青岛为明学校八年级数学下册第二单元《勾股定理》检测卷(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）
A ．CD 、EF 、GH
B ．AB 、EF 、GH
C ．AB 、C
D 、GH D ．AB 、CD 、EF 2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A ．30，40，50
B ．8，12，13
C ．5，9，13
D ．3，4，6
3．下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（ ） A ．三个内角之比为1︰2︰3 B ．一边上的中线等于该边的一半 C ．三边为
111,,12135
D ．三边长为
()222220m n m n mn m n +->>、、
4．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，△ABC 的面积为120，则△BCD 的面积为（ ）
A ．20
B ．24
C ．30
D ．40
5．如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，△ABC 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上．下列结论：其中正确的有（ ）
①△ACE ≌△BCD ；②∠DAB ＝∠ACE ；③AE +AC ＝AD ；④AE 2+AD 2＝2AC 2
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=︒，12AC cm =，9BC cm =，将斜边
AB 翻折使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CD 的长为（ ）
A ．4cm
B ．5cm
C ．17cm
D ．
94
cm 7．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，若30B ∠=︒，3AC =，
2AD =，则ABD △的面积为（ ）
A ．3
B ．2
C ．23
D ．3
8．已知锐角△ABC 的三边长恰为三个连续整数，AB ＞BC ＞CA ，若边BC 上的高为AD ，则
BD ﹣DC ＝（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9．如图，90ABC ︒∠=，//AD BC ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与射线AD 相交于点E ，连接BE ，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ．若6AB =，10BC =，则EF 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．若实数m 、n 满足|m ﹣4n -0，且m 、n 恰好是Rt ABC 的两条边长，则
ABC 的周长是（ ）
A ．5
B ．57
C ．12
D ．12或7
11．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在边BC 上，AD =BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点
E ．若AC =12，BC =16，则AE 的长为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
12．下列条件能使ABC （a ，b ，c 为ABC 的三边长）为直角三角形的是（ ）
A ．a b c +=
B ．::4:5:3a b c =
C ．2A B C ∠+∠=∠
D ．::5:12:13A B C ∠∠∠=
二、填空题
13．如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积
125
8
S π=
，22S π=，则3S 是________．
14．如图所示，在ABC 中，90C DE ∠=︒,垂直平分AB ，交BC 于点E ，垂足为点
D ，8,15B
E B =∠=︒，则EC 的长为________________________．
15．平面直角坐标系中，点()()4,2,2,4A B -，点(),0P x 在x 轴上运动，则AP BP +的
最小值是_________．
16．如图，在ABC 中，90A ∠=，AB AC =，点E ，点F 为BC 边上的三等分点，且
12BC =，点P 在AB 边上运动（包括A 、B 两点），连结
PE 、 PF ，若设PE PF a +=，则a 的取值范围为______．
17．如图，△ABC 是等边三角形，边长为2，AD 是BC 边上的高．E 是AC 边中点，点P 是
AD 上的一个动点，则PC ＋PE 的最小值是_______ ，此时∠CPE 的度数是_______．
18．已知直角坐标平面内的Rt △ABC 三个顶点的坐标分别为A （4，3）、B （1，2）、C （3，-4），则直角顶点是_________．
19．有一个三角形的两边长是8和10，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为_______．
20．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边上的高是_________．
三、解答题
21．已知：在ABC ∆中，点E 在直线AC 上，点,,B D E 在同一条直线上，且BA BD =，
.BAE D ∠=∠
（问题初探）（1）如图1，若BE 平分ABC ∠，求证：180AEB BCE ∠+∠=︒．
请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程．
（变式再探）（2）如图2，若BE 平分ABC ∆的外角ABF ∠，交CA 的延长线于点E ，问：AEB ∠和BCE ∠的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由．
（拓展运用）（3）如图3，在()2的条件下．若,1AB BC CD ⊥=，求EC 的长度．
22．已知，等腰，，在直角边的左侧直线，点关于直线的
对称点为，连接
，
，其中
交直线
于点．
（1）依题意，在图1中补全示意图：当时，求的度数；
（2）当且
时，求
的度数；
（3）如图2，若，用等式表示线段
，
，
之间的数量关系，并证
明．
23．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：
（1）如下图，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，
BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E 、试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关
系，请直接写出_________
