×（﹣2）﹣1×0=4，
故选：C．
6．数列{a n}的通项公式为，其前n项和为S n，则S2016=（）
A．1008 B．﹣1008 C．﹣1 D．0
【考点】数列的求和．
【分析】由三角函数性质得数列{a n}是以4为周期的周期数列，由此利用S2016=504
（a1+a2+a3+a4），能求出结果．
【解答】解：∵数列{a n}的通项公式为，
∴=0，
a2=cosπ=﹣1，
=0，
a4=cos2π=1，
数列{a n}是以4为周期的周期数列，
∴S2016=504（a1+a2+a3+a4）=504（0﹣1+0+1）=0．
故选：D．
7．下列四个命题，其中正确命题的个数（）
①若a＞|b|，则a2＞b2
②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
③若a＞b，c＞d，则ac＞bd
④若a＞b＞o，则＞．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】直接由不等式的可乘积性判断①；举例说明②③④错误．
【解答】解：①若a＞|b|，则a2＞b2，①正确；
②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d错误，如3＞2，﹣1＞﹣3，而3﹣（﹣1）=4＜5=2﹣（﹣3）；
③若a＞b，c＞d，则ac＞bd错误，如3＞1，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＜1×（﹣3）；
④若a＞b＞o，则，当c＞0时，＜，④错误．
∴正确命题的个数只有1个．
故选：C．
8．从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为α，β，如果这时气球的高是100米，则河流的宽度BC为（）
A． B．
C．D．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】利用锐角的三角函数定义分别求出B，C到A在地面射影的距离，即可得出BC．
【解答】解：设A在地面上的射影为D，
则AD=100，∠ACD=β，∠ABD=α，
∴CD=，BD=，
∴BC=BD﹣CD=100（）=．
故选A．
9．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n 达到最大值的n是（）
A．21 B．20 C．19 D．18
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．
【解答】解：设{a n}的公差为d，由题意得
a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①
a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②
由①②联立得a1=39，d=﹣2，
∴S n=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，
故当n=20时，S n达到最大值400．
故选：B．
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若角A，B，C成等差数列，边a，b，c成等比数列，则sinA•sinC的值为（）
A．B．C．D．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】依题意，可求得B=，利用正弦定理即可求得sinAsinC；另解，求得B=，利
用余弦定理=cosB可求得a2+c2﹣ac=ac，从而可求得答案．
【解答】解：∵△ABC中，A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=，…
又b2=ac，由正弦定理得sinAsinC=sin2B=…
另解：b2=ac， =cosB==，…
由此得a2+c2﹣ac=ac，得a=c，
所以A=B=C，sinAsinC=．
故选：A．…
11．若x1，x2是函数f（x）=x2+ax+b（a＜0，b＞0）的两个不同的零点，且x1，﹣2，x2成等比数列，若这三个数重新排序后成等差数列，则a+b的值等于（）
A．1 B．﹣1 C．9 D．10
【考点】二次函数的性质．
【分析】利用韦达定理结合等比数列推出关系式，分类讨论求解即可．
【解答】解：由韦达定理得x1+x2=﹣a＞0，x1•x2=b=4，x2=．
当适当排序后成等差数列时，﹣2必不是等差中项，
当x1是等差中项时，2x1=﹣2，解得x1=1，x2=4；
当是等差中项时， =x1﹣2，解得x1=4，x2=1，
综上所述，x1+x2=﹣a=5，所以a+b=﹣1．
故选：B．
12．在△ABC中，D为BC边中点，G为AD中点，直线EF过G与边AB、AC相交于E、F，且
=m， =n，则m+n的最小值为（）
A．4 B．C．2 D．1
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】由题意利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义求得和，再根据和共线，可得（m+n）=4mn，再利用基本不等式求得m+n的最小值．
【解答】解：由题意可得=﹣=﹣m=﹣m•=•+，
m＞0，n＞0．
同理可得， =﹣=n﹣=n﹣=•﹣．
再根据E、G、F共线，可得=，即 4m﹣1=，即m+n=4mn，
再根据基本不等式（m+n）2≥2mn，可得 2（m+n）2≥（m+n），m+n≥，
