2022-2023学年福建省南平市高级中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2022-2023学年福建省南平市高级中学高一上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知集合{}2
30A x x x =-=，{}1,2,3B =，则A B =（ ）．
A ．{}0,1,2,3
B ．{}1,2,3
C ．{}0,2,3
D ．{}3
【答案】D
【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】
{}
{}2300,3A x x x =-==，{}1,2,3B =，
{}3A B ∴=.
故选：D
2．设x ∈R .则“3x ≤”是“230x x -≤”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】3x ≤时，例如=1x -，则2340x x -=>，不是充分的， 230033x x x x -≤⇒≤≤⇒≤，必要性成立．
因此应是必要不充分条件． 故选：B ．
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是用充分必要条件的定义进行．本题也可从集合的包含角度求解．
3．设函数()2
41f x x x =-+在区间[]1,4上的值域为（ ）
A ．[]3,1-
B ．()(),31,-∞-⋃+∞
C ．[]2,1-
D ．(]2,1-
【答案】A
【解析】分析二次函数()2
41f x x x =-+在区间[]1,4上的单调性，进而可求得该函数的值域.
【详解】
()()2
24123f x x x x =-+=--，
所以，函数()f x 在区间[)1,2上单调递减，在区间(]2,4上单调递增，则()()min 23f x f ==-，
1
2f ，()41f =，()()max 41f x f ∴==.
因此，函数()2
41f x x x =-+在区间[]1,4上的值域为[]3,1-.
故选：A.
4．下列函数中，表示同一个函数的是（ ） A ．2y
x 与()
4
y x =
B ．3y x =-与2(3)y x =-
C ．x
y x =
与()()1010x y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩
D ．2y
x 与2S a =
【答案】D
【分析】根据函数的定义，只有两个函数的定义域和对应法则相同，这两个函数才相同，由此对选项一一判断，即可得到结果． 【详解】对于A ，函数2y x 的定义域为R ，函数()4
y x =
的定义域为[)0+∞，
，故选项A 中的函数不是同一函数；
对于B ，函数2(3)3y x x =-=-，故对应法则不相同，故选项B 中的函数不是同一函数； 对于C ，函数x
y x =的定义域为{}0x x ≠，函数()()1010x y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩
的定义域为R ，故选项C 中的函数不是同一函数；
对于D ，这两个函数的定义域和对应法则都相同，故选项D 为同一函数． 故选：D ． 5．函数241
x
y x =
+的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：()()241
x
f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，4
2011
y ==>+，选项B 错误. 故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6．已知函数2()5f x x bx =++，对任意实数x ，都满足(1)(3)f x f x +=-，则(1)f 、(2)f 、(4)f 的大小关系为
A ．(2)(1)(4)f f f <<
B ．(2)(4)(1)f f f <<
C ．(1)(4)(2)f f f <<
D ．(1)(2)(4)f f f << 【答案】A
【分析】解法一:由题意可得2()5f x x bx =++是二次函数,根据(1)(3)f x f x +=-,可求得()f x 的对称轴为2x =,根据二次函数对称轴为-2b
x a
=,可求得参数b ,由此可以求得(1)f 、(2)f 、(4)f ,即可求得答案.
解法二:根据(1)(3)f x f x +=-,可求得()f x 的对称轴为2x =,由题意可得2()5f x x bx =++是开口向上的二次函数,由二次函数图像特点可知:当0|2|x -越小,对应的0()f x 越小.即可比较(1)f 、(2)f 、(4)f . 【详解】解法一: ()()f m x f n x +=-的对称轴为2
m n
x += ∴ ()f x 的对称轴为2x =
根据二次函数对称轴为-2b x a
= ∴ -=22b
即4b =-
∴22-(4)5=5f x x bx x x =+++ ∴ (1)=2f ,(2)=1f (4)=5f
∴ (2)(1)(4)f f f <<
解法二: ()()f m x f n x +=-的对称轴为2
m n
x += ∴ ()f x 的对称轴为2x =
2()5f x x bx =++是开口向上的二次函数 ∴ 当0|2|x -越小,对应的0()f x 越小
当11x =时1|2|=1x -; 当2
2x =时2|2|=0x -;
当34x =时3|2|=2x -; ∴ 213|2|<|2|<|2|x x x --- ∴ (2)(1)(4)f f f <<
故选:A.
【点睛】本题考查了函数对称轴判别式即: ()()f m x f n x +=-的对称轴为2
m n
x +=,能解读出函数的对称是解本题的关键.
