§1、二维随机变量

1 , ( x, y) G, f ( x, y) A 其它, 0,
则称(X,Y)服从区域G上的均匀分布，记为(X,Y) ~ U(G).
20
( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 2 Байду номын сангаас 2 1 2 2 其中 1 , 2 , 1 , 2 , ( 1 , 2 0, 1 1) 均为常数，
5
分布函数的基本性质：
1、分布函数关于x,y都是单调不减的，即对任意 的 x1 , x2 ; y1 , y2 , ; x1 x2 , y1 y2 , 有
F ( x1 , y1 ) F ( x2 , y1 ),
和
F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 );
2、分布函数关于x,y在任意点都是右连续的，即
由公式 F ( x, y )

f ( x, y)dxdy 求分布函数．
y x
其中(x, y)取值于全xOy平面． 画出概率密度的非零区域， (x, y)的取值可分4种情形： x, y至少有一≤0； x > 0，y > 0情形.
17
于是可知，应分两“片段” 来计算：“x > 0,y > 0”与“其它”．
2e
0

D
2 x
(1)e | dx 2 e
y x 0

0
2 x
0
1 (1 e )dx . ■ 3
x
19
五、两个重要分布 上一章中，一维连续型随机变量常见分布有均匀 分布、指数分布、正态分布等．类似地，本节例1中 二维连续型随机变量( X,Y )是二维指数分布，此外有 1、二维均匀分布 设G为一个平面有界区域，其面积为A．如果 二维随机变量( X,Y )的概率密度为
18
(3) 记概率密度f 的非零区域 与事件区域 G = { (x,y) | y≤x }的 交集为D． 则由公式
P{( X , Y ) G } f ( x , y )dxdy
G
得
P{Y X }
y x
f ( x, y )dxdy
x 0
0 f ( x , y )dxdy 2 e 2 x dx e y dy
则称(X,Y)为服从参数为1 , 2 , 1 , 2 , 的二维正态分布, 记为 N ( 1 , 2 , 1 , 2 , ).
2、二维正态分布 设二维随机变量( X,Y )的概率密度为 1 ( x 1 ) 2 1 f ( x, y) exp 2 2 2 1 2 1 2 2(1 ) 1
2



f ( x, y)dxdy 1;
x y
[确定待定参数]
其它重要结论：

F ( x, y )

f ( x, y)dxdy;
[由 f (x, y)求F(x, y)]
若 f ( x , y ) 在点 ( x, y ) 处连续，则有
2 F ( x, y ) f ( x, y ) ; xy
为简单起见，本节主要讨论二维随机变量的问题.
对于一般多维随机变量的问题讨论，可以类推．
2
§1、二维随机变量
一、二维随机变量
定义1 设随机试验E的样本空间 S = {e}上定义的 两个随机变量X,Y， 则称向量(X,Y)为二维随机变量 或二维随机向量．
二维随机变量 (X,Y)可以理解为： 二维实平面xOy上 一个随机游动变化 的点。
可用表格表示为：
Y X

x1 p11 p12 p1 j
x2 p21 p22 p2 j
9

xi

y1 y2 yj
pi1 pi 2 pij
分布律满足:
pij 0(i, j 1,2,); [概率的非负性]
p
i 1 j 1


pij P{ X xi , Y y j } (i , j 1,2,)
为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布律， 或称为 随机变量X与Y的联合概率分布律．
8

二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布律：
P{ X xi , Y y j } pij (i , j 1,2,).
G
[曲顶柱体体积]
15
例1 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
试求：(1) 确定C的值；(2) 求(X,Y)的分布函数； (3) 求概率 P{Y X }. 〖解〗 (1) 因

Ce ( 2 x y ) , x 0, y 0, f ( x, y ) 其它, 0,
14
[由F(x,y)求 f (x,y)]
类似于一维连续型随机变量，对于二维连续型
随机变量(X,Y)，有
二维连续型随机变量(X,Y)取值于平面xoy上
离散点与线的概率= 0，且 设对于平面xoy上的一个区域G，则二维连续型 随机点(X,Y)落在G内的概率为
P{( X , Y ) G} f ( x, y ) dxdy .
ij
1.
[概率的规范性]
这样一来，随机变量取值落在某个平面区域G上 的概率就等于G内各可能取值点处概率之和。
P{( X , Y ) G}
( xi , y j )G
P{X x , Y y }
i j
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例 将一枚硬币连抛三次，以X表示在“三次抛掷 出现正面的次数”， Y表示“三次抛掷出现正、反面 次数差的绝对值”， 求X与Y的联合分布律． 古典 〖解〗 X的可能值为0,1,2,3；Y的可能值为1,3． 概型 基本事件总数为8． X与Y的联合分布律为 P{X=0,Y=1}=P(φ)=0; P{X=0,Y=3}=1/8; [TTT] P{X=1,Y=1}=3/8; [HTT,THT,TTH] P{X=1,Y=3}=P(φ)=0; P{X=2,Y=1}=3/8; [HHT,HTH,THH] P{X=2,Y=3}=P(φ)=0; P{X=3,Y=1}=P(φ)=0; P{X=3,Y=3}=1/8. [HHH]
则称(X,Y)为二维连续型随机变量，其中函数 f (x, y) 称为二维随机变量(X,Y)的概率密度函数， 或称为 随机变量X与Y的联合概率密度函数．
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f (u, v )dudv,
y x
2、概率密度性质 两个基本性质： f ( x, y ) 0 (( x, y) R );
11
X与Y的联合分布律为：
■
12
四、二维连续型随机变量
1、概念 类似于一维连续型随机变量， 连续型二维随机 变量(X,Y)所有可能值 充满平面上某个区域． 定义4 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y), 若存在非负函数 f (x, y) , 使得对任意的 x,y 值，有
F ( x, y )
F ( x, y )