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．等比数列{a n}中，a2=18，a4=8，则{a n}的公比q的值为．
【考点】等比数列的性质．
【分析】由题意可得q2==，开方可得．
【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=18，a4=8，
∴{a n}的公比q满足q2==，
∴q=，
故答案为：
14．已知，，，则与的夹角为．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量数量积的应用进行求解即可．
【解答】解：∵，，，
∴平方得||2+||2﹣2•=1，
即1+3﹣2•=1，
则2•=3，
•=，
则cos＜，＞===，
则．＜，＞=，
故答案为：．
15．不等式≥1的解集为{x|x＞2或x≤﹣1} ．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】先化简不等式，再等价转化为对应一元二次不等式，由一元二次不等式解法求出不等式的解集．
【解答】解：由得，，
∴，解得x＞2或x≤﹣1，
∴不等式的解集是{x|x＞2或x≤﹣1}，
故答案为：{x|x＞2或x≤﹣1}．
16．在△ABC中，
①A＜B⇔sinA＜sinB；
②若a，b，c为△ABC的三边且a=，B=2A，则b的取值范围是（）；
③若O为△ABC所在平面内异于A、B、C的一定点，动点P满足=+λ
（）（λ∈R），则动点P必过△ABC的内心；
④△ABC的三边构成首项为正整数，公差为1的等差数列，且最大角是最小角的两倍，则最
小角的余弦值为．
其中所有正确结论的序号是①②④．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①根据正弦定理进行证明
②根据三角函数的倍角公式以及正弦定理进行转化求解，
③作出如图的三角形AD⊥BC，可以得出sinB=sinC=AD，由此对已知条件变形即可得出结论
④设△ABC中的三边长为a，a+1，a+2最小角，最小角和最大角为θ，2θ，分别由正弦定理和余弦定理，求出cosθ，解得即可．
【解答】解：①由正弦定理得在三角形中A＜B⇔a＜b⇔sinA＜sinB；故①正确，
②若a，b，c为△ABC的三边且a=，B=2A，
则由正弦定理得=，
即b=2acosA=2cosA，
∵C=π﹣A﹣B=π﹣3A＞0，
∴0＜A＜，即＜cosA＜1，
则＜2cosA＜2，
则b的取值范围是（）；故②正确，
③作出如图的图形AD⊥BC，由于sinB=sinC=AD，
∴=
由加法法则知，P在三角形的中线上
故动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，故③错误，
④设△ABC中的三边长为a，a+1，a+2最小角，z∈N•，
最小角和最大角为θ，2θ，
再由正弦定理可得=，
所以cosθ=，
由余弦定理得cosθ==，解得a=4，
所以三边的长为4，5，6．
则则cosθ===．
即最小角的余弦值为．故④正确，
故答案为：①②④
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚．
17．已知函数f（x）=x2+13x+36．
（Ⅰ）求h（x）=的定义域；
（Ⅱ）对任意x＞0，＞m恒成立，求m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法．
【分析】（Ⅰ）由题意可得x2+13x+36＞0，运用二次不等式的解法，即可得到所求定义域；
（Ⅱ）对任意x＞0，＞m恒成立，即为m＜的最小值，运用基本不等式可得右边函数的最小值，进而得到m的范围．
【解答】解：（Ⅰ）h（x）==，
由x2+13x+36＞0，即（x+4）（x+9）＞0，
解得x＞﹣4或x＜﹣9，
即定义域为（﹣∞，﹣9）∪（﹣4，+∞）；
（Ⅱ）对任意x＞0，＞m恒成立，
即为m＜的最小值，
由g（x）=（x＞0），
即g（x）=x++13≥2+13=25，
当且仅当x=6时，取得最小值25．
则m＜25．
即有m的取值范围是（﹣∞，25）．
18．已知等差数列{a n}中a1=19，a4=13，S n为{a n}的前n项和．
（Ⅰ）求通项a n及S n；
（Ⅱ）令c n=b n﹣a n，且数列{c n}是前三项为x，3x+3，6x+6的等比数列，求b n．
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【分析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式求出首项和公差，由此能求出通项a n及S n．
（Ⅱ）由数列{c n}是前三项为x，3x+3，6x+6的等比数列，求出x=﹣3，从而得到等比数列{c n}中c n=（﹣3）•2n﹣1．由此能求出b n．
【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}中a1=19，a4=13，S n为{a n}的前n项和，
∴a4=19+3d=13，解得d=﹣2，
∴a n=19+（n﹣1）×（﹣2）=21﹣2n．
=20n﹣n2．
（Ⅱ）∵数列{c n}是前三项为x，3x+3，6x+6的等比数列，
∴（3x+3）2=x（6x+6），
解得x=﹣1（舍）或x=﹣3，
∴等比数列{c n}前3项为﹣3，﹣6，﹣12，
∴c n=（﹣3）•2n﹣1．
∵c n=b n﹣a n，
∴b n=c n+a n=（﹣3）•2n﹣1+21﹣2n．
