2018-2019学年福建省泉州市泉港区第一中学高二上学期期末考试数学试题(理)

福建省泉州市泉港区第一中学2018-2019学年
高二上学期期末考试（理）
（考试时间：120分钟总分：150分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1. 已知命题:1p x ∀>，总有lg 0x >，则p ⌝
为( ) A.x ∃≤1，使得lg 0x ≤ B ．x ∃>1，使得lg 0x ≤ C.1x ∀>，总有lg 0x ≤ D ．1x ∀≤，总有lg 0x ≤
2. 已知抛物线)0(22>=p px y 上点),4(m M 到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（）
A. 4-=x
B. 4=x
C. 2-=x
D. 2=x
3. 若“a x >” 是“0ln >x ”的必要不充分条件 ,则a 的取值范围是（） A.)1,(-∞ B.]1,(-∞ C.),1(+∞ D.),1[+∞
4. 直线y kx b =+与曲线2
2ln y ax x =+-相切于点()1,4P ，则b 的值为（）
A.3
B. 3-
C.1-
D. 1
5. 已知双曲线22
221(0)x y a b a b -=>>的离心率等于2，则双曲线的渐近线与圆
1)2(22=+-y x 的位置关系是（）
A.相离
B.相切
C.相交
D.不确定
6. 某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况频率分布直方图如图所示，利用频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ） A ．31.6岁 B ．32.6岁 C ．33.6岁 D ．36.6岁
7. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为5，
则输入的实数a 的范围是( ) A. [)6,24 B. [)24,120 C. (),6-∞ D. ()5,24 8.若()(1)x
x
f x a b e =-
<<，则（） A.()()f a f b = B. ()()f a f b < C. ()()f a f b >
D. (),()f a f b 大小关系不能确定
9．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>长轴两个端点分别为A 、B ，椭圆上一动点P （不同
于AB ）和A 、B 的连线的斜率之积为常数λ，则椭圆C 的离心率为( ) A.
1λ- B. 1λ+ C.
2
1λ- D.
2
11λ
+
10．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、
A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
11.已知1F ，2F 分别为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点和右焦点，
且2
122b F F a =，
点P 为双曲线C 右支上一点，I 为12PF F ∆的内心，
若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为( )
.A 21+.B 21-.C 51-.
D 51
2
- 12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有5
()(2)()2
x
f x e x f x -'=+-（e 是自然对数的底数），且(0)1f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有唯一一个整数，则实数m 的取值范围是（） A. (,0]2e -
B. (,0)2e - C ．3(,0]4e - D ．39(,]42e e
- 2
110
3015
3010
15
二、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分。

将答案填在题中的横线上）。

13.若直线//l α，且l 的方向向量坐标为(2,,1)m ，平面α的法向量坐标为
1
(1,,2)2
，则m 为 14．如图，在半径为1的圆上随机地取两点B 、E ，连成一条弦BE ，则弦长不超过圆内接正
BCD ∆边长的概率是．
15. 已知命题p ： “函数x ax x f ln 32)(2+=在区间(]1,0上是增函数”；命题q ： “存在
),0(0+∞∈x ，使1)(200<+a x x 成立”，若q p ∧为真命题，则a 取值范围为________
16．已知直线
()()
21350m x m y m +++--=过定点A ，该点也在抛物线
()220x py p =>上，若抛物线与圆()()()2
2
2
:120C x y r r -+-=>有公共点P ，且抛物
线在P 点处的切线与圆C 也相切，则圆C 上的点到抛物线的准线的距离的最小值为__________．
三、解答题：（本题共6个小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知
p :“实数m 满足：)0(0)3)(2(><--a a m a m ”；:q “实数m 满足：方程
1412
2=-+-m
y m x 表示双曲线”；若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
18.已知函数()ln f x ax x =+ （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若对),0(+∞∈∀x ，2)(<x f 均成立，求实数a 的取值范围.