7．已知()(),12
21,13x a x f x a x x ⎧≤⎪
=⎨-+>⎪⎩
，若定义在R 上的函数()f x 满足对1x ∀、()212x R x x ∈≠，都有()()2121
0f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()1,+∞
B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】D
【分析】由题意可知，函数()y f x =是R 上的减函数，则函数()y f x =的两支函数均为减函数，且有()1
2213
a a ≥-+，由此可得出关于实数a 的不等式组，解出即可.
【详解】定义在R 上的函数()f x 满足对1x ∀、()212x R x x ∈≠，都有()()2121
0f x f x x x -<-，
所以，函数()y f x =是R 上的减函数，
则函数x y a =和()2213
y a x =-+均为减函数，且有()1
2213a a ≥-+，
即012101
23a a a a ⎧
⎪<<⎪-<⎨⎪⎪≥-
⎩，解得103a <≤，因此，实数a 的取值范围是10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.
故选D.
【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，求解时不仅要求分段函数的每支函数都保持原函数的单调性外，还应注意各支函数在分界点处函数的值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8．已知()f x 是奇函数，且在()0,∞+上是增函数，又()20f -=，则()
01
f x x <-的解集为（ ） A ．()()2,01,2- B ．()()2,02,-+∞ C ．()()212-∞-,, D ．()()1,22,--+∞
【答案】A
【分析】先利用奇偶性、单调性及()20f -=判断函数值的正负分布情况，再讨论1x >和1x <时不等式的解集情况，最后取并集即可.
【详解】()f x 是奇函数，即()()220f f -=-=，故()20f =， 又()f x 在()0,∞+上是增函数，故()f x 在(),0∞-上也是增函数，
故<2x -时()0f x <，20x -<<时()0f x >，02x <<时()0f x <，2x >时()0f x >. 当1x >时，不等式即()0f x <，故02x <<，即12x <<； 当1x <时，不等式即()0f x >，故20x -<<， 综上，不等式的解集为：()()2,01,2-.
故选：A.
【点睛】本题的解题关键在于利用函数的单调性和奇偶性准备判断函数值的正负分布情况，即可解出不等式，突破难点.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ） A ．若22a b >，则a b > B ．若22ac bc >，则a b > C ．若,a b c d >>，则ac bd > D ．若,a b c d ><，则a c b d ->-
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.
【详解】A.取特殊值，2a =-，1b ，显然不满足结论；
B.由22ac bc >可知，20c >，结论正确；
C. 1a =-，2b =-，1c =-，2d =-，显然不满足结论；
D. c d <，则c d ->-
又a b >，则根据不等式性质，有a c b d ->-成立. 故选：BD.
10．若函数y x α=的定义域为R 且为奇函数，则α可能的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．12
D ．3
【答案】BD
【分析】根据幂函数的图像和性质判断α可能的值即可.
【详解】当α为1-时，1()f x x
=
定义域不是R ；当α为1
2时，()f x =R ； 当α为1时，()f x x =是定义域为R 的奇函数；当α为3时，3()f x x =是定义域为R 的奇函数. 故选BD
【点睛】本题主要考查了常见幂函数的定义域，奇偶性，属于中档题. 11．下列说法正确的是（ ）
A ．若二次函数2()f x ax bx c =++为偶函数，则0b =
B ．()()32
23a a -=- C ．集合{0,1}A =的真子集有3个 D ．若13,24a b <<<<，则
13
42
a b << 【答案】ACD
【分析】利用二次函数对称轴，指数幂的运算，集合的真子集，不等式的性质即可判断. 【详解】对于A ：若二次函数2()f x ax bx c =++为偶函数，则对称轴=002b
b a
-⇒=，故A 正确 对于B ：()()()()3
3
2
3
226361a a a a a -=-=--=，，故B 错误
对于C ：集合{0,1}A =有两个元素，所以真子集个数为221=3-个，故C 正确 对于D ：13,24a b <<<<，111
42b <<，则1342
a b <<，故D 正确 故选：ACD
12．已知函数2222(),()22
x x x x
f x
g x ---+==，则(),()f x g x 满足（ ）
A ．()(),()()f x f x g x g x -=--=
B ．(2)(3),(2)(3)f f g g -<-<
C ．(2)2()()f x f x g x =
D ．22[()][()]1f x g x -=
【答案】ABC
【分析】对于A 直接代入化简即可判断其奇偶性，对于B 利用函数单调性和具体代入比较值大小即可判断，对于C ，()()()2222222x x
f x
g x f x --⋅=
=，对于D 代入运算化简得22[()][()]1f x g x -=-. 【详解】对于A ，()()222222x x x x f x f x -----==-=-，()()222
x x
g x g x -+-==，故A 正确； 对于B ，根据增函数加上增函数为增函数易得()f x 为增函数，则(2)(3)f f -<成立， ()222217228g -+-==，()()332265
32216
g g -+==>-，故B 正确，
对于C ，()()()22222222222222
x x x x x x
f x
g x f x ----+-⋅=⨯⋅==，故C 正确，
()()()()()()22
f x
g x f x g x f x g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=+⋅-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()222222222212222x x x x x x x x
x x
-----⎛⎫⎛⎫-+-+=+-=⋅-=- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，故D 错误， 故选：ABC.