f (u, v)dudv
y x
利用重积分 对积分区域 的可加性,保 留非零积分
x 2u y v 2 e du e dv, x 0, y 0, 0 0 0, 其它 ,
x v y e 2 u |0 e |0 , x 0, y 0, 其它 , 0, (1 e 2 x )(1 e y ), x 0, y 0, 其它 , 0,
第三章 多维随机变量及其分布
本章内容
二维随机变量 边缘分布 条件分布 随机变量的独立性 二维随机变量函数的分布
1
本章讨论多维随机变量及其概率分布问题．
实际问题中，某些随机现象的基本可能结果需用
多个数值来表示， 即所谓多维随机变量的概念． 多维随机变量问题， 有关概念以及问题讨论方法 和相关的定理结论等均与上一章类似， 此外当然也会 有某些新问题． 大家应该注意其类似与新问题．
3
二维随机变量(X,Y)中，二随机变量X与Y 是一个 有机的整体． 其属性除与各个变量X,Y 有关之外，还 应该与X,Y 之间的相互联系有关． 因此，为研究二维 随机变量(X,Y)，除可以各个单独地分别来研究二变量 X与Y 之外，主要还是需要整体地研究二维随机变量. 类似于上一章一维随机变量X 的讨论, 二维变量
1


2 x y C e dx e f ( x, y )dxdy dy 0 0


1 2 x C y C ( )e |0 ( 1)e |0 , 2 2 所以 C 2.
16
(2) 因C = 2，所以概率密度为
2e ( 2 x y ) , x 0, y 0, f ( x, y ) 其它. 0,
P{ x1 X x2 , y1 Y y2 } F ( x1 , y1 ) F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) 0 等．
下面分别讨论二维离散型与连续型随机变量．
7
三、二维离散型随机变量
1、概念 类似于一维离散型随机变量， 若二维随机变量 (X,Y)所有可能值是有限个或可列无限个点， 则称其 为二维离散型随机变量． 2、分布律 定义3 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能值 为 ( xi , y j ) (i , j 1,2,), 则称其所对应的概率
(X,Y)的概率分布函数是对其统计规律的全面整体描述. 下面给出二维随机变量(X,Y)分布函数的定义．
4
二、二维随机变量分布函数及其性质
定义2 设(X,Y)为二维随机变量，对任意实数 x,y，二元函数 F ( x, y) P{X x, Y y} 称为二维随机变量(X,Y)的概率分布函数，或称为 随机变量X与Y的联合分布函数． 几何图形示意： 分布函数F(x,y)在点(x,y) 处的函数值F(x,y)就是事件： “随机点(X,Y) 落在以点(x,y) 为右上顶点的左下方角部无限 矩形区域内”的概率．
x x0
lim F ( x , y ) F ( x0 , y )
和
y y0
lim F ( x , y ) F ( x , y0 );
3、 0 F ( x , y ) 1; 并且 F (+∞,+∞) = 1；
F (, y ) F ( x,) F (,) 0.
21
6
思考问题： F ( , y ) ?,
以及
F ( x, ) ?; F (, ) ?, F (, ) ? 等．
随机向量落 在 矩形区域内 的概率
类似一维随机变量一样，二维 随机变量(X,Y)分布函数的其他性质 与结论．例如，
对任意的 x1 , x2 ; y1 , y2 , ; x1 x2 , y1 y2 , 则有
曲顶柱体体积15类似于一维连续型随机变量对于二维类似于一维连续型随机变量对于二维连续型连续型随机变量随机变量xxyy有二维连续型随机变量二维连续型随机变量xxyy取值于取值于平面xoy上离散点与线的概率离散点与线的概率设对于平面xoy上的一个区域g则二维连续型二维连续型随机点xy落在g内的概率为例例11设二维随机变量设二维随机变量xxyy的概率密度为的概率密度为确定确定cc的值