最新初三数学反比例函数知识点及经典例题-学生版教学提纲
初三数学反比例函数知识点归纳-复习必备打印背熟
反比例函数是什么？反比例函数相关知识1：反比例函数是什么？反比例函数的定义域和值域因为x在分母上，所以x≠0，即自变量X的取值范围为非零实数。
而且常数k≠0，因此y≠0，即因变量y的`取值范围为非零实数。
反比例函数的图像及其性质形状：反比例函数的图象是两条双曲线，每一条曲线都无限向X轴Y轴延伸但不与坐标轴相交。
增减性：当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。
对称性：反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。
2：反比例函数知识点1、反比例函数的表达式X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)(即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方)y=kx(k为常数且k≠0，x≠0)若y=k/nx此时比例系数为：k/n2、函数式中自变量取值的范围①k≠0;②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。
解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)y=kx(k为常数(k≠0)，x不等于0)3、反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola)，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。
4、反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用?过反比例函数y=k/x(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值_y的.绝对值=(x_y)的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。
反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM?PN=|y|?|x|=|xy|=|k|。
最新九年级反比例函数经典复习资料
九年级反比例函数经典复习资料知识梳理知识点1.反比例函数的概念一般地，如果两个变量X、y之间的关系可以表示成“上或y二k* （k为常X 数，kHO）的形式，那么称y是x的反比例函数。
反比例函数的概念需注意以下儿点：（1）k是常数，且k不为零；（2）£中分母x的指数为1,如y = 4不是反x •比例函数。
（3）自变量x的取值范围是XH O—切实数.（4）自变量y的取值范围是y = 0一切实数。
知识点2.反比例函数的图象及性质反比例函数y =上的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、X三象限或第二、■四象限。
它们关于原点对称、反比例函数的图象与X轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。
画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范圉是XH O,因此不能把两个分支连接起来。
（3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0,所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。
反比例函数的性质y = -（k^O）的变形形式为xy=k （常数）所以：X（1）其图象的位置是：当k>0时，x、y同号，图象在第一、三象限；当kvO时，x、y异号，图象在第二、四象限。
（2）若点（m,n）在反比例函数y =上的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，X故反比例函数的图象关于原点对称。
（3）当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当kvO时，在每个象限内，y随x的增大而增大；知识点3.反比例函数解析式的确定。
重点：掌握反比例函数解析式的确定难点：山条件来确定反比例函数解析式（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式y =-中，只有一个待定系数k,确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只X 需给出一组X、y的对应值或图象上点的坐标，代入y =上中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。
反比例函数中考复习(知识点+题型分类练习)
1 / 8反比例函数知识点梳理1、反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系 可以表示成y=x k （k 为常数，k 不等于0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
从y=xk中可知，x 作为分母，所以不能为零。
注:反比例函数的其他两种表达式： 或2、画反比例函数图象时要注意以下几点：⑴列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点； ⑵列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线； ⑶在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线。
3、反比例函数的性质注意：（1）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；（2）双曲线的两个分支都与x 轴、y 轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交； （3）在利用图象性质比较函数值的大小时，前提应是“在同一象限”内。
2 / 84、反比例函数系数k 的几何意义如图，过双曲线上任意一点P （x ，y ）作x 轴，y 轴的垂线PM ，PN ，所得矩形的面积为PNPM S ⋅=∵xk y =∴y x k ⋅=∴N M S ⋅=，即过双曲线上任一点作x 轴，y 轴的垂线，所得矩形的面积为k 注意：①若已知矩形的面积为k ，应根据双曲线的位置确定k 值的符号。
②在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，分别过P ，Q 作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1，S 2，则有S 1＝S 2。
反比例函数常见题型分类汇总考点一、反比例函数的概念及解析式求解 1.已知反比例函数y ＝的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是（ ）． A.k ＞2 B.k ≥2 C.k ≤2 D.k ＜22.（2012黑龙江）在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝22a a x-+的图象的两个分支分别在 ( )A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限 3.若反比例函数22)12(--=mx m y 的图像在第二、四象限，则m 的值是（ ）A.－1或1B.小于21的任意实数 C.－1 D.不能确定4．若函数是反比例函数，且它的图象在二、四象限内，则n 的值是（ ）A.0B.1C. 0或1D. 非上述答案 5.()7225---=m mx m y 是y 关于x 的反比例函数，且图象在第二、四象限，则m 的值为 ；6.已知y 与x -1成反比例，当x = 12 时，y = - 13，那么，当x = 2时，y 的值为 ；7.已知y 与x 成正比例，z 与y 成反比例，则z 与x 成__________关系，当1=x 时，2=y ；当2=y 时，z=-2，则当x=-2时，______=z ；8.已知y 与（2x+1）成反比例且当x=0时，y=2，那么当x=－1时，y=________。
反比例函数知识点归纳和典型例题
反比例函数知识点归纳和典型例题反比例函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的建模和解决中起着重要作用。
本文将对反比例函数的知识点进行归纳，并给出一些典型例题进行解析。
一、定义和性质反比例函数又称为倒数函数，其定义如下：设x和y是实数，且y ≠ 0，若存在一个实数k，使得y = k/x，那么称y是x的反比例函数。
反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支，不包括原点。
其一般形式为y = k/x，其中k为常数。
反比例函数具有以下重要性质：1. 定义域：定义除数x不能为0，所以反比例函数的定义域为x ≠ 0。
2. 值域：值域取决于常数k的正负，当k > 0时，值域为(0, +∞)，当k < 0时，值域为(-∞, 0)。
3. 对称性：反比例函数关于两个坐标轴都具有对称性。
二、图象和特殊情况反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支，不包括原点。
当常数k > 0时，反比例函数的图象在第一象限和第三象限，当常数k< 0时，反比例函数的图象在第二象限和第四象限。
对于一些特殊情况，我们有以下例子：1. 当k > 0时，反比例函数的图象经过点(1, k)，且在x轴和y轴上有渐进线。
2. 当k < 0时，反比例函数的图象经过点(-1, k)，且在x轴和y轴上有渐进线。
三、典型例题解析下面通过几个典型例题来进一步理解反比例函数的应用。
例题1：已知y和x成反比例关系，且当x = 2时，y = 5，求当x =4时，y的值。
解析：根据反比例函数的定义，有y = k/x。
代入已知条件x = 2时，y = 5，得到5 = k/2，解得k = 10。
因此，当x = 4时，y = 10/4 = 2.5。
例题2：如果一根细木杆以每分钟1.5cm的速度缩短，那么多少分钟后长度为60cm？解析：设时间为t分钟，根据题意可以列出反比例函数y = k/x。
已知当t = 0时，y = 100，即杆子的初始长度是100cm。
初三数学反比例函数经典例题
初三数学反比例函数经典例题1. 反比例函数基础知识1.1 什么是反比例函数？大家好！今天咱们来聊聊反比例函数。
反比例函数就是一种数学函数，简单来说，它是这样一种关系：当一个变量增加时，另一个变量就会减少，反之亦然。
比如，你做一道题的时间越多，你的分数就越少，这就是反比例的体现。
数学上，它的公式是 ( y= frac{k}{x} )，其中 ( k ) 是一个常数。
