(4份试卷汇总)2019-2020学年山西省临汾市中考数学第四次调研试卷

2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B （﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
2．一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情况是（）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a
1
2 ；④
b＞1，其中正确的结论个数是（）
A.1个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
4．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，已知AB＝4，AD＝2，△GEF与△AEF关于直线EF成轴对称．当点F沿AD边从点A运动到点D时，点G的运动路径长为（）
A.2
B.4π
C.2π
D.
5．如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBA和△EDC一定是全等三角形；②△EBD是等腰三角形，EB＝ED；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．计算（2+1）2019
•（2﹣1）2018
的结果是（ ）
A ．2 +1
B ．2﹣1
C ．2
D ．1
7．如图，在长方形ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC 折叠，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）
A.12
B.10
C.8
D.6
8．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）
A.6
B.5
C.4
D.7
9．已知，关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2
+2x+1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜3
B ．m≤3
C ．m ＜3且m≠2
D ．m≤3且m≠2
10．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A ．
211
30x x
+-= B ．ax 2+bx+c ＝0 C ．x 2+5x ＝x 2﹣3
D ．x 2﹣3x+2＝0
11．如图，该几何体的俯视图是（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
12．如图，在二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠0)的图象中，小明同学观察得出了下面几条信息：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③
02a b c
a b
++<-；④b 2＝4a(c ﹣1)；⑤关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝3无实数根，共
中信息错误的个数为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题
13．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AC 经过点O ，与⊙O 分别相交于点D 、C ，若∠ACB=30°，AB=5，则阴部分面积是_____．
14．因式分解：32a a +=______．
15．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小从锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1寸，AB ＝10寸，则直径CD 的长为_______.
16．某实验中学九年级(1)班全体同学的综合素质评价“运动与健康”方面的等级统计如图所示，其中评价为“A”所在扇形的圆心角是__度．
17．已知直线经过第一、二、四象限，该直线解析式可以是______．
18．已知反比例函数y ＝的图象经过点（2，﹣1），则k ＝_____． 三、解答题
19．如图，正方形网格中有一段弧，弧上三点A ，B ，C 均在格点上． (1)请作图找出圆心P 的位置(保留作图痕迹)，并写出它的坐标． (2)求»AC 的长度．
20．计算：6sin45°﹣18+|2﹣3 |+（22﹣3）0+（﹣1）2019
21．为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．
(1)开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？
(2)开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(结果保留根号)
22．某校为了调查初三男生和女生周日学习用时情况，随机抽取了初三男生和女生各50人，对他们的周日学习时间进行了统计，分别得到了初三男生的学习时间的频率分布表和女生学习时间的频率分布直方图（学习时间x，单位：小时，0≤x≤6）．
男生周日学习时间频率表
学习时间频率
0≤x＜1 0.34
1≤x＜2 0.36
2≤x＜3 0.38
3≤x＜4 0.22
4≤x＜5 0.14
5≤x＜6 0.06
（2）从这100名学生中周日学习用时在5≤x≤6内的学生中抽取2人，求恰巧抽到一男一女的概率．
23．先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1），其中x＝1
3
．
24．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、O、P均在格点上.I. OB的长等于
______________；Ⅱ.点M在射线OA上，点N在射线OB上，当PMN
V的周长最小时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出PMN
V，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）____________ .
25．解不等式组：
()
-324
211
52
x x
x x
⎧-≥
⎪
⎨-+
<
⎪⎩
并把其解集在数轴上表示出来.
