第十八讲 空间向量基本定理(原卷版)

第十八讲 空间向量基本定理
【知识梳理】
1、共线向量定理：两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数x ，使a ＝x b .
2、共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c ＝x a ＋y b .
3、空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c .
【考点剖析】
考点一 共线定理、共面定理
【例1-1】已知a ＝(1，－2，1)，a b -＝(－1，2，－1)，则b ＝（ ）
A ．(2，－4，2)
B ．(－2，4，－2)
C ．(－2，0，－2)
D ．(2，1，－3) 【答案】A
【详解】
解析：()
()()()1,2,11,2,12,4,2b a a b =--=----=-．
故选：A 【例1-2】如图在平行六面体中，AC 与BD 的交点记为M ．设，AB b =，AD c =，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A ．1122
a b c -+ B ．1122a b c +- C ．1122a b c ++ D ．1122a b c -- 【答案】B
【详解】
．
故选：B. 【跟踪训练1】已知三棱锥O ABC -中，点M 为棱OA 的中点，点G 为ABC 的重心，设，OB b =，
OC c =，则向量MG =（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【跟踪训练2】如图所示，在正方体中，点F 是侧面11CDD C 的中心，若，求x y z ++=（ ）
A ．1
B ．32
C ．2
D ．52
【跟踪训练3】在空间四边形ABCD 中，，且,2DM MA BN NC ==，则MN =（ ） A ．
112233a b c -- B ． C ．
D ．
考点二 共线定理、共面定理的应用
【例2-1】 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证：
(1)E ，F ，G ，H 四点共面；
(2)BD ∥平面EFGH .
【解析】证明 (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12
(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知E ，F ，G ，H 四点共面.
(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12
BD →， 因为E ，H ，B ，D 四点不共线，
所以EH ∥BD .
又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，
所以BD ∥平面EFGH .
规律方法 (1)证明空间三点P ，A ，B 共线的方法
①P A →＝λPB →(λ∈R )；
②对空间任一点O ，OP
→＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1). (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法
①MP
→＝xMA →＋yMB →； ②对空间任一点O ，OP
→＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； ③PM →∥AB →(或P A →∥MB
→或PB →∥AM →). (3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.
【过关检测】
1．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,,,OB AC M N 分别是,OA CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量表示向量OG 为（ ）
A ．
B ．
C ．2233
OG OA OB OC =++ D ．
2．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）
A ．1122
a b c -++ B ．
1122++a b c C ．1122--+a b c D ．1122-+a b c 3．已知向量(),,x y z a a a a =，，{}
,,i j k 是空间中的一个单位正交基底．规定向量积的行列式计算：
,,y z x y x z x
y z y z x y x z x
y z i
j k a a a a a a a a a b b b b b b b b b ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，其中行列式计算表示为a b ad bc c d =-，若向量，，则（ ） A ． B ． C ． D ． 4．在三棱锥O ABC -中，，N 为BC 中点，则MN =（ ）
A ．121232a b c -+
B ．111322a b c -++
C ．111222a b c +-
D ．121332
a b c +- 5．在平行六面体中，1AA c =，AB b =，AD a =，E 是BC 的中点，用a ，b ，c 表示1
AE 为（ ） A ．12a b c +- B ． C ．12a b c -- D ．12
a b c -+ 6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，且6AB AP ==，2AD =
，，E ，F 分别为PB ，PC 上的点，且，，
EF =（ ）
A ．1
B
C ．2
D 7．在正方体中，点M 为棱''D C 的中点，点N 为棱BC 的中点，若'MN xAB yAD zAA =++，则x y z ++=（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
8．下列能使向量，MB ，MC 成为空间的一个基底的关系式是（ ）
A ．
B ．
C ．OM OA OB OC =++
D ．
9．如图，在三棱锥O ABC -中，D 是BC 的中点，若，OB b =，OC c =，则AD 等于（ ）
A ．
B ．
C ．1122a b c -++
D ．1122
a b c --- 10．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且，，，则x y z ++的值为( )
A．
2
3
-B．
2
3
C．1D．
5
6
11．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足.
（1）判断，MB，MC三个向量是否共面；
（2）判断点M是否在平面ABC内.
12．如图，在三棱锥O ABC
-中，G是ABC的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点. （1）用向量表示向量OG，并证明你的结论；
（2）设，请写出点P在ABC的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.。