2022年湘教版数学九下《三角形的内切圆》立体课件(公开课版)

O
∵⊙O是△ABC的内切圆
B
C
∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线
即∠ OBC=
1 2
∠ABC
∠OCB=
1 2
∠ACB
∴∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠OCB) =180°- 1 ( ∠ABC +∠ACB)
2
=180° - 1 ×110°
2
= 125°.
B
A O
C
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切
A
O
∟
BＥ
C
到一个角的两边距离相等的点一
定在这个角的平分线上，因此圆 心O是∠A 的___平__分__线___与∠B
的___平__分__线____的_交__点.
A
O
∟
BＥ
C
做一做 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆.
A
N
O
B
D
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM
和CN，交点为O.
M
四.教材分析: 1、学生通过自学能初步掌握用度量法和 叠合法来比较线段长度的大小。（拟设计2个善于自学 题引导自学，3个勤于巩固练习题）。 2、学生自学不能准确掌握的作一条线段等于已知线段。
“两点之间线段最短”学生不难理解，重要的是应用。
（拟设计2个合作交流，4个勤于巩固题。） 3、拟设计1个拓展提升的题目进行培优训练。
简单地说，
两点之间线段最短。
走进生活
你能举出利用“两点之间线段最短”的例子吗？
勤于巩固2
村庄A
两点之间线段最短
大桥P
河流
村庄B
如图，村庄A, B之间有一条河流，要在河 流上建造一座大桥P, 为了使村庄A, B之间 的距离最短，请问：这座大桥P应建造在 哪里。为什么？请画出图形。
问题征答
下列说法正确的是( D )
r＝
a＋b－c 2
A
F D O·
CE
B
知识拓展
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC
的内切圆的半径
r＝
a＋b－c 2
或r＝
ab a＋b＋c
(后面习题
中证明).
1、判断对错
(1)三角形的内心是三角形三边中垂线的交点（ 错） (2)三角形的内心是三角形三个角平分线的交点（ 对） (3)三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ 错） (4) 三角形的内心到三角形各边的距离相等 （ 对） (5)三角形的内心一定在三角形的内部（对 ） (6)三角形的内心与一顶点的连线平分该顶点处的内角
线段AB就是所求的线段a.
2、掌握线段的基本事实
关
注
生
A
活
B
D
C
小明和小聪各在两个学校,圣诞节快到了,他们想交换礼物。 于是他们决定利用今天中午休息时间见面,但两个学校之间 有四条路可走，你说他们该选择在哪条路上能较快见面?
甲
小明
乙
小聪
丙Hale Waihona Puke 丁实践出真知AB
在所有连结两点的
线中，线段最短。
线段的性质：
A.过A、B两点的直线长是A、B两点间的距离
B.线段AB就是A、B两点间的距离
C.乘火车从杭州到上海要走210千米，这就是 说杭州站与上海站间的距离为210千米
D.连结A、B两点的所有线中，其中最短的线 的长度就是A、B两点间的距离
喜于收获： 这节课你学会了什么？ 1.线段的长短比较的方法。 2.两点之间的距离：两点之间线段的长度。 3.线段的基本性质：两点之间线段最短。
E O
(13-x)+(9-x)=14， 解得 x=4.
C
D
B
∴ AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等 线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
例3 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,
AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内
线段、射线、直线中_线__段_可以 度量长度，所以只有_线__段_才可 以比较长短。
善于自学：自学P147思考下列问题：
1、线段大小就是指线段的
。
2.任意画两条线段AB, CD.怎样比较两条线段的长短？
A
B
C
D
方法一：使用直尺
线段AB= cm，线段CD= cm，所以AB CD
方法二：使用圆规
将线段 移到线段 上进行比较，将点A与点 重合，若点 B在点C、点D之间则AB CD；若点B与点D重合则AB CD；若点B在CD延长线上则AB CD；
则△ABC的内切圆的半径r＝
2s a＋b＋c
;
当△ABC为直角三角形，a,b为直角边时,
r=
ab a＋b＋c
.
5.如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于 点F，且与△ABC的外接圆相交于点D.
(1)求证：BD＝ED；
(1)证明：∵E是△ABC的内心， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD. 又∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CBD. ∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD. 即∠DBE＝∠DEB， 故BD＝ED；
r
a
2S b
c
；
r
a
b 2
c
只适合于直角三角形
一.教学目标：
1.理解线段长度的大小的意义，会用度量法和叠合法比较线段的 长短。
2.掌握“两点之间线段最短”的基本事实 。
3.会用直尺和圆规作一条线段等于已知的线段 。
二.教学重点：本节教学的重点是线段的长度的大小的概念及其 比较方法。
三.教学难点：叠合法这种比较线段长短的方法与线段的长度的 大小意义有一定的距离，学生不容易想到，是本节教学的难点。
A 方案一
√A
方案二
B
C
B
C
A
A
方案三
方案四
B
C
B
C
一 三角形的内切圆
合作探究
猜想：方案二中的这个圆应当与三角形的三条边都 相___切_____.
A 方案二
O
∟
B
C
画一个圆关键是定圆心和半 径，如何画一个圆与三角形
的三条边都相切？
如果这个圆与△ABC的三条边都相 切，那么圆心O到三条边的距离都 等于__半__径__，从而这些距离相等.
