福建省福州市第三中学2017届高三5月模拟考试数学(理)

福州三中2016-2017年度高三5月模拟考（理科数学）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，则图中阴影表示的集合为( )
A. {－1}
B. {2}
C. {3，4，5}
D. {3，4}
【答案】A
【解析】由题意可得：，
则图中阴影部分表示的集合为：.
本题选择A选项.
2. 若{a n}为等比数列，且，则公比q＝( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由，得a3＝a4，q＝＝，
本题选择B选项.
3. 若是的充分不必要条件，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】求解不等式可得：，
即是的充分不必要条件，
据此可知：的取值范围是.
本题选择D选项.
4. 已知函数的最小正周期为，为了得到函数.的图象，只要将的图象（）
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】由于的最小正周期为，所以.
所以.
所以将函数向右平移，即可得到.
本题选择B选项.
5. 如图所示的程序框图，若输入的x∈[1,13]，则时，的取值范围为( )
A. [7,55]
B. [15,111]
C. [31,223]
D. [65,447]
【答案】B
【解析】开始输入x∈[1,13]，n＝1；
第一次循环时，x∈[3,27]，n＝2；
第二次循环时，x∈[7,55]，n＝3；
第三次循环时，x∈[15,111]，n＝4；
第四次循环时，x∈[31,223]，n＝5.
则时，的取值范围为[15,111].
本题选择B选项.
点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满
足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．
6. 椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若线段PF2的中点在y轴上，则|PF2|是|PF1|的( )
A. 7倍
B. 5倍
C. 4倍
D. 3倍
【答案】A
【解析】设线段PF2的中点为D，则|OD|＝|PF1|，OD∥PF1，OD⊥x轴，
∴PF1⊥x轴，∴.
又∵|PF1|＋|PF2|＝4，∴.
∴|PF2|是|PF1|的7倍.
本题选择A选项.
7. 已知函数，则函数的大致图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
函数在处图象有跳跃点，选项AC错误；
当时，，即函数过点，选项B错误；
本题选择D选项.
8. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（）
A. 10000立方尺
B. 11000立方尺
C. 12000立方尺
D. 13000立方尺
【答案】A
【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：
沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，
则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，
则三棱柱的
四棱锥的体积
由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈立方尺．
故选A．
【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键．
9. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）
A. 12种
B. 10种
C. 9种
D. 8种
【答案】A
【解析】试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有种选法；第二步，为甲地选两个学生，有种选法；第三步，为乙地选名教师和名学生，有种选法，故不同的安排方案共有种，故选A．
考点：排列组合的应用．
视频
10. 直线与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若，
，（λ∈R），则λ=（）
A. 2
B.
C. 3
D. 5
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
由E，F，K三点共线可得,∴λ=5.
本题选择D选项.
11. 过双曲线的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A、B 两点，若，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，由角平分线定理知==,
由AB⊥AO知∠AOB=60,∠AOF 2=30,
据此可知渐近线方程为：，
而双曲线的渐近线方程为，
故，则双曲线的离心率：.
本题选择A选项.
点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
12. 已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意
恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，∴，即，即，故，
由知，∴，
，；
若对任意恒成立，只需使，
即，解得.
本题选择D选项.
点睛：给出与的递推关系，求a n，常用思路是：一是利用转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n的递推关系，先求出S n与n之间的关系，再求a n. 13. 若复数满足，其中是虚数单位，则复数的共轭复数为________.
【答案】
【解析】，则，所以复数的共轭复数为.
故答案为：．
14. 设变量x，y满足若直线kx－y＋2＝0经过该可行域，则k的最大值为_______．
【答案】1
【解析】试题分析：直线过定点（0，2），作可行域如图所示，
由得B（2，4）．当定点（0，2）和B点连接时，斜率最大，此时，则k的最大值为1．故选A．
考点：简单线性规划．
15. 正三棱锥A-BCD外接球半径为，为中点，，分别表示△、△、△的面积，则的值是____________.
【答案】2
【解析】如图所示，依题意得，正三棱锥为A-BCD的各个侧面为全等的等腰直角三角形，
设侧棱长为x，则3x2=22,
故的值为.
故答案为： 2．
16. 对于函数，若在定义域内存在
．．实数，满足，称为“局部奇函数”，若
为定义域上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是______
【答案】
【解析】∵“局部奇函数”，∴存在实数满足，
即，令，
则，
即在上有解，
再令，则在上有解，
函数的对称轴为，分类讨论：
①当时，，∴，解得；
②当时，，，解得.
综合①②，可知.
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。

但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，，，．
（1）若，求△DEF的面积；
（2）若，求的大小．
【答案】(1)；(2)θ＝60°．
【解析】试题分析：
（1）由题意结合正弦定理可得，，则以. （2）由（1）可得，．结合题意可知，据此
解得θ＝60°．
试题解析：
（1）在△BDE中，由正弦定理得
在△ADF中，由正弦定理得
所以.
（2）由（1），．
由tan∠DEF＝，得，整理得，所以θ＝60°．
18. 若质地均匀的六面体玩具各面分别标有数字1,2,3,4,5,6．抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等．抛掷该玩具一次，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（即能写出整数的平方形式的数，如9=32,9是完全平方数）”
（1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷一次，若事件A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A不发生，则甲得0分；②乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分。

