高考数学一轮复习 第5章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和创新教学案(含解析)新人教版-新人教版高

第2讲 等差数列及其前n 项和
[考纲解读] 1.理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系．(重点) 2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．(重点、难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2021年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n 项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n 项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大，属中档题型.
1.等差数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从01 第2项起，每一项与它前一项的02 差都等于03 同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的04 公差，通常用字母d 表示．数学语言表示为05 a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数．
(2)等差中项：假设a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 和b 的等差中项，且A ＝06 a ＋b
2.
2．等差数列的通项公式与前n 项和公式
(1)假设等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，那么其通项公式为a n ＝01 a 1＋(n －1)d ，可推广为a n ＝a m ＋02 (n －m )d (n ，m ∈N *)．
(2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝03 na 1＋n (n －1)2d (其中n ∈N *)． 3．等差数列的相关性质
{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．
(1)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，01 a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈
N *)．
特别地，假设m ＋n ＝2p ，那么02 2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．
(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为03 md (k ，m ∈N *)．
(3)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为04 n 2d .
(4)⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差为05 12d .
4．等差数列与函数的关系 (1)等差数列与一次函数的关系
a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．
(2)等差数列前n 项和公式可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫a 1－d 2n .当d ≠0时，它是关于n
的二次函数，数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．
5．等差数列的前n 项和的最值
在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，那么S n 存在最01 大值；假设a 1<0，d >0，那么S n 存在最02 小值．
1．概念辨析
(1)数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，那么数列{a n }一定是等差数列．()
(2)等差数列{a n }的增减性是由公差d 决定的．()
(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．()
(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.() 答案(1)√(2)√(3)×(4)√ 2．小题热身
(1)假设{a n }是等差数列，那么以下数列中，也成等差数列的是()
A ．{a 2
n }
B.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n C ．{3a n } D ．{|a n |}
答案C
解析记等差数列－3，－1,1,3
为{a n }，那么易知{a 2
n }，⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1a n ，{|a n |}不是等差数列，排除A ，B ，D ；对于C ，因为3a n ＋1－3a n ＝3(a n ＋1－a n )＝3d 为常数，所以{3a n }也成等差数列．
(2)在等差数列{a n }中，a 2＝2，前7项和S 7＝56，那么公差d ＝() A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3
答案B
解析由题意可得⎩⎨⎧
a 1＋d ＝2，
7a 1＋7×6
2d ＝56，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋d ＝2，
a 1＋3d ＝8，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－1，
d ＝3.
(3)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3(n ∈N *)，那么数列{a n }的通项公式为________．
答案a n ＝3n －1
解析因为a n ＋1－a n ＝3，n ∈N *，所以数列{a n }是公差为3的等差数列，又因为a 1＝2，所以a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1.
(4)在等差数列{a n }中，假设a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，那么a 2＋a 8＝________. 答案180
解析由等差数列的性质可得
a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5，
又因为a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，
所以5a 5＝450，a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝180.
题型 一等差数列基本量的运算
1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．S 4＝0，a 5＝5，那么() A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝1
2n 2－2n
答案A
解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)
2×2＝n 2－4n .应选A.
2．(2020·碑林区期末)设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，那么它的首项a 1＝________.
答案2
解析由题可知3a 2＝12，① (a 2－d )a 2(a 2＋d )＝48，② 将①代入②得(4－d )(4＋d )＝12， 解得d ＝2或d ＝－2(舍去)，
所以a 1＝a 2－d ＝4－2＝2.
3．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．S 9＝－a 5. (1)假设a 3＝4，求{a n }的通项公式；
(2)假设a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值X 围． 解(1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0. 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.
因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .
(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n (n －9)d 2
.
由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值X 围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．
1．等差数列基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，表达了用方程组解决问题的思想．
(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示量和未知量是常用方法．如举例说明1.
2．等差数列设项技巧
假设奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；假设偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再
依据等差数列的定义进行对称设元(注意此时数列的公差为2d )．见举例说明2.