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C D C A B A D D B C
13535
18
π
-
14．a(a2+2)
15．2尺6寸
16．108°．
17．y＝-x＋1（答案不唯一）
18．-2
三、解答题
19．(1)画图见解析，P(﹣2，1)；
10
【解析】
【分析】
（1）作AB、BC的中垂线即可确定圆心P的位置；（2）利用弧长公式计算可得．
【详解】
（1）如图所示，点P即为所求，其坐标为(﹣2，1)；
（2）∵AP 2＝CP 2＝10，AC 2＝20， ∴AP 2+CP 2＝AC 2， ∴∠APC ＝90°， 则»AC 的长度为901010
=ππ⋅⋅．
【点睛】
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆的确定和弧长公式． 20．2﹣3． 【解析】 【分析】
结合绝对值，二次根式，指数幂和三角函数值计算，计算结果，即可。

【详解】 解：原式＝6×﹣3
+2﹣
+1﹣1
＝2﹣
．
【点睛】
考查二次根式化简，考查正弦三角函数计算，考查指数幂计算，难度中等。

21．(1)开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走2)千米；(2)汽车从A 地到B 地比原来少走的路程为23千米． 【解析】 【分析】
（1）过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ，在直角△ACD 中，解直角三角形求出CD ，进而解答即可； （2）在直角△CBD 中，解直角三角形求出BD ，再求出AD ，进而求出汽车从A 地到B 地比原来少走多少路程． 【详解】
(1)过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ， ∵AB ⊥CD ，sin30°＝
CD
BC
，BC ＝80千米， ∴CD ＝BC•sin30°＝80×1
2
＝40(千米)， AC ＝
CD
402sin 45︒
=千米)，
AC+BC ＝80+1
-
8
(千米)， 答：开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走(80+1
-
8
)千米；
(2)∵cos30°＝BD
BC
，BC＝80(千米)，
∴BD＝BC•cos30°＝80×3
=403(千米)，
∵tan45°＝CD
AD
，CD＝40(千米)，
∴AD＝
CD
40
tan45︒
=(千米)，
∴AB＝AD+BD＝40+403(千米)，
∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB＝80+
1
-
8
﹣40﹣403＝40+40(23)
-(千
米)．
答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为 [40+40(23)
-]千米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
22．（1）该校初三年级周日学习用时较长的是男生；（2）3 5
【解析】
【分析】
（1）分别求出男生和女生周日学习用时的平均数，由此判断即可；
（2）从被抽到的100名学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中男生由2人，女生由4人，列树状图求得抽到1男1女的概率即可．
【详解】
解：（1）由频数分布直方图得女生学习时间的平均数为：1 50
（10×1.5+10×2.5+14×3.5+8×4.5+2×5.5）＝2.75；
由男生周日学习时间频率表得男生学习时间的平均数为：
0.5×0.34+1.5×0.36+2.5×0.38+3.5×0.22+4.5×0.14+5.5×0.06＝3.39，
∵2.75＜3.39，
∴该校初三年级周日学习用时较长的是男生；
（2）这100名学生中周日学习用时在5≤x≤6内的学生中，男生有3人，女生有2人，列树状图如图所示，由树状图可知，共有20种情况；
刚好抽到一男一女的有12种等可能结果，
所以刚好抽到一男一女的概率为123 205
=．
【点睛】
此题考查了概率公式与列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23．x ﹣1，﹣23
【解析】 【分析】
原式利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值． 【详解】
原式＝x 2﹣1﹣x 2+x ＝x ﹣1， 当x ＝
1
3
时， 原式＝
13﹣1＝﹣23
． 【点睛】
此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．13 图见解析，选取点P 关于直线OA 的对称点1P ；选取点C ，连接PC 并延长，选取点
EF ，连接EF 与PC 延长线交于点2P ；连接12P P ，分别交OA 、OB 于M 、N ，连接PM 、PN ，
则PMN n 的周长最小. 【解析】 【分析】
I.根据勾股定理求出OB 的长.