现甲、乙二人各抛掷该玩具一次，分别求二人得分的期望；
（2）抛掷该玩具一次，记事件B=“向上一面的点数不超过”，若事件A与B相互独立，试求出所有的整数
【答案】(1)答案见解析；(2)3或6.
【解析】试题分析：
（1）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为，．由题意可得,计算相应的分布列可得EX=5.，计算相应的分布列可得．
（2）易知抛掷该玩具一次，基本事件总数共有6个，事件包含2个基本事件（1点，2点）．记
，分别表示事件，包含的基本事件数，由题意可得=,则k=3或6，经检验可知3或6均满足题意，的值可能为3或6．
试题解析：
（1）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为，．
,则的分布列为
EX=5.
，
．
（2）易知抛掷该玩具一次，基本事件总数共有6个，事件包含2个基本事件（1点，2点）．记，分别表示事件，包含的基本事件数，
由及古典概型，得，∴=,①
故事件包含的基本事件数必为3的倍数，即k=3,6，
当k=3时，n(B)=3，，，符合①，
当时，，，，符合①，
故的值可能为3或6．
19. 如图，在空间几何体ABCDFE中，底面是边长为2的正方形，，，
.
（1）求证：AC//平面DEF；
（2）已知，若在平面上存在点，使得平面，试确定点的位置.
【答案】(1)证明见解析；(2)是线段上靠近的三等分点.
【解析】试题分析：
（1）连BD交AC于O，取DE中点K，连结OK、KF，由题意结合三角形中位线的性质可得四边形AOKF为平行四边形，则，由线面平行的判断定理可得AC//平面DEF
（2）由题意，以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.由题意可得
，，设，计算可得
，由可得方程组，求解方程组有即
.是线段上靠近的三等分点.
试题解析：
（1）连BD交AC于O，取DE中点K，连结OK、KF
∵AC、BD是正方形的对角线
∴O为BD中点，∴，∴四边形AOKF为平行四边形，∴
又∵平面DEF，平面DEF
∴AC//平面DEF
（2）在△DAF中，，，，所以
又因为，，平面ABCD
∴平面.
以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系（如图）.
则，，，，，
设，因为，，
又，
所以，
∵∴
解得即.所以是线段上靠近的三等分点.
20. 已知菱形，在轴上且，（，）．
（Ⅰ）求点轨迹的方程；
（Ⅱ）延长交轨迹于点，轨迹在点处的切线与直线交于点，试判断以为圆心，线段为半径的圆与直线的位置关系，并证明你的结论．
【答案】(Ⅰ)（）；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）由题意可知对角线与垂直平分，由题意结合垂直平分线的性质可得点到直线
的距离与到点的距离相等，结合几何关系可知点轨迹方程为（）. （Ⅱ）设，，联立直线AD是方程与抛物线方程可得,由题意结合
韦达定理可得，，，利用导数研究切线方程可得在点处的切线方程为：，且直线的方程为，据此可得交点坐标，即，计算可得点到直线的距离，则圆与直线相切.
试题解析：
（Ⅰ）因为是菱形，所以对角线与垂直平分，
因为在轴上，所以与直线垂直，
所以点到直线的距离与到点的距离相等，
所以点轨迹为抛物线（不包含顶点），
其轨迹方程为（）.
（Ⅱ）设，，
设直线的方程为，联立可得：
所以，．
因为菱形，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以
由可得
所以在点处的切线方程的斜率为
则切线的方程为：，即……①
因为，，所以，
又中点，所以直线的方程为②
联立①②可得，即点，又，所以
所以，点到直线的距离
所以圆与直线相切.
点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
21. 已知函数.
（1）若，求在点处的切线方程；
（2）令，判断在上极值点的个数，并加以证明；
(3) 令，定义数列. 当且时，求证:对于任意的，恒有.
【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析.
【解析】试题分析：
（1）由题意可得，则切线斜率为且，据此可得所求切线方程为
.
（2）由题意可得，令，，且，，则在上有唯一零点.在区间上有唯一极值点.
（3）当时，，，，，，
放缩可得，且由绝对值三角不等式结合等比数列求和公式可得
.
试题解析：
（1），所以所求切线方程为
.
（2），令，则在上为减函数.
，，所以在上有唯一零点.所以在
上有唯一零点.
所以在区间上有唯一极值点.
（3）当时，，，，，，
又
.
22. 在极坐标系下，点是曲线上的动点，，线段的中点为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）若轨迹上点处的切线斜率的取值范围是，求点横坐标的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】（Ⅰ）由，得，
设，，则，即，
代入，
得，∴；
（不写累计扣1分）
（Ⅱ）设，，
设点处切线的倾斜角为，
由斜率范围，可得，
而，∴，
∴，
所以，点横坐标的取值范围是．
23. 已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，求的最小值．
【答案】(1)；(2)4.
【解析】试题分析：
（1）当时，函数的解析式，分类讨论可得不等式的解集为
.
（2）时，结合绝对值三角不等式的结论可得.当且仅当时取等号，即的最小值是4.
试题解析：
（1）当时，
当时，，解得；
当时，不成立；
当时，，解得；
综上，不等式的解集为.
（2）时，
.
当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值4.
点睛：绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。