三、填空题
13．已知1
()3
f x x =-则此函数的定义域是___________. 【答案】{2x
x ≥∣且3}x ≠ 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数1
()3f x x =-有意义，则满足39030x x ⎧-≥⎨-≠⎩
，
解得2x ≥且3x ≠，即函数的定义域为{|2x x ≥且}3x ≠. 故答案为：{|2x x ≥且}3x ≠.
14．若函数2(2)45f x x x -=+-，则()f x =___________. 【答案】287x x ++
【分析】凑配法求函数解析式.
【详解】由已知得，()222
(2)45444445(2)827f x x x x x x x x x -=+-=-++-+-=-+-+
则2()87f x x x =-+ 故答案为：287x x ++
15．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[3.14]3=，[ 1.6]2-=-，定义函数：()[]f x x x =-，在下
列命题正确的是________． ①(0.8)0.2f -=；
②当12x ≤<时，()1f x x ；
③函数()f x 的定义域为R ，值域为[0,1)； ④函数()f x 是增函数，奇函数． 【答案】①②③
【分析】由题意可得()f x 表示数x 的小数部分，可得(0.8)0.2f -=，当12x <时，()1f x x ，即可判断正确结论．
【详解】()[]f x x x =-表示数x 的小数部分，则(0.8)(10.2)0.2f f -=-+=①正确， 当12x ≤<时，()[]1f x x x x =-=-，②正确， 函数()f x 的定义域为R ，值域为[0,1)，③正确，
当01x ≤<时，()[]f x x x x =-=；当12x ≤<时，()1f x x ， 当0.5x =时，(0.5)0.5f =；当 1.5x =时，(1.5)0.5f =， 则(0.5)(1.5)f f =，即有()f x 不为增函数，
由( 1.5)0.5f -=，(1.5)0.5f =，可得( 1.5)(1.5)f f -=，即有()f x 不为奇函数，④错误． 故答案为：①②③
【点睛】本题考查函数新定义的理解和运用，考查函数的单调性和奇偶性的判断，以及函数值的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
四、解答题
16．已知()()21,(1)
23,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩
则((2))f f =___________.
【答案】3
2
##1.5
【分析】根据分段函数的解析式特征代入即可求解.
【详解】()22231f =-⨯+=-,()1
3((2))1212
f f f -=-=+=
, 故答案为：3
2
17．集合{}220A x
x x =--≤∣，集合{04}B x x =<≤∣，求()R
R ,,A A B A B .
【答案】
()R
(,1)(2,),(2,4],[1,4]A A B A B =-∞-+∞⋂==-R
【分析】首先解出集合A 中的不等式，然后根据集合交并补的运算得到答案即可.
【详解】220x x --≤，解得[1,2]x ∈-，
故{}220[1,2]A x x x =--≤=-∣，而{04}B x x =<≤∣， 所以
R
(,1)(2,)A =-∞-+∞，
所以()(2,4],[1,4]A B A B ⋂==-R
18．已知命题:p 二次函数221y x ax =-+在(,0]-∞上单调递减；命题:q 不等式21x ax +≥对x ∈R 恒成立.
(1)若q 为真命题，求实数a 的取值范围：
(2)若p ､q 中有且只有一个为真命题，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)22a -≤≤ (2)20a -≤<或2a >
【分析】（1）将题目转化为210x ax -+≥在x ∈R 恒成立，利用二次函数图像得到其0∆≤解出即可. （2）首先求出p 为真即0a ≥，结合（1）然后分p 真q 假和p 假q 真，两种讨论即可. 【详解】（1）若q 为真命题，即21x ax +≥对x ∈R 恒成立；
整理得210x ax -+≥在x ∈R 恒成立，则240a ∆=-≤，解得22a -≤≤， 即若q 为真命题a 的范围是22a -≤≤；
（2）若命题p 为真，根据二次函数单调性与对称轴关系则0a ≥， 由已知命题p ､q 中有且只有一个为真，则
①p 真q 假，所以0
22a a a ≥⎧⎨><-⎩或，解得2a >.
②p 假q 真，所以0
22a a <⎧⎨-≤≤⎩，解得20a -≤<.
故a 的取值范围为：20a -≤<或2a >. 19．已知函数2()4f x x ax =-，x R ∈，a R ∈. （1）若()f x b <的解集为()1,3，求a ，b 的值； （2）解关于x 的不等式2()5f x a <.