1．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．假设a 1≠0，a 2＝3a 1，那么S 10
S 5
＝________.
答案4
解析由a 1≠0，a 2＝3a 1，可得d ＝2a 1， 所以S 10＝10a 1＋10×9
2d ＝100a 1， S 5＝5a 1＋5×42d ＝25a 1，所以S 10
S 5
＝4.
2．在公差为d 的等差数列{a n }中，a 1＝10，且5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2. (1)求d ，a n ；
(2)假设d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.
解(1)由题意，得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0，故d ＝－1或d ＝4，所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.
(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为d <0， 由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，
那么当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ， 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－21
2n ＋110. 综上所述，
|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧
－12n 2＋212n ，n ≤11，
12n 2－21
2n ＋110，n ≥12.
题型 二等差数列的判定与证明
(2019·某某适应性考试)数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；
(2)证明数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．
解(1)由，得a 2－2a 1＝4，
那么a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15. (2)由na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ， 得na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a n n
＝2，
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为d ＝2的等差数列．那么a n
n ＝1＋2(n －1)
＝2n －1，
所以a n ＝2n 2－n .
条件探究1本例中，假设将条件改为“a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)〞．
(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式．
解(1)证明：由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)， 整理得1a n －1
a n －1
＝3(n ≥2)，
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是以
1为首项，3为公差的等差数列．
(2)由(1)得1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝1
3n －2
.
条件探究2将本例中的条件改为“a 1＝35，a n ＝2－1
a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{
b n }
满足b n ＝1
a n －1
(n ∈N *)〞．
求证：数列{b n }是等差数列．
证明因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1
a n －1
(n ∈N *)，
所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1a n －1＝a n a n －1－1
a n －1＝1.
又b 1＝1a 1－1
＝－5
2.
所以数列{b n }是以－5
2为首项，1为公差的等差数列．
判定数列{a n }是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一个常数．见举例说明． (2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1. (3)通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数．
(4)前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0. 提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．
1．正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *
，n ≥2)，那么a 7＝
________.
答案19
解析由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 2
2－
a 21＝3，首项a 21＝1，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，
∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19.
2．(2019·某某模拟)S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝2，S 3＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ；
(2)是否存在正整数n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列？假设存在，求出n ；假设不存在，请说明理由．
解(1)设数列{a n }的公差为d ，
那么⎩⎨⎧
2a 1＋d ＝2，
3a 1＋3×2
2d ＝－6，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝4，d ＝－6，
∴a n ＝4－6(n －1)＝10－6n ， S n ＝na 1＋n (n －1)
2d ＝7n －3n 2.
(2)由(1)知S n ＋S n ＋3＝7n －3n 2＋7(n ＋3)－3(n ＋3)2＝－6n 2－4n －6， 2(S n ＋2＋2n )＝2(－3n 2－5n ＋2＋2n )＝－6n 2－6n ＋4， 假设存在正整数n 使得S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列， 那么－6n 2－4n －6＝－6n 2－6n ＋4，解得n ＝5， ∴存在n ＝5，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列．
题型 三等差数列的性质
角度1等差数列通项性质的应用
1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 2＝10，那么S 15＝() A ．20 B ．75 C ．300 D ．150
答案D
解析解法一：设数列{a n }的公差为d ，由2a 5－a 2＝10，得2(a 1＋4d )－(a 1＋d )＝10，整理得a 1＋7d ＝10，S 15＝15a 1＋15×14
2d ＝15(a 1＋7d )＝15×10＝150.应选
D.
解法二：由题意知，a 2＋a 8＝2a 5，所以2a 5－a 2＝a 8＝10，S 15＝15(a 1＋a 15)
2＝
15×2a 8
2＝150.应选D.
