2020春北师版八年级数学下册 第2章 章节教案

不等关系
〖教学目标〗
1.了解不等式的意义.经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力.2、感受生活中存在着大量的不等关系.3、初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一.
〖教学重点与难点〗
重点：不等式的意义.
难点：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力.
〖教学过程〗
一、创设情境：
1、下列问题中的数量关系能用等式表示吗？若不能，应该用怎样的
式子来表示？
（1）图5-1是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行
驶的速度不得超过40km/h.用v(km/h)表示汽车的速度，怎样表示v
与40之间的关系？
（2）据科学家测定，太阳表面的温度不低于6000℃。

设太阳表面的温度为t （℃）怎样表示t与6000之间的关系？
（3）如图5-2，天平左盘放3个乒乓球，右盘放5g砝码，天平倾斜。

设每个乒乓球的质量为x（g），怎样表示x与5之间的关系？
（4）如图5-3，小聪与小明玩跷跷板。

大家都不用力时，跷跷板左低、右高，小聪的身体质量为p（kg），书包的质量为2 kg，小明的身体质量为q （kg），怎样表示p，q之间的关系？
（5）要使代数式
3
3
-
+
x
x
有意义，x的值与3之间有什么关系？
图5-1
4
二、探究新知：
2、议一议：
观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同的特点？
像v≤40，t≥6000，3x＞5，q＜p+2，x≠3这样，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连成的数学式子，叫不等式（inequality）。

这些用来连接的符号统称不等号（inequality symbol）
3、讲解例题
例1 根据下列数量关系列不等式：
（1）a是正数；
（2）y的2倍与6的和比1小；
（3）x2减去10不大于10；
（4设）a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边.
做一做：
（1）已知x1=1，x2=2，请在数轴上表示出x1，x2的位置；
（2）x＜1表示怎样的数的全体？
4、归纳：x＜a表示小于a的全体实数，在数轴上表示a左边的所有点，不包括a 在内（如图5—4）；x≥a表示大于或等于a的全体实数，在数轴上表示a右边的所有点，包括a在内（如图5一5）；b＜x＜a（b＜a＝表示大干b而小于a的全体实数，在数轴上表示如图5一6.你能在数轴上分别类似地表示x＞a，x≤a和b≤
x＜a（b＜a＝吗？
5、讲解例2
一座小水电站的水库水位在12～20m（包括12m，20m）时，发电机能正常工作。

设水库水位为x（m）.
（1）用不等式表示发电机正常工作的水位范围，并把它表示在数轴上；
（2）当水位在下列位置时，发电机能正常工作吗？①x1=8；②x2=10；③x3=15；
④x4=19.
请用不等式和数轴给出解释.
三、巩固反思：
四、小结：
通过这节课的学习，你有哪些收获？
不等式的解集
教学目标
1、感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，
通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上；
2、经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义
的过程，渗透数形结合思想；
3、通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极
参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识；让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。

教学重点：建立方程解决实际问题，会解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程
教学难点：正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。

教学过程
1、两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏．现在换了一个小胖子上去，跷跷
板发生了倾斜，游戏无法继续进行下去了．这是什么原因呢？
2、一辆匀速行驶的汽车在11：20时距离A地50千米。

要在12：00以前驶过A
地，车速应该具备什么条件？若设车速为每小时x千米，能用一个式子表示吗？
探究新知
（一）不等式、一元一次不等式的概念
在学生充分发表自己意见的基础上，师生共同归纳得出：用“＜”或“＞”表示大小关系的式子叫做不等式；用“并”表示不等关系的式子也是不等式。