Ⅱ. 如图，选取点P 关于直线OA 的对称点1P ；选取点C ，连接PC 并延长，选取点EF ，连接EF 与
PC 延长线交于点2P ；根据直角边长都为2和3，EF 和PC 为斜边的两个三角形全等，得出
∠BCP=∠FEG ，再根据EG//PH ，所以∠BEG=∠BPH,再根据三角形的内角和定理和等量代换，得出
∠EP 2P=90︒，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边行BEFO 为平行四边形，从而得
EF//OB ，得出PP 2⊥OB,再根据BE=BP ，从而得出OB 垂直平分PP 2，连接P 2P 1与OB 、OA 分别相交于M 点和N 点，即可解决问题． 【详解】
I.在Rt OBD n 中，22OB OD BD =+ 222313=+=
故答案为：13
Ⅱ.如图，选取点P 关于直线OA 的对称点1P ；选取点C ，连接PC 并延长，选取点EF ，连接EF 与
PC 延长线交于点2P ；连接12P P ，分别交OA 、OB 于M 、N ，连接PM 、PN .则点M 、N 即为所求．
证明：Q 由网格图可得，直角边长都为2和3，且EF 和PC 为斜边的两个三角形全等
∠∴BCP=∠FEG
Q EG//PH
∠∴BEG=∠BPH
在n PCH 中，∠BCP+∠BPC+∠BPH=90︒ ∠∴FEG+∠BEG+∠BPC=90︒ ∠∴EP 2P=90︒ ∴PP 2⊥EF
根据勾股定理可得，BE=OF ，EF=OB,
∴四边行BEFO 为平行四边形 ∴EF//OB ∴PP 2⊥OB Q BE=BP, EF//OB ∴OB 垂直平分PP 2
∴点P 与点P 2关于OB 对称
连接P 2P 1与OB 、OA 分别相交于M 点和N 点，则此时PMN n 的周长最小 【点睛】
此题考查了应用与设计作图轴对称—最短距离、平行四边形的性质与判定、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题． 25．−7<x ⩽1，见解析. 【解析】 【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】
解不等式x −3(x −2)⩾4，得：x ⩽1， 解不等式
5211
2
x x -+< ，得：x>−7， 则不等式组的解集为−7<x ⩽1， 将解集表示在数轴上如下：
【点睛】
此题考查在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，解题关键在于掌握运算法则.
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）. A ．8% B ．9% C ．10% D ．11%
2．从-2、-1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0的k 值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是（ ） A.
15
B.
25
C.
35
D.
45
3．已知二次函数y ＝x 2
﹣6x+m 的最小值是1，那么m 的值等于（ ） A ．10 B ．4
C ．5
D ．6 4．下列运算正确的是（ ）
A ．2m 2+m 2＝3m 4
B ．（mn 2）2＝mn 4
C ．2m•4m 2＝8m 2
D ．m 5÷m 3＝m 2
5．如图，在四边形中，
分别是
，
，
，
边上的点，某同学探索出如下结论，其
中不正确．．．
的是（ ）
A.当是各边中点且时，四边形为菱形
B.当是各边中点且
时，四边形
为矩形
C.当不是各边中点时，四边形不可能为菱形
D.当
不是各边中点时，四边形
可以为平行四边形
6．已知函数：①y=2x ；②()2
y=-x<0x
；③y=3-2x ；④()2y=2x +x x 0≥，其中，y 随x 增大而增大的函数有( ) A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．把一副三角板按如图所示摆放，使FD BC ∕∕，点E 恰好落在CB 的延长线上，则BDE ∠的大小为
（ ）
A ．10︒
B ．15︒
C ．25︒
D ．30°
8．若一个正九边形的边长为α，则这个正九边形的半径是( )
A ．
cos 20α
︒
B ．
sin 20α
︒
C ．
2cos 20α
︒
D ．
2sin 20α
︒
9．如图，点A （m ，1），B （2，n ）在双曲线k
y x
=（k≠0），连接OA ，OB ．若S △ABO ＝8，则k 的值是（ ）
A ．﹣12
B ．﹣8
C ．﹣6
D ．﹣4