1.2 反比例函数的特点反比例函数的图像是一条曲线，它总是向两个对角线延伸。
想象一下，你把一条绳子拉长了，它会变得越来越细。
反比例函数的曲线就是这种变化的数学表现。
它永远不会碰到坐标轴，但却在坐标轴附近无限接近。
2. 经典例题解析2.1 例题背景好了，我们进入正题吧！假设你正在做一道题目，上面写着这样的问题：一个车间的工人数量和生产效率成反比例关系。
如果10个人能在5小时内完成生产任务，那问：20个人需要多少小时完成相同的任务？2.2 解题步骤先别慌，我们一步步来解这道题。
设10个人在5小时内完成任务的总工作量为( W )，那么每个人每小时的工作量就是 ( frac{W}{10 times 5} )。
接下来，用20个人来计算时间。
设需要 ( t ) 小时完成任务，那么总工作量 ( W ) 就可以写作 ( 20 times t times frac{W}{10 times 5} )。
你会发现这两个工作量相等，所以我们可以设方程： ( 10 times 5 = 20 times t )。
解这个方程就能找出 ( t ) 的值。
最后，算出来 ( t = frac{10 times 5}{20} = 2.5 ) 小时。
3. 实际应用场景3.1 生活中的反比例其实，反比例函数不仅仅在数学题中出现。
你比如说，车速和到达目的地的时间就是反比例关系。
车速越快，所需时间就越短。
这种关系在生活中随处可见，用反比例函数来解题，可以帮助我们更好地理解这些现象。
3.2 总结与体会总的来说，反比例函数帮助我们理解了许多生活中的基本规律。
(完整版)中考——反比例函数知识点【经典】总结
反比例函数一、基础知识1.定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。
还可以写成xk y =k o k ≠x ky =kxy =1-2.反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分y k k 母中含有自变量，且指数为1.x ⑵比例系数0≠k ⑶自变量的取值为一切非零实数。
x ⑷函数的取值是一切非零实数。
y 3.反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法①列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）②描点（有小到大的顺序）③连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所xky =k 0≠k 0≠x 0≠y 以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。
x y =x y -=⑷反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引x k y =0≠k k xky =0≠k 轴轴的垂线，所得矩形面积为。
x y k 4．反比例函数性质如下表：的取值k 图像所在象限函数的增减性ok >一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小y xo k <二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大y x 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）k 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。
xky =7. 反比例函数的应用题型总结：一．反比例函数的图象与性质【例1】对与反比例函数，下列说法不正确的是（ ）xy 2=A ．点（）在它的图像上 1,2--B ．它的图像在第一、三象限C ．当时，0>x 的增大而增大随x yD ．当时，0<x 的增大而减小随x y 【例2】已知反比例函数的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（ ()0ky k x=≠）A 、（2，1）B 、（2，-1）C 、（2，4）D 、（-1，-2）【例3】在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系x k y 1=xk y 2=1k 2k 一定是（ ）A. +=0B. ·<0C. ·>0D.=1k 2k 1k 2k 1k 2k 1k 2k 【例4 】已知,且反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大,如果点3=b xby +=1y x 在双曲线上，求a 是多少？()3,a xb y +=1【例5】两个反比例函数y=k x 和y=1x 在第一象限内的图像如图3所示， 点P 在y=kx的图像上，PC⊥x 轴于点C ，交y=1x 的图像于点A ，PD⊥y 轴于点D ，交y=1x的图像于点B ， 当点P 在y=kx的图像上运动时，以下结论： ①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上， 少填或错填不给分）．二．反比例函数的判定l t y ABC【例1】若与成反比例，与成正比例，则是的（ ）y x x z y z A 、正比例函数 B 、反比例函数 C 、一次函数 D 、不能确定【例2】如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长cm 与宽cm 之间的函数图象大致为（ ）y x 三．反比例函数的解析式特征（的指数，值与图像分布关系）：x k 【例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？222-+=k k kxy 【例2】如果函数22(1)my m x -=-为反比例函数，则m 的值是 （ ）A 、1-B 、0C 、21 D 、1四.比较反比例函数图象上点的横纵坐标大小关系：【例1】在反比例函数的图像上有三点，，，，，。
初三反比例函数知识点
初三反比例函数知识点反比例函数知识点概述一、反比例函数的定义反比例函数是形如y = k/x (k ≠ 0，x ≠ 0) 的函数，其中 k 为常数，称为比例常数，x 为自变量，y 为因变量。
二、反比例函数的图象1. 形状：反比例函数的图象是一组双曲线。
2. 位置：当 k > 0 时，图象位于第一和第三象限；当 k < 0 0 时，图象位于第二和第四象限。
3. 对称性：反比例函数的图象关于原点对称。
三、反比例函数的性质1. 单调性：在每一象限内，随着 x 的增大，y 也增大；随着 x 的减小，y 也减小。
2. 无界性：当 x 趋向于 0 时，y 趋向于无穷大；当 x 趋向于无穷大时，y 趋向于 0。
3. 交点：反比例函数的图象不与 x 轴和 y 轴相交。
四、反比例函数的应用反比例函数常用于描述两个变量间的反比关系，如物理中的压力与体积的关系（波义耳定律），化学中的浓度与体积的关系等。
五、反比例函数的运算1. 复合函数：若有两个反比例函数 y = k1/x 和 w = k2/z，它们的复合函数为 v = (k1/x) / (k2/z) = (k1/k2) * z/x。
2. 反函数：反比例函数的反函数仍然是一个反比例函数，形式为 x =k/y。
六、反比例函数的图像变换1. 平移：若原函数为 y = k/x，将其向右平移 a 个单位，向上平移b 个单位，新函数为 y = k/(x-a) + b。
2. 伸缩：若原函数为 y = k/x，将其横向伸缩 m 倍，纵向伸缩 n 倍，新函数为 y = k/(m*x)。
七、反比例函数的极值问题反比例函数没有最大值和最小值，但可以通过求导数来分析函数的增减性。
八、反比例函数的积分与微分1. 微分：对于函数 y = k/x，其导数为 dy/dx = -k/x^2。
2. 积分：对于函数 y = k/x，其不定积分为∫(k/x)dx = k*ln|x| + C。
九、反比例函数的方程求解1. 解析解：通过交叉相乘法等代数方法求解。
中考数学专题复习反比例函数专题基础知识部分复习
中考数学专题复习之反比例函数一、知识点1.反比例函数的概念反比例函数y=k x 中的k x 是一个分式,自变量x ≠0,函数与x 轴、y 轴无交点,y=kx也可写成y=kx -1(k ≠0),注意自变量x 的指数为-1, 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k ≠0这一限制条件. 2.反比例函数的图象在用描点法画反比例函数y=kx的图象时,应注意自变量x 的取值不能为0,应从1或-1开始对称取点. 3.反比例函数y=kx中k 的意义 注意:反比例函数y=k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y=kx(k ≠0)上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k │. ◆考点链接1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 （k 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质二、例题讲解例1.（2009年湖南娄底）市一小数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm 2的矩形学具进行展示. 设矩形的宽为x cm ，长为y cm ，则这些同学所制作的矩形长y （cm ）与宽k 的符号k ＞0k ＜0 图像的大致位置经过象限 第 象限 第 象限 性质在每一象限内y 随x 的增大而在每一象限内y 随x 的增大而oy xy xox （cm ）之间的函数关系的图象大致是 ( )例2（2009年新疆）若梯形的下底长为x ，上底长为下底长的13，高为y ，面积为60，则y 与x 的函数关系是____________．（不考虑x 的取值范围）例3（2009年内蒙古包头）如图，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数ky x=的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根号）．三、专项练习（中考真题）一、选择题1．（2010安徽芜湖）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ a x 与正比例函数y ＝（b ＋c ）x 在同一坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2．（2010甘肃兰州） 已知点（-1，1y ），（2，2y ），（3，3y ）在反比例函数x k y 12--=的图像上. 下列结论中正确的是 A ．321y y y >> B ．231y y y >> C ．213y y y >> D ． 132y y y >>yO x AC B3．（2010山东青岛）函数y ax a =-与ay x=（a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）4．