2．设公差为－3的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 2019＝2019，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 2019＝()
A ．－673
B ．－1346
C ．673
D ．1346
答案B
解析解法一：设等差数列{a n }的首项为a 1，那么S 2019＝2019a 1＋1
2×2019×2018×(－3)＝2019，解得a 1＝3028，所以a 3＝3022，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 2019＝3022×673＋1
2×673×672×(－9)＝－1346.应选B.
解法二：S 2019＝(a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 2017)＋(a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 2018)＋(a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 2019)＝(a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 2019)－673×(－6)＋(a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 2019)－673×(－3)＋(a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 2019)＝3(a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 2019)－673×(－9)＝2019，解得a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 2019＝－1346.应选B.
角度2等差数列前n 项和性质的应用
3．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，假设a 1＝－2014，S 20142014－S 2008
2008＝6，那么S 2020＝________.
答案10100
解析由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 也为等差数列．
设其公差为d ，那么S 20142014－S 2008
2008＝6d ＝6， ∴d ＝1.
故S 20202020＝S 1
1＋2019d ＝－2014＋2019＝5， ∴S 2020＝5×2020＝10100.
4．(2019·某某模拟)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d .
解设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由条件，得
⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧
S 偶＝192，S 奇＝162. 又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626
＝5.
应用等差数列的性质解题的三个注意点
(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，那么a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，假设出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将条件转化为与a m (或其他
项)有关的条件；假设求a m 项，可由a m ＝1
2(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m
＋n ＋a m －n 的值．
(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m
，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)
2(n ，m ∈N *
)等．
(3)当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)．如举例说明4.
1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 3＝9，S 6＝36，那么a 7＋a 8＋a 9等于()
A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
答案B
解析由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列．即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，应选B.
2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n >6)，那么数列{a n }的项数为________．
答案18
解析由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②
①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，
又S n ＝n (a 1＋a n )
2
＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18.
题型 四等差数列前n 项和的最值问题
1．(2019·某某八校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 6>S 7>S 5，那么满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为()
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
答案C
解析由S 6>S 7>S 5，得S 7＝S 6＋a 7<S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7>S 5，所以a 7<0，a 6＋a 7>0，所以{a n }为递减数列，又S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，
所以S 12S 13<0，即满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为12，应选C.
2．(2019·高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 2＝－3，S 5＝－10，那么a 5＝________，S n 的最小值为________．
答案0－10
解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 5＝52(a 1＋a 5)＝5
2×2a 3＝－10，得a 3＝－2，∴d ＝a 3－a 2＝－2－(－3)＝1，∴a 1＝－3－1＝－4，∴a 5＝a 1＋4d ＝－4＋4＝0.
解法一：∵a 1＝－4，d ＝1，∴S n ＝－4n ＋n (n －1)2×1＝12(n 2－9n )＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫n －922－818.
∵n ∈N *，∴当n ＝4或5时，S n 取最小值，为S 4＝S 5＝－10.
解法二：∵a 1＝－4，d ＝1，∴a n ＝－4＋(n －1)×1＝n －5.由a n ≤0得n ≤5，且
n ＝5时，a 5＝0，故当n ＝4或5时，S n 取最小值，为S 4＝S 5＝5×(－4＋0)
2
＝－10.
求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法
(1)函数法：等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2
＋bn ＝a ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫n ＋b 2a 2－b 24a ，求
“二次函数〞最值．如举例说明2解法一．
(2)邻项变号法
①当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，
a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；
②当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧
a m ≤0，
a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .如举
例说明2解法二．
(2020·华中师X 大学附中模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝3·2n (n ∈N ＋)，数列{b n }为等差数列，其前n 项和为T n ，假设b 2＝a 5，b 10＝S 3，那么T n 取最大值时n ＝________.
答案17或18
解析由得b 2＝a 5＝S 5－S 4＝3×25－3×24＝48， b 10＝S 3＝3×23＝24. 设等差数列{b n }的公差为d ， 那么8d ＝b 10－b 2＝－24，d ＝－3，
所以b n ＝b 2＋(n －2)d ＝48－3(n －2)＝54－3n ，
所以当1≤n ≤18时，b n ≥0， 当n ≥19时，b n <0， 所以T n 取最值时n ＝17或18.