【答案】（1）1
3a b =⎧⎨=-⎩
；（2）当0a >时，解集为(),5a a -；当0a =时，解集为∅；当a<0时，解集为
()5,a a -.
【解析】（1）利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系可知240x ax b --=的两根分别是
1和3，将1和3代入得到关于a ，b 的方程组求解；
（2）不等式2()5f x a <可化为()()50x a x a -+<，则()()50x a x a -+=的两根分别为a -和5a ，然后针对a -和5a 的大小关系进行分类讨论，根据口诀“开口向上，大于取两边，小于取中间”写出原不等式的解集.
【详解】解：（1）依题意有240x ax b --<的解集为()1,3， 故方程240x ax b --=的两根为1和3，
故1341
133a a b b +==⎧⎧⇒⎨
⎨⨯=-=-⎩⎩
. （2）由2()5f x a <，得22450x ax a --<， 又22450x ax a x a --=⇒=-或5a ，
①当0a >时，有5a a -<，则22450x ax a --<时，5a x a -<<； ②当0a =时，原不等式可化为20x <，则x ∈∅；
③当a<0时，有5a a <-，则不等式22450x ax a --<时，5a x a <<-；
综上所述，当0a >时，解集为(),5a a -；当0a =时，解集为∅；当a<0时，解集为()5,a a -. 【点睛】解含参数的一元二次不等式时，要注意针对参数的取值进行讨论，一般方法如下： （1）若二次项系数含有参数，要分二次项系数0a >，0a =和a<0三种情况讨论；
（2）当二次项系数不为零时，首先要注意先讨论0∆>，0∆=及∆<0三种情况讨论；当二次方程有两根时，一定要注意根的大小讨论． 20．
(1)
1
1
32081(e)274π-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
； (2)
化简1142a b ⎛⎫ ⎪
⎝⎭ 【答案】(1)2 (2)8
1
33a b
【分析】运用指数运算规则即可.
【详解】（1
()113208152πe 12227433
-⎛⎫⎛⎫-++=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）原式()112108
3228
13323333331127411333342213
a b ab a b a b a b a b b b a b a b ab a a ⋅⋅====⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 综上，（1）原式=2，（2）原式=8133a b .
21．已知0x >，0y >，且141x y
+=． （1）求x y +的最小值；
（2）若26xy m m >+恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）9；（2）(－8，2)．
【解析】（1）1
44()()5y x x y x y x y x y
+=++=++，利用基本不等式性质即可求得最小值． （2）利用基本不等式求出xy 的最小值，代入26xy m m >+求出m 的范围即可．
【详解】解：（1）因为0x >，0y >， 所以1444()()5529x y x y x y x y x y y x y x +=++=+
++=， 当且仅当4x y y x =，即3x =，6y =时取等号， 所以x y +的最小值为9．
（2）因为0x >，0y >， 所以14144
12x y x y xy
=+=， 所以16xy ．
因为26xy m m >+恒成立，
所以2166m m >+，
解得82m -<<，
所以m 的取值范围为(8,2)-．
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值问题，属于基础题． 22．已知函数2()1mx n f x x +=
+是定义域为(1,1)-上的奇函数，且1(1)2f =. (1)求m ，n 的值；
(2)判断函数()f x 的单调性并利用定义证明；
(3)解不等式(21)()0f x f x -+<.
【答案】(1)1,0==m n
(2)函数2()1
x f x x =
+，在区间(1,1)-上为增函数，证明见解析 (3)10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】（1）根据函数()f x 是定义域为(1,1)-上的奇函数可得()00f =，以及1(1)2
f =， 列出方程即可求得,m n
（2）利用定义法证明函数的单调性即可.
（3）由（1）（2）中函数的奇偶性以及单调性，列出不等式求解，即可得到结果.
【详解】（1）根据题意，函数2()1mx n f x x +=+是定义域为(1,1)-上的奇函数，且1(1)2f = 可得0(0)0011(1)112m n f m n f ⋅+⎧==⎪⎪+⎨+⎪==⎪+⎩
，解得1,0==m n ，所以函数2()1x f x x =+， 经检验，符合题意.
（2）函数2()1
x f x x =+，在区间(1,1)-上为增函数， 证明：设12,,(11)x x ∀∈-且1211x x -<<<，
则()()()()()()
211212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， 又由1211x x -<<<，则()()21120,10x x x x ->-<，则有()()120f x f x -<， 所以函数2
()1x f x x =+，在区间(1,1)-上为增函数. （3）由()f x 为(1,1)-上的增函数且是奇函数，
则(21)()0f x f x -+<等价于(21)()f x f x -<-，即(21)()f x f x -<-，
则21121111x x x x -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩，解得103x <<，故不等式的解集为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.。