10．有甲、乙两个不同的水箱，容量分别为a 升和b 升，且已各装了一些水．若将甲中的水全倒入乙箱之后，乙箱还可以继续装20升水才会满；若将乙箱中的水倒入甲箱，装满甲箱后，乙箱里还剩10升水，则a ，b 之间的数量关系是( ) A ．b ＝a+15 B ．b ＝a+20 C ．b ＝a+30 D ．b ＝a+40 11．已知a 2﹣b 2＝6，a+b ＝2，则a ﹣b 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．如图：二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a+b ＝0；③当m≠1时，a+b ＞am 2+bm ；④a ﹣b+c ＞0；⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，且x 1≠x 2，则x 1+x 2＝2，正确的个数为（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题
13．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别是线段AB 、AD 上的动点（不与端点重合），且AE ＝DF ，BF 与DE 相交于点G ．给出如下几个结论：①△AED ≌△DFB ；②∠BGE 大小会发生变化；③CG 平分∠BGD ；④若AF ＝2DF ，则BG ＝6GF ；2
3BCDG S CG =四边形⑤．其中正确的结论有_____（填序号）．
14．一个圆锥的底面半径为3cm ，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是_____cm 2
． 15．分解因式：mn 2-2mn+m=_________.
16．已知a 1＝－32，a 2＝55，a 3＝－710，a 4＝917，a 5＝－1126
，…，则a 8＝_______． 17．已知m n 、均为整数，当BC AP λ=u u u v u u u v
时，()()60mx x n ++≤恒成立，则m n +=_____________．
18．化简
2
26
69
a a a -=-+_____．
三、解答题
19．某水果批发商经营甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y 甲（万元）与进货量x （吨）近似满足函数关系y 0.2x 甲，乙种水果的销售利润y 乙（万元）与进货量x （吨）之间的函数关系如图所示． （1）求y 乙（万元）与x （吨）之间的函数关系式；
（2）如果该批发商准备进甲、乙两种水果共．．．．．．．．．10．．吨．，设乙种水果的进货量为t 吨，请你求出这两种水果所获得的销售利润总和W （万元）与t （吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润总和最大，最大利润是多少？
20．如图(1)所示，等边△ABC 中，线段AD 为其内角角平分线，过D 点的直线B 1C 1⊥AC 于点C 1交AB 的延长线于点B 1．
(1)请你探究：AC AB ＝CD DB
，1
1AB AC ＝11C D DB 是否都成立？
(2)请你继续探究：若△ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角角平分线，请问AC AB ＝CD
DB
一定成立吗？并证明你的判断．
(3)如图(2)所示Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝40
3
，E 为AB 上一点且AE ＝5，CE 交其内角角平分线AD 于F ．试求
DF
FA
的值．
21．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，点D 为线段BC 上一个动点（不与点B ，C 重合），连接AD ，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，连接EC. （1）①依题意补全图1； ②求证：∠EDC ＝∠BAD;
（2）①小方通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，线段CE 与BD 的数量关系始终不变，用等式表示为 ；
②小方把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F ，只需证△ADB ≌△DEF ． 想法2：在线段AB 上取一点F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，只需证△ADF ≌△DEC ．
想法3：延长AB到F，使得BF＝BD，连接DF，CF，只需证四边形DFCE为平行四边形．……
请你参考上面的想法，帮助小方证明(2)①中的猜想．（一种方法即可）
22．（1）计算：20﹣（﹣3）2+1
4
×（﹣4）；
（2）化简：（a+1）2﹣2（a+1
2
）
23．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，
时间x（天）1≤x＜9 9≤x＜15
售价（元/斤）第1次降价后的价格第2次降价后的价格
销量（斤） 80﹣3x 120﹣x
储存和损耗费用（元） 40+3x 3x2﹣64x+400
销售利润最大.
