2020年六年级上册数学培优试题

2020年六年级上册数学培优试题
一、培优题易错题
1．观察下列一组图形：它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第个图形中共有________个“★”.
【答案】（3n＋1）
【解析】【解答】解：①为4个★，②为7个★，③ 为10个★，④为13个★，
通过观察，可得第n个图形为（3n＋1）个★.
故答案为：（3n＋1）
【分析】观察图形，先写出①②③④的★的个数，通过找规律，写出第n个图形中的★个数。

2．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．设小红在同一商场累计购物x元，其中x>100.
（1）根据题意，填写下表(单位：元)：
（2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？
（3）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？
【答案】（1）271；0.9x＋10；278；0.95x＋2.5
（2）解：根据题意，有0.9x＋10＝0.95x＋2.5，解得x＝150，∴当x＝150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同。

（3）解：由0.9x＋10<0.95x＋2.5，解得x>150，由0.9x＋10>0.95x＋2.5，解得x<150.
∴当小红累计购物超过150元时，在甲商场的实际花费少．
当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场的实际花费少．当小红累计购物150元时，甲、乙商场花费一样
【解析】【解答】解：(1)在甲商场：271，0.9x＋10；在乙商场：278，0.95x＋2.5.【分析】（1）根据提供的方案列出代数式；
（2）根据（1）中的代数式利用费用相同可得关于x的方程，解方程即可；
（3）列不等式得出x的范围，可选择商场.
3．用“⊕”定义一种新运算：对于有理数a和b，规定a⊕b=2a+b，如1⊕3=2×1+3=5 （1）求2⊕（﹣2）的值；
（2）若[（）⊕（﹣3）]⊕ =a+4，求a的值．
【答案】（1）解：原式=2×2+（﹣2）=2
（2）解：根据题意可知：
2[（a+1）+（﹣3）]+ =a+4，
2（a﹣2）+ =a+4，
4（a﹣2）+1=2（a+4），
4a﹣8+1=2a+8，
2a=15，
a= .
【解析】【分析】（1）根据定义的新运算，进行计算。

（2）根据题目中定义的新运算，写出算式，计算出a的值
4．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位．
（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是________；
（2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8
①第几次滚动后，小圆离原点最远？
②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）
（3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距6π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．
【答案】（1）-4π
（2）解：①第1次滚动后，|﹣1|=1，
第2次滚动后，|﹣1+2|=1，
第3次滚动后，|﹣1+2﹣4|=3，
第4次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2|=5，
第5次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3|=2，
第6次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8|=10，
则第6次滚动后，小圆离原点最远；
②1+2+4+3+2+8=20，
20×π=20π，
﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8=﹣10，
∴当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有20π，此时两圆与数轴重合的点之间的距离是10π
（3）解：设时间为t秒，
分四种情况讨论：
i）当两圆同向右滚动，
由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：2πt，
小圆与数轴重合的点所表示的数为：πt，
2πt﹣πt=6π，
2t﹣t=6，
t=6，
2πt=12π，πt=6π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为12π、6π．
ii）当两圆同向左滚动，
由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：﹣2πt，
小圆与数轴重合的点所表示的数：﹣πt，
﹣πt+2πt=6π，
﹣t+2t=6，
t=6，
﹣2πt=﹣12π，﹣πt=﹣6π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣12π、﹣6π．
iii）当大圆向右滚动，小圆向左滚动时，
同理得：2πt﹣（﹣πt）=6π，
3t=6，
t=2，
2πt=4π，﹣πt=﹣2π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为4π、﹣2π．
iiii）当大圆向左滚动，小圆向右滚动时，
同理得：πt﹣（﹣2πt）=6π，
t=2，
πt=2π，﹣2πt=﹣4π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣4π、2π
【解析】【解答】解：（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是﹣2π•2=﹣4π，
故答案为：﹣4π；
【分析】（1）该圆与数轴重合的点所表示的数，就是大圆的周长；（2）①分别计算出第几次滚动后，小圆离原点的距离，比较作答；②先计算总路程，因为大圆不动，计算各数之和为﹣10，即小圆最后的落点为原点左侧，向左滚动10秒，距离为10π；（3）分四种情况进行讨论：大圆和小圆分别在同侧，异侧时，表示出各自与数轴重合的点所表示的数．根据两圆与数轴重合的点之间相距6π列等式，求出即可．
5．十字交叉法的证明过程：设甲、乙两瓶溶液的质量分别为和，浓度分别为和（），将两瓶溶液混合后所得的溶液浓度为，求证：．【答案】证明：甲溶液中溶质的质量为，乙溶液中的溶质质量为，则混和溶
液中的溶质质量为，所以混合溶液的浓度为，所以，即，，可见。