组基础关
1．(2019·某某模拟)等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，a 2＋a 3＝10，S 6＝54，那么该数列的公差d 为()
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
答案C
解析根据题意，等差数列{a n }中，设其公差为d ，假设a 2＋a 3＝10，S 6＝54，那么有a 2＋a 3＝(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＝10，S 6＝6a 1＋15d ＝54，解得d ＝4，a 1＝－1，应选C.
2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 7＝49，那么a 2，a 6的等差中项是() A.492 B ．7 C ．±7 D.7
2
答案B
解析由，得S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝49，所以a 4＝7.所以a 2，a 6的等差中项为a 2＋a 62
＝a 4＝7.
3．(2019·湘赣十四校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 5＝5S 2＋a 4，a 1＝1，那么a 6＝()
A ．16
B ．13
C ．－9
D ．37
答案A
解析设等差数列{a n }的公差为d .由S 5＝5S 2＋a 4，得5a 1＋5×(5－1)
2d ＝5(2a 1＋
d )＋(a 1＋3d )．将a 1＝1代入上式，得d ＝3.故a 6＝a 1＋5d ＝1＋15＝16.
4．中国古诗词中，有一道“八子分绵〞的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言〞．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()
A ．174斤
B ．184斤
C ．191斤
D ．201斤
答案B
解析由题意可知，数列为等差数列，公差为d ＝17，n ＝8，S 8＝996，以第一个儿子分到的绵数a 1为首项，所以8a 1＋8×(8－1)
2×17＝996，解得a 1＝65，所以
第8个儿子分到的绵数a 8＝a 1＋(n －1)·d ＝65＋7×17＝184.应选B.
5．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n }的第37项为()
A ．0
B ．37
C ．100
D ．－37
答案C
解析设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，那么(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，所以数列{a n ＋b n }仍然是等差数列，公差为d 1＋d 2.又d 1＋d 2＝(a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝100－(25＋75)＝0，所以数列{a n ＋b n }为常数
列，所以a 37＋b 37＝a 1＋b 1＝100.
6．等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，假设S n T n ＝3n －22n ＋1，那么a 7
b 7等
于()
A.37
27 B.19
14 C.3929 D.43
答案A
解析由题意得，a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝13(a 1＋a 13)
213(b 1＋b 13)2
＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1
＝37
27.
7．(2019·某某模拟)等差数列{a n }的公差d <0，前n 项和为S n ，假设S 5＝10a 6，那么当S n 最大时，n ＝()
A ．8
B ．9
C ．7或8
D ．8或9
答案D
解析解法一：由S 5＝10a 6，可得5×(a 1＋a 1＋4d )2＝10(a 1＋5d )，解得a 1＝－8d ，
所以S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛
⎭⎪⎫n －1722－2894.因为d <0，所以当n ＝8或9时，S n 最大．应选D.
解法二：因为S 5＝5×(a 1＋a 5)2＝5×2a 3
2＝5a 3，所以5a 3＝10a 6，所以5(a 1＋2d )
＝10(a 1＋5d )，化简可得a 1＋8d ＝0，即a 9＝0.因为d <0，所以当n ＝8或9时，S n 最大．应选D.
8．(2019·某某模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝
2019，那么m ＝________.
答案1010
解析设等差数列{a n }的公差为d ，那么S 3＝3a 2＝3(a 1＋d )．又S 3＝a 5，那么3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2.所以a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2m －1＝2019，解得m ＝1010.
9．在等差数列{a n }中，公差d ＝1
2，前100项的和S 100＝45，那么a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.
答案10
解析因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝9
10，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，那么a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10.