24．某小区2号楼对外销售，已知2号楼某单元共33层，一楼为商铺，只租不售，二楼以上价格如下：第16层售价为6000元/米2，从第16层起每上升一层，每平方米的售价提高30元，反之每下降一层，每平方米的售价降低10元，已知该单元每套的面积均为100米2
（1）请在下表中，补充完整售价y（元/米2）与楼层x（x取正整数）之间的函数关系式．
楼层x（层）1楼2≤x≤1516楼17≤x≤33
售价y（元/米2）不售6000
帮助他分析哪种优惠方案更合算．
25．某校成立了“航模”、“古诗词欣赏”、“音乐”、“书法”四个兴趣小组，为了解兴趣小组报名的情况，对本校参加报名的部分学生进行了抽查（参加报名的学生，每名学生必报且限报一个兴趣小组）学校根据调查的数据绘制了以下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下面的问题: 某校被抽查学生兴趣小某校被抽查学生兴趣小
组报名情况扇形统计图 组报名情况条形统计图
(1)此次共调查了_______名学生，扇形统计图中“航模”部分的圆心角是_______度； (2)补全条形统计图；（温馨提示:请画在答题卷相对应的图上）
(3)现该校共有800名学生报名参加了这四个兴趣小组，请你估计其中有多少名学生选修“古诗词欣赏”.
【参考答案】*** 一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A D C C B D C C C B
13．①③④． 14．π 15．m(n-1)2
16．
1765 17．-7或-5 18．
23
a - 三、解答题
19．（1）2y 0.1x 1.4x =-+乙；（2）甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润总和最大，最大利润是5.6万元． 【解析】 【分析】
（1）根据题意列出二元一次方程组，求出a 、b 的值即可求出函数关系式的解．
（2）由题意可得2W y y 0.2
10t (0.1t 1.4t)=+=-+-+甲乙（），用配方法化简函数关系式即可求出w 的最大值． 【详解】
（1）根据图象，可设2
y ax bx =+乙（其中0a ≠，a ，b 为常数），
由题意，得解得 1.342 2.4.a b a b ，+=⎧⎨
+=⎩解得=-0.1b 1.4.a ⎧⎨=⎩
，
∴2y 0.1x 1.4x =-+乙．
（2）∵乙种水果的进货量为t 吨，则甲种水果的进货量为10t -（）吨， 由题意，得22W y y 0.2
10t (0.1t 1.4t)0.1t 1.2t 2=+=-+-+=-++乙甲（）．
将函数配方为顶点式，得2W 0.1(t 6) 5.6=--+． ∵0.10-<，∴抛物线开口向下．
∵0t 10<<，∴6t =时，W 有最大值为5.6． ∴1064-=（吨）．
答：甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润总和最大，最大利润是5.6万元． 【点睛】
本题考查学生利用二次函数解决实际问题的能力，注意二次函数的最大值往往要通过顶点坐标来确定． 20．(1)两个等式都成立．理由见解析； (2)结论仍然成立，理由见解析；(3) DF AF ＝5
8
． 【解析】 【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到AD 垂直平分BC ，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC ，则DB=CD ，易得
AC CD AB DB =；由于∠C 1AB 1=60°，得∠B 1=30°，则AB 1=2AC 1，同理可得到DB 1=2DC 1，易得1111
AC C D AB DB =； （2）过B 点作BE ∥AC 交AD 的延长线于E 点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E=∠CAD=∠BAD ，则BE=AB ，并且根据相似三角形的判定得△EBD ∽△ACD ，得到
AC CD
BE DB
=，而BE=AB ，于是有AC CD
AB DB
=，这实际是三角形的角平分线定理； （3）AD 为△ABC 的内角角平分线，由（2）的结论得到
8
35
40,3583
CD AC EF AE DB AB
FC AC =====，又53
40553AE EB ==
-，则有CD AE DB EB
=，得到DE ∥AC ，根据相似三角形的判定得△DEF ∽△ACF ，即有5
8
DF EF AF CF ==. 【详解】
解：(1)两个等式都成立．理由如下： ∵△ABC 为等边三角形，AD 为角平分线，
∴AD 垂直平分BC ，∠CAD ＝∠BAD ＝30°，AB ＝AC ， ∴DB ＝CD ， ∴
AC AB ＝CD