（2）组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如下图，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有
BDA AEC BAC α∠=∠=∠=（其中α为任意锐角或钝角）﹒如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如下图，F 是BAC ∠角平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，D 、E 分别是直线m 上A 点左右两侧的动点（D 、E 、A 互不重合），在运动过程中线段DE 的长度为n ，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠．
①试判断DEF 的形状，并说明理由． ②直接写出DEF 的面积．
24．学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出3m CD =，4m AD =，
12m BC =，13m AB =，AD CD ⊥．
（1）求证：90ACB ∠=︒． （2）求需要绿化部分的面积．
25．如图，在△ABC 中，AC ＝20，AD ＝16，CD ＝12，BC ＝15，求AB 的长．
26．如图，长方体的长AB =5cm ，宽BC =4cm ，高AE =6cm ，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A 出发到点G 处．蚂蚁甲的行走路径S 甲为：翻过棱EH 后到达G 处（即A →P →G ），蚂蚁乙的行走路径S 乙为：翻过棱EF 后到达G 处（即A →M →G ），蚂蚁丙的行走路径S 丙为：翻过棱BF 后到达G 处（即A →N →G ）．
（1）求三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的最小值分别是多少？
（2）三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【详解】
解：设小正方形的边长为1，
则AB2=22+22=8，
CD2=22+42=20，
EF2=12+22=5，
GH2=22+32=13．
因为AB2+EF2=GH2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理的应用；解题的关键是解出AB、CD、EF、GH各自的长度. 2．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【详解】
解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
B、∵82+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
C 、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D 、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； 故选：A ． 【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．C
解析：C 【分析】
根据直角三角形的判定条件分别判断即可； 【详解】
三个内角之比为1︰2︰3，三角形有一个内角为90︒，故A 不符合题意； 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，故B 不符合题意；
2
2
2
11112135⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故C 符合题意； 三边长的关系为()
()
()
()2
2
2
2222
20m n m n mn m n +=-+>>，故D 不符合题
意； 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，准确分析判断是解题的关键．
4．C
解析：C 【分析】
根据已知条件可知∠A ＝∠BCD ＝30°，在Rt △BCD 中设BD ＝x ，则BC ＝2x ，由勾股定理求
得CD ，在Rt △ACD 中，AC ＝2BC ＝，根据△ABC 的面积为120，即
1
1202
AC BC ⨯=，求得2x 的值，用三角形的面积公式即可得出△BCD 的面积． 【详解】
解：∵△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ， ∴在Rt △ABC 中，∠A ＝30°， 在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°， ∴ 设BD ＝x ，则BC ＝2BD ＝2x ，
CD =
=，
∴ 在Rt △ACD 中，∠A ＝30°， ∴AC ＝2BC ＝，
∵△ABC 的面积为120，
∴11
212022
ABC
S
AC BC x =⨯⨯=⨯⨯=，
解得：2x
∵21122BCD
S
BD CD x =
⨯⨯=⨯=， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理．熟练掌握各定理所示解题的关键．
5．C
解析：C 【分析】
由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得出②正确；由SAS 证出△ACE ≌△BCD ，①正确；证出△ADB 是直角三角形，由勾股定理得出④正确；由全等三角形的性质和等边三角形性质得出③不正确；即可得出答案． 【详解】
解：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，
∴CA ＝CB ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∠E ＝∠CDE ＝45°，∠CAB ＝∠CBA ＝45°， ∵∠DAB +∠CAB ＝∠ACE +∠E ， ∴∠DAB ＝∠ACE ，故②正确； ∴∠ACE +∠ACD ＝∠ACD +∠DCB ＝90°， ∴∠ACE ＝∠DCB ， 在△ACE 和△BCD 中，
CA CB
ECA DCB CE CD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACE ≌△BCD （SAS ），故①正确； ∴AE ＝BD ，∠CEA ＝∠CDB ＝45°， ∴∠ADB ＝∠CDB +∠EDC ＝90°， ∴△ADB 是直角三角形， ∴AD 2+BD 2＝AB 2， ∴AD 2+AE 2＝AB 2，
∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB
AC ，
∴AE 2+AD 2＝2AC 2，故④正确；
在AD 上截取DF ＝AE ，连接CF ，如图所示：
在△ACE 和△FCD 中，
45AE FD E CDF CE CD ︒
=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