（2010山东日照）已知反比例函数y =x2，则下列点中在这个反比例函数图象的上的是 （A ）（－2，1） （B ）（1，-2） （C ）（-2，-2） （D ）（1，2） 5．（2010四川凉山）已知函数25(1)m y m x -=+是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则m 的值是A ．2B ．2-C ．2±D ．12- 6．（2010浙江宁波）已知反比例函数1y x=，下列结论不正确．．．的是 (A)图象经过点(1,1) (B)图象在第一、三象限(C)当1x >时，01y << (D)当0x <时，y 随着x 的增大而增大 7．（2010 浙江台州市）反比例函数xy 6=图象上有三个点)(11y x ，，)(22y x ，，)(33y x ，，其中3210x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系是(▲)A ．321y y y <<B ．312y y y <<C ．213y y y <<D ．123y y y << 8．（2010四川眉山）如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为A ．12B ．9C ．6D ．4DBAyxOC9．（2010浙江绍兴）已知（x 1, y 1）,（x 2, y 2）,（x 3, y 3）是反比例函数xy 4-=的图象上的三个点,且x 1＜x 2＜0，x 3＞0,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A . y 3＜y 1＜y 2B . y 2＜y 1＜y 3C . y 1＜y 2＜y 3D . y 3＜y 2＜y 110．（2010 嵊州市）如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线xy 2-=交于),(),,(2211y x B y x A 两点,则122183y x y x -的值为( )xyBA oA.-5B.-10C.5D.1011．（2010山东聊城）函数y 1＝x （x ≥0），y 2＝4x（x>0）的图象如图所示，下列结论：①两函数图象的交点坐标为A （2，2）； ②当x >2时，y 2>y 1；③直线x ＝1分别与两函数图象相交于B 、C 两点，则线段BC 的长为3； ④当x 逐渐增大时，y 1的值随x 的增大而增大，y 2的值随x 的增大减少． 其中正确的是（ ）A ．只有①②B ．只有①③C ．只有②④D ．只有①③④12．（2010 四川南充）如图，直线2y x =+与双曲线ky x=相交于点A ，点A 的纵坐标为3，k 的值为（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 13．（2010江西）如图，反例函数4y x=图象的对称轴的条数是( ) OxyA3（第9题）yy 1＝x y 2＝4xx 第11题图A ．0B ．1C ．2D ．314．（2010福建福州）已知反比例函数的图象y ＝kx 过点P (1，3)，则该反比例函数图象位于( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限 15．（2010江苏无锡）如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C的双曲线ky x= 交OB 于D ，且OD ：DB=1:2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值（ ）A ． 等于2B ．等于34C ．等于245D ．无法确定16．（2010年上海）在平面直角坐标系中，反比例函数 y = kx ( k ＜0 ) 图像的量支分别在（ ）A .第一、三象限B .第二、四象限C .第一、二象限D .第三、四象限17．（2010山东临沂） 已知反比例函数7y x=-图象上三个点的坐标分别是1(2,)A y -、2(1,)B y -、3(2,)C y ，能正确反映1y 、2y 、3y 的大小关系的是（A ）123y y y >>（B ）132y y y >>（C ）213y y y >>（D ）231y y y >> 18．（2010 山东莱芜）已知反比例函数xy 2-=，下列结论不正确．．．的是(第6题图)A ．图象必经过点(-1,2)B ．y 随x 的增大而增大C ．图象在第二、四象限内D ．若x ＞1，则y ＞-219．（2010福建宁德）反比例函数1y x=（x ＞0）的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值（ ）．A ．减小B ．增大C ．不变D ．先减小后不变 20．（2010年贵州毕节）函数1ky x-=的图象与直线y x =没有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >B ．1k <C ．1k >-D ．1k <- 22．（2010江苏常州）函数2y x=的图像经过的点是 A.(2,1) B.(2,1)- C.(2,4) D.1(,2)2-23．（2010 山东滨州）如图,P 为反比例函数y=kx的图象上一点,PA ⊥x 轴于点A, △PAO 的面积为6.下面各点中也在这个反比例函数图象上的点是( )A.(2,3)B. (-2,6)C. (2,6)D. (-2,3)24．（2010湖北荆门）在同一直角坐标系中，函数y=kx+1和函数y=xk（k 是常数且k ≠0）的图象只可能是A ．B ．C ．D ．25．（2010山东潍坊）若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象交于点A （m ，1），则k 的值是（ ）．xyO第8题图A ．2或－2B ．22或－22 C ．22D ．226．（2010湖南怀化）反比例函数)0(1>-=x xy 的图象如图１所示， 随着x 值的增大，y 值（ ）A ．增大B ．减小Ｃ．不变 Ｄ．先增大后减小 28．（2010湖北鄂州）正比例函数y=x 与反比例函数ky x=（k ≠0）的图像在第一象限交于点A,且AO=2,则k 的值为A.22B.1C. 2D.229．（2010山东泰安）函数y=2x+1与函数y=kx的图象相交于点(2,m),则下列各点不在函数y=kx的图象上的是( )Ａ．(－2,－5) Ｂ．(52,4) Ｃ．(－1,10) Ｄ．(5,2)30．（2010云南红河哈尼族彝族自治州）不在函数xy 12=图像上的点是 A ．（2,6） B.（-2，-6） C.（3,4） D.（-3,4） 31．（2010黑龙江哈尔滨）反比例函数xk y 3-=的图像，当0>x 时，y 随x 的增大而增大，则k 的数值范围是（ ） （A ）2<k （B ）3≤k （C ）3>k（D ）．3≥k二、填空题1．（2010安徽蚌埠二中）已知点（1，3）在函数)0(>=x xky 的图像上。
反比例函数 初三专题复习
反比例函数复习一、知识点梳理： 1、反比例函数的概念 2、反比例函数的图像 3、反比例函数的性质4、反比例函数解析式的确定5、K 的绝对值的意义反比例函数涉及到的题目难度多位中档，重点和难点是反比例函数有关的综合问题。
二、题目类型：1、 反比例函数概念、图像与性质例1：若反比例函数y ＝kx的图象经过点(－3,2)，则k 的值为( )A ．－6B ．6C ．－5D ．5(2)已知反比例函数y ＝1x，下列结论不正确的是( )A ．图象经过点(1,1)B ．图象在第一、三象限C ．当x>1时，0<y<1D ．当x<0时，y 随着x 的增大而增大（3）已知点A(1,y 1),B(2,y 2) ,C(-3,y 3),都在反比例函数xy 6的图象上,则y 1、y 2与y 3的大小关系(从小到大)为 ( ) .A.y 3<y 1<y 2B.y1<y 2<y 3C.y 2<y 1<y 3D.y 3<y 2<y 12、反比例函数与几何图形的面积例2：如图，已知双曲线y ＝kx(k<0)经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C.若点A 的坐标为(－6,4)，则△AOC 的面积为( )A ．12B ．9C ．6D ．43、反比例函数的应用4、与反比例函数有关的综合问题例3 ：如图，已知反比例函数y ＝kx与一次函数y ＝x ＋b 的图象在第一象限相交于点A(1，－k ＋4)．①试确定这两个函数的表达式；②求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标， 并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．在反比例函数章节中重点掌握反比例函数的综合问题，注意寻找与其他知识点的结合，找到突破口，解出答案。
（在这里重点练习一下）22．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于点N，Rt△MON的外心为点A（32，-2），反比例函数y=kx（x＞0）的图象过点A．（1）求直线l的解析式；（2）在函数y=kx（x＞0）的图象上取异于点A的一点B，作BC⊥x轴于点C，连接OB交直线l于点P．若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．课堂练习一、选择题1．函数y ＝2x的图象经过的点是( )A ．(2,1)B ．(2，－1)C ．(2,4)D ．(－12，2)2．反比例函数22)12(--=mx m y ，当x>0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值是( )A ．±1B ．小于12的实数C ．－1D ．13、双曲线12y y 、在第一象限内的图象如图，14y x=，过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ，交y 轴于C ，若1AOBS=，则2y 的解析式是4、已知点A 是反比例函数(0)ky k x=≠的图像上一点，AB y ⊥轴于点B ，且△ABO 的面积为3，则k 的值为5、直线122y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，交双曲线ky x=于点C ，A 、D 关于y 轴对称，若6S =四边形OBCD ，则k = ．6、正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数2y x=的图象相交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线，交x 轴于点B ，过C 作x 轴的垂线，交x 轴于点D ，则四边形ABCD 的面积为7、如图，(0)y kx k =-≠与4y x=-交于A 、B 两点，过A 作AC y ⊥轴于点C ，则△BOC 的面积为8、过y 轴上任意一点P 作x 轴的平行线，分别与反比函数4y x =-和2y x=的图象交于A 、B 两点，若C 为x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为二、解答题1、已知点A 在双曲线y ＝6x 上，且OA ＝4，过A 作AC 垂直x 轴于C ，OA 的垂直平分线交OC 于B.(1)△AOC 的面积＝______；(2)△ABC 的周长为______．2.如图，一次函数y ＝kx ＋2的图象与反比例函数y ＝mx的图象交于点P ，点P 在第一象限．PA 垂直x轴于点A ，PB 垂直y 轴于点B ，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ，且S △PBD ＝4，OC OA ＝12.(1)求点D 的坐标；(2)求一次函数与反比例函数的解析式；(3)根据图象写出当x>0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点C 在y 轴上，D 是BC 的中点，过点D 的反比例函数图象交AB 于E 点，连接DE 。
