河南省周口市龙水实验中学2019年高三数学文联考试题含解析

河南省周口市龙水实验中学2019年高三数学文联考试
题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是
( )
A．当m?α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件
B．当m?α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件
D．当m?α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
参考答案：
A
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：当m?α时，“n∥α”是“m∥n”的不必要不充分条件；当m?α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件；当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件；当m?α时，“n⊥α”?“m⊥n”，“m⊥n”?“n⊥α”．
解答：解：当m?α时，“n∥α”?“m∥n或m与n异面”，“m∥n”?“n∥α或
n?α”，
∴当m?α时，“n∥α”是“m∥n”的不必要不充分条件，故A错误；
当m?α时，“m⊥β”?“α⊥β”，“α⊥β”推不出“m⊥β”，
∴当m?α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故B正确；
当n⊥α时，“n⊥β”?“α∥β”，
∴当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件，故C正确；
当m?α时，“n⊥α”?“m⊥n”，“m⊥n”?“n⊥α”，故D正确．
故选：A．
点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
2. 设实数x，y满足，则的最小值为（）
A. －13
B. －15
C. －17
D. －19
参考答案：
B
【分析】
画出不等式表示的可行域，利用z=的几何意义求解即可
【详解】由题画出可行域，如图阴影所示：
当z=,平移到过A(-2,0)时，z最小，为-15
故选：B
【点睛】本题考查线性规格，熟练作图准确计算是关键，是基础题
3. 若，则的值是（）
A．2 B．3 C．4 D．6
参考答案：
A
略
4. 如果函数y=f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么称f（x）为“倍增函数”．若函数f（x）=ln（e x+m）为“倍增函数”，则实数m的取值范围是（）
A．(，+∞)B．(，0) C．（﹣1，0）D．(，0)
参考答案：
D
【考点】函数的值．
【分析】由题意，函数f（x）在[a，b]上的值域且是增函数；可得，可以转化为方程e2x﹣e x﹣m=0有两个不等的实根，且两根都大于0的问题，从而求出t的范围．
【解答】解：∵函数f（x）=ln（e x+m）为“倍增函数”，
且满足存在[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，
∴f（x）在[a，b]上是增函数；
∴，
即；
∴方程e2x﹣e x﹣m=0可化为
y2﹣y﹣m=0（其中y=e x），
∴该方程有两个不等的实根，且两根都大于0；
即，
解得﹣＜m＜0；
∴满足条件的m的范围是（﹣，0）；
故选：D．
5. 已知复数满足，则复数
A. B. C. D.
.
参考答案：
【答案解析】C 由得z==故选C。

6. 已知A，B，C是圆O：x2+y2=1上的动点，且AC⊥BC，若点M的坐标是（1，1），则||的最大值为（）
A．3 B．4 C．3－1 D．3+1
参考答案：
【分析】设A（cosθ，sinθ），B（﹣cosθ，﹣sinθ），C（cosα，sinα），其中0≤θ＜2π，0≤α＜2π，由M（1，1），求出=（cosα﹣3，sinα﹣3），从而
||==，当且仅当sin
（）时，||取最大值．
【解答】解：∵A，B，C是圆O：x2+y2=1上的动点，且AC⊥BC，
∴设A（cosθ，sinθ），B（﹣cosθ，﹣sinθ），C（cosα，sinα），其中0≤θ＜2π，0≤α＜2π，∵M（1，1），
∴=（cosθ﹣1，sinθ﹣1）+（﹣cosθ﹣1，﹣sinθ﹣1）+（cosα﹣1，sinα﹣1）=（cosα﹣3，sinα﹣3），
∴||=
=
=，
当且仅当sin（）时，
||取最大值=3+1．
故选：D．
【点评】本题考查向量的模的最大值的求法，考查圆的参数方程、三角形数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
7. 设a＞b＞1 ，，给出下列三个结论：
① ＞② ＜③．
其中所有的正确结论的序号是（）
A ．①B．① ② C ．② ③D．①
②③
参考答案：
D
由不等式及a＞b＞1知，又，所以＞，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a＞b＞1，知，由对数函数的图像与性质知③正确.
8. ，则( )
A. R<Q<P
B. P<R<Q
C. Q<R<P
D. R<P<Q
参考答案：
A
试题分析：由对数函数的性质，
，故选A.
考点：对数函数的性质
9. 过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M，延长交曲线于点N，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为
A. B. C.
D.
参考答案：
D
10. 命题，则是
A．B．C．D ．
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 二项式的展开式中的系数 (用数字作答)
参考答案：
60
12. 在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且，
，且△ABC的面积为，的值为__________．
参考答案：
5
【分析】
由正弦定理边化角可得，由面积公式和余弦定理列方程可得.
【详解】由，结合正弦定理可得
.
在锐角三角形ABC中，可得.
所以△ABC的面积，解得.
由余弦定理可得，
解得.
故答案为5.
【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题.
13. 已知为第二象限角，，则的值为]
参考答案：
2
由展开得，平方得，所以
，从而，因为为第二象限角，故，因此，因为，，所以
，，则
14. 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。