， ∴△ACE ≌△FCD （SAS ），
∴AC ＝FC ，
当∠CAF ＝60°时，△ACF 是等边三角形，
则AC ＝AF ，此时AE +AC ＝DF +AF ＝AD ，故③不正确； 故选：C ． 【点睛】
本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
6．A
解析：A 【分析】
根据勾股定理可将斜边AB 的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB ，已知AC 的长，可将CE 的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD 的长． 【详解】
解：在Rt △ABC 中，12AC cm =，9BC cm =， 22AC BC +，
根据折叠的性质可知：AE=AB=15cm ， ∵AC=12cm ， ∴CE=AE-AC=3cm ， 设CD=xcm ，则BD=9-x=DE ， 在Rt △CDE 中，根据勾股定理得 CD 2+CE 2=DE 2，即x 2+32=（9-x ）2， 解得x=4， 即CD 长为4cm ． 故选：A ． 【点睛】
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应相等关系．解题时，我们常
常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
7．A
解析：A
【分析】
根据含30度角的直角三角形性质可求出CD=1，过点D 作DE ⊥AB ，证明
Rt △ACD ≌Rt △AED ，得AE=AC=3
，再证明Rt △BED ≌Rt △AED ，得BE=AE=3，最后利用三角形面积公式即可求出答案．
【详解】
解：∵30B ∠=︒，90C ∠=︒，
∴∠BAC=90゜-30゜=60゜
∵AD 平分BAC ∠，
∴∠BAD=∠CAD=
1302
BAC ∠=︒ 在Rt △ACD 中，由AD=2
∴CD=1；
过点D 作DE ⊥AB ，如图，
∵AD 平分BAC ∠，90C ∠=︒，
∴DE=DC=1
又AD=AD ∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，
∴3在Rt △ADE 和Rt △BDE 中
DAE DBE AED BED DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴Rt △BED ≌Rt △AED
∴3∴3
∴11123322
ABD S AB DE ∆=⨯=⨯⨯=
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关定理、性质是解答此题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理,因AD 为公共边可以得到AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2再把三边关系代入解答即可．
【详解】
解：设BC ＝n ，则有AB ＝n ＋1，AC ＝n ﹣1，
AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2，
∴ AB 2﹣AC 2＝BD 2﹣CD 2
∴ （n ＋1）2﹣（n ﹣1）2＝（BD ﹣CD ）n ，
∴BD ﹣CD ＝4，
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，根据题意得出 BD ﹣CD 的长是解题关键．
9．B
解析：B
【分析】
根据题意结合勾股定理可求出AE 长，再根据//AD BC ，可证明AEB CBF ∠=∠，即可证明()ABE FCB AAS ≅，得出结论BF=AE ，即可求出EF ．
【详解】
根据题意可知BC=BE=10，90BAE BFC ∠=∠=︒．
在Rt ABE △中，22221068AE
BE AB ． ∵//AD BC ，
∴AEB CBF ∠=∠，
∴()ABE FCB AAS ≅，
∴BF=AE=8，
∴EF=BE-BF=10-8=2．
故选：B ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质以及勾股定理．利用“角角边”证明ABE FCB ≅是解答本题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
根据非负数的性质分别求出m 、n ，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
∵|m
﹣0，
∴|m
﹣3|＝00，
∴m ﹣3＝0，n ﹣4＝0，
解得，m ＝3，n ＝4，
当45，
则△ABC 的周长＝3+4+5＝12，
当4，
则△ABC 的周长＝＝，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．
11．C
解析：C
【分析】
首先根据勾股定理求得斜边AB 的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE 的长度．
【详解】
解：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=16，
由勾股定理知：20AB ===，
∵AD=BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ． ∴1102
AE BE AB ==
=， 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一．在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
12．B
解析：B
【分析】
根据三角形三边关系可分析出A 的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B 的正误；根据三角形内角和定理可分析出C 、D 的正误；
【详解】
解：A 、a b c +=，不能组成三角形，不是直角三角形；
B 、222a c b +=，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
C 、由∠A+∠B=2∠C ，可得∠C=60°，∠A+∠B=120°，不一定是直角三角形；
D 、由∠A ：∠B ：∠C=5：12：13，可得最大角131807830C ∠=︒⨯=︒，不是直角三角形． 故选：B ．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．也考查了三角形内角和定理． 二、填空题 13．【分析】由勾股定理得推出由此得到将数据代入计算得出答案【详解】解：在直角三角形中利用勾股定理得：∴变形为：即又∴故答案为：【点睛】此题考查勾股定理的应用圆的面积计算公式正确理解各部分图形之间的面积关
解析：
98
π． 【分析】 由勾股定理得222+=a b c ，推出222111()()()222222
a b c πππ+=，由此得到231S S S +=，将数据代入计算得出答案.