初中数学反比例函数知识点与题型总结大全
一、概述反比例函数是初中数学中的重要知识点之一。
掌握反比例函数的知识，对于学生理解数学规律和解决实际问题具有重要意义。
本文将系统总结反比例函数的相关知识点和常见题型，帮助学生更好地掌握这一部分内容。
二、反比例函数的定义1. 反比例函数的概念反比例函数是指两个变量之间的关系，当一个变量的值增加时，另一个变量的值减少。
通常用y=k/x（k≠0）来表示，其中k为比例系数。
2. 反比例函数的特点（1）反比例函数图像呈现出一条经过原点且斜率逐渐减小、趋近于x轴的曲线。
（2）当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。
（3）反比例函数的图像经过点（1，k）和（k，1），其中k为比例系数。
三、反比例函数的性质1. 零点问题反比例函数y=k/x的零点为x≠0，y=0时的值。
2. 单调性问题当x1<x2时，y1>y2；当x1>x2时，y1<y2。
即当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。
3. 渐近线问题反比例函数的图像有两个渐近线，分别为x轴和y轴。
四、反比例函数的图像与性质1. 反比例函数的图像（1）当k>0时，反比例函数图像位于第一象限和第三象限。
（2）当k<0时，反比例函数图像位于第二象限和第四象限。
2. 反比例函数图像的特点（1）当k>0时，图像呈现出y轴的镜像关系；当k<0时，图像呈现出x轴的镜像关系。
（2）当k的绝对值增大时，图像离x轴和y轴越远。
五、反比例函数的题型1. 反比例函数的应用题（1）水管填水：如何选择合适的水管来填满一个容器。
（2）工人齐心协力地工作，完成相同的工作需要的时间和工人数量。
（3）如何选择合适的空调功率。
2. 实际问题的数学抽象（1）根据实际问题找出反比例函数的表达式。
（2）利用反比例函数解决实际问题，如何做到最大效益。
3. 反比例函数的图像题（1）根据给定的k值绘制反比例函数的图像。
（2）根据图像判断k值的大小和符号。
六、结语反比例函数作为初中数学中的一个重要知识点，涉及到很多实际问题的解决。
专题20反比例函数(3个知识点4种题型1种中考考法)(解析版)-初中数学北师大版9年级上册
专题20反比例函数（3个知识点4种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数的概念及表达式（重点）知识点2.反比例函数表达式的确定（重点）知识点3.根据实际问题列反比例函数的表达式（重点）【方法二】实例探索法题型1.根据反比例函数的概念求未知字母的值题型2.反比例关系的应用题型3.反比例函数关系的判断及应用题型4.应用几何图形中的数量关系建立反比例函数关系【方法三】仿真实战法考法.反比例函数的概念【方法四】成果评定法【学习目标】1.理解反比例函数的概念，会判断一个函数是不是反比例函数。
2.能结合具体问题确定反比例函数的表达式，并会确定实际问题中自变量的取值范围，求出函数值。
【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数的概念及表达式（重点）如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为ky x=，其中k 是不等于零的常数.一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.注意：（1）在k y x =中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式kx无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ≠.故函数图象与x 轴、y 轴无交点.（2）k y x =()可以写成()的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）k y x=()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式.【例1】（2023春•邗江区期末）下列式子中，表示y 是x 的反比例函数的是（）A ．xy ＝1B ．y ＝C ．y ＝D ．y ＝【答案】A【解答】解：A 、由原式得到y ＝，符合反比例函数的定义．故本选项正确；B 、该函数式表示y 与x 2成反比例关系，故本选项错误；C 、该函数式表示y 与x 成正比例关系，故本选项错误；D 、该函数不属于反比例函数，故本选项错误；故选：A ．【变式】（2022秋•怀化期末）下列函数不是反比例函数的是（）A ．y ＝3x﹣1B ．y ＝﹣C ．xy ＝5D ．y ＝【答案】B【解答】解：A 、y ＝3x ﹣1＝是反比例函数，故本选项错误；B 、y ＝﹣是正比例函数，故本选项正确；C 、xy ＝5是反比例函数，故本选项错误；D 、y ＝是反比例函数，故本选项错误．故选：B ．知识点2.反比例函数表达式的确定（重点）待定系数法求反比例函数解析式一般步骤：【例2】（2022秋·九年级单元测试）已知y ＝y 1－y 2，y 1与x 成反比例，y ＝5；当x ＝1时，y ＝－1；求当x ＝－1时，y 的值．【答案】3-【分析】设出解析式，利用待定系数法求得解析式，代入x 【详解】设1ay x=，()22y b x =-，（a 、b 不等于0）∵12y y y =-，a【方法二】实例探索法题型1.根据反比例函数的概念求未知字母的值一、单选题解得62 km=⎧⎨=⎩，故选：B．【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．2.（2022秋•岳阳县期末）若函数y＝（m+4）x|m|﹣5是反比例函数，则m的值为（）A．4B．﹣4C．4或﹣4D．0【答案】A【解答】解：由题意得，|m|﹣5＝﹣1，且m+4≠0，解得：m＝4．故选：A．3.（2022秋•惠来县期末）函数y＝x k﹣1是反比例函数，则k＝（）A．3B．2C．1D．0【答案】D【解答】解：由题意得：k﹣1＝﹣1，解得：k＝0，故选：D．k6,104【答案】()【点睛】本题主要考查了坐标系的新定义问题，理解“雁点”的定义，是解题的关键．题型3.反比例函数关系的判断及应用48【方法三】仿真实战法考法.反比例函数的概念1．（2023•临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（）A．反比例函数关系B．正比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系【分析】列出V与t的关系式，根据反比例函数的定义可得答案．【解答】解：根据题意得：Vt＝105，∴V＝，V与t满足反比例函数关系；故选：A．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握反比例函数的定义．2．（2018•柳州）已知反比例函数的解析式为y＝，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a≠﹣2C．a≠±2D．a＝±2【分析】根据反比例函数解析式中k是常数，不能等于0解答即可．【解答】解：根据反比例函数解析式中k是常数，不能等于0，由题意可得：|a|﹣2≠0，解得：a≠±2，故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数，关键是根据反比例函数关系式中k的取值范围解答．【方法四】成果评定法一、单选题A．①②B．【答案】B【分析】分别求出三个问题中变量【详解】解：①∵正方形的周长为二、填空题【答案】2（答案不唯一）【分析】根据矩形写出B ，取值范围．【详解】解：∵矩形ABCD ∴()1,1B ,()3,4D ,三、解答题。
(完整word版)九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题,文档
新人教版九年级数学下册第26 章反比率函数知识点归纳和典型例题〔一〕知识构造〔二〕学习目标1．理解并掌握反比率函数的见解，能依照实责问题中的条件确定反比率函数的解析式〔k 为常数，〕，能判断一个给定函数可否为反比率函数．2．能描点画出反比率函数的图象，会用代定系数法求反比率函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点．3．能依照图象数形结合地解析并掌握反比率函数〔k为常数，〕的函数关系和性质，能利用这些函数性质解析和解决一些简单的实责问题．4．关于实责问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，谈论函数模型，解决实际问题〞的过程，领悟函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反响在函数见解中的运动变化见解，进一步认识数形结合的思想方法．〔三〕重点难点1．重点是反比率函数的见解的理解和掌握，反比率函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．2．难点是反比率函数及其图象的性质的理解和掌握．二、基础知识〔一〕反比率函数的见解1．〔〕能够写成〔〕的形式，注意自变量x 的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．〔〕也能够写成xy=k 的形式，用它能够迅速地求出反比率函数解析式中的 k，从而获取反比率函数的解析式；3．反比率函数的自变量，故函数图象与x 轴、 y 轴无交点．〔二〕反比率函数的图象在用描点法画反比率函数的图象时，应注意自变量x 的取值不能够为 0 ，且 x 对付称取点〔关于原点对称〕．〔三〕反比率函数及其图象的性质1．函数解析式：〔〕2．自变量的取值范围：3．图象：〔 1〕图象的形状：双曲线．越大，图象的波折度越小，曲线越平直．越小，图象的波折度越大．（2〕图象的地址和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大．