19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB DC ，
22AD DC AP AB ====，点E 为棱PC 的中点，
（Ⅰ）证明：BE DC ⊥；
（Ⅱ）若点F 为棱PC 上一点，且BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值．
20.中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探. 由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用．勘探初期数据资料见如表：
（Ⅰ）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为 6.5y x a =+，求a ，并估计y 的预报值；
（Ⅱ）现准备勘探新井()71,25，若通过1、3、5、7号井计算出的,b a 的值（,b a 精确到0.01）相比于（Ⅰ）中,b a 的值之差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井()61,y ，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？
（参考公式和计算结果：4
4
21
21
21212
21
1
1
,,94,945n
i i
i i i i n
i
i i
i x y
nx y b a y bx x
x y x
nx
=---===-⋅=
=-==-∑∑∑∑）
（Ⅲ）设出油量与勘探深度的比值k 不低于20的勘探并称为优质井，那么在原有井号1～6的出油量不低于50L 的井中任意勘探3口井，求恰好2口是优质井的概率.
21.已知椭圆)0(12
222>>=+b a b
x a y C ：离心率为2
2，其上焦点到直线220
bx ay +-=的距离为
2
3
. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点1
(,0)3
P 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.试探究以线段AB 为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.
22.已知函数()()ln e 1x f x x g x x x ==--，. （Ⅰ）若关于x 的方程()2
7
3
f x x x m =-
+在区间[]13，上有解，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若()()g x a f x -≥对()0x ∀+，∈∞恒成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题
1-12、BCADA CACBB DA 二、填空题
13.-8； 14. 32 ; 15. 14
3
<≤-a ； 16. 32- 三、解答题
17.若真则
；若真则，解得
是的充分不必要条件，则而不能推出, 所以
或
，所以
或
，
所以实数的取值范围是
. 18.解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，11
()ax f x a x x
+'=+
= 当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数； 当0a <时，1
(0,),()0,()x f x f x a
'∈->是增函数；
1
(,),()0,()x f x f x a
'∈-+∞<是减函数。

综上所述：当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上为增函数；.
当0a <时，()f x 增区间是1(0,)a -，减区间是1
(,)a
-
+∞ （2）由（1）知当0a ≥时，1()f x 在(0,)+∞上为增函数，1()f x 无最大值； 当0a <时，1max 11()()1ln()1ln()f x f a a a
=-=-+-=---
所以01ln()2
a a <⎧
⎨---<⎩，则31a e <-所以，实数a 的取值范围是31(,)e -∞-
也可以转化为
a x
x
>-ln 2求解 19. 解：（Ⅰ）证明：
PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥．
∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，
由题意得：()()()()()1,0,0,0,0,2,2,2,0,1,1,1,0,2,0B P C E D ，
()()0,1,1,2,0,0BE DC ∴==，0BE DC ∴⋅=，即BE DC ⊥
（Ⅱ）()()1,2,0,2,2,2BC CP ==-,()()2,2,0,1,0,0AC AB ==，由点F 在棱PC 上， 设()2,2,2CF CP λλλλ==--，()01λ≤≤
()12,22,2BF BC CF λλλ∴=+=--
BF AC ⊥，
()()2122220BF AC λλ∴⋅=-+-=,解得：34λ=，113,,222BF ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
． 设平面FAB 的法向量为()1,,n x y z =，则
110
113
0222
n AB x n BF x y z ⎧⋅==⎪
⎨⋅=-++=⎪⎩，不妨令1z =，可得()10,3,1n =-为平面FAB 的一个法向量，取平面ABP 的一个法向量()20,1,0n = 则121212
3310
cos ,1010
n n n n n n ⋅〈〉=
=-
=-⋅，易知，二面角F AB P --是锐角，所以其余
弦值为
310
10
． 20.解：（Ⅰ）因为.,505==y x
回归直线必过样本中心点),(y x ，则5.1755.650=⨯-=-=x b y a ， 故回归直线方程为5.175.6+=x y .