19．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且5asinB=3b．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=3，b+c=5，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0，求出sinA的值，即可确定出cosA的值．
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将a，cosA，以及b+c的值代入求出bc的值，再由sinA 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）已知等式5asinB=3b，在△ABC中，利用正弦定理得：5sinAsinB=3sinB，∵sinB≠0，
∴sinA=，
∵A为锐角，
∴cosA==；
（Ⅱ）∵a=3，cosA=，b+c=5，
∴在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，
即9=（b+c）2﹣2bc﹣bc=25﹣2bc﹣bc，
∴bc=，
则S△ABC=bcsinA=×=．
20．平面内给定三个向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1）
（Ⅰ）求满足的实数m，n；
（Ⅱ）若（∥（2，求实数k；
（Ⅲ）若满足（﹣）⊥（+），且||=2，求的坐标．
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】（Ⅰ）由向量的加减、数乘坐标运算，得到m，n的方程，解得即可；
（Ⅱ）运用向量的共线的坐标表示，解方程即可得到k；
（Ⅲ）设=（x，y），运用向量垂直的坐标表示，及向量的模的公式，列方程，解得即可．
【解答】解：（Ⅰ） =m+n，即为：（3，2）=m（﹣1，2）+n（4，1），
即有﹣m+4n=3，且2m+n=2，
解得：m=，n=；
（Ⅱ）由于+k=（3+4k，2+k），2﹣=（﹣5，2），
∵（+k）∥（2﹣），
∴2（3+4k）=﹣5（2+k），
解得，k=﹣；
（Ⅲ）设=（x，y），
∵满足（﹣）⊥（+），
由﹣=（x﹣4，y﹣1），+=（2，4），
即有2（x﹣4）+4（y﹣1）=0①，
且||=2，即x2+y2=8②，
由①②解得：或，
∴=（，）或（2，2）．
21．已知a1=1，点（a n，a n+1）在函数y=2x+3的图象上．
（Ⅰ）求证：{a n+3}是等比数列；
（Ⅱ）求{a n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{n（a n+3）}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；数列的函数特性；数列递推式．
【分析】（I）由点（a n，a n+1）在函数y=2x+3的图象上，可得a n+1=2a n+3，变形为a n+1+3=2（a n+3），利用等比数列的定义及其通项公式即可证明．
（II）由（I）可知：a n+3=4×2n﹣1=2n+1，即可得出．
（III）n（a n+3）=n•2n+1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】（I）证明：∵点（a n，a n+1）在函数y=2x+3的图象上，∴a n+1=2a n+3，
变形为a n+1+3=2（a n+3），a1+3=4，
∴{a n+3}是等比数列，首项为4，公比为2．
（II）解：由（I）可知：a n+3=4×2n﹣1=2n+1，
∴a n=2n+1﹣3．
（III）解：n（a n+3）=n•2n+1．
∴数列{n（a n+3）}的前n项和T n=22+2×23+…+n•2n+1，
∴2T n=23+2×24+…+（n﹣1）•2n+1+n•2n+2，
∴﹣T n=22+23+…+2n+1﹣n•2n+2=﹣n•2n+2=（1﹣n）•2n+2﹣4，
∴T n=（n﹣1）•2n+2+4．
22．已知正数数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=（）（n≥2，n∈N*），a1=1．
（Ⅰ）求证：{是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅲ）令b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求使得T n＜对于所有n∈N*都成立的
最小正整数m．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；数列递推式．
【分析】（I）由a n=（）（n≥2，n∈N*），可得S n﹣S n﹣1=（）（n
≥2，n∈N*），又正数数列{a n}的前n项和为S n，可得﹣=1，即可证明．
（II）由（I）可得： =1+（n﹣1）=n，S n=n2．利用a n=S n﹣S n﹣1即可得出．
（III）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．
【解答】（I）证明：∵a n=（）（n≥2，n∈N*），
∴S n﹣S n﹣1=（）（n≥2，n∈N*），
又正数数列{a n}的前n项和为S n，∴＞0．
∴﹣=1，
∴{是等差数列，公差为1，首项为1．
（II）解：由（I）可得： =1+（n﹣1）=n，
∴S n=n2．
∴a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．
（III）解：b n===，
∴数列{b n}的前n项和为T n=+…+
=，
∴使得T n＜对于所有n∈N*都成立，则，解得m≥5．
因此使得T n＜对于所有n∈N*都成立的最小正整数m=5．。