〔 3〕对称性：图象关于原点对称，即假设〔a， b〕在双曲线的一支上，那么〔，〕在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即假设〔 a ，b〕在双曲线的一支上，那么〔，〕和〔，〕4． k 的几何意义如图 1，设点 P〔a ，b〕是双曲线上任意一点，作PA⊥ x 轴于 A 点， PB ⊥y 轴于B 点，那么矩形PBOA 的面积是〔三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是〕．如图 2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作 QC ⊥PA 的延长线于 C ，那么有三角形PQC 的面积为．图1图25．说明：〔 1〕双曲线的两个分支是断开的，研究反比率函数的增减性时，要将两个分支分别谈论，不能够混作一谈．〔 2〕直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3〕反比率函数与一次函数的联系．〔四〕实责问题与反比率函数1．求函数解析式的方法：〔 1〕待定系数法；〔 2〕依照实质意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．〔五〕充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题解析1☆．反比率函数的见解〔 1〕以下函数中，y 是 x 的反比率函数的是〔〕．A．y=3x B ．C． 3xy=1 D ．〔 2〕以下函数中，y 是 x 的反比率函数的是〔〕．A．B．C．D．答案：〔 1〕 C；〔 2〕A ．2．图象和性质（1〕函数是反比率函数，①假设它的图象在第二、四象限内，那么k=___________ ．②假设 y 随 x 的增大而减小，那么k=___________．〔 2〕一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，那么函数的图象位于第________ 象限．〔 3〕假设反比率函数经过点〔，2〕，那么一次函数的图象必然不经过第 _____ 象限．〔 4〕 a ·b＜0 ，点 P〔 a ，b〕在反比率函数的图象上，那么直线不经过的象限是〔〕．A．第一象限 B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限〔 5〕假设 P 〔2 ， 2〕和 Q〔 m，〕是反比率函数图象上的两点，那么一次函数y=kx+m的图象经过〔〕．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限〔 6〕函数和〔k≠0〕，它们在同一坐标系内的图象大体是〔〕．A．B．C．D．答案：〔 1〕①② 1；〔2〕一、三；〔3〕四；〔4〕C；〔5〕C；〔6〕B．3．函数的增减性〔 1〕在反比率函数的图象上有两点，，且，那么的值为〔〕．A．正数B．负数 C ．非正数 D ．非负数〔 2 〕在函数〔a为常数〕的图象上有三个点，，，那么函数值、、的大小关系是〔〕．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜〔 3〕以下四个函数中：①；②；③；④．y 随 x 的增大而减小的函数有〔〕．A．0个B．1个C．2个D． 3个〔 4〕反比率函数的图象与直线y=2x 和 y=x+1 的图象过同一点，那么当x＞ 0时，这个反比率函数的函数值y 随 x 的增大而〔填“增大〞或“减小〞〕．答案：〔 1〕 A；〔 2〕D ；〔3〕 B．注意，〔 3〕中只有②是吻合题意的，而③是在“每一个象限内〞y随x的增大而减小．4．解析式确实定〔 1〕假设与成反比率，与成正比率，那么y 是 z 的〔〕．A．正比率函数 B ．反比率函数 C ．一次函数 D ．不能够确定〔 2〕假设正比率函数y=2x 与反比率函数的图象有一个交点为〔2，m〕，那么m=_____ ，k=________，它们的另一个交点为________ ．〔 3〕反比率函数的图象经过点，反比率函数的图象在第二、四象限，求的值．〔 4〕一次函数y=x+m 与反比率函数〔〕的图象在第一象限内的交点为P 〔 x 0， 3 〕．①求 x 0 的值；②求一次函数和反比率函数的解析式．〔 5〕☆为了预防“非典〞，某学校订教室采用药薰消毒法进行消毒．药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y 〔毫克〕与时间x 〔分钟〕成正比率，药物燃烧完后，y 与 x 成反比率〔以以下图〕，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请依照题中所供应的信息解答以下问题：①药物燃烧时y 关于 x 的函数关系式为___________ ，自变量x 的取值范围是_______________ ；药物燃烧后y 关于 x 的函数关系式为_________________．②研究说明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，最少需要经过_______ 分钟后，学生才能回到教室；才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒可否有效？为什么？答案：〔 1〕B；〔2〕4，8，〔，〕；〔 3〕依题意，且，解得．〔 4〕①依题意，解得②一次函数解析式为，反比率函数解析式为．〔5〕①，，；② 30 ；③消毒时间为〔分钟〕，因此消毒有效．5 ．面积计算〔 1〕☆如图，在函数的图象上有三个点 A 、B 、 C，过这三个点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为、、，那么〔〕．A．B．C．D．第〔 1〕题图第〔2〕题图〔 2〕☆如图， A 、 B 是函数的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC//y 轴，BC//x 轴，△ABC 的面积 S，那么〔〕．〔 3〕如图， Rt△ AOB 的极点 A 在双曲线上，且S△ AOB=3，求m的值．第〔 3〕题图第〔4〕题图〔 4〕☆函数的图象和两条直线y=x ， y=2x 在第一象限内分别订交于P1 和P2 两点，过P1 分别作 x 轴、 y 轴的垂线P1Q1 ，P1R1 ，垂足分别为Q1 ， R1 ，过 P2 分别作 x 轴、 y 轴的垂线P2 Q 2 ， P2 R 2 ，垂足分别为 Q 2 ， R 2 ，求矩形O Q 1P1 R 1 和 O Q 2P2 R 2 的周长，并比较它们的大小．〔 5〕如图，正比率函数y=kx 〔 k＞ 0〕和反比率函数的图象订交于 A 、C 两点，过 A 作 x 轴垂线交 x 轴于 B ，连接 BC ，假设△ABC 面积为 S，那么 S=_________ ．第〔 5〕题图第〔6〕题图〔 6〕如图在 Rt △ ABO 中，极点 A 是双曲线与直线在第四象限的交点， AB ⊥ x 轴于 B 且 S△ ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、 C 的坐标和△ AOC 的面积．〔 7 〕如图，正方形OABC 的面积为 9 ，点 O 为坐标原点，点 A 、C 分别在 x 轴、 y 轴上，点 B 在函数〔k＞0，x＞0〕的图象上，点P 〔 m，n 〕是函数〔k＞ 0，x＞ 0 〕的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF 在正方形OABC 以外的局部的面积为S ．①求 B 点坐标和k 的值；②当时，求点P 的坐标；③写出 S 关于 m 的函数关系式．答案：〔 1〕D；〔2〕C；〔3〕6；〔4〕，，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5〕1．（6〕①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为〔0，〕和〔，0〕，且A〔1，〕和C〔，1〕，因此面积为 4．〔7〕① B〔3，3〕，；②时， E〔6，0〕，；③．6．综合应用〔 1〕假设函数y=k1x 〔 k1 ≠0 〕和函数〔k2≠0〕在同一坐标系内的图象没有公共点，那么 k1和 k2 〔〕．A．互为倒数 B ．符号相同C．绝对值相等D．符号相反〔二〕〔 2〕如图，一次函数的图象与反比率数的图象交于A、B 两点： A〔， 1〕， B〔 1， n 〕．① 求反比率函数和一次函数的解析式；②依照图象写出使一次函数的值大于反比率函数的值的x 的取值范围．〔 3〕以以下图，一次函数〔k≠0〕的图象与x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点，且与反比率函数〔m≠0〕的图象在第一象限交于 C 点， CD 垂直于 x 轴，垂足为D，假设 OA=OB=OD=1．①求点 A、B、D 的坐标；② 求一次函数和反比率函数的解析式．〔 4 〕☆如图，一次函数的图象与反比率函数的图象交于第一象限 C 、D 两点，坐标轴交于A、 B 两点，连接OC ，OD 〔O 是坐标原点〕．①利用图中条件，求反比率函数的解析式和m 的值；②双曲线上可否存在一点P ，使得△ POC 和△POD 的面积相等？假设存在，给出证明并求出点 P 的坐标；假设不存在，说明原由．〔 5〕不解方程，判断以下方程解的个数．①；②．答案：（1〕D ．〔 2〕①反比率函数为，一次函数为；②范围是或．〔 3〕① A〔 0，〕，B〔0，1〕，D〔1，0〕；②一次函数为，反比率函数为．〔 4〕①反比率函数为，；②存在〔2，2〕．〔 5〕①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；11②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．12。
初三反比例函数知识点
代入法的注意事项
在代入过程中，要注意保持等式的平 衡，即等式两边同时进行相同的运算 ；同时要注意检验求得的解是否符合 原方程组。
判别式法求解方程组
01
判别式法的基本思想
通过计算方程组的判别式，判断方程组的解的情况，从而进行求解。
02 03
判别式法的步骤
首先根据方程组的形式，构造出一个关于未知数的二次方程；然后计算 这个二次方程的判别式；接着根据判别式的值，判断方程组的解的情况 ；最后根据方程组解的情况，求出
当函数形式为y=(k/x)+b或y=(k/x)+a时，图像分别沿x轴、y轴平移。
平移后函数性质不变
平移后的反比例函数图像仍然具有中心对称性，且渐近线与坐标轴平行。
对称变换
要点一
反比例函数图像的对称性
反比例函数图像关于原点对称，即如果点(x,y)在图像上， 则点(-x,-y)也在图像上。
理解题意
认真阅读题目，理解题 意和要求，明确解题方
向。
构建思路
根据题目所给的条件和 反比例函数的性质，构 建解题思路，确定解题
步骤。
规范表达
在解题过程中，注意表 达的规范性和准确性， 避免出现歧义或错误。
检查答案
在完成解答后，对答案 进行检查和验证，确保 答案的正确性和完整性
。
THANK YOU