【详解】
解：在直角三角形中，
利用勾股定理得：222+=a b c ，
∴222888a b c π
π
π
+=，
变形为：222111()()()222222
a b c πππ+=，即231S S S +=.
又1258
S π=，22S π=， ∴312259288S S S πππ=-=
-=， 故答案为：
98
π. 【点睛】 此题考查勾股定理的应用，圆的面积计算公式，正确理解各部分图形之间的面积关系及勾股定理的计算公式是解题的关键.
14．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC 根据线段垂直平分线性质求出求出然后求出∠EAC 根据含30°角的直角三角形的性质求解即可【详解】解：∵在△ABC 中∴∵垂直平分∴∴∴∵∴∴∴在Rt △ECA 中故答
解析：【分析】
根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据线段垂直平分线性质求出8BE AE ==，求出15EAB B ∠=∠=︒，然后求出∠EAC ，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：∵在△ABC 中，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，
∴901575BAC ∠=︒-︒=︒，
∵DE 垂直平分AB ，8BE =，
∴8BE AE ==，
∴15EAB B ∠=∠=︒，
∴751560EAC ∠=︒-︒=︒，
∵90C ∠=︒，
∴30AEC ∠=︒， ∴18422
1AC AE =
⋅=⨯=， ∴在Rt △ECA 中，
EC ==
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形的边长问题，掌握三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
15．【分析】根据题意先做点A 关于x 轴的对称点求出坐标连结A′B 交x 轴于C 用勾股定理求出A′B 即可【详解】解：如图根据题意做A 点关于x 轴的对称点A ＇连结A′B 交x 轴于C=A′P+BP≥A′B 得到A ＇(-4
解析：62．
【分析】
根据题意先做点A 关于x 轴的对称点'A ，求出'A 坐标，连结A′B ，交x 轴于C ，用勾股定理求出A′B 即可．
【详解】
解：如图
根据题意做A 点关于x 轴的对称点A ＇,连结A′B ，交x 轴于C ，
AP BP +=A′P+BP≥A′B ，
得到A ＇(-4，-2)，
当点P 与C 点重合时，PA+PB 最短，点B （2，4）
由勾股定理()()222+4+4+2=62
AP BP +的最小值为：62
故答案为： 2
【点睛】
本题主要考查了点关于直线的对称，两点之间线段最短，勾股定理的应用，正确转化AP BP +的值最小是解题的关键．
16．≤a≤【分析】根据已知条件首先求出BEEFCF 的值再分别求出点P 与点A 重合时点P 与点B 重合时PE+PF 的值再根据对称性求出PE+PF 的最小值综合比较即可【详解】解：∵∠A=90°AB=ACBC=12
解析：45410【分析】
根据已知条件首先求出BE 、EF 、CF 的值，再分别求出点P 与点A 重合时，点P 与点B 重合时PE+PF 的值，再根据对称性求出PE+PF 的最小值，综合比较即可．
【详解】
解：∵∠A=90°，AB=AC ，BC=12，E 、F 是BC 的三等分点，
∴BE=EF=CF=4，
当点P与点A重合时，
如图，过点A作BC的垂线，垂足为Q，
∴BQ=CQ=AQ=6，
∴EQ=FQ=2，
∴PE=PF=22
+=210，
62
∴PE+PF=410；
当点P与点B重合时，
PE+PF=4+8=12；
作点E关于AB的对称点E′，连接E′F，与AB交于点P，
此时PE+PF最短，即为E′F的长，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵E和E′关于AB对称，
∴∠ABC=∠ABE′=45°，
∴∠E′BE=90°，BE′=BE=4，
∴E′F=22
'+=45，
E B BF
∵10160144，
∴PE+PF的最大值为1045
∴a的取值范围是510，
故答案为：510．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，无理数的估算，最短路径问题，勾股定理，知识点较多，解题的关键是求出a的最小值和特殊值．