2、下列式子中哪些是不等式？
（1）a＋b=b+a（2）－3＞－5（3）x≠l（4）x十3>6（5）2m<n（6）2x-3
上述不等式中，有些不含未知数，有些含有未知数．我们把那些类似于一元一次方程，含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．3、小组交流：说说生活中的不等关系．
分组活动．先独立思考，然后小组内互相交流并做记录，最后各组选派代表发言，在此基础上引出不等号“≥”和“≤”．补充说明：用“≥”和“≤”表示不等关系的式子也是不等式．
（二）不等式的解、不等式的解集
问题1.要使汽车在12：00以前驶过A地，你认为车速应该为多少呢？
问题2.车速可以是每小时85千米吗？每小时82千米呢？每小时75.1千米呢？每小时74千米呢？
问题3.我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，我们也可以把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．刚才同学们所说的这些数，哪些
是不等式
x
3
2
>50的解？
问题4，数中哪些是不等式
x
3
2
>50的解：
76，73，79，80，74.9，75.1，90，60
你能找出这个不等式其他的解吗？它到底有多少个解？你从中发现了什么规律？
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式．
巩固新知下列哪些是不等式x＋3>6的解？哪些不是？
－4，－2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12
2、直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出来：（1）x＋3>6（2）2x<8（3）x －2>0
拓广探索：比较分析对于问题1还有不同的未知数的设法吗？
学生思考回答：若设去年购买计算机x台，得方程
2140 2
x
x x
++=
若设今年购买计算机x台，得方程
140 42
x x
x
++=
解决问题某开山工程正在进行爆破作业．已知导火索燃烧的速度是每秒0.8厘米，人跑开的速度是每秒4米．为了使放炮的工人在爆炸时能跑到100米以外的安全地带，导火索的长度应超过多少厘米？
总结归纳：1、不等式与一元一次不等式的概念；
2、不等式的解与不等式的解集；
3、不等式的解集在数轴上的表示．
布置作业
一元一次不等式及其解法
〖教学目标〗
1、掌握解一元一次不等式的一般步骤.
2、会运用解一元一次不等式的一般步骤解一元一次不等式．
〖教学重点与难点〗
教学重点：运用解一元一次不等式的一般步骤解一元一次不等式.
教学难点：例2步骤较多，容易发生错误，是本节教学的难点.
〖教学过程〗
一、复习旧知，引入新课：
1、不等式的三个基本性质。

2、一元一次不等式的概念。

3、不等式的解的概念。

二、合作交流，探求新知：
1、合作学习，根据已学过的知识，你能解下列一元一次不等式吗？
（1）5x>3(x-2)+2 (2)2m-3<(7m+3)/2
2、解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似。

解一元一次不等式的一般步骤和根据如下：
解：去括号，得 3-3x>2-4x
移项，得 -3x+4x>2-3
合并同类项，得 x>-1
4、例2、解不等式(1+x)/2≤(1+2x)/3+1
解：去分母，得 3（1+x）≤2(1+2x)+6
去括号，得 3+3x≤2+4x+6
移项，得 3x-4x≤2+6-3
合并同类项，得 -x≤5
两边同除以-1，得 x≥-5
注：1、五个步骤要求当堂背出，同桌之间可以互相核对。

2、要求作业严格按照上述步骤进行。

三、课内练习
解下列不等式，并把解在数轴上表示出来：
（1）5x-3<1-3x
(2)3(1-3x)-2(4-2x) ≤0
(3)(2x-1)/4-(1+x)/6≥1
四、小结：1、解一元一次不等式的基本步骤。

2、不等式的解在数轴上的表示方法。

五、作业：
一元一次不等式组及其解法
〖教学目标〗
1、理解一元一次不等式组的概念.
2、理解不等式组的解的概念．
3、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解.
4、培养学生类比推理能力．
〖教学重点与难点〗
教学重点：一元一次不等式组的解法.
教学难点：例2较为复杂，几乎包括了解一元一次不等式的全部步骤，是本节教学的难点，用数轴表示一元一次不等式组的解也是难点。

〖教学过程〗
一.引入
1．想一想：某单位从超市购买了墨水笔和圆珠笔共15桶，所付金额超过570元，但不到580元。

已知这两种笔每桶的单价为圆珠笔34.90元/支，墨
水笔44.90元/支。

设购买圆珠笔Ｘ桶，你能列出几个不等式？
2．学生活动：找出已知条件，列出所有不等关系式，互相讨论，类推概念，鼓励学生通过观察，分析，补充解决问题。

3．最后教师总结两个不等式。

如设购买圆珠笔的桶数为Ｘ，则：
二.新课
1．一元一次不等式组：一般地，由几个同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组。