判别式法的注意事项
在构造二次方程时，要注意方程的形式和未知数的系数；在计算判别式 时，要注意保持计算的准确性；在判断方程组解的情况时，要根据判别 式的值进行准确的判断。
06
典型例题分析与解题思路总结
选择题答题技巧
01
02
03
仔细审题
认真阅读题目，理解题意 ，明确题目所考查的知识 点。
初三数学《反比例函数》知识点归纳
图象特征
二次函数图象为抛物线，反比例 函数图象为双曲线。两者在坐标
系中有明显的区别。
性质
二次函数具有对称性、单调性和 最值等性质；反比例函数具有中 心对称性、单调性和无界性等性
质。
典型例题解析
• 例题1：已知二次函数y=ax^2+bx+c和反比例函数y=k/x，其中a、b、c、k均为常数，且a≠0，k≠0。若两函 数图象有交点，求交点的坐标。
反比例函数的解析式一般可以写成 $y=k/x$（$k neq 0$）的形式。
图象特征与性质
图象
反比例函数的图象是以 原点为对称中心的两条 曲线，这两条曲线与坐 标轴没有交点。
对称性
反比例函数的图象既是 轴对称图形，又是中心 对称图形；它有两条对 称轴$y=x$和$y=-x$， 对称中心是坐标原点。
解析
根据复合函数的定义，将内层函 数$g(x)$代入外层函数$f(x)$中， 得到复合函数的解析式为
典型例题解析
例题2
已知函数$f(x)=sin x$和函数 $g(x)=cos x$，求复合函数 $y=f[g(x)]$的解析式并画出其图象 。
解析
根据复合函数的定义，将内层函数 $g(x)$代入外层函数$f(x)$中，得到复 合函数的解析式为
复合函数表达式
一般地，如果函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成函数$y=f[g(x)]$，就称$y=f[g(x)]$为复合函数。
复合函数图象变换规律
平移变换
若函数图象沿向量$vec{a}=(h,k)$平移，则函数表达式变 为$y=f(x-h)+k$。
对称变换
若函数图象关于直线$x=a$对称，则函数表达式变为 $y=f(2a-x)$；若关于点$(a,b)$对称，则函数表达式变为 $y=2b-f(2a-x)$。
反比例函数讲义(知识点+典型例题)
变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值 ．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。
（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。
（3）增减性： 当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。
(完整word版)反比例函数知识点归纳(重点)
反比率函数知识点概括和典型例题（一）知识结构（二）学习目标1．理解并掌握反比率函数的看法，能依据实质问题中的条件确立反比率函数的分析式（k为常数，），能判断一个给定函数能否为反比率函数．2．能描点画出反比率函数的图象，会用代定系数法求反比率函数的分析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、分析式法和图象法的各自特色．3．能依据图象数形联合地剖析并掌握反比率函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质剖析和解决一些简单的实质问题．4．对于实质问题，能“找出常量和变量，成立并表示函数模型，议论函数模型，解决实质问题”的过程，领会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反应在函数看法中的运动变化看法，进一步认识数形联合的思想方法．（三）要点难点1．要点是反比率函数的看法的理解和掌握，反比率函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．2．难点是反比率函数及其图象的性质的理解和掌握．二、基础知识（一）反比率函数的看法1．（）能够写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决相关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也能够写成xy=k 的形式，用它能够快速地求出反比率函数分析式中的k，进而获得反比率函数的分析式；3．反比率函数的自变量，故函数图象与x 轴、 y 轴无交点．（二）反比率函数的图象在用描点法画反比率函数的图象时，应注意自变量x 的取值不可以为0，且 x 应付称取点（对于原点对称）．（三）反比率函数及其图象的性质1．函数分析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1 ）图象的形状：双曲线．越大，图象的曲折度越小，曲线越平直．越小，图象的曲折度越大．（2）图象的地点和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大．（3 ）对称性：图象对于原点对称，即若（ a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象对于直线对称，即若（ a ，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4． k 的几何意义如图 1 ，设点 P（ a， b）是双曲线上随意一点，作PA ⊥ x 轴于 A 点， PB ⊥ y 轴于 B 点，则矩形PBOA 的面积是（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是）．如图 2 ，由双曲线的对称性可知，P 对于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA 的延伸线于C，则有三角形PQC 的面积为．图1图25．说明：（1 ）双曲线的两个分支是断开的，研究反比率函数的增减性时，要将两个分支分别议论，不可以混为一谈．（2 ）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点对于原点成中心对称．（3）反比率函数与一次函数的联系．（四）实质问题与反比率函数1．求函数分析式的方法：（1 ）待定系数法；（ 2 ）依据实质意义列函数分析式．2．注意学科间知识的综合，但要点放在对数学知识的研究上．（五）充足利用数形联合的思想解决问题．三、例题剖析1．反比率函数的看法（1 ）以下函数中，y 是 x 的反比率函数的是（）．A ． y=3x B． C ．3xy=1D．（2 ）以下函数中，y 是 x 的反比率函数的是（）．A．B．C．D．2．图象和性质（1 ）已知函数是反比率函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若 y 随 x 的增大而减小，那么k=___________．（2 ）已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3 ）若反比率函数经过点（，2），则一次函数的图象必定不经过第_____ 象限．（4 ）已知 a ·b＜ 0 ，点 P （a ， b ）在反比率函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A ．第一象限B ．第二象限C．第三象限D．第四象限（5 ）若 P （ 2 ，2 ）和 Q （m ，）是反比率函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m 的图象经过（）．A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6 ）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大概是（）．A．B．C．D．答案：（ 1）①② 1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（ 1）在反比率函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A ．正数 B ．负数C．非正数D．非负数（ 2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3 ）以下四个函数中：①；②；③；④．y 随 x 的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（ 4 ）已知反比率函数的图象与直线y=2x 和 y=x+1 的图象过同一点，则当x＞ 0时，这个反比率函数的函数值 y 随 x 的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（ 1） A；（2） D；（ 3） B ．注意，（ 3）中只有②是切合题意的，而③是在“每一个象限内”y随x的增大而减小．4．分析式确实定（1 ）若与成反比率，与成正比率，则y 是 z 的（）．A ．正比率函数B．反比率函数C．一次函数D．不可以确立（ 2 ）若正比率函数y=2x 与反比率函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________ ．（3 ）已知反比率函数的图象经过点，反比率函数的图象在第二、四象限，求的值．（4 ）已知一次函数 y=x+m 与反比率函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0 ， 3 ）．①求 x 0 的值；②求一次函数和反比率函数的分析式．量 y （毫克）与时间x （分钟）成正比率，药物焚烧完后，y 与 x 成反比率（如下图），现测得药物8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请依据题中所供给的信息解答以下问题：①药物焚烧时y 对于 x 的函数关系式为___________，自变量x的取值范围是_______________；药物焚烧后y 对于 x 的函数关系式为_________________．②研究表示，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，起码需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且连续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒能否有效？为何？答案：（1） B；（2）4，8，（，）；（3 ）依题意，且，解得．（4 ）①依题意，解得②一次函数分析式为，反比率函数分析式为．（5）①，，；② 30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（ 1 ）如图，在函数的图象上有三个点A、 B、 C，过这三个点分别向x 轴、 y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（ 1）题图第（2）题图（2 ）如图， A 、B 是函数的图象上对于原点O 对称的随意两点，AC//y 轴， BC//x 轴，△ ABC 的面积 S，则（）．