内心： 三角形 内切圆 的圆心
三角形三 条角平分 线的交点
B
A
1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别
平分∠BAC、∠ABC、
O ∠ACB
C 3.内心在三角形内部．
典例精析
例1 △ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠ A=70°，
求∠ BOC的度数。 A
解：∵∠ A=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠ A=110°
探究：
如图，立方体纸盒P处粘有一粒
P
糖，A处有一只蚂蚁沿着纸
盒表面爬向糖粒。你能帮助
蚂蚁找到一条最短的路线吗？
请在图上画出这条最短路线， A 并说明理由。
P
线段的基本性质：
两点之间线段最短
A
1. 作业本（2）
切圆的半径 r.
A
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切
于D、E、F，连接OD、OE、OF，则 OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.
D
F O·
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
CE
B
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
则有
x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c
解得
A
B
C
D
如图：点B在
，所以AB CD。
（1）预习反馈
如何比较两个人的身高? 从中你得到什么启发来比较 两条线段的长短?
观 察 法
线段的比较：
第一种方法是：度量法， 即用一把尺量出两条线段的长度， 再进行比较。
3.1cm
4.1cm
00
11
22
33
44
55
66
77
88
第二种方法是：叠合法 先把两条线段的一端重合，另一端 落在同侧，根据另一端落下的位置 来比较长短.
∴DE＝4cm.
拓展提升： 6.直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问： (1)它的外接圆半径是 5 cm;内切圆半径是 1 cm？ (2)若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都 相切，求☉O的半径r的取值范围.
A
F D O·
CE
B
解：设BC=3cm，由题意可知与BC、AC相切的最大
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
4.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点. A
三角形的内 心到三角形
外切三 角形
内切圆
的三边的距
Ｏ
离相等.
内心
B
C
填一填
名称 确定方法
外心： 三角形 三角形三 外接圆 边中垂线 的圆心 的交点 B
图形 A
O
性质 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在 三角形的内部．
C
3、练习：见课本P148的做一做部分T2
A B
善于合作
1、已知线段a，用直尺和圆规画一条线段AB， 使它等于已知线段a。
a
１、 已知线段a（如图所示），用直尺和
圆规画出一条线段，使它等于已知线段a．
画法：
a
1. 任意画一条射线AC.
2. 用圆规量取已知线段a
的长度．
AaB
C
3. 在射线AC上截取AB=a.
第2章 圆 2.5.4 三角形的内切圆
学习目标
1.了解有关三角形的内切圆和三角形内心的概念； (重点) 2.能运用三角形内切圆、内心的知识进行有关的计 算．(难点)
情境引入
如图是一块三角形木料，木工师
傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才 能使裁下的圆的面积尽可能大呢？下 面有四种方案，请选择最佳方案.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作
圆O. C ☉O就是所求的圆.
观察与思考
与△ABC的三条边都相切的圆有几个？
因为∠B和∠C的平分线的交点只有一个,并且交 点O到△ABC三边的距离相等且唯一，所以与 △ABC三边都相切的圆有且只有一个.
A
O
B
C
D
知识要点 1.与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm
，求AF、BD、CE的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
A
解:设AF=xcm，则AE=xcm.
F
∴CE=CD=AC-AE=(9-x)cm，
E
O
BF=BD=AB-AF=(13-x)cm.
C
D
B
A
F
由 BD+CD=BC，可得
圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四
边形BODC为正方形.
∴OB＝BC＝3cm，
A
∴半径r的取值范围为0＜r≤3cm.
D
·O
C
B
三角 形内 切圆
有关 概念
内切圆 内心(三角形三条角平分线的交点) 外切三角形
应 用 运用切线长定理，将相等线段转化 集中到某条边上，从而建立方程.
重要 结论
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F， 连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC
＝1 2
AB·OD＋
1 2
BC·OE＋
1 2
AC·OF
＝
1 2
l·r
B
A
D F
O·
E
C
知识拓展
设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，
(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的长．
(2)解：∵AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3，
∴DF＝ 1 AD＝ 1 ×8＝2(cm)．
4
4
∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，
∴△BDF∽△ADB，∴ BD D F ,
AD BD
∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，
∴BD＝4cm，
又∵BD＝DE，
C
D
E
F
M
N
①A
B AB＞CD
②A
B AB=EF
③A
B AB＜MN
勤于巩固1：
1、线段比较的方法有两种分别是：
（1）
（2）
。
2、如图，(1)请用刻度尺量出它们的长度。 AB= cm；AC= cm ；BC= cm
（2）从数值上看，它们的关系如何，用“=”、“>”或“<”
填空
AB AC;AC BC;BC AB
• 教学流程设计：
复习旧知---善于自学----勤于巩固1----乐 于合作-----勤于巩固2- ----喜于收获---拓 展提高----布置作业。
• 教学板书设计：
线段、射线、直线的本质区别 是_直__线__没有端点，_射__线__只有 一个端点，_线__段__有两个端点。
直线的基本性质是： _经_过__两_点__有__且_只__有_一__条__直_线__。
（对 ）
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= 110 °.
A
O
B
C
第2题
3.△ABC的内切圆☉O与三边分别切于D、E、F三
点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长 是 30 .
A
F
E
O
BD
C
第3题
4.如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l, 求△ABC的面积S.