学案4：1.4.3 含有一个量词的命题的否定

1.4.3 含有一个量词的命题的否定
自主预习·探新知
情景引入
数学命题中出现“全部”“所有”“一切”与“存在着”“有”“有些”的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词，由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与特称命题．而他们的否定形式是我们困惑的症结所在．
新知导学
1．命题的否定
(1)全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )，它的否定¬p ：__________，全称命题的否定是_________命题．
(2)特称命题p ：∃x 0∈M ，p (x 0)，它的否定¬p ：_________，特称命题的否定是______命题．
2．常见的命题的否定形式有：
1．已知命题p ：∀x ＞0，lg x ＞0 ，则¬p 是( )
A ．∀x ＞0，lg x ≤0
B ．∃x 0＞0，lg x 0＜0
C ．∀x ＞0，lg x ＜0
D ．∃x 0＞0，lg x 0≤0
2．命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 20≤x 0－2，则¬p 是( )
A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 20>x 0－2
B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2≤x －2
C ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 20≥x 0－2
D ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2>x －2
3．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14
≤0，则¬p 为( ) A ．∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14
＞0 B ．∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14
＜0 C ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14
≤0 D ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14
＞0
4．“∀x>0,2x>sin x”的否定是()
A．∀x>0,2x<sin x
B．∀x>0,2x≤sin x
C．∃x0≤0,2x0≤sin x0
D．∃x0>0,2x0≤sin x0
5．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为___________________.
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向全称命题、特称命题的否定
典例1写出下列命题的否定．
(1)p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)p：有的三角形是等边三角形；
(3)p：所有能被3整除的整数是奇数；
(4)p：每一个四边形的四个顶点共圆．
规律总结一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
跟踪练习1
写出下列全称命题和特称命题的否定．
(1)每个二次函数的图象都开口向下；
(2)某些平行四边形是菱形．
典例2写出下列命题的否定．
(1)可以被5整除的数，末位是0；
(2)能被3整除的数，也能被4整除．
规律总结由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“∀x∈M，p(x)”的形式，然后再把它的否定写成“∃x0∈M，¬p(x0)”的形式．要学会挖掘命题中的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．
跟踪练习2
写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：每一个素数都是奇数；
(2)p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行．
学科核心素养利用全称命题与特称命题求参数的取值范围
应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型：
1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．
2．特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
典例3若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是() A．(－∞，2]B．[2，＋∞)
C．(－2，＋∞)D．(－2,2)
规律总结 (1)利用全称命题、特称命题求参数的取值范围或值是一类综合性较强、难度较大的问题．主要考查两种命题的定义及其否定.
(2)全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”(这类似于“代入”思想)．
跟踪练习3
若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a ＝0，则实数a 的取值范围是________.
易混易错警示
典例4 已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，
则实数m 的取值范围是_________.
[错解] 因为x 1∈[－1,3]，所以f (x 1)∈[0,9]，
又因为对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，
使得f (x 1)≥g (x 2)，即∃x 2∈[0,2]，
g (x 2)≤0，即⎝⎛⎭⎫12x 2－m ≤0，
所以m ≥⎝⎛⎭⎫12x 2，x 2∈[0,2]，
所以m ≥⎝⎛⎭⎫120，即m ≥1.
参考答案
自主预习·探新知
新知导学
1．(1)∃x 0∈M ，¬p (x 0) 特称
(2) ∀x ∈M ，¬p (x ) 全称
2．不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在x ∈A 使p (x )假 预习自测
1．【答案】D
【解析】∵命题p ：∀x ＞0，总有lg x ＞0，
∴命题¬p 为：∃x 0＞0，使得lg x 0≤0，故选D ．
2．【答案】D
【解析】命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 20≤x 0－2，故¬p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 2>x －2.
3．【答案】D
【解析】因为：命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14
≤0， 所以：∀x ∈R ，x 2－x ＋14
＞0，故选D ． 4．【答案】D
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，故“∀x >0,2x >sin x ”的否定是“∃x 0>0,2x 0≤sin x 0”，故选D ．
5．【答案】过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内
【解析】原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向 全称命题、特称命题的否定
典例1 解：(1)¬p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0.
(2)¬p ：所有的三角形都不是等边三角形．
(3)¬p ：存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(4)¬p ：存在一个四边形的四个顶点不共圆．
跟踪练习1
解：(1)命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”． 典例2 解：(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0.
(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除． 跟踪练习2
解：(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，¬p ：存在一个素数不是奇数，是真命题．
(2)省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”，¬p ：存在两
条与同一平面所成的角相等的直线不平行，是真命题．
典例3 【答案】B
【解析】ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，即不等式ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1对∀x ∈R 恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋(a －1)≥0恒成立．
当a ＋2＝0时，不符合题意．
故有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2>0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋2>0，16－4(a ＋2)(a －1)≤0， 解得a ≥2.
跟踪练习3
【答案】－1≤a ≤1
【解析】当a ＝0时，x 0＝0满足题意．
当a ≠0时，由题意知方程ax 2＋2x ＋a ＝0有实数根，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ≠0Δ＝4－4a 2≥0，∴－1≤a <0或0<a ≤1. 综上可知－1≤a ≤1.
易混易错警示
典例4 【答案】⎣⎡⎭⎫14，＋∞_
[辨析] 错误的根本原因是恒成立问题等价转化中产生错误，实际上∃x 2∈[0,2]，m ≥⎝⎛⎭⎫12x 2，
只需m 大于或等于⎝⎛⎭⎫12x 2在[0,2]上的最小值即可．
[正解] 因为x 1∈[－1,3]，所以f (x 1)∈[0,9]，又因为对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，
即∃x 2∈[0,2]，g (x 2)≤0，即⎝⎛⎭⎫12x 2－m ≤0，所以m ≥⎝⎛⎭⎫12x 2，m ≥⎝⎛⎭⎫122，即m ≥14
.。