A．S=1B．1＜S＜2C．S=2D．S＞2（3 ）如图， Rt △ AOB 的极点 A 在双曲线上，且S△ AOB=3，求m的值．第（ 3）题图第（4）题图（4 ）已知函数的图象和两条直线y=x ，y=2x 在第一象限内分别订交于P1 和 P2 两点，过 P1 分别作 x 轴、 y 轴的垂线 P1Q1 ， P1R1 ，垂足分别为Q1 ， R1 ，过 P2 分别作 x 轴、 y 轴的垂线P2 Q 2 ， P2 R 2 ，垂足分别为Q 2 ， R 2，求矩形O Q 1P1 R 1 和 O Q 2P2 R 2 的周长，并比较它们的大小．（ 5）如图，正比率函数y=kx（ k＞ 0）和反比率函数的图象订交于A、C 两点，过 A 作 x 轴垂线交 x 轴于 B，连结 BC ，若△ ABC 面积为 S，则 S=_________．第（ 5 ）题图第（6）题图（6 ）如图在Rt △ABO 中，极点 A 是双曲线与直线在第四象限的交点，AB ⊥ x 轴于 B 且S△ABO=．①求这两个函数的分析式；②求直线与双曲线的两个交点 A 、 C 的坐标和△ AOC 的面积．（ 7）如图，已知正方形OABC 的面积为 9 ，点 O 为坐标原点，点A、 C 分别在 x轴、 y轴上，点 B 在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （ m， n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上随意一点，过 P 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为 E 、 F，设矩形OEPF 在正方形OABC 之外的部分的面积为S ．①求 B 点坐标和k 的值；②当时，求点P 的坐标；③写出 S 对于 m 的函数关系式．答案：（ 1） D ；（2）C；（3）6；（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（ 0，）和（，0），且 A（ 1，）和 C（， 1），所以面积为 4．（7）① B（ 3，3），；②时， E（6，0），；③．6．综合应用（1 ）若函数y=k1x （k1 ≠0）和函数（k2≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1 和 k2 （）．A ．互为倒数B．符号同样 C ．绝对值相等D．符号相反8（ 2 ）如图，一次函数的图象与反比率数的图象交于A、 B 两点： A （， 1），B （ 1 ，n）．① 求反比率函数和一次函数的分析式；②依据图象写出使一次函数的值大于反比率函数的值的x 的取值范围．（ 3 ）如下图，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A、 B两点，且与反比率函数（ m≠0 ）的图象在第一象限交于 C 点， CD 垂直于 x 轴，垂足为 D ，若 OA=OB=OD=1．①求点 A、 B、 D 的坐标；② 求一次函数和反比率函数的分析式．（ 4 ）如图，一次函数的图象与反比率函数的图象交于第一象限C、D 两点，坐标轴交于 A 、 B 两点，连结OC ， OD （O 是坐标原点）．①利用图中条件，求反比率函数的分析式和m 的值；②双曲线上能否存在一点P，使得△POC 和△ POD 的面积相等？若存在，给出证明并求出点P 的坐标；若不存在，说明原因．（5 ）不解方程，判断以下方程解的个数．①；②．（2 ）① 反比率函数为，一次函数为；②范围是或．（3）① A（ 0，），B（0，1），D（1，0）；②一次函数为，反比率函数为．（4 ）①反比率函数为，；②存在（ 2， 2）．（5 ）①结构双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②结构双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．10。
反比例函数九年级知识点
反比例函数九年级知识点反比例函数是初中数学中的一个重要知识点。
在九年级学完正比例函数后，学生通常会在课堂上接触到反比例函数的概念和性质。
接下来，我们将深入探讨反比例函数及其应用。
一、反比例函数的定义反比例函数是指函数中的两个变量之间存在着一种特殊的关系：当一个变量的值增大时，另一个变量的值就会减小，反之亦然。
其数学表达形式为 y = k / x，其中 k 是比例常数，而 x 和 y 分别表示自变量和因变量。
二、反比例函数的性质1. 定义域和值域对于反比例函数 y = k / x，自变量x 可以取任意不为0的实数，因变量 y 的值域为全体实数。
2. 对称中心反比例函数的图像关于第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的坐标轴有对称性，且交点为(1, k)。
3. 单调性当自变量 x 变大时，因变量 y 逐渐减小；当自变量 x 变小时，因变量 y 逐渐增大。
因此，反比例函数是单调函数。
4. 渐近线对于反比例函数 y = k / x，当自变量 x 趋于正无穷大或负无穷大时，因变量 y 趋于0。
因此，反比例函数的图像与 x 轴和 y 轴分别有两条渐近线。
三、反比例函数的图像反比例函数的图像呈现出一条平面上的双曲线。
根据反比例函数的性质，我们可以知道，当自变量取较小的正数时，函数的值较大；当自变量取较大的正数时，函数的值较小。
图像的左侧和右侧都逐渐靠近 x 轴，说明函数值趋于无穷大。
而当自变量 x 离 0 越远时，函数值越接近于 0。
四、反比例函数的应用反比例函数广泛应用于各个领域，如物理学、经济学和生物学等。
以下是几个常见的应用示例：1. 电阻和电流欧姆定律规定电阻大小与通过电流的大小成反比例关系。
当电流增大时，电阻减小，反之亦然。
这种关系可以用反比例函数来描述。
2. 速度和时间在实际的物理运动中，速度与所用时间成反比例关系。
当速度增大时，所用时间减小，反之亦然。
反比例函数可以用来描述运动物体在不同速度下所用的时间。
49初中数学九年级全册 反比例函数(基础)知识讲解
初中数学九年级全册 反比例函数（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．【要点梳理】要点一、反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为k y x =，其中k 是不等于零的常数. 一般地，形如k y x= (k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 要点诠释：（1）在k y x =中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式k x无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ≠.故函数图象与x 轴、y 轴无交点.（2）k y x= ()可以写成()的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）k y x = ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式.要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数k y x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为：k y x= (0k ≠)； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数k 的值；（4）把求得的k 值代回所设的函数关系式k y x=中. 要点三、反比例函数的图象和性质1、 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点诠释：（1）若点(a b ，)在反比例函数k y x=的图象上，则点(a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(k 为常数，0k ≠) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．2、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以O 为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当0k >时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k <时，两支曲线分别位于第二、四象限内．3、反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号. 要点四：反比例函数()中的比例系数k 的几何意义过双曲线xk y =(0k ≠) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线xk y =(0k ≠) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k . 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【典型例题】类型一、反比例函数的定义1、（2014春•惠山区校级期中）下列函数：①y=2x ，②y=，③y=x ﹣1，④y=．其中，是反比例函数的有（ ）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C ；【解析】解：①y 是x 正比例函数；②y 是x 反比例函数；③y 是x 反比例函数；④y 是x+1的反比例函数．故选：C ．【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般(0k y k x=≠）转化为y=kx ﹣1（k≠0）的形式．类型二、确定反比例函数的解析式2、（2016春•大庆期末）已知y 与x 成反比例，且当x=﹣3时，y=4，则当x=6时，y 的值为 ．【思路点拨】根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【答案】﹣2．【解析】解：设反比例函数为y=，当x=﹣3，y=4时，4=，解得k=﹣12．反比例函数为y=． 当x=6时，y =﹣2， 故答案为：﹣2．【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题关键． 举一反三：【变式】已知y 与x 成反比，且当6x =-时，4y =，则当2x =时，y 值为多少？【答案】 解：设k y x=，当6x =-时，4y =， 所以46k =-，则k ＝－24， 所以有24y x-=． 当2x =时，24122y -==-． 