像上面就是一元一次不等式组，再
例如：
都是一元一次不等式组.
2. 不等式组解的概念：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解.当它们没有公共部分时.我们称这个不等式组无解.
3.做一做：
例1.解一元一次不等式组
解：解不等式①, 得: X>-1
解不等式②, 得: X≤6
把①②两个不等式的解表示在数轴上,如下图:
-1 0 6
所以原不等式组的解是-1<X≤6
4.应用拓展：解由两个一元一次不等式组成的不等式组,在取各个不等式的解公共部分时,有几种不同情况吗?
若a<b，你能说出下列四种情况下不等式组的解吗？
用数轴试一试.
(1) （2）
（3）（4）（设a<b）
一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型确定，它们的解集、
数轴表示如下表
解集图示口诀一元一次
不等式组
x>b 大大取大x>a
x>b
x<a
x<b
x<a 小小取小
x>a x<b a<x<b 比小大，比大小，
中间找
x<a x>b 无解比小小，比大大，
解不了（无解）
分：
(1) (2)
(3) (4)
6．探索较复杂的不等式组的解法：
例2. 解一元一次不等式组
解:由不等式①,去扩号得 3-5X>X-4X+2
移项,整理得 -2X>-1
所以X<
2
1
解不等式②,去分母得 3X-2>10-2X
移项,整理得 5X>12
所以X>
5
12
把①,②两个不等式的解表示在数轴上.
0 1 2
所以原不等式组无解.
7.通过范例,帮助学生总结解一元一次不等式组的步骤:
(1)依次解各个一元一次不等式.
(2)把各个一元一次不等式的解分别表示在同一数轴上.
(3)根据解在数轴上的表示确定不等式组的解.
三.巩固（学生活动，与同伴交流自己的问题和解决问题的过程）
1. 解下列一元一次不等式组:
(1) (2)
2. 分别求出本节开头问题中购买墨水笔和圆珠笔的桶数
四．归纳
1．学生谈本节课的收获：优等生谈学到什么知识，上进生谈体会；
2．教师小结：这节课主要学习了一元一次不等式组及不等式组的解的有关概念，要求会解有两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，并会用数轴确定解集；也可以利用口诀“大大取大，小小取小，比小大比大小取中间，比大大比小小无解”来求不等式组的解。

五．布置作业
不等式的基本性质
〖教学目标〗
1、使学生掌握和理解不等式的三条基本性质.
2、培养学生观察、分析、比较的能力，会运用不等式的基本性质进行不等式的变形，提高他们灵活地运用所学知识解题的能力．
〖教学重点与难点〗
教学重点：不等式的三条基本性质的运用.
教学难点：不等式的基本性质3的运用和不等式的变形以及范例要比较两个代数式的大小的几种方法，学生缺乏这方面的经验，这些是本节教学的难点. 〖教法和学法〗操练合作发现总结式教学法
操练合作发现应用总结
〖教学过程〗
一、从学生原有的认知结构提出问题 ,练习问题，解决问题，总结结论。

1.用“＜、＞、=“完成下列填空：
（1）如果a＜- 9，而- 9＜ 3 ，那么a_____3 。

（2）如果a＞- 9，而- 9＞-13 ，那么a____-13 。

你发现了什么？你还可以再举例吗？试一试！能得到什么结论？
不等式的基本性质１：
若a＜b ， b ＜c ，则a＜c ，这个性质也叫做不等式的传递性。

2.通过实验观察，用“＜、＞、=“完成下列填空：
85g
2g
2g
8＿>＿
5 8＋2＿>＿5＋2
10＿>＿ 7 10－2＿>＿7－2
你发现了什么？试一试！你能得到什么结论？
通过观察和举实例合作学习，完成下列两个问题，并自己判断前面的猜想的结论是否正确？
(1)已知a ＜b 和 b ＜c ，在数轴上表示如图：
由数轴上a 和 c 的位置关系，你能得到什么结论？
(2)若a > b ，则 a+ c 和 b +c 哪个较大，
a- c 和 b- c 呢？请用数轴上点的位置关系加以说明。

不等式的基本性质2：
不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得的不等式仍成立。

你总结出来了吗？
做一做
1.用适当的不等号填空：
（1） ∵ 0 1，
∴ a a+1（不等式的基本性质2）
（2） ∵ (a-1)2 0
∴ (a-1)2-2 -2（不等式的基本性质2）
2. a,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＞”或“＜”号填空：
(1)a b; (2) ｜a ｜ ｜b ｜; (3)a+b 0
(4)a-b 0 (5)a+b a-b (6)ab a
3.通过计算，用“＜、＞、=“完成下列填空：
2 3 2×（-1） 3×（-1）
2×5 3×5 2×（-5） 3 × （-5）
2×1/2 3×1/2 2×（-1/2） 3 ×（-1/2）
你发现了什么？你还可以再举例吗？试一试！你又有什么样的结论呢？ -2 -3 -2×（-1） -3×（-1）
-2×5 -3×5 -2×（-5） -3 × （-5）
-2×1/2 -3×1/2 ，-2×（-1/2） -3 ×（-1/2）
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等号的方向不变。