【解析】【分析】溶液的浓度=溶质的质量÷溶液的质量，溶质的质量=溶液质量×浓度。

根据计算方法分别表示出两个容器中溶质的质量和混合后的浓度，得到等式后用十字交叉法证明这个等式即可。

6．有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为，盐浓度为，乙溶液中的酒精浓度为，盐浓度为．现在有甲溶液千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍？
【答案】解：假设把水都蒸发掉，则甲溶液盐占盐和酒精的：10%÷（15%+10%）=40%，乙溶液中盐占盐和酒精的：5%÷（45%+5%）=10%；
需要配的溶液盐占盐和酒精的：1÷（1+3）=25%；
则：（0.25-0.1）：（0.4-0.25）=0.15：0.15=1：1，
1千克甲溶液中盐和酒精：1×（15%+10%）=0.25（千克），1千克乙溶液中盐和酒精：1×（5+45%）=0.5（千克）。

答：需要0.5千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍。

【解析】【分析】可以这样来看，将溶液中的水剔出或者说蒸发掉，那么所得到的溶液就是盐溶在酒精中。

（事实上这种情况不符合物理规律，但这只是假设）。

这样就能分别求出甲、乙溶液中盐占盐和酒精的百分之几。

根据配制成溶液中酒精是盐的3倍先计算出配制后盐占盐和酒精的百分之几。

分别求出1千克甲、乙溶液中盐和酒精的质量，然后确定需要加入的乙溶液的重量即可。

7．抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相
当甲、乙每天工作效率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？
【答案】解：甲的工作效率：，
丙的工作效率：，
乙的工作效率：，
乙独做的时间：1÷=24（天）。

答：乙一人单独抄需要24天才能完成。

【解析】【分析】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的，即甲每天抄写书稿的；由于
丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的，即丙每天抄写书稿的，这样用三人的工作效率和减去甲、丙的工作效率即可求出乙的工作效率，进而求出乙单独完成需要的时间。

8．甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在仓库，乙在仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在仓库搬了多长时间？
【答案】解：三人工作效率的比：；
搬完一个大仓库需要的时间：16÷2=8（小时），
搬大仓库甲的工作效率：，丙的工作效率：，
甲16小时完成的工作量：，
丙在A仓库搬的时间：（小时）。

答：丙在A仓库搬了6小时。

【解析】【分析】原来三人的工作效率不能用在搬两个大仓库中，所以根据原来三人的工
作效率求出三人的工作效率的比。

然后把现在三人的工作效率和按照6：5：4的比分配后就可以求出搬大仓库时甲的工作效率和丙的工作效率。

用甲此时的工作效率乘16求出甲完成A仓库的工作量，进而求出丙完成A仓库的工作量，用这个工作量除以丙的工作效率即可求出丙在A仓库搬的时间。

9．一项挖土方工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成．现在
两队同时施工，工作效率提高20％．当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程．问整工程要挖多少方土?
【答案】解：工作效率和：，
遇到地下水前的天数：（天），
遇到地下水后工作的天数：10-（天），
遇到地下水后的工作效率：，
47.25÷（）=1100（方）
答：整工程要挖1100方土。

【解析】【分析】用原来的工作效率和乘（1+20%）求出提高后的工作效率和，用原来完成的工作量除以工作效率和求出遇到地下水前挖的时间，进而求出遇到地下水后挖的时间。

用遇到地下水后的工作量除以工作时间求出后来的工作效率。

根据分数除法的意义，用每天少挖的土方数除以前后合做的工作效率的差即可求出整工程挖的土方数。

10．搬运一个仓库的货物，甲需小时，乙需小时，丙需小时．有同样的仓库和，甲在仓库，乙在仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物．丙帮助甲、乙各搬运了几小时？
【答案】解：甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：（小时），
丙帮助甲搬运了：（小时），
丙帮助乙搬运了：（小时）。

答：丙帮助甲搬运了3小时，帮助乙搬运了5小时。

【解析】【分析】整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，用工作量2除以三人的工作效率和求出共同完成工作量需要的时间。

在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙则在两个仓库都搬运过。

用甲的工作效率
乘共同完成的时间即可求出甲完成的工作量，用1减去甲完成的工作量即可求出丙帮甲完成的工作量，用这个工作量除以丙的工作效率即可求出丙帮甲的时间，进而求出丙帮乙的时间即可。