类型三、反比例函数的图象和性质3、在函数21a y x--=（a 为常数）的图象上有三点(11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)，且1230x x x <<<，则123y y y ，，的大小关系是（ ）．A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<【答案】D ；【解析】解：因为221(1)0k a a =--=-+<，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，y 随x 的增大而增大．因为12x x <，所以12y y <．因为33(,)x y 在第四象限，而11(,)x y ，22(,)x y 在第二象限，所以31y y <．所以312y y y <<．【总结升华】已知反比例函数k y x=，当k ＞0，x ＞0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＞0；当k ＞0，x ＜0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＜0．这里不能说成当k ＞0，y 随x 的增大而减小．例如函数2y x=，当x ＝－1时，y ＝－2，当x ＝1时，y ＝2，自变量由－1到1，函数值y 由－2到2，增大了．所以，只能说：当k ＞0时，在第一象限内，y 随x 的增大而减小．举一反三：【变式1】已知2(3)m y m x -=-的图象是双曲线，且在第二、四象限，(1)求m 的值．(2)若点(－2，1y )、(－1，2y )、(1，3y )都在双曲线上，试比较1y 、2y 、3y 的大小．【答案】解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且2130m m -=-⎧⎨-≠⎩，∴ 1m =. (2)由(1)得此函数解析式为：2y x=-． ∵ (－2，1y )、(－1，2y )在第二象限，－2＜－1，∴ 120y y <<．而(1，3y )在第四象限，30y <．∴ 312y y y <<【变式2】（2014秋•娄底月考）对于函数y=，下列说法错误的是（ ）A. 它的图象分布在一、三象限；B. 它的图象与坐标轴没有交点；C. 它的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；D. 当x ＜0时，y 的值随x 的增大而增大.【答案】D ；解：A 、k=2＞0，图象位于一、三象限，正确；B 、因为x 、y 均不能为0，所以它的图象与坐标轴没有交点，正确；C 、它的图象关于y=﹣x 成轴对称，关于原点成中心对称，正确；D ，当x ＜0时，y 的值随x 的增大而减小，故选：D ．类型四、反比例函数综合4、已知点A(0，2)和点B(0，－2)，点P 在函数1y x=-的图象上，如果△PAB 的面积是6，求P 点的坐标．【思路点拨】由已知的点A 、B 的坐标，可求得AB ＝4，再由△PAB 的面积是6，可知P 点到y 轴的距离为3，因此可求P 的横坐标为±3，由于点P 在1y x=-的图象上，则由横坐标为±3可求其纵坐标．【答案与解析】解：如图所示，不妨设点P 的坐标为00(,)x y ，过P 作PC ⊥y 轴于点C ．∵ A(0，2)、B(0，－2)，∴ AB ＝4．又∵ 0||PC x =且6PAB S =△，∴01||462x =g ，∴ 0||3x =，∴ 03x =±． 又∵ 00(,)P x y 在曲线1y x =-上，∴ 当03x =时，013y =-；当03x =-时，013y =． ∴ P 的坐标为113,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭或213,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【总结升华】通过三角形面积建立关于0x 的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值．举一反三：【变式】已知：如图所示，反比例函数k y x=的图象与正比例函数y mx =的图象交于A 、B ，作AC ⊥y 轴于C ，连BC ，则△ABC 的面积为3，求反比例函数的解析式．【答案】解：由双曲线与正比例函数y mx =的对称性可知AO ＝OB ， 则1322AOC ABC S S ==△△． 设A 点坐标为(A x ，A y )，而AC ＝|A x |，OC ＝|A y |， 于是1113||||2222AOC A A A A S AC OC x y x y ===-=g g g △， ∴ 3A A x y =-g ，而由A Ak y x =得A A x y k =g ，所以3k =-， 所以反比例函数解析式为3y x-=．。
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初三数学提高班第八课时
反比例函数知识点及经典例题 姓名：
一、基础知识
1. 定义：一般地，形如 y k （ k 为常数， k o ）的函数称为反比例函数。 y k 还
x
x
可以写成 y kx 1
2. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以 O为中心，沿 O的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线）
A O
C
B
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8． 某蓄水池的排水管每小时排水 8m3，6 小时可将满池水全部排空．
（ 1）蓄水池的容积是多少？ （ 2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到
Q（m3），那么将满池水排空所需的
时间 t （ h）将如何变化？
（ 3）写出 t 与 Q的关系式．
（ 4）如果准备在 5 小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？ （ 5）已知排水管的最大排水量为每小时 12m3，那么最少需多长时间可将满池水全
B
C． S 1=S2
D
． S 1 <S 2 ． S 1 与 S2 的大小关系不能确定
y
O
x
n1
6．关于 x 的一次函数 y=-2x+m 和反比例函数 y=
的图象都经过点 A（ -2 ， 1）.
x
求：（ 1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）两函数图象的另一个交点 B 的坐标；
（ 3）△ AOB的面积．
120 kPa 时，
气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（
）
A、不小于 5 m3 4
B 、小于 5 m3 4
3．在同一直角坐标平面内， 如果直线 y
C 、不小于 4 m3 5
k1 x 与双曲线 y
D 、小于 4 m3 5
k2 没有交点， 那么 k1 和 k2 的 x
关系一定是（
）
A. k1+ k2 =0
（ 2）反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是 y x 或 y x ）。
（3）反比例函数 y
k （
k
0 ）中比例系数 k 的几何意义是： 过双曲线 y
k （k
0）
x
x
上任意引 x 轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为 k 。
4．反比例函数性质如下表： k 的取值 图像所在象限
ko
一、三象限
函数的增减性
x
二、例题
【例 1】如果函数 y kx 2k2 k 2 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多
少？
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【例 2】在反比例函数 y
1
的图像上有三点 x
x1 ， y1 ， x2 ， y 2 ， x3 ， y3
。若
x1 x2 0 x3 则下列各式正确的是（
）
A． y3 y1 y2 B ． y3 y2 y1 C ． y1 y2 y3 D ． y1 y3 y2
在每个象限内， y 值随 x 的增大而减小
ko
二、四象限
在每个象限内， y 值随 x 的增大而增大
5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐
标即可求出 k ）
6．“反比例关系”与“反比例函数” ：成反比例的关系式不一定是反比例函数 , 但是反比
例函数 y
k 中的两个变量必成反比例关系。
部排空？
1b
9. 已知 b 3 , 且反比例函数 y
x 的图象在每个象限内，
1b
如果点 a,3 在双曲线上 y
x ，求 a 是多少？
y 随 x 的增大而增大 ,
10．如图，在直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝kx ＋b 的图象与反比例函数 y m 的图 x
象交于 A(-2 ， 1) 、 B(1， n) 两点。 (1) 求上述反比例函数和一次函数的表达式； (2) 求△ AOB的面积。
【例 3】如果一次函数 y mx n m 0 与反比例函数 y
（ 1，2 ），那么该直线与双曲线的另一个交点为（
）
2
3n m的图像 相交于点 x
【例 4】 如图， 在 Rt AOB 中，点 A 是直线 y 点，且 S AOB 2 ，则 m 的值是 _____.
x m 与双曲线 y
m 在第一象限的交
x
三、练习题
1. 若 y 与 x 成反比例， x 与 z 成正比例，则 y 是 z 的（
A、正比例函数
B 、反比例函数
C 、一次函数
） D、不能确定
2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压 P ( kPa ) 是气体体积 V ( m 3 )
的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于
k 7. 如图所示，一次函数 y＝ax＋ b 的图象与反比例函数 y＝x的图象交于 A、B 两点，
1 与 x 轴交于点 C．已知点 A的坐标为（－ 2，1），点 B 的坐标为（ 2， m）．
（ 1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（ 2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的
x 的取值范围．
B. k1· k2 <0
C. k1· k2 >0
D. k1 = k2
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1 4．如图 ，A、C是函数 y 的图象上的任意两点，过 A 作 x 轴的
x 垂线，垂足为 B，过 C作 y 轴的垂线，垂足为 D，记 Rt ΔAOB的面
积为 S1， RtΔ COD的面积为 S2 则 （ ）
A． S1 ＞ S2