不等式的两边都乘（或都除以）同一个负 数， 必须把不等号的方向改变，所得的不等式成立。

二、对学生刚学的知识进行巩固应用
1.范例讲解：已知a ＜ 0， 试比较2a 与a 的大小
解法一：举实例法 解法二：数轴表示法 解法三：应用性质2移项法
2.课内练习：
3.探究活动：比较等式与不等式的基本性质
三、对这节课所学知识回顾总结
这节课你有那些收获?还有哪些困惑?
布置作业：
一元一次不等式与一次函数的关系
教学目标
【知识与技能】
1.认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系.
2.会用图象法解一元一次不等式和一元一次方程,会用数形结合的思想方法解决问题.
【过程与方法】
1.经历探索、思考等教学活动和思维过程,发展学生的合情推理能力,能有条理地、清晰地阐述观点. 等式 不等式
两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式。

两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

两边都乘以（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变。

2.让学生体验并掌握数形结合的思想和解决问题的方法,提高解决问题的能力.
3.体会解决问题的多种途径,发散学生的思维.
【情感、态度与价值观】
在探究过程中发展学生的合作交流意识和独立思考精神,增强学生对数学思维、数学方法的好奇心和兴趣.
重点难点
【重点】
理解一次函数的图象与一元一次不等式、一元一次方程的关系,运用此关系求解问题.
【难点】
理解一元一次不等式、一元一次方程的图象解法.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:你会解一元一次方程-2x+8=0吗?
生:会,x=4.
师:我们现在看一次函数y=-2x+8.当x取什么值时,y为0?
生:当x=4时,y=0.
师:这个函数当x=4时,y=0,也就是这个函数的图象与x轴的交点坐标为(4,0),与x轴交点的横坐标为4.这个4一方面是方程的解,另一方面又是一次函数与x轴交点的横坐标,它们的数值是相同的,会不会是巧合,还是确实有联系?我们这节课就来研究这个问题.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示:
1.解方程:2x+6=0.
2.已知一次函数y=2x+6,问x取什么值时,y=0?
师:这两个问题有什么关系呢?
学生讨论后回答:第二个问题中,y=0,也就是2x+6=0时,就成了第一个问题,所以它们的实质是一样的.
师:大家回答得非常好!请大家画出y=2x+6的图象,看方程2x+6=0的解与这个图象又有什么关系.
学生作图,教师巡视指导.
教师多媒体出示:
生:方程的解等于图象与x轴交点的横坐标.
师:对.因为任何一个一元一次方程都可以写成y=kx+b的形式,所以解一元一次方程kx+b=0都可以转化成求函数y=kx+b中y=0时x的值,从图象上看,就是一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标.
三、层层推进,深入探究
师:根据上面你们画出的y=2x+6的图象,你能说出一元一次不等式2x+6>0与2x+6<0的解集吗?
学生合作交流
生:当2x+6>0时就是一次函数y=2x+6中y的值大于0,而y>0在坐标平面上表现的就是图象在x轴上方.
师:同学们回答得很好!那么x在什么范围时,图象在x轴的上方呢?
生:因为图象与x轴的交点坐标是(-3,0),由图象知,当x>-3时,y>0,即2x+6>0的解集是x>-3.
师:2x+6<0的解集呢?
生:它对应的是图象在x轴下方的部分,当x<-3时,图象在x轴下方,所以2x+6<0.
师:谁能总结一下呢?
生:一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0)的解集,就是使一次函数y=kx+b取正值(或负值)时x的取值范围.
师:很好!从图象上看,kx+b>0的解集就是使直线y=kx+b位于x轴上方的部分相应的x的取值范围;kx+b<0的解集就是使直线y=kx+b位于x轴下方的部分相应的x的取值范围.
四、例题讲解
【例】画出函数y=-3x+6的图象,结合图象:
(1)求方程-3x+6=0的解.
(2)求不等式-3x+6>0和-3x+6<0的解集.
解:(1)画出函数y=-3x+6的图象,如图所示,图象与x轴交点B的坐标为(2,0).
所以,方程-3x+6=0的解就是交点B的横坐标:x=2.
(2)结合图象可知,y>0时x的取值范围是x<2;y<0时x的取值范围是x>2.
所以,不等式-3x+6>0的解集是x<2,不等式-3x+6<0的解集是x>2.
五、课堂小结
师:今天你学到了什么新的内容?还有哪些疑问?
学生回答,教师补充完善.
教学反思
在导入课题时,我让学生解一元一次方程和一元一次不等式,他们不理解为什么让他们做这些七年级的题目,讲到后面时他们豁然开朗,为自己的发现欣喜不已.在学习了本节课后,我带领他们用数形结合的方法探索并归纳了一次函数的图象与一元一次方程、一元一次不等式的关系,一元一次方程、一元一次不等式的图象解法,使学生初步认识到了这些知识的关联.。