2022版高考数学人教A版：课时作业三十八数列的综合应用

【解析】由题意知，RO＝1＋40%×5＝3，所以得病总人数为 3＋32＋33＋34＝ 120(人). 答案：120
7．(2021·杭州模拟)已知数列{an}，{bn}满足 a1＝1，且 an，an＋1 是函数 f(x)＝x2－bnx＋2 的两个零点，则 a5＝________，b10＝________．
【解析】选 C.设第 1 个孩子分到的棉花为 a 斤，根据题意可知，从第 1 个孩 子开始，以后每人分到的棉花是以 a 为首项，以 17 为公差的等差数列， S8＝8a＋8×27 ×17＝996，解得 a＝65.
5．(2021·杭州模拟)已知函数 f(x)＝ex－x－1，数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满
因此，a6＋a7＋a8＝a1q5＋a1q6＋a1q7
＝a1q51＋q＋q2 ＝q5＝32.
4．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠； 次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说 的是，有 996 斤棉花全部赠送给 8 个子女做旅费，从第 1 个孩子开始，以后 每人依次多 17 斤，直到第 8 个孩子为止．在这个问题中，第 1 个孩子分到的 棉花为( ) A．75 斤 B．70 斤 C．65 斤 D．60 斤
子的倒数为4n21－1 ，即12 2n1－1－2n1＋1 ，其前 n 项和为
1 2
×1－13＋13－15＋…＋2n1－1－2n1＋1
＝12 ×1－2n1＋1 ＝2nn＋1 .
答案：2nn＋1
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9．(2020·北京模拟)已知数列an 的前 n 项和为 Sn，满足 2Sn＝3an－a1，且 a1
－3a2＋a3＝3.
(1)求数列 a n
三十八 数列的综合应用
基础落实练（30 分钟 60 分）
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．(2021·温州模拟)已知{an}是公比不为 1 的等比数列，且 a4，a2，a3 依次构
成等差数列，则公比为( )
A．12
B．2 C．－12
ห้องสมุดไป่ตู้
D．－2
【解析】选 D.设等比数列{an}的公比为 q(q≠1)，则 a4＝a2q2，a3＝a2q. 因为 a4，a2，a3 依次构成等差数列， 所以 2a2＝a4＋a3，即 2a2＝a2q2＋a2q， 整理，得 q2＋q－2＝0， 解得 q＝1(舍去)，或 q＝－2.所以 q＝－2.
【解析】依题意，有 anan＋1＝2，所以 an＋1·an＋2＝2，
两式相除得aan＋n 2 ＝1，即 an＋2＝an， 数列{an}的周期为 2， 因为 a1＝1，所以 a5＝a1＝1，a11＝a1＝1. 又因为 an＋an＋1＝bn，所以 bn＝an＋1＋an2＋1 ， 故 b10＝a11＋a211 ＝3. 答案：1 3
2．图一为勾股树，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得 到．图二是第 1 代勾股树，重复图二的作法，得到图三为第 2 代勾股树，以 此类推，已知最大的正方形面积为 1，则第 n 代勾股树所有正方形的个数与面 积的和分别为( )
A.2n－1，n C．2n＋1－1，n
B．2n－1，n＋1 D．2n＋1－1，n＋1
3．设{an}是等比数列，且 a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则 a6＋a7＋a8＝( ) A．12 B．24 C．30 D．32
【解析】选
D.设等比数列 a n
的公比为 q，则 a1＋a2＋a3＝a11＋q＋q2
＝1，
a2＋a3＋a4＝a1q＋a1q2＋a1q3＝a1q1＋q＋q2 ＝q＝2，
足 a1＝12 ，an＋1＝f(an)，则下列有关数列{an}的叙述正确的是(
)
A．a5＜|4a2－3a1|
B．a7≤a8
C．a10＞1
D．S100＞26
【解析】选 A.由 f(x)＝ex－x－1＝x，解得 x＝0 或 x＝x0，
由零点存在性定理得 x＝x0∈(1，2)，
所以当 an＜x0 时，an＋1－an＝ean －2an－1＜0，数列单调递减， a1＝12 ＜x0，所以 a2＝f(a1)＜a1＝12 ＜x0，同理，a3＜a2＝f(a1)＜21 ， 迭代下去，可得 0＜an＜an－1＜…＜a1＝21 ，数列单调递减， 故选项 B 和选项 C 都错误；
又
1
0＜an＜an－1＜…＜a2＝ e 2
－21
－1＜1.7－1.5＝0.2，
所以 S100＜99a2＋a1<20.3，故 D 错误；
对于 A，|4a2－3a1|＞|3×0.5－4×0.2|＝0.7，
而 a5＜a2＜0.2＜0.7，
所以 a5＜|4a2－3a1|，故 A 正确．
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数 RO.它指的是，在自然 情况下(没有外力介入，同时所有人都没有免疫力)，一个感染到某种传染病的 人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是 RO＝1＋确诊病 例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间 隔时间(单位：天).根据统计，确诊病例的平均增长率为 40%，两例连续病例 的间隔时间的平均数是 5 天，根据以上 RO 公式计算，若甲得这种传染病， 则 4 轮传播后由甲引起的得病的总人数约为________.
【解析】选 D.当 n＝1 时，正方形有 20＋21 个， 当 n＝2 时，正方形有 20＋21＋22 个…… 则第 n 代勾股树的正方形有 20＋21＋22＋…＋2n＝2n＋1－1 个，最大的正方形 面积为 1，当 n＝1 时，由勾股定理知正方形面积的和为 2，以此类推，所有 正方形面积的和为 n＋1.
8．对于任意一个偶数 m，都存在奇数 n 及其正整数 t，使得 m＝n·2t，我们把 n 称为 m 的“奇因子”．若数列an 的通项公式为 an＝n2·2n＋2－2n，则该数列的 前 n 项的“奇因子”的倒数之和为________．
【解析】因为 an＝n2·2n＋2－2n＝2n(4n2－1)，所以奇因子为 4n2－1，所以奇因