DB
， ∵∠C 1AB 1＝60°， ∴∠B 1＝30°， ∴AB 1＝2AC 1， 又∠DAB 1＝30°， ∴DA ＝DB 1， 而DA ＝2DC 1， ∴DB 1＝2DC 1，
∴11AB AC ＝11
C D DB ；
(2)结论仍然成立，理由如下：
如图所示，
△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
∴∠E＝∠CAD＝∠BAD，
∴BE＝AB，
∵BE∥AC，
∴△EBD∽△ACD，
∴AC
EB
＝
CD
BD
，
而BE＝AB，
∴AC
AB
＝
CD
DB
．
(3)如图，连接DE，
∵AD为△ABC的内角角平分线，
∴CD
DB
＝
AC
AB
＝
8
40
3
＝
3
5
，
EF
FC
＝
AE
AC
＝
5
8
，
又AE
EB
＝
5
40
5
3
－
＝
3
5
，
∴CD
DB
＝
AE
EB
，
∴DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴DF
AF
＝
EF
CF
＝
5
8
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其它两边所截，所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系以及角平分线的性质．
21．（1）①见解析②见解析（2）①猜想：CE2BD②见解析
【解析】
【分析】
（1）①依题意补全图形即可；②由角的关系即可得出结论；
（2）①由全等三角形和勾股定理可猜想
CE=2BD；
②想法1：过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F，证明△ADB≌△DEF，得出AB=DF，BD=EF，证出
CF=BD=EF，得出△CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；
想法2：在线段AB上取一点F，使得BF=BD，连接DF，证出AF=DC，证明△ADF≌△DEC，得出
CE=DF=2BD即可；
想法3：延长AB到F，使得BF=BD，连接DF，CF，证明△ABD≌△CBF，得出AD=CF，∠BAD=∠BCF，再证明四边形DFCE为平行四边形，即可得出结论．
【详解】
（1）①补全的图形如图1所示；
②∵∠ADE＝∠B＝90°，∴∠EDC+∠ADB＝∠BAD+∠ADB＝90°，
∴∠EDC＝∠BAD；
（2）①猜想：CE＝2BD；
故答案为：CE＝2BD；
②想法1：
证明：过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F，如图2所示：
∴∠F＝90°，∴∠B＝∠F，
在△ADB和△DEF中，
B F
BAD EDC AD DE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ADB≌△DEF（AAS），∴AB＝DF，BD＝EF，
∵AB＝BC，∴DF＝BC，即DC+CF＝BD+DC，
∴CF＝BD＝EF，∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE＝2CF＝2BD；
想法2：
证明：在线段AB上取一点F，使得BF＝BD，连接DF，如图3所示：∵∠B＝90°，AB＝BC，
∴DF ＝2
BD ， ∵AB ＝BC ，BF ＝BD ， ∴AB ﹣BF ＝BC ﹣BD ， 即AF ＝DC ，
在△ADF 和△DEC 中，
AF DC BAD EDC AD DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ADF ≌△DEC （SAS ）， ∴CE ＝DF ＝2BD ； 想法3：
证明：延长AB 到F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，CF ，如图4所示：
∵∠B ＝90°，∴DF 2BD ， 在Rt △ABD 和Rt △CBF 中，
AB BC ABD CBF 90BD BF ︒
=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
， ∴△ABD ≌△CBF （SAS ）， ∴AD ＝CF ，∠BAD ＝∠BCF ， ∵AD ＝DE ，∴DE ＝CF ．
∵∠EDC ＝∠BAD ，∴∠EDC ＝∠BCF ， ∴DE ∥CF ，
∴四边形DFCE 为平行四边形， ∴CE ＝DF 2BD ． 【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
22．（1）510；（2）a 2 【解析】 【分析】
（1）先化简各个根式，然后合并同类项； （2）先去括号，然后合并同类项． 【详解】