当1=x 时，245.175.6=+=y ，即y 的预报值为24. （Ⅱ）因为..,25464==y x
∑∑=--=-==4
1
12124
12
1
294594i i i i i y x x
.,所以
(8364)
49425
4644945442
2
4
1
2124
1
121
2≈⨯-⨯⨯-=
--=
∑∑=-=--∧
x
x y
x y x
b i i i i i
....931848362546=⨯-=-=∧
∧x b y a 即93.18ˆ,83.6ˆ==a b
，5.17,5.6==a b . %5ˆ≈-b b b ，%8ˆ≈-a
a a ，均不超过%10， 因此使用位置最接近的已有旧井)24,1(6.
(Ⅲ)易知原有的出油量不低于L 50的井中，3,5,6这3口井是优质井，2,4这2口井为非优质井，由题意从这5口井中随机选取3口井的可能情况有：
()()()()()()()()()()2,3,4,2,3,5,2,3,6,2,4,5,2,4,6,2,5,6,3,4,5,3,4,6,3,5,6,4,5,6共10种.
其中恰有2口是优质井的有()()()()()()2,3,5,2,3,6,2,5,6,3,4,6,3,5,6,4,5,6 6种，所以所求恰有2口是优质井的概率是5
3
106==
P . 21.解：（1）由题意，22c e a ==，222
2
12a b e a -==，所以2a b =，c b ＝. 又22
22
234ac a b -=
+，1a b >?，所以1b ＝，2
2a ＝，故椭圆C 的方程为2212y x += （2）当轴x AB ⊥时，以AB 为直径的圆的方程为9
16)31
(22=+-y x 当轴y AB ⊥时，以AB 为直径的圆的方程为221x y ＋＝. 可得两圆交点为()
10Q -，．
可知，若以AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为()10Q -，．下证()
10Q -，符合题意．
设直线l 的斜率存在，且不为0，则方程为)3
1(-=x k y ，代入2
212y x +=
并整理得()
2222
2122039
k x k x k +-
+-=，设()11A x y ，，()22B x y ，， 则()2122232k x x k +＋＝，()
2122
18
92
k x x k -+＝， 所以2121)1)(1(y y x x QB QA +++=⋅=
1212x x x x +＝＋+1+)3
1
)(31(212--x x k
=22122129
11))(311()1(k x x k x x k +++-
++ (
)(
)22
218192k k
k -+＝＋+)311(2k -()
22
232
k k +21109k ++= 故QB QA ⊥，即()
10Q -，在以AB 为直径的圆上． 综上，以AB 为直径的圆恒过定点()
10-，． 22.解：（1）方程()273f x x x m =-
+即为27
ln 3
x x x m -+=. 令()2
7
()ln 03h x x x x x =-+>，则()()312317'()233x x h x x x x +-=-+=-.
令'()0h x =，则113
x =-（舍），232x =
. 当x ∈[1， 3]时，'()h x 随x 变化情况如表:
x
1 3
(1)2
，
32
3(3)2
， 3 '()h x
＋ 0
－
()h x
43
极大值35ln
24
+
ln32-
∴当x ∈[1，3]时，35
()[ln 32ln ]24
h x ∈-+，. ∴m 的取值范围是35[ln 32ln
]24
-+，. （2）据题意，得()()0g x f x -≥对(0)x ∀∈+∞，恒成立.
令()()()ln 1(0)x
F x g x f x x e x x x =-=⋅--->， 则1(1)
'()(1)1(1)x x x F x x e x e x x
+=+⋅-
-=⋅⋅-. 令()1x
G x x e =⋅-，则当x ＞0时，'()(1)0x
G x x e =+⋅>， ∴函数()G x 在(0)+∞，上递增. ∵(0)10(1)10G G e =-<=->，，
∴()G x 存在唯一的零点c ∈（0，1），且当x ∈（0，c ）时，()0G x <；当()x c ∈+∞，时，
()0G x >.
∴当x ∈（0，c ）时，'()0F x <；当()x c ∈+∞，时，'()0F x >.
∴()F x 在（0，c ）上递减，在()c +∞，上递增，从而()ln 1c
F x c e c c ≥⋅---. 由()0
G c =得10c c e ⋅-=，即1c c e ⋅=，两边取对数得ln 0c c +=， ∴()0F c =.
∴0a ≤，即所求实数a 的取值范围是(0]-∞，.。