17．60°【分析】作点E关于AD的对称点F然后连接CF交AD于点H连接HE 由轴对称的性质及两点之间线段最短可得CF即为PC+PE的最小值进而由等边三角形的性质可求解【详解】解：作点E关于AD的对称点F然
解析：3 60°
【分析】
作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得CF即为PC+PE的最小值，进而由等边三角形的性质可求解．
【详解】
解：作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠ACB=∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，BD=DC，
∵点E是AC的中点，AD垂直平分EF，
∴点F是AB的中点，
∴CF⊥AB，CF平分∠ACB，
∴∠BCF=30°，
∴当点P与点H重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时PC+PE为最小值，即为CF的长，
∵BC=2，
∴BF=1，
在Rt△CBF中，223
-
C BC
F BF=
∴PC+PE3
∴∠DHC=∠FHP=60°，
∵AD垂直平分EF，
∴FH=HE，
∴∠FHP=∠PHE=60°，
∴∠CHE=60°，即为∠CPE=60°；
3；60°．
【点睛】
本题主要考查勾股定理、等边三角形的性质及轴对称的性质，熟练掌握勾股定理、等边三
角形的性质及轴对称的性质是解题的关键．
18．B【分析】先根据两点间的距离公式得到AB2BC2AC2的值然后根据勾股定理的逆定理即可解答【详解】解：∵A（43）B（12）C（3-4）∴AB2=（4-1）2+（3-2）2=10AC2=（3-4）2
解析：B
【分析】
先根据两点间的距离公式得到AB2、BC2、AC2的值，然后根据勾股定理的逆定理即可解答．
【详解】
解：∵A（4，3）、B（1，2）、C（3，-4），
∴AB2=（4-1）2+（3-2）2=10，AC2=（3-4）2+（-4-3）2=50，BC2=（3-1）2+（-4-2）2=40，∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠B=90°，即该直角三角形的直角顶点为B．
故答案为B．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的逆定理、两点间的距离公式，正确的运用相关的定理、公式成为解答本题的关键．
19．或6【分析】分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论利用勾股定理即可求解【详解】设第三边长为x当第三边是斜边时则x2=82+102=164;∴x=（负值舍去）当第三边是直角边时则斜边长为10∴x2+8
解析：6
【分析】
分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解．
【详解】
设第三边长为x，
当第三边是斜边时，则x2=82+102=164;
∴x=
当第三边是直角边时，则斜边长为10，
∴x2+82=102，
解得：x=6，（负值舍去）
故答案是：6
【点睛】
本题考查了勾股定理，直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；熟练掌握勾股定理并运用分类讨论的思想是解题关键关键．
20．或【分析】分为两种情况：①3和4都是直角边；②斜边是4有一条直角边是3利用勾股定理求得第三边再利用等面积法即可得出斜边上的高【详解】
解：分为两种情况：①3和4都是直角边由勾股定理得：第三边长∴斜边上 解析：125或37 【分析】
分为两种情况：①3和4都是直角边；②斜边是4有一条直角边是3．利用勾股定理求得第三边，再利用等面积法即可得出斜边上的高．
【详解】
解：分为两种情况：
①3和4都是直角边，
由勾股定理得：第三边长22435=+=
∴斜边上的高为341255
⨯=； ②斜边是4有一条直角边是3，
由勾股定理得：第三边长22437=-=，
∴斜边上的高为
373744⨯=； 故答案为：
125或37． 【点睛】
本题考查勾股定理解直角三角形.注意分类讨论和等面积法（在本题中主要用到直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半也等于斜边与斜边高的乘积的一半）的运用． 三、解答题
21．（1）见解析 （2）BEC BCE ∠=∠；理由见解析 （3）12+
【分析】
（1）根据ASA 证明ABE DBC ∆≅∆得BE=BC ，得BEC BCE ∠=∠，进一步可得结论； （2）根据ASA 证明ABE DBC ∆≅∆得BE=BC ，得ABE BCE ∠=∠；