（1）原式＝59﹣1 ＝510；
（2）原式＝a2+2a+1﹣2a﹣1
＝a2．
【点睛】
本题考查了二次根式化简和整式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
23．（1）该种水果每次降价的百分率是10%；（2）第10天时销售利润最大；
【解析】
【分析】
（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；
（2）根据两个取值先计算：当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润=（售价-进价）×销量-费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；
【详解】
（1）设该种水果每次降价的百分率是x，
10（1﹣x）2=8.1，
x=10%或x=190%（舍去），
答：该种水果每次降价的百分率是10%；
（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，
∴y=（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）=﹣17.7x+352，
∵﹣17.7＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=1时，y有最大值，
y大=﹣17.7×1+352=334.3（元），
当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，
∴y=（8.1﹣4.1）﹣（3x2﹣64x+400）
=﹣3x2+60x+80
=﹣3（x﹣10）2+380，
∵﹣3＜0，
∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，
当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，
∴当x=10时，y有最大值，
y大=380（元），
综上所述，第10天时销售利润最大.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x的取值，两个取值中的最大值才是最大利润．
24．（1）10x+5840，30x+5520；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以分别写出2≤x≤15和17≤x≤33对应的函数解析式，本题得以解决；
（2）根据（1）中的函数关系式可以求得第26层的价格，即可写出两种优惠活动的花费，然后利用分类讨论的方法即可解答本题．
【详解】
解：（1）由题意可得，
当2≤x≤15时，y=6000﹣（16﹣x）×10=10x+5840，
当17≤x≤33时，y=6000+（x﹣16）×30=30x+5520，
故答案为：10x+5840，30x+5520；
（2）第26层每平方米的价格为：30×26+5520=6300元，
方案一应付款：W1=100×6300×（1﹣5%）﹣m=598500﹣m，
方案二应付款：W2=100×6300×（1﹣7%）=585900，
当W1＞W2时，598500﹣m＞585900，得m＜12600，
当W1=W2时，598500﹣m=585900，得m=12600，
当W1＜W2时，598500﹣m＞585900，得m＞12600，
所以当m＜12600时，方案二合算；
当 m=12600时，二个方案相同；
当m＞12600时，方案一合算．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．
25．（1）200，144；（2）见解析；（3）120.
【解析】
【分析】
（1）用书法的人数除以书法圆心角所占的百分比即可；用360°乘以航模所占的百分比即可；
（2）用本次调查的人数减去已知三个小组的人数求出音乐小组的人数，然后补全条形统计图即可；（3）用800乘以“古诗词欣赏”所占的百分比即可.
【详解】
(1)调查的总人数是：
90
50200
360
÷=(人)，
扇形统计图中“航模”部分的圆心角是：
80
360144
200
⨯=
o°．
故答案是：200，144；
(2)“音乐”兴趣小组的人数是：200-80-30-50=40（人）．如图所示：
（3）根据题意得
30
800120
200
⨯=(人)，
答：估计其中有120名学生选修“古诗词欣赏”．
【点睛】
本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合，用样本估计总体.解答此类题目，要善于发现二者之间的关联点，即两个统计图都知道了哪个量的数据，从而用条形统计图中的具体数量除以扇形统计图中占的百分比，求出样本容量，进而求解其它未知的量.