从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为。

（结果用最简分数表示）
参考答案：
本题考查排列组合和概率的相关基础知识.同时考查了理解能力和转化与化归的数学思想方法.当所取的2瓶中都是不过期的饮料的概率为P=，则至少有一瓶为过期饮料的概率.
15. 已知直线与抛物线相交于，两点. 若点满足（
为坐标原点），则直线的方程为▲.
参考答案：
所以，线段中点为，
的方程为：
16. 若直线与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆
截得的弦长为4，则（O为坐标原点）的最小值为_________．
参考答案：
17. 已知函数，任取，定义集合:
. 设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则 (1) 若函数，则=
（2）若函数，则的最大值为
参考答案：
2;2.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）
如图4，直四棱柱的底面是菱形，侧面是正方形，，是棱的延长线上一点，经过点、、的平面交棱于点，．
⑴求证：平面平面；
⑵求二面角的平面角的余弦值．
参考答案：
（1）证明见解析；（2）.
试题分析：（1）要证明面面垂直，要先证明线面垂直，即在一个平面内找一条直线与另一平面垂直，题中直四棱柱有平面平面，因此平面内与垂直的直线必定与平面垂直，因此我们想要找的垂线可能是待证平面与平面的交线，下面只要证明；平面即可；（2）要求二面角，可根据二面角定义作出其平面角，由（1）只要作于，则平面，作，垂足为，连，便可得到为所求的平面角，也可建立空间直角
坐标系，用空间向量法求二面角.
试题解析：⑴设四棱柱的棱长为
∵，∽，∴……1分
由，，得，……2分
∵，∴，……3分
是直四棱柱，，又，∴，∵，∴平面……4分
∵平面，∴平面平面……5分
⑵（方法一）过作于，于，连接……6分
由平面平面，平面平面，
平面……7分
∴，又，，∴平面，，是二面角的平面角……9分
在中，，，，，在中，
，，，（、求得任何一个给2分，两个全对给3分）……12分
，……13分
（方法二）以为原点，、所在直线为轴、轴，平行于的直线为轴建立空间直角坐标系……6分，则
，，……7分
设平面的一个法向量为，则……9分，即，不妨取……10分，由⑴知，
……11分，平面的一个法向量为
……12分，
二面角的平面角的余弦值……13分
考点：（1）面面垂直；（2）二面角.
19. （本小题满分12分）
正项等差数列满足a1＝4，且a2，a4＋2，2a7－8成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前n项和Tn．
参考答案：
（Ⅰ）;（Ⅱ）.
试题分析：（Ⅰ）根据成等比,可得,根据等差数列的通项公式将其转化为关于公差的一元二次方程,可得的值,根据该数列为正项等差
数列可知.从而可得.（Ⅱ）将变形,用裂项相消法可求得.
试题解析：解：
（Ⅰ）设数列公差为，由已知得：，
化简得：，解得：或（舍），
所以．…5分（Ⅱ），
所以
．
…12分
考点：1等差数列的通项公式,前项和公式;2裂项相消法求和.
20. 已知数列{}的前n项和为，且满足．
(I)证明：数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；
(II)数列{}满足，其前n项和为，试求满足
的最小正整数n．
参考答案：
（Ⅰ）证明数列为等比数列.略, ；（Ⅱ）8.
解析：（Ⅰ）当时，；
当时，；
即（），且，故为等比数列
（）.
（Ⅱ）
设………………①
…………②
①②：
∴，∴，
，∴满足条件的最小正整数
略
21. 已知数列{a n}满足：a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和．
（1）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；
（2）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式；
（3）若p=1，对于给定的正整数n，是否存在一个满足条件的数列{a n}，使得S n=n，如果存在，给出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】数列的求和；数列的应用．
【分析】（1）利用）{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，得到关于p的方程解之；
（2）将p代入，利用累加法得到数列{a n}的通项公式；
（3）由p=1得到|a n+1﹣a n|=1，而a1=1，得到后面的各项，观察分析规律，找到满足满足S n=n的各项．
【解答】解：（1）{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，4a2=a1+3a3，又a2﹣
a1=p，a3﹣a2=p2，所以3p2﹣p=0，解得p=或者p=0（舍去）
（2）p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，所以a2n﹣a2n﹣1＞0，a2n+1﹣a2n＜0，
，，
所以a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…（a n﹣a n﹣1）=1﹣
+…+=；
（3）由题意得|a n+1﹣a n|=1，而a1=1，
所以a2=2，0；a3=3，1，﹣1；a4=4，2，0，﹣2…
所以S1=1，S2=3，1；S3=6，4，2，0；S4=10，8，6，4，0，﹣2…
即S4k﹣3为奇数；S4k﹣2为偶数；S4k为偶数；因此只有S4k﹣3，S4k满足S n=n．
【点评】本题考查了数列求和以及数列递推关系的运用；属于难题．
22. 数列满足（）．
①存在可以生成的数列是常数数列；
②“数列中存在某一项”是“数列为有穷数列”的充要条件；
③若为单调递增数列，则的取值范围是；
④只要，其中，则一定存在；
其中正确命题的序号为.
参考答案：
①④
略。