（3）连结AD ，分别求出∠AEB=∠ADE=∠ACB=22．5°,再证明AE=CD ，∠ADC=90°，由勾股定理可得AC ，由EC=EA+AC 可得结论．
【详解】
解：（1）证明BE 平分ABC ∠，
在ABE ∆和DBC ∆中，
BAE D BA BD
ABE DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ABE DBC ASA ∴∆≅∆，
,BE BC ∴=
,BEC BCE ∴∠=∠
180AEB BCE AEB BEC ∴∠+∠=∠+∠=︒；
()2BEC BCE =∠∠．
理由：BE 平分ABF ∠，
,ABE EBF CBD ∴∠=∠=∠
在ABE ∆和DBC ∆中，
BAE D BA BD
ABE DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ABE DBC ASA ∴∆≅∆，
,BE BC ∴=
BEC BCE ∴∠=∠．
()3连结AD ，
AB BC ⊥，
45ABE EBF CBD ∴∠=∠=∠=︒，
ABE DBC ∆≅∆，
,BAE BDC ∴∠=∠且E E ∠=∠，
45,ABE ACD ∴∠=∠=︒
由()2得BE BC =，
22.5BCD BCE BEC ∴∠=∠=∠=︒，
,AB BD =
22.5,BAD BDA ∴∠=∠=︒
,45,AE AD DAC ACD ∴=∠=︒=∠
1,CD = 221,112AD AE AC ∴===+=， 12EC ∴=+．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接AD 是解答此题的关键．
22．（1）
；（2）或；（3），证明见解析 【分析】 （1）由轴对称的性质和等腰三角形的性质得出
，得出，证出AE=AC ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果 （2）分两种情况：当
时，当时分别求解即可 （3）作CG ⊥AP 于G ，由AAS 证明
，得出CG=AM ，证出点A 是的外接圆的圆心，，得出和是等腰直角三角形，由勾股定理即
可得出结论
【详解】
解：（1）补全示意图如图所示
连接AE ，设AP 与BE 交于点M ，如图：
由轴对称的性质得
AE=AB ，BM=EM ，AM ⊥BE ，
∵是等腰直角三角形
∴AB=AC
∴AE=AC
∴
（2）当时，如图：
由（1）得，，在中
∴
∴
∴
∵AE=AB，AF=AF，FE=FB
∴
∴
当时，如图：
∵AE=AB，AF=AF，FE=FB
∴
∴
∵AE=AB=AC
∴
∴即
在与中
，
∴
∴
由上可知，的度数为或
（3），理由如下：
由（2）得：
FE=FB ，
∴
∴
∵在中 ∴
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练运用这些性质进行推理是解本题的关键
23．（1）DE BD CE =+；（2）结论DE BD CE =+成立，证明见解析；（3）①DFE △为等边三角形，证明见解析．23． 【分析】
（1）由题意可知90ADB CEA ∠=∠=︒，又可推出ABD CAE ∠=∠，即可证明(AAS)ADB CEA ≌，得出BD AE =，AD CE =．即推出
DE AD AE BD CE =+=+．
（2）由题意易证ABD CAE ∠=∠，即证明(AAS)ADB CEA ≌，同理即
DE AD AE BD CE =+=+．
（3）①由（2）知(AAS)ADB CEA ≌，得出BD AE =，由ABD CAE ∠=∠，易证FBD FAE ∠=∠，又由题意可知FB=FA ，即证明出(SAS)FBD FAE ≌，得出结论FD FE =，BFD AFE ∠=∠，即可求出60DFE ∠=︒，即证明DEF 为等边三角形． ②由DE n =，DEF 为等边三角形，即可求出DEF 的面积．
【详解】
（1）DE BD CE =+，理由：
∵90BAC ∠=︒，
∴90BAD CAE ∠+∠=︒，
∵BD m ⊥，
∴90ADB CEA ∠=∠=︒，
∴90BAD ABD ∠+∠=︒，
∴ABD CAE ∠=∠，
在ADB △和CEA 中，90ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴
(AAS)ADB CEA ≌， ∴BD AE =，AD CE =，
∴DE AD AE BD CE =+=+．
故答案为：DE BD CE =+．
（2）结论DE BD CE =+成立；