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0），过（1，y 1）、（2，y 2）．下列结论：①若y 1＞0时，则a+b+c
＞0； ②若a ＝2b 时，则y 1＜y 2；③若y 1＜0，y 2＞0，且a+b ＜0，则a ＞0．其中正确的结论个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 2．已知直线a ∥b ，将一块含45o 角的直角三角板(∠C=90o )按如图所示的位置摆放，若∠1=55o ，则∠2
的度数为( )
A ．85o
B ．70o
C ．80o
D ．75o
3．如图，⊙O 与BC 相切于点B ，弦AB ∥OC ，若∠C ＝40°，则∠AOB 的度数是（ ）
A.60
B.70°
C.80°
D.90° 4．如图，点P(-a,2a)是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为5π，则反比例函数的解析是
为（ ）
A. B. C. D.
5．如图，等边三角形ABC ，B 点在坐标原点，C 点的坐标为（4，0），则点A 的坐标为（ ）
A ．（2，3）
B ．（2，3）
C ．（32）
D ．（2，2）
6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为(4,0)，60AOC ∠=︒，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N(点M 在点N 的上方)，若OMN ∆的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒(04)t ≤≤，则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
7．如果a+b＝1
2
，那么
a b
a b b a
+
--
22
的值是（）
A．1
2
B．
1
4
C．2 D．4
8．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问甲乙持钱各几何？”其大意是：今有甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有.问甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱为，乙带钱为，根据题意，可列方程组为（）
A. B. C. D.
9．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC 上，若四边形GEHF是菱形，则AE的长是（）
A.5
B.25
4
C.33
D.52
10．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象上一点A到x轴的距离与到y轴的距离之比为2 : 3，且y随x的增大而减小，则k的值是 ( )
A．2
3
B．
3
2
C．
3
2
-D．
2
3
-
11．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A ．∠ABC ＝90°
B ．∠BCD ＝90°
C ．AB ＝C
D D ．AB ∥CD
12．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，动点E 从点A 出发，沿A B C →→的路线运动,当点E 到达点C 时停止运动，过点E 作FE AE ⊥,交CD 于点F ，设点E 运动的路程为x ,FC y =.则y 关于x 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．如图，将边长为3的正方形纸片ABCD 对折，使AB 与DC 重合，折痕为EF ，展平后，再将点B 折到边CD 上，使边AB 经过点E ，折痕为GH ，点B 的对应点为M ，点A 的对应点为N ，那么折痕GH 的长为_____．
14．计算：①232n m ⎛⎫= ⎪⎝⎭
_____；②b a a b a b -=-- _____． 15．如图是23名射击运动员的一次测试成绩的频数分布折线图，则射击成绩的中位数_____。

16．若2x 2+3与2x 2﹣4互为相反数，则x 为__________．
17．如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡度是1:2i =，堤高BC=5m ，则坡面AB 的长度是___m
18．多项式1+x+2xy-3xy 2的次数是______．
三、解答题
19．振华书店准备购进甲、乙两种图书进行销售，若购进40本甲种图书和30本乙种图书共需1700元，若购进60本甲种图书和20本乙种图书共需1800元.
()1求甲、乙两种图书每本进价各多少元；
()2该书店购进甲、乙两种图书共120本进行销售，且每本甲种图书的售价为25元，每本乙种图书的售价为40元，如果使本次购进图书全部售出后所得利润不低于950元，那么该书店至少需要购进乙种图书多少本？
20．为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．
(1)开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？
(2)开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(结果保留根号
)
21．如图，半圆O的直径AB＝6，弦CD＝3，»AD
的长为
3
4
π，求»BC的长．
22．如图，港口B位于港口A的南偏西45°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的南偏东45°方向的D处，它沿正北方向航行18.5km到达E处，此时测得灯塔C在
E
的南偏西70°方向上，求E处距离港口A有多远？
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
23．求解不等式组
212
11
2
24
x x
x x
-≥-
⎧
⎪
⎨⎛⎫
+>-
⎪⎪⎝⎭⎩
24．民俗村的开发和建设带动了旅游业的发展，某市有A、B、C、D、E五个民俗旅游村及“其它”景点，该市旅游部门绘制了2018年“五•一”长假期间民俗村旅游情况统计图如下：。