10．(2020·揭阳摸底)数列{a n }满足a 1＝－19，a n ＋1＝a n
8a n ＋1(n ∈N *)，那么a n ＝
________，数列{a n }中最大项的值为________．
答案
18n －171
7
解析由题意知a n ≠0，那么由a n ＋1＝a n
8a n ＋1，得1
a n ＋1＝8a n ＋1a n ＝1
a n ＋8，整理得
1
a n ＋1
－1a n
＝8，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为8的等差数列，故1a n ＝1
a 1
＋(n －1)×8＝8n －17，
所以a n ＝1
8n －17.当n ＝1,2时，a n <0；当n ≥3时，a n >0，且数列{a n }在n ≥3时是
递减数列，故{a n }中最大项的值为a 3＝1
7.
组能力关
1．(2019·某某省实验中学模拟)数列{a n }满足3an ＋1＝9·3an (n ∈N *)，且a 2＋
a 4＋a 6＝9，那么log 1
3(a 5＋a 7＋a 9)＝()
A ．－13
B ．3
C ．－3 D.1
3
答案C
解析由3an ＋1＝9·3an (n ∈N *)，得3an ＋1＝3an ＋2，所以a n ＋1＝a n ＋2，所以数列{a n }是等差数列，公差为2.又a 2＋a 4＋a 6＝3a 1＋9d ＝9，所以a 1＝－3.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(3a 1＋18d )＝log 1
327＝－3.应选C.
2．(2019·某某二模)数列{a n }，{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1，b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1，b 1∈N *.设＝abn ，那么数列{}的前100项和等于()
A ．4950
B ．5250
C ．5350
D ．10300 答案C
解析由题意可知，＝abn ＝a 1＋(b n －1)×1＝a 1＋[b 1＋(n －1)×1－1]×1＝a 1＋b 1＋n －1－1＝n ＋3，所以数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列，其前100项和为S 100＝1
2×100×(4＋100＋3)＝5350.应选C.
3．(2019·某某三模)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，假设数列{S n ＋n }也是公差为d 的等差数列，那么a n ＝________.
答案－1或12n －54
解析由题意得，S n ＝na 1＋d
2n (n －1) ＝d 2n 2＋⎝ ⎛
⎭
⎪⎫a 1－d 2n .
S n ＋n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫a 1－d 2＋1n .
因为数列{S n ＋n }也是公差为d 的等差数列． 所以设
S n ＋n ＝dn ＋B .
于是d 2n 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 1－d 2＋1n ＝(dn ＋B )2(n ∈N *)．
因此⎩⎪⎨⎪⎧ d 2
＝d 2，B 2＝0，
a 1
－d 2＋1＝2dB ，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧ d ＝0，B ＝0，
a 1＝－1
或⎩⎪⎨⎪
⎧
d ＝12，
B ＝0，
a 1
＝－34，
所以a n ＝－1或a n ＝12n －5
4.
4．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．
解(1)设{a n }的公差为d ，由题意，得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7，得d ＝2.
所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)，得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.
所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.
5．数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *)． (1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式． 解(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3，
又a 1＝1，∴a 2＝12.
2a n a n ＋1＝4S n －3，①
2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②
②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. ∵a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝2.
(2)由(1)可知：
数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1， ∴a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1， 那么当n 为奇数时，a n ＝n .
数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，
∴a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，
那么当n 为偶数时，a n ＝n －32.
综上所述，a n ＝⎩⎨⎧ n ，n 为奇数，
n －32，n 为偶数.
6．数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)．
(1)假设数列{a n }是等差数列，求a 1的值；
(2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n . 解(1)解法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a 1＋nd ＋a 1＋(n －1)d ＝4n －3，
∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，
即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12.
解法二：在等差数列{a n }中， 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1， ∴2d ＝a n ＋2－a n ＝4n ＋1－(4n －3)＝4，∴d ＝2.
又a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝1，∴a 1＝－12.
(2)由题意知，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n
＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )
＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12
＝2n 2－3n ＋52
. ②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )
＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n 2.
综上，S n ＝⎩⎨⎧
2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n 2，n 为偶数.。