理由如下：∵180BAD CAE BAC ∠+∠=︒-∠，
180BAD ABD ADB ∠+∠=︒-∠，BDA BAC ∠=∠，
∴ABD CAE ∠=∠，
在BAD 和ACE △中，ABD CAE ADB CEA AB AC α∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴
(AAS)BAD ACE ≌， ∴BD AE =，AD CE =，
∴DE DA AE BD CE =+=+．
（3）①DEF 为等边三角形，
理由：由（2）得，BAD ACE ≌△△，
∴BD AE =，
∵ABD CAE ∠=∠，
∴ABD FBA CAE FEC ∠+∠=∠+，即FBD FAE ∠=∠，
在FBD 和FAE ∠中，FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴(SAS)FBD FAE ≌，
∴FD FE =，BFD AFE ∠=∠，
∴60DFE DFA AFE DFA BFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒，
∴DEF 为等边三角形．
②∵DEF 为等边三角形． ∴DEF
的高为2DE ．
∴213224
DFE S DE DE ==． 【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握判定三角形全等的方法是解答本题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）224m
【分析】
（1）由AD ⊥CD ，可得△ACD 是直角三角形，根据勾股定理可求出AC=5，在△ABC 中，AB=13，BC=12，AC=5，可知222AB BC AC =+ ，继而证得∠ACB= 90︒；
（2）根据S 阴影=ABC ACD S
S -计算即可． 【详解】
（1）证明：∵AD CD ⊥，
∴ACD 为直角三角形，
由勾股定理得：222AC CD AD =+，
∵3m CD =，4m AD =，
∴5m AC =，
在ABC 中，2213169AB ==，
2212144BC ==，
22525AC ==，
∴222AB BC AC =+，
∴ACB △为直角三角形，
∴90ACB ∠=︒．
（2）ABC ACD S S S =-阴
1122
AC BC CD AD =⋅-⋅ 111253422
=⨯⨯-⨯⨯ 306=-
()224m =
答：需要绿化的面积为224m ．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
25．AB ＝25．
【分析】
先利用勾股定理的逆定理证得∠ADC ＝90°，再利用勾股定理求出BD 即可．
【详解】
∵AC ＝20，AD ＝16，CD ＝12，
∴CD 2+AD 2＝AC 2，
∴∠ADC ＝90°，
在Rt △BCD 中，BC ＝15，CD ＝12，
∴BD 9，
∴AB ＝AD +BD ＝25．
【点睛】
此题考查勾股定理及其逆定理，熟记定理的计算方法是解题的关键．
26．（1）三只蚂蚁的行走路径S 甲，S 乙，S 丙cm ，，
cm ；（2）蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达
【分析】
（1）将长方体侧面展开，由行走路径最小值确定：路线为线段，根据勾股定理分别求出S 甲，S 乙，S 丙的值即可；
（2）比较S 甲，S 乙，S 丙的值即可得到答案．
【详解】
解：（1）将长方体侧面展开，由行走路径最小值确定：路线为线段，
∵长AB =5cm ，宽BC =4cm ，高AE =6cm ，
∴EF =AB =5cm ，GF =BC =EH =4cm ，AE =BF =CG =6cm ，
∴图1：S 甲=2222()114137AE EF G F '''++=+=（cm ）
图2：S 乙=2222()10555AE EH G H '''++=+=（cm ），
图3：S 丙=2222()96117AB BC C G '''++=+=（cm ），
答：三只蚂蚁的行走路径S 甲，S 乙，S 丙的最小值分别是137cm ，55cm ，117cm ；
（2）由（1）知，S 甲137cm ），S 乙5125cm ），S 丙117cm ）． ∵137125117
∴蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，立方体的平面展开图，正确理解题意，确定每只蚂蚁所走的路径构建直角三角形是解题的关键．。